仰角、俯角练习题

合集下载

解直角三角函数仰角俯角专练家庭作业

家做：1、已知：a ＝6，b ＝23，求∠A 、∠B 、c .2、如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B一侧墙上时，梯子的顶端在D 点。

已知∠BAC=600,∠DAE=450,点D 到地面的垂直距离。

求点B到地面的垂直距离BC.3、在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据 1.732≈≈．）2sin 30cos 45tan 60-⋅+ 45tan 30cos 60sin -201()2sin 3032--+︒+-D E BCA30sin 2°13260tan 1)21(1+︒----—021)453tan 30-+︒-︒212cos 45()12-︒++ ︒-+-︒-30tan 3132)21(30sin 221—22)43()43(x x -=- 31022=-x x()()1211312-=-x x4、如图：矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线AC 、BD 的交点，BC EF ⊥，垂足为F 。

函数x k y =在第一象限经过点A 、E 和点)21,8(，设EF 的长为m 。

（1）求函数xk y =的解析式；（2）求点A 的坐标（用m 表示），若︒=∠45AOB ，求EBF ∠tan 的值。

5、如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB6、如图，直线y= －x+b(b>o)与双曲线y= xk （x ＞0）交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ；有以下结论：①OA=OB ；②△AOM ≌△BON ；③若∠AOB =45°，则S △AoB=k ；④当AB=2时，ON －BN =1;其中结论正确的个数为（写证明过程）7、如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x=(k>0)经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，求反比例函数的解析式。

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-综合题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题专训1、(2018山西.中考真卷) 祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．2、(2019石家庄.中考模拟) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在0B的位置时俯角∠FOB=60°，若OCLEF，点A比点B高7cm．（要求：本题中的计算结果均保留整数。

参考值：≈1．7；π≈3．1）求：（1)单摆的长度；【答案】解：解：设单摆的长度为x．过A作AM⊥OC于点M，过B作BN⊥OC于点N∵OC⊥EF．∴∠COE=∠COF=90°∴∠AOM=∠COE-∠AOE=90°-30°=60°∠BON=∠COF-∠BOF=90°-60°=30°在Rt△AOM中，OM=OA·cos60°= x在Rt△BON中，ON=OB·cos30°= x由题知：MN=7∴ON-OM= x- x=7解得：x=7 +7≈7×1．7+7≈19答：单摆的长度约19cm．（1）从点A摆动到点B经过的路径长．3、(2019丹东.中考模拟) 如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°（1）求证：AB＝BD；（2）求证铁塔AB的高度.（结果精确到0.1米，其中≈1.41 ）4、(2019海宁.中考模拟) 如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度.小聪在A 处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米，已知点A，M，B依次在同一直线上.（1）求钟楼MN的高度，（结果精确到0.1米）（2）因为要举办艺术节，学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）.小聪测得点C处的仰角∠NCM等于75°，小明测得点C，M之间的距离约为5米，若小聪的仰角数据正确，问小明测得的数据“5米”是否正确？为什么？（参考数据： 1.41， 1.73）5、(2014绍兴.中考真卷) 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．6、(2018广州.中考模拟) 如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7、(2016盐田.中考模拟) 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，小凡在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得塔顶F的仰角分别为α和β，AD=18m，CD=78m．（1）用α和β的三角函数表示CE；（2）当α=30°、β=60°时，求EF（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）8、(2019贵阳.中考模拟) 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方6米处的点C出发，沿坡度为i＝1：的斜坡CD前进2 米到达点D，在点D 处放置测角仪DE，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得测角仪DE的高为1.5米.A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.（1）求点D的铅垂高度(结果保留根号)；（2）求旗杆AB的高度(结果保留根号).9、(2019桂林.中考模拟) 如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比），另一段斜坡AD的长400米，在斜坡BD的坡顶D处测得山顶A的仰角为45°（1）求斜坡BD的坡顶D到地面BC的高度是多少米？（2）求BC.（结果保留根号）10、(2017桂林.中考模拟) 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，已知斜坡CD长6 米，坡角∠DCE等于45°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．11、(2018海南.中考真卷) 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG 的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树 BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈14，≈1.7）12、(2018遵义.中考模拟) 为纪念遵义会议80周年献礼，遵义市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．（1）若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？13、(2020铁岭.中考真卷) 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面.（点在同一平面内）（参考数据）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度.（结果精确到1米）14、(2021八步.中考模拟) 如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼的高度，组员小方在处仰望教学楼顶端处，测得，小方接着向教学楼方向前进到处，测得，已知，，.（，）（1）求的值；（2）求教学楼的高度.（结果精确到）15、随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．（1）求仰角的正弦值；（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-填空题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-填空题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题填空题专训1、(2012大连.中考真卷) 如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为________m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．2、(2015阜新.中考真卷) 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________m（结果保留根号）．3、(2017庆云.中考模拟) 如图，从一艘船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC （观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离为________．（精确到1m）【参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7】4、(2019苏州.中考模拟) 如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为________．（结果保留根号）5、(2014嘉兴.中考真卷) 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为________ 米（用含α的代数式表示）．6、(2016宁波.中考真卷) 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为________m（结果保留根号）．7、(2018枣阳.中考模拟) 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为________米（精确到0.1）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）．8、(2019孝感.中考真卷) 如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为60°，点的仰角为45°，点到建筑物的距离为米，则________米.9、(2017黄石.中考真卷) 如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为________米．（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）10、(2017番禺.中考模拟) 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为________．11、(2019宝鸡.中考模拟) 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点处飞机的飞行高度是米，从飞机上观测山顶目标的俯角是，飞机继续以相同的高度飞行米到地，此时观察目标的俯角是，则这座山的高度是________米（参考数据：，，）12、(2017.中考模拟) 如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°，已知tan∠ABC= ，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥BC，则A，B两点间的距离为________米．13、(2020湖州.中考模拟) 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为________米．14、(2021浦东新.中考模拟) 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．15、(2022汕尾.中考模拟) 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为米.（结果保留根号）16、(2021烟台.中考真卷) 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据：，）17、(2021百色.中考真卷) 数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米.18、(2021赤峰.中考真卷) 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为米．(结果保留整数，参考数据，，)19、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是m.20、如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是米.解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。

