垂径定理1
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连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E
O•
H
B
C
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
AO2=OE2+AE2 AB=2AE
例
如图，弦AB长8cm，圆O的直径为10cm，求 圆心o到弦AB的距离
连接OA
作OD垂直于AB
交AB于点D
o
A
D
B
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450
∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个
注意：平分弦时，直径除外
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦所
对的另一条弧 。
4.在同圆中,两条平行弦所夹的弧相等 。
A
B
C
D
E
wenku.baidu.com
F
垂径定理的应用
结合垂径定理和勾股定理进行圆内半径、 弦长和弦心距的计算。
垂径定理
程晓雯
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
C
O• N
E
A
M
B
D
例2图
见word版本
练习题
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E
O•
H
B
C
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
AO2=OE2+AE2 AB=2AE
例
如图，弦AB长8cm，圆O的直径为10cm，求 圆心o到弦AB的距离
连接OA
作OD垂直于AB
交AB于点D
o
A
D
B
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450
∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个
注意：平分弦时，直径除外
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦所
对的另一条弧 。
4.在同圆中,两条平行弦所夹的弧相等 。
A
B
C
D
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F
垂径定理的应用
结合垂径定理和勾股定理进行圆内半径、 弦长和弦心距的计算。
垂径定理
程晓雯
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
C
O• N
E
A
M
B
D
例2图
见word版本
练习题