垂径定理—知识讲解(提高).docx
垂径定理优秀课件
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
第3章 3.3 垂径定理
垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题 如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和 ︵︵ 小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得 点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求 出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心， 连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
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垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
垂径定理 【完整版】
垂直于弦的直径【学习目标】1.能记住圆是轴对称图形，并能正确说出圆的对称轴；2.理解垂径定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。
【重点难点】重点：理解垂径定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。
【课堂探究】一、互动课堂(探究与合作)探究点1：圆的对称性1.动手做一做：请大家拿着桌上的圆形纸片，用对折的方法，在纸片上找出圆心O，并画出圆的任意一条直径CD，A是⊙O上任意一点（不与点C、D重合），过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA、OB.在对折找圆心的过程中，我们发现：任意折痕（即圆的直径所在的直线）两旁的部分能够完全重合2.通过上面的探究，你能得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有B 无数条对称轴.3.问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和弧你如何得知线段:AE=BE弧;AB=BC，AD=BD错误!未指定书签。
理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．探究点2：垂径定理已知：如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．CD是AB的垂直平分线.1.质疑：若AB是直径，上述结论还成立吗成立，当AB是直径时，OA=OB，CD⊥AB，所以CD是AB的垂直平分线,结论也成立．2.从上面的证明我们知道：⑴垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⑵定理中的弦为直径时，结论仍然成立．归纳总结（垂径定理：）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC=BC，AD=BD温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,要学会相互转化,形成整体,才能运用自如3.注意：⑴垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”.⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：①过圆心；②垂直于弦.那么这条直线就平分这条弦，平分弦所对劣弧和优弧.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件如果不是，请说明为什么？是不是，因为是不是，因为没有垂直CD 没有过圆心归纳总结垂径定理的几个基本图形：三、垂径定理的应用（典例精析）试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC 垂足为D ，与弧AB 交于点C ，则D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高.AB=37m ，CD=.∴AD=21AB=，OD=OC-CD=. 222OD AD OA += 222)23.7(5.18-+=R R解得R ≈（m ）即主桥拱半径约为.四、垂径定理的计算例：如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=cm.解析：连接OA ，∵OE ⊥AB ，∴AE ＝BE （垂径定理）86102222=-=-=OE OA AE ∴AB=2AE=16cm(注意：圆心到弦的距离叫弦心距)归纳总结 .C D AB OME O .A C D B .A B O 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.探究点3：垂径定理的推论如果把垂径定理分解为五个部分作为条件，上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗①圆心；②垂直于弦；③平分弦； ④ 分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.猜想证明：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD举例证明其中一种组合方法已知:求证：证明举例：①③如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗为什么（2）AC与BC相等吗AD与BD相等吗为什么解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得：AC=BC，AD=BD归纳总结（垂径定理的推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗如果不能，请举出反例.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.3．垂径定理的推论你能破镜重圆吗作法：作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．当堂练习1：判断下列说法的正误（1）平分弧的直径必平分弧所对的弦（2）圆是轴对称图形，直径是它的对称轴（3）垂直于弦的直线必过圆心2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立的是（）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=AED 、BD=BC解析：由垂径定理可知B 、D 均成立；由△OCE ≌△ODE 可得A 也成立．不一定成立的是OE=AE ．故选C ．3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为.拓展提升：4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD 的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD 上的一点,且OE ⊥CD ，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m.CD OE ⊥ )(3006002121m CD CF =⨯==∴ 根据勾股定理，得：222222)90(300,-+=+=R R OF CF OC 解得R =545.∴这段弯路的半径约为545m.课堂小结：思考题：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP 长的取值范围.课堂作业必做题：课本83面1、2题选做题：思考题A BPO。
