高等数学函数极限概念
高等数学第3章第1节函数极限的概念.
第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。
大一高等数学知识点极限
大一高等数学知识点极限极限是大一高等数学中重要的概念和工具之一，它在微积分和数学分析中经常被应用。
在这篇文章中，我们将讨论大一高等数学中的一些重要的极限知识点。
1. 数列极限在数列极限中，我们研究的是数列中的元素逐渐趋向于某个确定的值。
数列极限可以写作：limn→∞(an) = L，其中an为数列中的第n个元素，L为极限值。
在求解数列极限时，我们可以使用数列的性质或者根据数列的定义进行分析。
例如，对于等差数列an= a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，我们可以通过观察数列的特点得出极限值为L = a1。
2. 函数极限函数极限是研究函数在某一点或无穷远处的趋势。
函数极限可以分为左极限和右极限，分别表示函数在该点左侧和右侧的趋势。
函数极限可以写作：limx→a f(x) = L，表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
计算函数极限时，我们可以利用极限的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。
3. 极限的性质极限有着一些基本的性质，这些性质为我们求解极限提供了一些便利。
首先，极限是唯一的，即函数或数列的极限只可能有一个值。
其次，如果一个函数在某一点的左右极限存在且相等，那么该函数在该点处的极限也存在，并等于左右极限的值。
另外，极限具有保序性，即如果数列或函数在某一点处的极限存在，那么它们将保持相对大小，即保持极限过程中的大小关系。
4. 极限的应用极限在数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过研究函数的极限，我们可以推导出导数和积分的定义，并进一步应用于解决实际问题。
另外，极限也可以用于求解方程的根，例如通过Newton-Raphson迭代法求解非线性方程的根。
在数理统计和概率论中，极限也被频繁使用，如大数定律和中心极限定理等。
综上所述，大一高等数学中的极限是一个重要的概念，它广泛应用于微积分、数学分析以及其他数学领域。
通过深入理解和掌握极限的概念、性质和应用，我们可以更好地解决数学问题，并推动数学的发展与应用。
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
大一高数极限知识点总结
大一高数极限知识点总结一、定义和性质高等数学中，极限是一种重要的概念，被广泛应用于微积分和数学分析。
理解和熟练掌握极限的定义和性质对于学习高等数学至关重要。
1. 无穷小量和无穷大量在研究极限时，无穷小量和无穷大量是两个常用的概念。
2. 极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当 x 由点 x0 接近时，不等式 0 < |x-x0| < δ 总是成立，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处极限存在，记为lim┬(x→x0)〖f(x)=A〗。
3. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括唯一性、四则运算性质、和函数复合性质等。
二、极限的计算方法掌握极限的计算方法是学好高等数学的关键之一。
1. 用直接代入法计算极限当函数在极限点附近有定义时，可以通过直接将极限点代入函数来计算极限。
2. 用夹逼准则计算极限如果一个函数在某个点的附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限都为 A，那么待求函数的极限也是 A。
3. 分段函数的极限计算对于分段函数，我们可以分别计算每一段的极限，然后综合起来得到整个函数的极限。
三、常见的极限在高等数学中，有一些常见的极限形式是我们必须掌握的。
1. 无穷大与无穷小当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限可能为无穷大或无穷小。
2. 0/0 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是 0/0 型，那么我们通常要进一步进行简化或者换一种计算方法来求解。
3. ∞/∞ 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是∞/∞ 型，那么我们通常需要进行一些数学变换或者化简来求解。
四、高阶极限除了一阶极限外，高阶极限也是高等数学中的重要内容。
1. 一阶无穷小与高阶无穷小一阶无穷小是指函数 f(x) 在某一点处的极限等于 0，而高阶无穷小是指函数 f(x) 在该点的极限为 0，且比一阶无穷小更快地趋近于 0。
关于大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的； 则它必定存在反函数：y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加 ；若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少 ；若fx 1＜fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加 ；若fx 1＞fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性：Df 关于原点对称 偶函数：f-x=fx 奇函数：f-x=-fx3.函数的周期性：周期函数：fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |fx|≤M , x ∈a,b ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c , c 为常数2.幂函数： y=x n , n 为实数3.指数函数： y=a x , a ＞0、a ≠14.对数函数： y=log a x ,a ＞0、a ≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时,)(x f 的极限：⑵当0x x →时,)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指：2．无穷小量：)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．无穷小量的比较：lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 点x 0除外有：且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点：)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得：cf=)(ξ,其中：Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得：0)(=ξf ;4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数：)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中：)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即：0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作：2.导数与微分的等价关系： 定理：)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且：)()(x A x f ='3.微分形式不变性：不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理：)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则：∞∞,型未定式 定理：)(x f 和)(x g 满足条件：1o）或）或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ；2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ；3o）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则：）（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即： 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型；若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程：设：),(),(00y x M x f y =切线方程：))((000x x x f y y -'=-法线方程：)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性：⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒3.函数的极值： ⑴极值的定义：设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点；若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有：则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件：定理：)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。
1-3 高等数学—函数极限的概念与性质
二、用函数极限的定义 证明： 1 4x2 1、 lim1 2 x 2 2 x 1 sin x 2、 lim 0 x x
三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 . x 四、讨论：函数 ( x ) 在 x 0 时的极限是否 x 存在?
