垂径定理
(2)垂径定理
垂 径 定 理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。
概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧1．过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM 的长为（ ）A 、cmB 、cmC 、2cmD 、3cm2．已知：如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC 的长为：A 、3cmB 、2.5cmC 、2cmD 、1cm3．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．3、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.4．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(a) (b) (c) 图3(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 第一问答案（AB 与CD 交于 （AB 与CD 交于 （AB 与CD 平行）⊙O 外一点） ⊙O 内一点） 图2－11. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<< 4、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 5、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.6、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BACBDC OA B E FD 3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C =900，AC =5cm ，BC =12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－21. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.图6－14. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.9、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.10、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.11、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.12、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
垂径定理的应用
CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
垂径定理1
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为 5cm . 2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为
.
A
13cm
C D O B
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵 州桥主桥拱的半径吗？
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
课堂小结： 1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论1: 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论2: 垂直平分弦的直线过圆心，并且平分 弦所对的两条 弧.
垂径定理的推论2: 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.
一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
排水管中水最深是多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: 1 AC=BC= 1 AB= ×16=8 2 2 由勾股定理得:
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
OC OB2 BC2 102 82 6
垂径定理及其10个推论
垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。
它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。
垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 赵州桥的主桥拱半径约为
练习
如图， 的长为8cm，圆心 到AB 如图，在⊙O中，弦AB的长为 中 的长为 ，圆心O到 的距离为3cm，求⊙O的半径． 的半径． 的距离为 ， 的半径 解：QOE ⊥ AB
A E B
1 1 ∴ AE = AB = ×8 = 4 2 2
定理演绎: 定理演绎
C O E A D
推论二. 推论二
⇒
CD⊥AB AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
推论三. 推论三 CD⊥AB B ⇒ AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
一般地:在这五个结论中 如果有其中两个成 一般地 在这五个结论中,如果有其中两个成 在这五个结论中 就可以推出另外三个存在. 立,就可以推出另外三个存在 就可以推出另外三个存在 即:有2就有三 有 就有三
M
作法 1.连结 连结AB. 连结
A
D
2.作线段 的垂直平分线 作线段AB的垂直平分线 作线段 MN，垂足为 ，MN交AB ，垂足为C， 交 于点D. 于点 AB被点 平分 被点D平分 被点 平分.
N
C B
如图，已知⊙ 中 是 的中点 的中点， 交弦 于点D， 交弦AB于点 如图，已知⊙O中C是AB的中点，OC交弦 于点 ， 的长. ∠AOB=120°，AD=8. 求OA的长 ° 的长
垂径定理
垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。
3.3垂径定理
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
结论：
在直径，弦长，弦心距，弓形的高，这四个量 中已知任意两个量，即可根据勾股定理求出另 外两个量。
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
（2015中考题）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
试一试
C
O · E D B
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
垂径定理 (解析版)
垂径定理（解析版）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（如图 1 所示）2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（弦 AB 不是直径，如图 2 所示）图1 图2要点诠释：(1)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.（2）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【同步训练】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC 的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmOD 2 + AD2 42 + 323 【答案】D ；【解析】连接 OA ，∵ OC⊥AB∴ AD = AB =3 .Rt△AOD 中， AO = = = 5．∴ DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D ，若 AC=8cm ，DE=2cm ，求 OD 的长．【答案】 OD =3cm ．【解析】解：∵ E 为弧 AC 的中点，∴ OE ⊥AC ，AD AC =4.设 OD 的长为 x ，则：OE =OD +DE= x+2 =OA.在 Rt △OAD 中，∵ OA 2 =OD 2+AD 2∴（2+ x ）2= x 2+42，x =3 .∴ OD =3cm ．类型二、垂径定理的综合应用3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m ，拱的半径为 13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ． 5 m【答案】B ；【解析】如图 2 所示，由题意可知：AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为 AB 的中点，OC 与 AB 相交于点 D 。
垂径定理
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
OA E B
A
E
B
例.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E .