3.52垂径定理—知识讲解(提高)
3.52垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON ⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图 1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm =，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且COBDACD=，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75°D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(2，那么B点的坐标为____________．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC=∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB 交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是AB、AC的中点，且MN 交AB于D，交AC于E，求证：△ADE是等腰三角形.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则()2221R R=+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，∴152AE AB==．设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴ R2＝52+(R-1)2，P∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】(2-．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B (2-. 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB = 三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴6212AE AB AE AC ========，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB.由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得a =，2AB a ==.15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F. ∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为AB 、AC 中点，∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ． ∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ， 而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ．所以△ADE 是等腰三角形.。
垂径定理—知识讲解(提高)
垂径定理-知识讲解（提高)【学习目标】1．理解圆得对称性；2．掌握垂径定理及其推论;３。
学会运用垂径定理及其推论解决有关得计算、证明与作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1、垂径定理ﻫ垂直于弦得直径平分这条弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ２、推论平分弦(不就是直径）得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ要点诠释：(1)垂径定理就是由两个条件推出两个结论，即ﻫ（2)这里得直径也可以就是半径,也可以就是过圆心得直线或线段、知识点二、垂径定理得拓展根据圆得对称性及垂径定理还有如下结论:（1）平分弦(该弦不就是直径)得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧;（2）弦得垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对得两条弧;（3）平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦，并且平分弦所对得另一条弧、（4）圆得两条平行弦所夹得弧相等、要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对得优弧、平分弦所对得劣弧,在这五个条件中，知道任意两个,就能推出其她三个结论、(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时,平分得弦不能就是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1、如图,⊙O得两条弦AＢ、CD互相垂直，垂足为E,且AＢ=CD，已知CE=１,ＥＤ=3，则⊙O得半径就是.【答案】错误!、【解析】作ＯＭ⊥AB于M、ＯN⊥CD于N,连结ＯA，∵ＡＢ=CD,CＥ=１，ED=3,∴ＯM=EN=１，AＭ=2,∴ＯA＝、【点评】对于垂径定理得使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间得运算(配合勾股定理)问题、举一反三：【变式１】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH=4，ＢH=6,CH＝3,DH=8，求⊙Ｏ半径。
【答案】如图所示，过点O分别作OＭ⊥AB于Ｍ,ON⊥CＤ于N，则四边形MONH为矩形,连结OB，∴,,∴在Rt△BＯM中,。
【高清ID号：35696５关联得位置名称（播放点名称）:例２—例3】【变式2】如图，AＢ为⊙O得弦，Ｍ就是ＡB上一点,若AB＝20cｍ,MB＝8cm，OM＝10ｃm,求⊙O得半径、【答案】14cm、【高清ID号:3５6965 关联得位置名称(播放点名称):例2—例3】2、已知:⊙O得半径为１0cm，弦AB∥CD,AB=１２cm，ＣD=１6cm,求AB、CD间得距离、【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、ＣD间得距离就就是它们得公垂线段得长度，若分别作弦ＡB、CD得弦心距，则可用弦心距得长表示这两条平行弦AＢ、CD间得距离、【答案与解析】(1)如图1，当⊙O得圆心O位于ＡB、CＤ之间时，作OM⊥ＡB于点M,并延长MO,交ＣD于N点、分别连结AO、CＯ、ﻫ∵AB∥CＤ∴ＯＮ⊥CD，即ON为弦CD得弦心距、∵AB=12ｃm，CD=16cm,ＡO=OC=10cm,ﻫﻫ=８+６=14（ｃm)ﻫ图1 图2(２）如图2所示，当⊙Ｏ得圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AＢ、CＤ在圆心O得同侧)时,ﻫ同理可得：MN=OM－ON=８-6＝2（ｃm)∴⊙O中,平行弦ＡB、CD间得距离就是14cｍ或2ｃｍ、ﻫ【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间得位置关系,分类讨论,千万别丢解、举一反三：【变式】在⊙O中，直径MＮ⊥AB,垂足为C,MＮ=１0,ＡB=８,则MＣ＝__＿__＿___．【答案】2或8.类型二、垂径定理得综合应用３、要测量一个钢板上小孔得直径，通常采用间接得测量方法。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
垂径定理..........