第02课时仰角、俯角、方位角

1．(5 分)如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B，
C 在同一水平面上)，为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热
气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地俯角为
30°，则 B，C 两地之间的距离为( A )
A．100 3 m
B．50 2 m
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分)
7．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30°，45°，
如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，
则 A，B 两点的距离是( D )
A．200 米
B．200 3 米
C．220 3 米
D．100( 3＋1)米
CED＝60°，sin∠CED＝CCDE ，∴CE＝ sinC6D0°＝ 2
3＋1.5 3 ＝(4＋
3)
2
≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米
11．(14分)(2014·黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为 30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，
三、解答题(共42分) 10．(14分)(2014·钦州)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF 固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30 °，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据： 2 ≈ 1.414， 3≈1.732)

中考数学中档题突破专项训练三解直角三角形的实际应用类型一：仰角、俯角问题

0.81)
( B)
A．16.8 m
B．28.8 m
C．40.8 m
D．64.2 m
2．如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角为30°，3 s后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D 在同一直线上，已知C，D两处相距460 m，求火箭从A处到B处的平均速度．(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
专项训练三解直角三角形的实际应用
类型一：仰角、俯角问题 1．★如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52 m，
坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60 m的点D处向上爬 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度
AB约为(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈
解：由题意，得AD＝4 000 m，∠ADO＝30°， CD＝460 m，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4 000 m， ∠ADO＝30°，∴OA＝12AD＝2 000 m，OD＝ 23AD＝2 000 3 m，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝OD－CD＝(2 000 3－460) m，∴AB＝OB－OA≈1 004(m)， ∴火箭的速度为1 004÷3≈335(m/s)．答：火箭从A处到B处的速度约为335 m/s.

解直角三角函数仰角俯角专题

11、如图，小明用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）1.1如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为．1.2如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。

2、如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30 ，旗杆底部B 点的俯角45 ．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离9B E 米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为米（结果保留根号）．2．1如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60 ，求此保管室的宽度A B 的长．AB CD23、海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．4、如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米，求小岛C 、D 间的距离.（计算过程和结果均不取近似值）5、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据1.414 1.732==）6、如图8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据：2.449=== )Q B CP A45060︒30︒ AC B3。

