垂径定理(1)

证形明．：∵OE⊥AC OD⊥AB AB⊥AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
C
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
E
·O
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形. A
D
B
3、已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D 两点图，中A相B等=8的cm线,C段D=有3c:m,大
３、 如图(3)，⊙O中，弦AB⊥直线CD于
点Ｅ，则AＥ=BＥ
４、 如图(4)，⊙O中，︵弦AB⊥︵半径ＯD
于点Ｅ，则AＥ=BＥ，ＡＤ＝ＢＤ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
ＡＥ
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
Ｏ ＥＢ
Ｄ 如图（4）
解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用 A⌒B 表示主桥 AB 拱，设A⌒B所在圆的
Ａ
Ｅ Ｂ
转化,形成整体, 才能运用自如.
Ｄ
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒
⑤AD=BD.
垂径定理的推论
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与A⌒B 相交于点C，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB 的中⌒点，CD 就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
C
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A OA2=AD2+OD2
为什么？
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证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
O.
即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作
A
CE
D
B
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂 直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方
可以发现：
圆是轴对称图形，何
一条直径所在直线都
●O
是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对
称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？
为什么？
C
（1）圆是轴对称图形．直径
CD所在的直线是它的对称轴
·O
（2）线段：AE=BE
圆的半径为５cm，求小圆
O.
A CE D B
的半径。
A
4、:如图，CD为圆O的
直径，弦AB交CD于E，
M
∠CEB=30°，DE=9㎝， D CE=3㎝，求弦AB的长。
E C
O B
练习１
：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
A
练习2 :在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 A ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ，
P
B
O
2.已知：如图，在以O为圆心的两
个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。你认为AC和BD有什么关系？
求圆O的半径。
A
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中，任
意知道两个量，可根据 垂径 定理
求出第三个量：
E
O D
B E C
O D
B C C
O
A
B
小结
１、圆是轴对称图形，何一条直径所在直 线都是它的对称轴．
２、垂径定理及其逆定理的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
③ AM=BM,
C
A M└ ●O
B 你可以写出相应的命题吗? 并证明它。
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推 得
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
·O
E
A
B
D
１、︵ 如︵图(1)，⊙O中，弦AB⊥弦CD于点Ｅ， 则AＣ=BＣ ２Ａ、Ｂ交如于图点(Ｅ2)，Ｃ则ＤA是Ｅ直=B径Ｅ，，AA︵ＣB是=B弦︵Ｃ，CD交
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
试一试P93 11
挑战自我画一画
▪ 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一 条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
A
B ●M
●O
E
A
B
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
D
已知：AB是弦，CD是直径，
CD⊥AB
结论：AE=BE
Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ A
你能用语言表示上述结论吗？
C
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆中
一个重要的结论,
Ｏ
垂径定理： 三种语言要相互
D B
即
R2=18.72+（R－7.2）2
R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活动三
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：过 结点OAO作1 OE⊥A1B于点E,连A
E
B
AE AB 8 4 22
·
O
在Rt △ AOE 中
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我 国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳 与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？