C ）
B．CE=DE ⌒ D．⌒ BD=BC
分一条弧成相等的两条弧 的点叫做这条弧的中点
一 画 画
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．
⌒
A
B
变式一： 求弧AB的四等分点．
例2：如图，一条排水管的截面.已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心到水面
在Rt△CFO中，OF = CO 2 CF 2 = 12 EF = OF OE = 7
拓展与延伸
已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，
CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是
A．7 cm C．12 cm B．17 cm
(
)
D．7 cm或17 cm
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ =BC, ⌒ ∴AC ⌒ =BD. AD ⌒
垂径定理
C
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
A
⌒ ⌒ ④AC=BC,
M└
●
B O
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
3、连结CB,OM=4，弦CB= 10 ,求圆的半径
BM 2 = OB 2 OM 2 = BC 2 MC 2
2 2 即OB 2 4 2 = （ 10） （OB 4）
１．本节课主要内容：垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究 与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
垂径定理.打印
一、圆心角定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．【弦心距：圆心到弦的距离】①两个圆心角相等同圆或等圆中 ②两条弧相等 知一推三】③两条弦相等④两条弦心距相等两条弦相等则两条弧相等是指优弧和劣弧对应相等,只在证明题时可判断使用。
二、垂径定理及其推论1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、推论1：（1）平分弦(此弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：①过圆心（直径）②垂直于弦一条直线 ③平分弦 【知二推三】④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧4、知二推三：只要明确是就具备或5、解决有关弦的问题的辅助线：过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径。
6、垂径定理两种语言:C OA BM D五点共线：圆心O 、垂足M 、弦中点M 、劣弧中点D 、优弧中点C 五点共线。
三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
①圆心角相等同圆或等圆中②所对弧相等知一推三③所对弦相等④所对弦的弦心距相等注：1、一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
2、相等的弦所对的弧相等是指优弧或劣弧分别对应相等，在证明时可判断使用。
若直接说成“等弦对等弧”是错误的，因一条弦可能对应两条弧（优弧或劣弧）。
易错题：1、等弧对等弦（对）。
因为两条弧相等，是能完全重合的，长度与曲度一样，不论是否在同一圆，可以认定为两条弧相等。
2、等弦对等弧（错）。
因为一条弦可能对应两条弧，不确定是哪条弧。
3、相等的圆心角所对的弧相等（错）。
垂径定理的课件讲义.doc
2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。
3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（（A）5 （B）7 （C）375（D）377图1练习1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求圆的半径.练习2、如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 为的中点，若32=BC ，O 到AB 的距离为1.求⊙O 的半径.练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB 为10米，拱高CD 为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB mm ．练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是 cm.图3BA8mm图2三、求弦心距例 3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.练习3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB，高度CD 为_____m ．五、求角度例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC=60º，则∠B = ．六、探究线段的最小值例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．七、其他题型例7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BAO图5B图6图7例8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例9、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。
24.1.2垂径定理
赵州桥又名安济桥，建于隋大业(公元605-618)年间 距今已1400年，是著名匠师李春建造。主桥拱是圆 弧形，跨度（弧所对的弦长37.4米）， 拱高（弧的中点 C 到弦的距离）为 7.2m，是当今世 界上跨度最大、 建造最早的单孔 D 敞肩型石拱桥。 A 37.4 B 你能求出赵州桥 R O 主桥拱的半径 吗？ 设桥拱圆心为O,半径为R，在Rt△ＡＯD中, OD=R-7.2, AD=18.7 7.2
MN是AB的垂直平分线。
求证：MN垂直平分CD。 M
C
A O
D B
圆内平行弦 的垂直平分线是 互相重合的。
N
M C D
证明：
B
A
O
由AB∥CD可得： 弧AC=弧BD MN是AB的垂直平分线 则有： MN过圆心O是直径 弧AM=弧BM
N
∴ 弧AM－弧AC ＝弧BM－弧BD 即 弧CM＝弧DM
∴MN垂直平分CD
D
C m E A n
B
变式二：你能确定
弧A
圆吗？
m C
·
O
B
作弦AB．AC及它们的垂直平
分线m．n，交于O点；以O为圆 心，OA为半径作圆。
破镜重圆
A
m
n
C
·
O
B
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
例3.已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，
垂径定理的推论
D
O
A M C B
探索一：
结论：
②CD⊥AB ④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD
①直线CD过圆心 ③ AM=BM
推论1.(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理课件
系？说一说你的理由.