俯角仰角练习题

俯角仰角练习题1. 某人站在一个高处俯视地面，他把抬头角度称为仰角。

某个点到此人的视线的角度称为俯角。

现假设此人距离地面10米，他的仰角为30度，则与此人眼睛的水平面相交的水平面上的物体A的俯角是多少度？解析：由题可知，此人的仰角为30度，即他的视线与水平面的夹角为30度。

物体A与此人眼睛的水平面相交，因此可以得知物体A的俯角也是30度。

2. 假设有一个物体B位于地面上，并且这个物体的高度为5米。

某人站在地面上，他抬头看着物体B，此时他的仰角为45度。

求此人与物体B视线的夹角，即俯角是多少度？解析：对于此题，我们需要找到与此人所站点与物体B确定的直线的垂直线。

由此可知，此垂直线与地面的夹角即为此人与物体B视线的夹角，即俯角。

根据三角形的性质可知，此垂直线与地面的夹角为45度。

因此，此人与物体B视线的夹角，即俯角为45度。

3. 在一个夜晚，某人站在一个高台上，观察附近的城市夜景。

此人站在一个高度为20米的位置，他的仰角为60度。

他发现城市中心的大楼C的俯角为30度。

请问大楼C的实际高度是多少？解析：根据此题可知，此人的仰角为60度。

由于大楼C的俯角为30度，即大楼C与此人视线的夹角为30度。

我们可以设大楼C的实际高度为H，根据三角形的性质可得：tan(30) = H/20解方程可得：H = 20 * tan(30) = 10√3 ≈ 17.32米因此，大楼C的实际高度约为17.32米。

4. 某人站在一座山上，他的高度为30米，他的仰角为45度。

他注意到山的脚下有一个湖泊D，他估计湖泊D的俯角为60度。

根据此情况，请计算湖泊D的实际宽度。

解析：根据此题可知，此人的仰角为45度。

湖泊D的俯角为60度，即湖泊D与此人视线的夹角为60度。

我们可以设湖泊D的实际宽度为W，根据三角形的性质可得：tan(45) = 30/W解方程可得：W = 30/tan(45) = 30 ≈ 30米因此，湖泊D的实际宽度约为30米。

28.2仰角俯角问题(包含答案)

28.2仰角俯角问题一．选择题（共8小题）1．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B．50m C．50m D．m2．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m3．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米7．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米8．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米 C．米 D．12米二．填空题（共5小题）9．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）10．如图，甲乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为米．11．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=米．12．如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC=米．13．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）三．解答题（共5小题）14．如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）15．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM．下面是两位同学的对话：请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM．（参考数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈）16．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4 ）17．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D 处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）18．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）28.2仰角俯角问题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B．50m C．50m D．m【解答】解：根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，在Rt△ABC中，BC===100（m）．故选A．2．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，∴AB==，即飞机A与指挥台B的距离为2400m．故选：D．3．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20解得：AB=10．故选A．5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==，在Rt△ACG中，tan∠ACG=，∴CG==AG．又∵CG﹣FG=30m，即AG﹣=30m，∴AG=15m，∴AB=（15+2）m．故选：D．6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米【解答】解：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C．7．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．8．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米 C．米 D．12米【解答】解：由于AB=12（米），仰角α=60°，则BC=AB•tan60°=12（米），故选C．二．填空题（共5小题）9．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为137米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD为137米．故答案为137．10．如图，甲乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为（30+10）米．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴BD=AE=30米．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，∴DE=AE•tan∠DAE=30×=10米，在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，得CE=AE=30米，∴CD=CE+DE=（30+10）米，故答案为（30+10）．11．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=100米．【解答】解：∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米．故答案为：100米．12．如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC=58米．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E．根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30．∴DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58米．故答案为：58．13．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是3+9m（结果保留根号）【解答】解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴tan30°=，∴=，∴AD=3m，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=3+9（m）．故答案为：3+9．三．解答题（共5小题）14．如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）【解答】解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10（m）．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．15．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM．下面是两位同学的对话：请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM．（参考数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈）【解答】解：由题意得∠ABC=90°∵∠ACB=45°∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°∴AB=BC设AB=x，则BC=x，DB=20+x在Rt△ABD中∵tan∠ADB=∴tan20°=，∵tan20°≈，∴，x=11.25∵BM=CE=1.5∴AM=11.25+1.5=12.75答：教学楼的高AM是12.75米．方法二解：设BD为x，则BC=x﹣20∵∠ACB=45°，∠ABC=90°∴∠CAB=45°∴AB=BC=x﹣20在Rt△ABD中∵tan∠ADB=，∴tan20°=，∵tan20°=，∴，x=31.25∴BC=31.25﹣20=11.25∵BM=CE=1.5∴AM=11.25+1.5=12.75．答：教学楼的高AM约为12.75米．16．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4 ）【解答】解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，在R t△ADE中，AE===18∴BE=AE﹣AB=18﹣18，在R t△BCE中，CE=BE•tan60°=（18﹣18）=54﹣18，∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米．17．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D 处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）【解答】解：由题意可得，CD=16米，∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，∴CB•tan30°=BD•tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8，∴AB=BD•tan45°=（）米，即旗杆AB的高度是（）米．18．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【解答】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=，∴=，解得，x≈233m．。