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x 0 时, 就有 2 , x 1
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
x0
例如,
x0 x0
y y 1 x
y x2 1
1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0; x从右侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0;
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.
x 0
二、函数极限的性质
高数极限知识点
高数极限知识点高数极限是高等数学中的重要概念，也是十分复杂的概念。
极限描述的是某个量随着另一个量的变化而变化时，这两个量之间的关系会趋向于某个确定值。
极限本质上是一种抽象观念，它可以帮助我们理解函数给定一定语境下变化的趋势，以及它们接近某个特定值时的情况。
直观地，极限可以通过简单的图形来理解：如指定一定区域内函数f(x)的图象，当x趋近某个数字时，函数的值也会趋近于一定数值，它们也就是极限。
求解极限的常用方法有多种，包括定义域、一阶导数检验法、无穷小分析法、泰勒展开式法和函数等价法等方法，选择方法要视具体Resource情形而定，但都是以让某个量在另一个量取某个数时其值趋近于一定数值为目标实现的。
定义域是求取极限的基本方法，它的思路是：函数实际可以被表达成多个分段的函数的拼接，当x取某个值时它其可能落在不同段，因此首先要确定它的定义域，也就是确定x取多少时，函数的值取多少。
一阶导数检验法是建立在定义域的基础上的，它把求解极限看作是求某一函数的极值问题，通过对函数进行导数求值，给出了极值处x的取值，从而求得了极限值。
无穷小分析法是用来求解连续函数极限的一种方法，它应用了无穷小的概念，引进了增量eps让函数取某个值时离该值越来越近，当eps到一定程度时，函数值又取得精确值。
这种方法只适合求有限的极限，如果要求的极限是无限的，则不能用这种方法。
泰勒展开式法，即利用泰勒展开式来求解极限，它说明了任意一个函数在某个点附近的变化趋势，在某个无穷小范围内它的增量可以用下式表示：f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + R。
在这里f'(p)为函数在x=p处点导数，后面的R代表余项，当余项R趋近于0时，函数也趋近于先前求出的函数点导数，即f'(p)，因此可以求出函数的极限。
函数等价法是求极限的一种常用方法，它的思想是将函数进行等价转换，当函数在取得某个值时，这个函数可以转换为另一个函数，并用另一个函数来求解该极限，从而最终获得函数极限的值。
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
高等数学函数的极限
xx 或 f x A.
