勾股定理分类、折叠和最短路径问题
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D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
D
C
4
②
A B 2
C1
1
③
A
B
2
C
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
.
练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm 的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要 爬多远？ B
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂 蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到 顶点B的最短距离是多少？
B C
1
C
2
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,来自百度文库D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE A
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
例2、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短 路线长为多少？ 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
1
3
A
5
C
12 B
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m， 高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到 对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 A 分别为a、b，斜边长为c,那么
股b c 弦
a + b = c （也称作勾股定理）
2
2
2
勾＋股＝弦
2
2
2
a C 勾 B 注意变式: (1) a2= c2– b2 a= c2– b 2等. (2)使用前提是直角三角形 (3)分清直角边、斜边 返回
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
.
40
.A
C
50 30
D
. .A
30 50
B
40
B
C D
A
40 30
D
50
C
80 40 8000
2 2
图①
C
50
.B
B
50
. A
40
C
30
D
2
C
40
30 90 9000
2
A 30 D 图②
C
40
30
.B
B
30
.A
D
C 50
C
40
2
50 70
2
D 7400
50
A
图③
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
练习:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为 CE，求三角形ACE的面积
A
B
D
A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
训练:2、如图,把长方形纸片ABCD折叠, 使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。 若AB=3,BC=9.点D对应点是G (1)求BE (2)求△AEF面积 (3）求EF长 (4)连接DG,求△DFG面积
G
A F D
B E
C
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想 到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁 从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 多少？
A 5
2
D1
C1
1
A1
B1
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①
D
C
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②
A B 2
C1
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③
A
B
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A 1 A1
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AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
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练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm 的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要 爬多远？ B
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂 蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到 顶点B的最短距离是多少？
B C
1
C
2
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,来自百度文库D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE A
8 10 10
D
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C
例2、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短 路线长为多少？ 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
1
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A
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C
12 B
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m， 高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到 对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 A 分别为a、b，斜边长为c,那么
股b c 弦
a + b = c （也称作勾股定理）
2
2
2
勾＋股＝弦
2
2
2
a C 勾 B 注意变式: (1) a2= c2– b2 a= c2– b 2等. (2)使用前提是直角三角形 (3)分清直角边、斜边 返回
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
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.A
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图①
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A
图③
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
A
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第8题图
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B
C x Ｄ 8-x
练习:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为 CE，求三角形ACE的面积
A
B
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A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
训练:2、如图,把长方形纸片ABCD折叠, 使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。 若AB=3,BC=9.点D对应点是G (1)求BE (2)求△AEF面积 (3）求EF长 (4)连接DG,求△DFG面积
G
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B E
C
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想 到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁 从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 多少？
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