仰角、俯角和方位角

变式：沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
300
D 60° F x
E
30°
C
x
B
3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
30米30°
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。（3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。
·
F
·
12
11
10
30°
9
B
·
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里内有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
问题的本质：
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

2021春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形应用(仰角俯角)》达标测评(附答案)

2021春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形应用（仰角俯角）》达标测评（附答案）1．一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E 的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计．已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米．则楼房自身高度EF大约为（）米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．40.8B．33.6C．31.8D．30.62．在西昌卫星发射中心，长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道．如图，火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得的距离是9千米，仰角∠AQP为a，则发射台P与雷达站Q之间的距是（）A．9sin a千米B．9cos a千米C．千米D．千米3．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，在地面D处用高为1米的测角仪测得路灯A的仰角为30°，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯A的仰角为45°（点A，B，C，D，E，G在同一平面内），则路灯A离地面的高度为（）A．3米B．（+1）米C．（+2）米D．2米4．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．（480+300）米B．（960+300）米C．780米D．1260米5．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为（）米（小平面镜的大小忽略不计）A．16.5B．17C．17.5D．186．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（）A．17.8米B．23.7米C．31.5米D．37.4米7．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米，则旗杆的高度AB为（）（结果精确到0.1，参考数据：tan35°≈0.7，tan65°≈2.1）．A．19.8米B．19.7米C．18.3米D．16.2米8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．309．如图，在某居民楼AB楼顶有一广告牌BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个山坡，山坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，山坡坡底D点到坡顶E点的距离DE ＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°，居民楼AB，广告牌BC与山坡DE的剖面在同一平面内，则广告牌BC的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．4.5m B．4.8m C．7.1m D．7.5m10．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝m（计算结果用含根号的式子表示）．11．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．12．如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角，在OB的位置时俯角．若OC⊥EF，点A比点B高7cm．则从点A摆动到点B经过的路径长为cm．13．如图，建筑物的高CD为10m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为45°，旗杆顶部A的仰角β为20°，则旗杆AB的高度为m．（结果精确到0.1m）[sin20°＝0.342，cos20°＝0.940，tan20°＝0.364．]14．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）16．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA 的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为米．17．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是m（结果保留根号）．18．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，则大楼AB的高为米．19．如图，楼房AB建在山坡BC上，其坡度为i＝1：2，小明从山坡底部C处测得点A的仰角为56.35°，已知山坡的高度BD为10米，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度BD与水平宽度CD的比）（结果精确到1米，参考数据：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）20．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．21．某学习小组，为了测量旗杆AB的高度，他们在大楼MN第10层D点测得旗杆底端B 的俯角是32°，又上到第35层，在C点测得旗杆顶端A的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，≈1.73）22．某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面A点观察点D的仰角为60°，观察点C的仰角为45°，灯管安装处D点与太阳能电池板安装处E点在同一水平线上，已知灯管支架CD长度为1.4米，且∠DCE＝53°，求路灯杆BE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.732）23．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A 的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（≈1.7，结果精确到0.1m）24．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．25．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．（1）求气球的高度；（2）求气球飘移的平均速度．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）26．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）参考答案1．解：过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作AJ⊥EF于点J，如图所示：则四边形AHGJ与四边形DCGF都是矩形，∴FG＝CD＝1.8米，AH＝JG，在Rt△AHB中，AB＝7.8米，＝，∴AH＝3（米），BH＝7.2（米），∵∠EBG＝45°，∠G＝90°，∴BG＝EG，设BG＝EG＝x米．则HG＝AJ＝（x+7.2）米，EJ＝（x﹣3）米，在Rt△AEJ中，tan∠EAJ＝≈0.75，∴≈0.75，解得：x≈33.6，即EG≈33.6米∴EF＝EG﹣FG≈33.6﹣1.8＝31.8（米），故选：C．2．解：在Rt△APQ中，cos∠AQP＝，∴PQ＝AQ×cos∠AQP＝9cosα（千米），即发射台P与雷达站Q之间的距是9cosα千米，故选：B．3．解：如图，过点B作BH⊥AG于点H，则∠BHA＝90°．由题意可知：∠ABC＝30°，∠ACH＝45°，BC＝DE＝2（米）．BD＝EC＝GH＝1（米），∵∠CAH＝∠ACH＝45°．∴AH＝CH，设AH＝x，则CH＝x．∴BH＝BC+CH＝2+x．在Rt△ABH中，∠ABH＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x＝+1，即AH＝+1，∴AG＝AH+HG＝+1+1＝（+2）m．答：路灯A离地面的高度为（+2）m．故选：C．4．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960（米）．在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，∴CE＝BC•sin60°＝960×＝480（米）．∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，故选：A．5．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG（AA），∴＝即＝，解得：BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．故选：D．6．