0
(2) 对函数在一点极限值的认识
极限值与函数值是两种不同性质的“值”的概念。
这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼 此没有直接联系。
• 函数值不存在但极限值存在
2 2 t t 在点 t 0 = 1 没有函数值，但却 例：函数 V t t 1 有极限值，即有 t2 t 2 limV t lim 2. t 1 t 1 t 1
划，于是所论问题就归结为考察，对于取定的 > 0，
当| x - 1 |变得多么小时可使得 | f( x )- 1 |< 成立。
若取 1 = 10 ，即要求有 | f( x )- 1 |< 10 ， 由于 | f( x )- 1 |= |( 2 x - 1 )- 1 |= 2| x - 1 |， 因此只要 x 满足
程，可先通过实例进行考察。
设有函数 f( x )= 2 x - 1，考察其 在点 x 0 = 1 处取得的极限 1 的情形。 f( x )与 A = 1 的接近程度可用绝 对值| f( x )- 1 |的大小来表达， x 与
x 0 = 1的接近程度可用绝对值 | x - 1 |
的大小来表达。 由于 f( x )与 1 无限接近可通过 | f( x )- 1 |< 来刻
0 x 1 1 1 , 2 1 2 10 2 -2 | f( x )- 1 |= 2| x - 1 | < 10 .
-4
-2
-2
就可使
若取 2 = 10 ，即要求有
| f( x )- 1 | < 10 ，则只要 x 满足
0 x 1 1 1 , 2 2 2 10 4 -4 | f( x )- 1 |= 2| x - 1 | < 10 .
高数函数的极限
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能 如
20
定理3’ 若 定理 使当 分析: 分析
A , 则在对应的邻域 若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在 时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节 函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义 从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时， 相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数 这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。 于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的 不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。 设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若 取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限 例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势
大一高数知识点总结概念
大一高数知识点总结概念在大一学习高等数学时，我们接触到了许多重要的数学概念。
这些概念既是我们理解和掌握数学知识的基础，也是我们后续学习更高级数学课程的基石。
下面将对一些大一高数知识点的概念进行总结。
一、函数与极限1. 函数：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
函数可以用公式、图像或表格等形式表示。
2. 极限：极限是函数的重要概念，它描述了自变量趋近于某个值时，函数的因变量的变化情况。
极限可以用符号“lim”表示，例如lim(x→a) f(x) = L。
二、导数与微分1. 导数：导数描述了函数在某一点的变化率。
它是函数在该点的切线斜率，也可以理解为函数图像上某点的瞬时变化率。
导数可以用符号“f'(x)”表示。
2. 微分：微分是导数的一种形式化表示，它表示函数在给定点附近的线性近似。
微分可以应用于函数的近似计算、最优化以及微分方程等领域。
三、曲线与积分1. 曲线：曲线是平面上点的集合，它可以用数学方程或参数方程来描述。
曲线的性质可以通过曲率、弧长等概念进行描述。
2. 积分：积分是导数的逆运算，它描述了函数的累积效应。
积分在计算曲线下的面积、求解微分方程以及计算物理量等方面有着广泛的应用。
四、级数与数列1. 级数：级数是无穷个数的和，可以用数列的和的极限来表示。
级数的求和可以利用收敛性和发散性进行分类。
2. 数列：数列是按照一定规律排列的一组数。
数列的性质可以通过极限、收敛性、发散性等概念进行分析。
五、多元函数与偏导数1. 多元函数：多元函数是自变量有多个的函数，可以用向量表达。
多元函数的极限、连续性和偏导数等概念与一元函数类似。
2. 偏导数：偏导数是多元函数在某一点上关于某一自变量的导数。
它表示了函数在该点上关于该自变量的变化率。
综上所述，这些大一高数的知识点涵盖了函数与极限、导数与微分、曲线与积分、级数与数列以及多元函数与偏导数等重要概念。
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
高等数学中的极限与微分
f的导数的乘积
添加标题
应用：链式法则在求 复合函数的导数时非 常有用，可以简化计
算过程
添加标题
举例：例如，如果f(u) = u^2，u(x) = x^2， 则f'(u) = 2u，u'(x) = 2x，根据链式法则， f'(x) = u'(x) * f'(u)
对数函数的导数与微分形式不变性的应用：在求解对数函数极值、求不定积分等 问题中，可以利用微分形式不变性简化计算过程
添加标题
定义：将一个函数表示为无穷级数的方法
添加标题
应用：近似计算、函数逼近、数值分析等领域
添加标题
展开式形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+...
