垂径定理

学校
十七中
教师
樊熙玲
课题
22.3垂径定理
课型
新课
课时
第一课时
教学方法
小组合作,探索交流
教材
人教版第22章
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
通过实际问题的结决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为生活所用。
（五）PK知识大舞台
（六）
知识梳理
五、赛一赛，谁最快
（1）判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
（2）判断下列语句是否正确。
平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（）
‚平分弦的直线，必定过圆心。Hale Waihona Puke Baidu）
ƒ一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。
二、动手折一折
请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）
结论1圆是轴对称图形，
2它有无数条对称轴，
3经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点
1垂径定理以及推论的证明，
2垂径定理的简单应用，
教学难点
垂径定理的简单应用
教学用具
多媒体,投影仪
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
（一）
（七）
课后
作业
三级跳的中与垂径定理有关的内容
（八）
板书设计
垂径定理
1垂径定理内容2垂径定理推论的内容3垂径定理常用的图形
书写格式书写格式
定理用途定理用途
创设情境
引入新知
（二）
动手实践，合作探索
一、动脑想一想（出示幻灯片）
1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？
2我们学过图形中轴对称图形有哪些？
它们各有几条对称轴呢？
3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
书写格式：（1）∵AE=BE，，CD⊥AB
∴CD过圆心，
命题2实质：条件（2）+（4）==>结论（1）（3）（5）
书写格式：（2）∵CD是直径，，
∴CD⊥AB，AE=BE，
上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，，
实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。
垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，
1用三角形全等
2等腰三角形“三线合一”
当把圆折叠时：
1两个半圆重合
2 AE、BE重合
3两段小弧各自重合。
让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。
通过折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。
（四）
齐心合力攻克难关
垂径定理的条件，
1）垂直于弦2）一条直线过圆心
垂径定理结论：3）平分弦4）平分劣弧5）平分优弧
∵AE=BE
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
∵CD是直径
∴（垂径定理）
思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理推论的实质：
条件（2）+（3）===>结论（1）（4）（5）
书写格式：（1）∵AE=BE，CD为过圆心的直线，
1圆是轴对称图形
2垂径定理及推论。
3垂径定理的书写格式和用途。
4你掌握了------？
5你有哪些困惑------？
学生积极动脑参与，共同学习新的知识
学生总结本节课的内容，提出知识要点。
赛一赛环节使学生进一步熟悉垂径定理的使用条件。并把所学的知识纳入已有的知识体系。
学生自己整理知识，有利于他们完善自己的数学体系，也有利于提高他们的整合知识的能力和概括能力。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-----？
学生答案1：它的直径。、
学生答案2：经过圆心的直线
由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.
回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，
通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，
条直线垂直这条弦。（）
④)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（）
⑤平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（）
⑥弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（）
（3）看图填空：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴
‚∵CD是直径，AE=BE
∴，
ƒ∵AE=BE，CD⊥AB
∴
④∵CD是直径，
∴
（4）你能画出使用垂径定理的相关图形码？
本节课我们都学习了哪些内容？
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程
闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。
学生说出两个命题的题设和结论，并进行简单的证明。
学生小组讨论后回答。
学生归纳出垂径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础
连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？
你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生
口述证明方法）
由折纸活动，学生很容易找出相等关系：
AE=BE,
学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。
学生想到连结半径OA，OB,并且有OA=OB。
定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。
书写格式：∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB
∴AE=BE，
垂径定理实质：
条件（1）+（2）===>结论（3）（4）（5）
（四）例题分析
例1已知：在⊙O中，直径CD
交弦AB于点E，AE=BE，
求证：CD⊥AB，
证明：联结半径AO,BO，
∵半径AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
学生踊跃回答问题
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
培养学生的灵活运用能力。
总结规律，使学生把知识归入体系。发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。