解：过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，∵斜坡DE的坡度为1：0.75，∴＝＝，设PD＝3x，则PE＝4x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，∴5x＝10，∴x＝2，∴CH＝BG＝PE＝8，∵∠CFH＝45°，∴△CFH是等腰直角三角形，∴FH＝CH＝8，∴FG＝FH+GH＝12，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），即“览星塔”AB的高度约为31.5米，故选：C．7．解：作CG⊥AF于G，DH⊥CG于H，如图所示：则HG＝DF，FG＝DH，∵楼梯CD的坡度为3：4，CD＝3.5，∴FG＝DH＝2.1，CH＝2.8，在Rt△ACG中，∠ACG＝35°，tan∠ACG＝＝tan35°≈0.7，∴AG≈0.7CG，∴AF＝AG+FG＝0.7CG+2.1，∵DF＝HG＝CG﹣CH＝CG﹣2.8，∴EF＝DF﹣DE＝CG﹣2.8﹣15＝CG﹣17.8，在Rt△AEF中，∠AEF＝65°，tan∠AEF＝＝tan65°≈2.1，∴AF＝2.1EF，∴0.7CG+2.1＝2.1（CG﹣17.8），解得：CG＝28.2，∴AF＝0.7×28.2+2.1＝21.84，∴AB＝AF﹣BF＝21.84﹣3.5≈18.3（米），即旗杆的高度AB约为18.3米；故选：C．8．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．9．解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，如图所示：则GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，∵山坡DE的坡度i＝＝，∴EG＝2.4DG，∵DE＝26m，DE2+EG2＝DE2，∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，∴EF＝EG+GF＝54m，在Rt△CEF中，tan∠CEF＝＝tan27°≈0.51，∴CF≈0.51×54＝27.54（m），∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝30m，∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；故选：D．10．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AC＝2AB，DB＝AB．设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，∵tan∠ACB＝tan30°，∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．∴x＝（50+x）•．解得：x＝25（1+），∴AC＝50（1+）（米）．答：缆绳AC的长为50（1+）米．故答案为：50（1+）11．解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．12．解：如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA＝30°、∠FOB＝60°，且OC⊥EF，∴∠AOP＝60°、∠BOQ＝30°，设OA＝OB＝x，则在Rt△AOP中，OP＝OA cos∠AOP＝x，在Rt△BOQ中，OQ＝OB cos∠BOQ＝x，由PQ＝OQ﹣OP可得x﹣x＝7，解得：x＝（7+7）cm，∴OA＝OB＝（7+7）（cm），∴∠AOB＝90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为＝πcm，答：从点A摆动到点B经过的路径长为πcm，故答案为：π．13．解：由题意得：四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD，BE＝CD＝10m，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，α＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BE＝10m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tanβ＝，∴AE＝10•tan20°，∴AB＝AE+BE＝10×0.364+10≈13.6（m），故答案为：13.6．14．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，故答案为：14°．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．16．解：∠MAN是△ABM的一个外角，∴∠AMB＝∠MAN﹣∠ABM＝30°﹣15°＝15°，∴∠AMB＝∠ABM，∴AM＝AB＝50米，在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，∴MN＝AM＝25米；故答案为：25．17．解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝α，BE＝CD＝30；可得CE＝BE×tanα，∵sinα＝，∴tanα＝，∴CE＝30×＝40．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝30，可得AE＝BE×tan30°＝10．故教学楼AC的高度是AC＝（10+40）m．答：教学楼AC的高度是＝（10+40）m，故答案为：（10+40）m．18．解：如图，过点E作EF⊥AB于点E，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度i BC＝1：，∴BG；CG＝3；4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．故答案为：27．19．解：根据题意可知：∠ACD＝56.35°，BC的坡度为i＝1：2，∵BD＝10（米），∴CD＝20（米），在Rt△ACD中，AD＝CD•tan∠ACD≈20×1.50＝30（米），∴AB＝AD﹣BD＝30﹣10＝20（米）答：楼房AB的高度为20米．20．解：如图所示：由题意可得，EN＝BF＝5米，EN⊥AB，∵α为45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN＝5米，∵tanβ＝＝＝tan60°＝，解得：BN＝5，则旗杆AB＝AN+BN＝（5+5）米．21．解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA交BA于点F．由题意知：∵点D在第10层，点C在第35层，每层楼高为2.8米，∴MD＝2.8×10＝28（米），CM＝2.8×35＝98（米），在Rt△DFB中，∠FDB＝32°，BF＝MD＝28，∴DF＝＝≈≈45.16（米），在Rt△CEA中，∠ACE＝60°，CE＝DF≈45.16，∴EA＝CE•tan∠ACE＝45.16×tan60°≈45.16×1.73≈78.13（米），∵BE＝CM＝98（米）∴BA＝BE﹣AE≈98﹣78.13＝19.87≈19.9（米），答：旗杆AB的高度约为19.9米．22．解：如图，作DF⊥AB于F，设BE的长度为x米，在Rt△DEC中，∠DCE＝53°，∴∠CDE＝90°﹣53°＝37°，∴CE＝CD•sin37°≈0.84，DE＝CD•cos37°≈1.12，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴DE＝BF≈1.12，DF＝BE＝x，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC≈x﹣0.84，∴AB＝BC≈x﹣0.84，∴AF≈x﹣0.84﹣1.12＝x﹣1.96，在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，AF≈x﹣1.96，DF＝x，∴DF＝AF•tan60°，∴x＝（x﹣1.96），解得：x≈4.6，答：路灯杆BE的高度约为4.6米．23．解：设CD＝xm，∵∠ADC＝60°，∠CDB＝45°，∴AC＝x•tan60＝x，CB＝x•tan45°＝x（m），∵∠AED＝30°，DE＝8m，∵∠AEC＝30°，∴CE＝AC，∴×x＝x+8，解得x＝4（m），∴AB＝x+x＝4+4≈10.8（m）．答：该纪念碑AB的高度约为10.8m．24．解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×＝3（米）．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠P AH＝∠TP A＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（3+2a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，在Rt△APH中，tan∠P AH＝，∴＝，解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝4（米），∴AB＝＝＝2（米）．25．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝37°，∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，∴CE＝300（米），答：气球的高度为300米；（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°，∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），∴AE＝CE＝400（米），∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），∴速度为：230÷100＝2.3．答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．26．解：如图，过点D作DF⊥AB于F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴＝＝，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得：CD＝＝5x，又∵CD＝50，∴5x＝50，∴x＝10，∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan30°×DF＝×90＝30（m），∴AB＝AF+FB＝（30+40）m，即此建筑AB的高度为（30+40）m．。