微分近似计算公式：通过微分近似计算函数在某点的导数，进而求得近似值。 误差估计：利用微分近似计算时，可以估计误差的大小。 近似线性化：利用微分近似将非线性问题转化为线性问题，便于求解。 近似计算在物理中的应用：例如，利用微分近似计算物体的加速度、速度等物理量。
定义：微分中值定理是关于函数在某一点处的导数的等价描述，即函数 在某一点的导数等于该函数在该点处的切线的斜率。
= 2x * 2u = 4x^2
添加标题
注意事项：链式法则 只适用于复合函数的 导数计算，不适用于 高阶导数或偏导数的
计算
乘积法则：两 个函数的乘积 的导数等于两 个函数的导数
的乘积
高等数学1-3-函数的极限
•推论 如果在 x 0 的某一去心邻域内 f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0)
15
首页
上页
返回
下页
结束
铃
8
e
lim( x 2 x) 2.
x 1
注: 与 有关, 但不唯一. 确定 时, 越小越合适.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
x x0
>0 0<|x-x0|< 时, |f(x)-A|<e lim f(x)A 或 fe (x ) A (x>0 x当 0)。
( x -1)2 3| x -1| 2 3 e
因此 lim( x 2 x) 2.
x 1
2 3 e 的正根为 9 4e - 3 2
返回 下页 结束 铃
注: 与 e 有关, 但不唯一. 确定 时, 越小越合适.
7
首页
上页
x x0
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
x x0
>0 0<|x-x0|< 时, |f(x)-A|<e lim f(x)A 或 fe (x ) A (x>0 x当 0)。
例 例 31 证明 lim(2 x -1) 1
x 1
证明 因为e 0 e /2 当0|x-1| 时 有 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数极限的性质
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
大一高数求极限知识点
大一高数求极限知识点在大一的高等数学课程中，求极限是一个重要的知识点。
理解和掌握求极限的概念和方法对于学好高数具有至关重要的作用。
本文将介绍几个大一高数求极限的知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 极限的定义在求解极限之前，我们首先需要了解极限的定义。
对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个确定的值a时，如果随着x的逼近，函数值f(x)趋近于某个常数L，我们就称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 常见的极限运算法则在求极限的过程中，我们可以利用一些常见的极限运算法则来简化计算。
这些法则包括极限的四则运算法则、乘法法则、除法法则，以及幂函数、指数函数、对数函数的极限法则等。
熟练掌握这些法则可以极大地简化极限的计算过程。
3. 无穷大与无穷小在求极限的过程中，我们经常会碰到无穷大或者无穷小的概念。
无穷大指的是当自变量趋近于某个值时，函数值趋于正无穷或者负无穷的情况。
而无穷小则是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋于0的情况。
对于无穷大或者无穷小，我们可以利用它们的性质来求解一些极限，比如利用无穷小的性质进行等价无穷小替换，或者利用无穷大的性质进行洛必达法则的运用等。
4. 一些常用的极限在实际的求极限过程中，有一些常用的极限是我们经常会遇到的。
比如以下几个例子：- lim(x→0) (sinx / x) = 1，这是一个非常经典的极限，也是很多其他极限计算的基础；- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e，这是一个关于自然对数底e的定义；- lim(x→0) (1 + x)^a = 1，可利用泰勒公式进行推导。
5. 极限存在的条件和应用在实际的求解过程中，我们常常需要考虑极限的存在性和极限计算的方法。
一些常见的判断极限存在的条件包括单调有界原理、夹逼定理等。
而在应用方面，求解极限的方法在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
通过对大一高数求极限知识点的学习和理解，我们可以更深入地理解函数的性质和变化趋势。
高等数学-函数的极限
二、自变量的绝对值无限增大时函数值的变化情形.
一、自变量趋向有限值时函数的极限
如果函数 y f ( x ) 在 x x0 ( f ( x ) 在 x0 可以 没有定义,因为 x x0 )的过程中,对应函数值
f ( x ) 无限趋近于确定值 A. 就说 A 是 f ( x ) 当
x
例1 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 要使 f ( x ) A C C 0 成立,
lim C C .
x x0
只要任取 0, 当0 x x0 时, f ( x) A ,
例2 证明 lim x x 0 . 证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A ,
x 0
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
分x 0和x 0两种情况分别讨论
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0 x0
o
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1,
2 x0 x0
因为lim f ( x) lim f ( x) 1, 所以lim f ( x) 1.