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
你能找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE CD⊥AB
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
垂径定理
A O B D C
图① 第（22）题
A O B l D E
图②
F
l
2013 年广东省梅州市初中毕业生学业考试数学试卷（圆） 11． （3 分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC= 切，则∠BAC 的度数是 度． ，以 A 为圆心，1 为半径的圆与边 BC 相
（2012•贵港）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则 PA+PB 的最小值是 _________ ．
启示一：点与圆的位置关系 例 6、点 P 到圆 O 的最大距离为 6，最小距离为 2，求圆 O 的半径
启示二：点与弦的位置关系 例 7、 ABC 三个顶点都在圆 O 上， OD BC 于点 D，且 BOD 48 ,求 BAC
启示三：弦所对的圆周角 例 8、半径为 1 的圆中有一条长为 3 的弦，求弦所对圆周角的度数。
1 2
四、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角只要有一组量相等 其他两组量就都相等， 五、拓展内容（与相似三角形综合） 1、圆的内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角
2、相交弦定理： AE BE CE DE
3、割线定理 PA PB PC PD
例 1：
圆 垂径定理 要点 1、垂径定理及推论 2、圆周角定理及推论 3、圆周角、圆心角、弧的度数 4、弧、弦、圆心角的关系 5、补充内容 一、垂径定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。 2、推论：①直径（过圆心的线段）②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得到其他三个结论， 即”知二推三” 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 2、推论1：半圆或直径所对的圆周角为 90 3、推论2：圆的内接四边形对角互补 三、圆周角、圆心角、弧的度数 1、弧的度数就是它所对圆心角的度数 2、弧的度数和它所对的圆心角度数相等 3、同弧所对的圆周角的度数，为它所对圆心角的度数的
垂径定理
O ED CBAOC BNMA NM AOr dd CBAO 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外 BC BD =AC AD =d=r直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 有两个交点 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r六、圆的有关线的长和面积。
垂径定理的5个结论
垂径定理的5个结论垂径定理是解决圆与直线之间关系的一项重要定理，它有着广泛的应用。
下面将从五个不同的角度，详细介绍垂径定理的五个结论。
一、定理1：切线垂直于半径根据垂径定理的第一个结论，圆的切线垂直于过切点的半径。
这一结论可以通过简单的几何推理得出。
设圆的半径为r，切点为A，切线为l，连接圆心O与切点A，假设在切点A处引出一条过切点A 的直径AB，连接OB。
由于OA=OB=r，所以AB是圆的直径。
根据定理，AB垂直于切线l。
因此，切线l垂直于过切点A的半径OA。
二、定理2：半径平分弦垂径定理的第二个结论表明，过圆心的半径可以平分弦。
这一结论也可以通过几何推理来证明。
设圆的半径为r，弦的两个端点为A、B，连接圆心O与弦的中点M。
根据定理，OM垂直于弦AB。
又因为OM=r，所以OM是圆的半径，即OM=OA=OB=r。
因此，OM平分弦AB。
三、定理3：半径垂直于弦垂径定理的第三个结论是，过圆心的半径垂直于弦。
这一结论可以通过定理2的推论得出。
根据定理2，过圆心的半径OM平分弦AB。
因为OM平分弦AB，所以OM垂直于弦AB。
因此，过圆心的半径垂直于弦。
四、定理4：垂直弦的两条半径相等定理4指出，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径的长度相等。
设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB。
根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB。
因为OA=OB=r，所以垂直弦的两条半径相等。
五、定理5：垂直弦的两条半径互为中线垂径定理的第五个结论是，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径互为弦的中线。
设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB，垂直弦的两条半径分别为OC和OD。
根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB，所以OC=OD=r。
因此，垂直弦的两条半径互为弦的中线。
垂径定理有着五个重要的结论：切线垂直于半径、半径平分弦、半径垂直于弦、垂直弦的两条半径相等、垂直弦的两条半径互为中线。
垂径定理及其推论
垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)编辑本段证明如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD垂径定理证明图连OA、OB∵OA、OB是半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC编辑本段讲解垂径定理又称“5-2-3”定理其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.以下是推论编辑本段推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦(不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
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闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。
学生说出两个命题的题设和结论，并进行简单的证明。
学生小组讨论后回答。
学生归纳出垂径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础