25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题(重难点培优)(原卷版)【沪教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°2．（2019秋•宝山区期末）直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA ＝67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（）A ．俯角67°方向B ．俯角23°方向C ．仰角67°方向D ．仰角23°方向3．（2019秋•徐汇区期末）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A 的距离是（）A ．200米B ．400米C ．2003√3米D ．4003√3米4．（2020•谯城区模拟）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A ．m cotα−cotβ千米B ．m cotβ−cotα千米C．mtanα−tanβ千米D．mtanβ−tanα千米5．（2021•沐川县模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：√3，则大楼AB的高度为（）（精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）A．30.4B．36.4C．39.4D．45.46．（2021•天桥区二模）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°，已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．13.6B．18.1C．17.3D．16.87．（2021•沙坪坝区校级模拟）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米8．（2021•杭州模拟）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6B．11.6C．1.6+5√33D．1.6+5√39．（2021春•重庆月考）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC 走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米B．240米C．250米D．260米10．（2021•渝中区校级一模）为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭，见证了巴蜀走过的风雨历程；助艾亭下的石榴花，阶梯边的蓝楹树，也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量，他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米．从钢板斜坡底的E点向前走16.25米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，助艾亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A；B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9米B．4.6米C．6.4米D．6.1米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•嘉定区期末）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为°．12．（2020秋•徐汇区期末）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．13．（2020秋•普陀区期末）如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米．14．（2021•上海模拟）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为米．15．（2020•金山区二模）如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于米（保留根号）．16．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．（2019•金山区二模）如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．18．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•宝山区二模）图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．20．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：√3，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）21．（2021•北仑区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）22．（2021•海陵区一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．（参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35）（1）求点B到地面的高度；（2）求建筑物CD的高度．23．（2021•滨海新区二模）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D，点E的俯角分别为64°和53°．已知椅面宽BE＝46cm，求椅脚高ED的长（结果取整数）．参考数据：tan53°≈1.33，sin53°≈0.80，tan64°≈2.05，sin64°≈0.90．24．（2021•莱芜区三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6√5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）。