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
高等数学函数极限概念
1. x 时, 函数 f ( x) 的极限
定义 0, 若 X 0, 使当 x X 时, 有
| f ( x) a | 成立, 则称函数 f ( x) 当 x 时, 极限存在,
常数 a 为其极限值, 记为
x
lim f ( x) a ,
或记为 f ( x) a ( x ) .
只要 | x 2 x 1 3 | | x 2 x 2 | | x 2 || x 1 | ,
？
如何处理它
这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但
又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时
候开始 x 应充分地接近 1 .
1 1
( •••••
常数 a 为其极限值, 记为
x
lim f ( x) a ,
或记为 f ( x) a ( x ) .
x
lim f ( x) a 的几何意义与 lim f ( x) a 的情形类似 .
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
不妨设 0 x 1 1 , 此时
| x 2| 4,
于是 x3 1 3 | x 2 || x 1 | 4 | x 1 | , x 1
取 min{ 1,
x3 1 3 . x 1
4
} , 则当 0 | x 1 | 时, 有
证
e x e x e x e x 由于 lim x lim x , x x x e e x e e e x e x 故 lim x 不存在 . x x e e
高等数学1.4 函数的极限
成立．因A-e 0， 故f (x)>0．
极限的局部保号性：
定理 1
如果lim f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，那么就存在着点
x x0
点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)>0(或f(x)<0)．
定理 1 如果lim f(x)=A，(A0)，那么就存在着点 x0 的某一 x x0 1 去心邻域，当 x 在该邻域内时，就有|f (x)| > |A|． 2 定理2 如果在x 0 的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且
x +
类似地有 lim f ( x) = A 和 lim f ( x) = A .
x -
讨论：
极限lim f(x)=A、 lim f(x)=A 和 lim f(x)=A．的精确定义如何
x x - x +
叙述？三者之间的关系如何？
极限的精确定义： 设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的 正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x， 对应的函数数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|<e，
1 证明： 因为对e>0，X= ， 使当|x|>X时，有 e 1 -0 <e . x 1 lim = 0 ． 所以 x x
水平渐近线：
1 已知 lim = 0 ． x x
y
1 O 1
1 y= x
x
1 直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线． x
一般地， 如果 lim f ( x) = c ，则直线y=c是函数y=f (x)的
函数极限的通俗定义：
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接 近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我们将得到 x ? ?? 时, 函数的极限.
将图形对称
y
y ? f (x)
y? a??
y? a
y? a??
?X O
X
x
将图形对称过去后 , 你有什么想法 ?
2. x ? ?? 时, 函数 f (x) 的极限
定义 ? ? ? 0, 若 ? X ? 0, 使当 x ? ? X 时, 有
| f (x) ? a | ? ?
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) ? a | ? ? ?? a ? ? ? f (x) ? a ? ?
lim f (x) ? a 的几何意义
x? ??
y
y ? f (x)
y? a ??
y? a
y? a??
O
X
x
当 x ? X 时, a ? ? ? f (x) ? a ? ? , 即函数的图 形夹在两条平行线 y ? a ? ? 和 y ? a ? ? 之间.
第二章 极 限
本章学习要求： ?了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”
语言描 述函数的极限。 ?理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ?理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ?理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。
| x | ? X ?? x ? X 或 x ? ? X (X ? 0)
及极限的三个定义即可证明该定理 .
例1
证明：lim x? ?
1 ? x3 2 x3
?
1 2
.
证 ? ? ? 0,
要
1 ? x3 2 x3
?
1 2
?
?,
即要
1 2 | x |3
? ?, 即
| x|? 1 ,
3 2?
故取 X ? 1 , 则当 | x | ? X 时 , 有
3 2?
1 ? x3 2 x3
?
1 2
??
成立. 由极限的定义可知 :
lim
x? ?