1用三角形全等
2等腰三角形“三线合一”
当把圆折叠时：
1两个半圆重合
2 AE、BE重合
3两段小弧各自重合。
让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。
通过折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。
（四）
齐心合力攻克难关
垂径定理的条件，
1）垂直于弦2）一条直线过圆心
垂径定理结论：3）平分弦4）平分劣弧5）平分优弧
书写格式：（1）∵AE=BE，，CD⊥AB
∴CD过圆心，
命题2实质：条件（2）+（4）==>结论（1）（3）（5）
书写格式：（2）∵是直径，，
∴CD⊥AB，AE=BE，
上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，，
实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。
垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，
条直线垂直这条弦。（）
④)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（）
⑤平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（）
⑥弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（）
（3）看图填空：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴
‚∵CD是直径，AE=BE
∴，
ƒ∵AE=BE，CD⊥AB
∴
④∵CD是直径，
∴
（4）你能画出使用垂径定理的相关图形码？
本节课我们都学习了哪些内容？
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-----？
学生答案1：它的直径。、
学生答案2：经过圆心的直线
由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.
回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，
通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，
通过实际问题的结决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为生活所用。
（五）PK知识大舞台
（六）
知识梳理
五、赛一赛，谁最快
（1）判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
（2）判断下列语句是否正确。
平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（）
‚平分弦的直线，必定过圆心。（）
ƒ一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。
书写格式：∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB
∴AE=BE，
垂径定理实质：
条件（1）+（2）===>结论（3）（4）（5）
（四）例题分析
例1已知：在⊙O中，直径CD
交弦AB于点E，AE=BE，
求证：CD⊥AB，
证明：联结半径AO,BO，
∵半径AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点
1垂径定理以及推论的证明，
2垂径定理的简单应用，
教学难点
垂径定理的简单应用
教学用具
多媒体,投影仪
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
（一）
∵AE=BE
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
∵CD是直径
∴（垂径定理）
思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理推论的实质：
条件（2）+（3）===>结论（1）（4）（5）
书写格式：（1）∵AE=BE，CD为过圆心的直线，
连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？
你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生
口述证明方法）
由折纸活动，学生很容易找出相等关系：
AE=BE,
学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。
学生想到连结半径OA，OB,并且有OA=OB。
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
（七）
课后
作业
三级跳的中与垂径定理有关的内容
（八）
板书设计
垂径定理
1垂径定理内容2垂径定理推论的内容3垂径定理常用的图形
书写格式书写格式
定理用途定理用途
1圆是轴对称图形
2垂径定理及推论。
3垂径定理的书写格式和用途。
4你掌握了------？
5你有哪些困惑------？
学生积极动脑参与，共同学习新的知识
学生总结本节课的内容，提出知识要点。
赛一赛环节使学生进一步熟悉垂径定理的使用条件。并把所学的知识纳入已有的知识体系。
学生自己整理知识，有利于他们完善自己的数学体系，也有利于提高他们的整合知识的能力和概括能力。
学校
十七中
教师
樊熙玲
课题
22.3垂径定理
课型
新课
课时
第一课时
教学方法
小组合作,探索交流
教材
人教版第22章
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。
二、动手折一折
请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）
结论1圆是轴对称图形，
2它有无数条对称轴，
3经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
创设情境
引入新知
（二）
动手实践，合作探索
一、动脑想一想（出示幻灯片）
1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？
2我们学过图形中轴对称图形有哪些？
它们各有几条对称轴呢？
3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
学生踊跃回答问题
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
培养学生的灵活运用能力。
总结规律，使学生把知识归入体系。发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。