垂径定理(1)

根据已知条件进行推导：
C
A M└
B
●O
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
你可以写出相应的结论吗?
D
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
垂直于弦的直径 ———（垂径定理）
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对 称轴是什么？ 可以发现：
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
讲解 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径
C
CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
B
O
(1)题
C
A
8
D
12
B
O
(2)题
方法归纳:
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
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D D
O
AE
B
C
你会用逻辑推理的方法证明这 一结论吗？
C
已知，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB,垂足为E,求证：AE=BE,
.O
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
A
E
B
D
垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
ACDE⊥=BABE
CD⊥AB
结论
⌒⌒ A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
驶向胜利 的彼岸
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
E
B
.
O
解：连接OA，作OE AB于E. 1
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。