1 ? x3 2 x3
?
1. 2
例2
讨论函数
f
( x)
?
1
1 ? x2
当
x
?
? 时的极限.
解
当| x | 无限增大时 ,
1 ? x2 也无限增大 ,
此时 1 1 ? x2
无限缩小 , 可以小于任意小的正数 . 因而应该有
3. x ? ? 时, 函数 f (x) 的极限
定义 ? ? ? 0, 若 ? X ? 0, 使当| x | ? X 时, 有
| f (x) ? a | ? ?
成立, 则称函数 f (x) 当 x ? ? 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值 , 记为
lim f (x) ? a ,
x? ?
或记为 f (x) ? a (x ? ? ) .
成立, 则称数列 {xn}当 n ? ? 时, 以 a 为极限, 记为
lim
n? ?
xn
?
a
.
数列是一种特殊的函数 : xn ? f (n) n ? Z ? .
而
lim
n? ?
xn
?
a 与 lim x? ??
f (x) ?
a 相当,
故可以从形式进行
推广, 将 xn 替换为 f (x), n 替换为 x , N 替换为 X :
欢迎观看
第二章 极 限
第二节 函数的极限与性质
一. x ? ? 时, f (x) 的极限 二. x ? x0 时, f (x) 的极限
三. 极限定义及定理小结 四. 函数极限的基本性质
一. x ? ? 时, f (x) 的极限
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数
域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形 .
lim
x? ?
1
1 ? x2
?
0.
下面证明我们的猜想 : 由极限的定义, ? ? ? 0, 要
1 1 ? x2
?
0
?
1 1 ? x2
?
1 1 ? x2
?
?
,
证明过程 怎么写？
即要
1
?
?
1
?
x2 ,
?
当? ? 1时,
x?
0,
则
1 1 ? x2
? ? 显然成立 .
?
? 当? ? 1时, | x | ?
1
从数列 与函数 y ?
{ 1
xn} : (x?
xn
?
1 n
(0,??
))
x
的图形可以看出 :
lim 1 ? 0, lim 1 ? 0.
n? ? n
x? ? x
y
y? 1
x
?
?
xn
?
1 n
???????
O 1 2 3? n ? x
如何描述它？
回忆数列 {xn} :
xn
?
1 n
极限的定义：
? ? ? 0, 若 ?N ? 0, 使当n ? N 时, 有 | xn ? a | ? ?
?
?1
时,
1 1 ? x2
?
?
成立
.
这里想得通吗？
? ? ? 0 (不妨设 0 ? ? ? 1) , 取 X ?
1
?
?1,
则当
| x | ? X 时, 有
1. x ? ?? 时, 函数 f (x) 的极限
定义 ? ? ? 0, 若 ? X ? 0, 使当 x ? X 时, 有
| f (x) ? a | ? ?
成立, 则称函数 f (x) 当 x ? ?? 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值 , 记为
lim f (x) ? a ,
x? ??
或记为 f (x) ? a (x ? ?? ) .
成立, 则称函数 f (x) 当 x ? ?? 时, 极限存在, 常数 a 为其极限值 , 记为
lim f (x) ? a ,
x? ??
或记为 f (x) ? a (x ? ?? ) .
lim f (x) ? a 的几何意义与 lim f (x) ? a 的情形类似 .
x? ??
x? ??
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法 ?
y
y ? f (x)
y? a??
y? a
y? a??
?X O
X
x
| x | ? X ? 0 ?? x ? X 或 x ? ? X
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法 ?
y
y ? f (x)
y? a??
y? a
你能否由此得出 一个极限的定义
? X O 和一个重X要的定理 .
y? a??
x
| x | ? X ? 0 ?? x ? X 或 x ? ? X
由于 | x | > X > 0 ?? x > X 或 x < ?X, 所以, x 按绝对值无限增大时 ,
既包含了 x? +? , 又包含了 x? ?? 的情形.
Байду номын сангаас
定理
lim f (x) ? a ?? lim f (x) ? lim f (x) ? a .
x? ?
x? ??
x? ??
由绝对值关系式 :