新课讲授
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④
OE＝BE.其中，一定正确的有( C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P， 则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩 ，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与 水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
新课讲授
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝
1 2
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
34垂径定理—知识讲解(提高)
垂径定理一知识讲解(提高)【学习目标】1. 理解圆的对称性；2 .掌握垂径定理及其推论；3 •学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 .2. 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即「平分弦平分弦所对的弧(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：(1) (2) (3) (4) 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在 这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，O O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为 E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则O O的半径是直径 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹的弧相等 .【答案】【解析】【点评】作OM丄AB于M、ON丄CD于N，连结OA ,••• AB=CD , CE=1 , ED=3 ,••• OM=EN=1 , AM=2 ,••• 0A= Q+i2=45.对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算题.（配合勾股定理）问举一反三:【变式1】如图所示，O 0两弦AB CD垂直相交于H AH= 4, BH= 6,【答案】如图所示，过点O分别作OML AB于M ON! CD于N,则四边形MO HN CN CH 2CD CH1-(CH21BM —AB2DH ) CH-(BH AH )2如8)3 25 ,尹6) 5, OB J BM2 OM2 575.2【变式2】（2015春？安岳县月考）如图，O 0直径AB和弦CD相交于点E, AE=2 , EB=6 , / DEB=30 °在Rt△ BOM中,【答案与解析】 解：过O 作OF 丄CD ，交CD 于点F ,连接0D ,••• F 为CD 的中点，即 CF=DF ,•/ AE=2 , EB=6 ,••• AB=AE+EB=2+6=8 ,• - 0A=4 ,••• 0E=0A - AE=4 在 Rt △ 0EF 中，.DFU J OD ? - 0严^!^，则 CD=2DF=2在O 0中，两平行弦AB CD 间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB CD 的弦心距, 则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB CD 间的距离.【答案与解析】 (1)如图1,当O 0的圆心0位于AB CD 之间时，作 0M 丄AB 于点M, 并延长M0交CD 于 N 点.分别连结A0 C0.•/ AB// CD••• 0NL CD 即0N 为弦CD 的弦心距.■/ AB=12cm CD=16cm A0=0C=10cmGD=8cm2 2+ JlL-於=8+6=14(cm)同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)•••。
公开课：垂径定理共24页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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公开课：垂径定理
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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垂径定理一知识讲解(提高)
【学习目标】
1. 理解圆的对称性；
2 .掌握垂径定理及其推论；
3 •学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.
【要点梳理】知识点一、垂径定理
1. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•
2. 推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
要点诠释：
(1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即
直径1 J平分弦
垂直于弦j n j平分弦所对的弧
(2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等• 要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论•(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径)
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
的半径是______________________
O=如图，。
O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为
E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O
【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5.
作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA ,
T AB=CD , CE=1 , ED=3,
∙∙∙ OM=EN=I , AM=2 , ∙ OA= . 22+12=,5. Y
B
对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题• （配合勾股定理）问
【变式1】如图所示，Θ
O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点
MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1
BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =∙ BM
2 OM 2 = 55 .
2
【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称)
【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C
:例2-例3】
OM= 10Cm 求Θ O 的半径.
【答案】14cm.
【高清ID 号：356965 关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】
▼ 2.已知：Θ O 的半径为10cm,弦AB// CD AB=12cm CD=16cm 求AB CD 间的距离.
【思路点拨】
在Θ O 中，两平行弦ABCD 间的距离就是它们的公垂线段的长度， 若分别作弦ABCD 的弦心距,
则可用弦心距的长表示这两条平行弦
AB CD 间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1,当Θ O 的圆心 O 位于AB CD 之间时，作 OMLAB 于点M, 并延长MO
交CD 于 N 点.分别连结AO CO.
∙∙∙ AB// CD
∙ ONL CD 即ON 为弦CD 的弦心距. ■/ AB=12cm CD=16cm AO=OC=10cm
AM= -AB=6cm J CN=- CD=8cm
2 2 ________________________
MN=MO+NO√102-62 +
=8+6 =14(Cm)
图1 图2
(2)
如图2所示，当Θ O 的圆心O 不在两平行弦 AB CD 之间(即弦AB CD 在圆心O 的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(Cm)
∙∙∙Θ O 中，平行弦 AB CD 间的距离是14cm 或2cm.
【点评】 解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解 举一反三：
【变式】在Θ O 中，直径 MNLAB,垂足为C, MN=10 AB=8,则MC= ________________ : 【答案】2或&
类型二、垂径定理的综合应用
&
3.
要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法•如果用一个直径为 IOmm 的标准钢
珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离
h = 8mm 如图所示),求此小孔的直径 d •
N
I
【思路点拨】
此小孔的直径d 就是Θ O 中的弦AB.根据垂径定理构造直角三角形来解决. 【答案与解析】 过O 作MN ⊥ AB,交Θ O 于M N,垂足为 C,
心
1
则 OA 10=5mm , OC= MC-OM= 8— 5 = 3mm
2
在 Rt △ ACO 中, AC= 一 5
2
-32 =4mm ,
AB = 2AC = 2 × 4= 8mm
答：此小孔的直径 d 为8mm 应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题
不过圆心的直线I 交Θ O 于C 、D 两点，AB 是Θ O 的直径，AE ⊥ I 于E , BF 丄I 于F .
(1) 在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)
请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论
(OA = OB 除外)(不再标注 其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程
);
(3)
请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论.
【答案与解析】
(1)如图所示,
在图①中AB CD 延长线交于Θ O 外一点;
在图②中AB CD 交于Θ O 内一点;
在图③中
AB// CD
【点评】。