2021年0中考真题解直角三角形的应用仰角俯角问题方向角问题试题解析试卷

2021年中考真题解直角三角形的应用仰角俯角问题方向角问题一．试题（共59小题）1．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B 处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是m（√3≈1.732，结果保留整数）．2．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．3．（2021•黄冈）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）4．（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝米．（结果保留根号）5．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）6．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）7．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A 点测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6m ，且FN FB =12，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）8．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB ，坡面上点D 处放置高度为1.6m 的测倾器CD ，测倾器的顶部C 与树底部B 恰好在同一水平线上（即BC ∥MN ），此时测得树顶部A 的仰角为50°．已知山坡的坡度i ＝1：3（即坡面上点B 处的铅直高度BN 与水平宽度MN 的比），求树AB 的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）9．（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，在地面上取A ，B 两点，使A 、B 、D 三点在同一条直线上，拉姆同学在点A 处测得该建筑物顶部C 的仰角为30°，小明同学在点B 处测得该建筑物顶部C 的仰角为45°，且AB ＝10m ．求建筑物CD 的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m ，√3≈1.732）10．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）11．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24．结果精确到0.1米）12．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）13．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）14．（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）15．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）16．（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）17．（2021•枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）18．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，√2≈1.41）．19．（2021•本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）20．（2021•威海）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°＝0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）21．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠F AM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（√3≈1.73）22．（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：√3≈1.73）23．（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（√3≈1.7，精确到1米）24．（2021•贵阳）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C 在同一平面内）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）25．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN ＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝度，∠AEC＝度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．26．（2021•娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DP A为30°且A与P 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取√3=1.732，√2=1.414）27．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．28．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．29．（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15√3米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2+√3，tan15°＝2−√3．计算结果保留根号）30．（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1m）31．（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]32．（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．（1）求山脚A到河岸E的距离；（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）33．（2021•新疆）如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）34．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈2535．（2021•达州）2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16√3米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，√3≈1.73）36．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）37．（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈25，cos24°≈910，tan24°≈920）38．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A 的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．39．（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2√10米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．40．（2021•成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D（结果精确到1米；参考数据sin33°与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）41．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，√3≈1.73）42．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．43．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是nmile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．44．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C 处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）45．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B 的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，tan22.6°≈512，√3≈1.732）46．（2021•潍坊）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）47．（2021•营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E 处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，√2≈1.4，√3≈1.7，√6≈2.4）48．（2021•呼和浩特）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）49．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）50．（2021•通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：√3≈1.732）51．（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60√2海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．52．（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．53．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4√2km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）54．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+√3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√2海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？55．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）56．（2021•菏泽）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？57．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．58．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．59．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25√2海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．2021年0中考真题解直角三角形的应用仰角俯角问题方向角问题参考答案与试题解析一．试题（共59小题）1．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B 处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是20m（√3≈1.732，结果保留整数）．【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH=12AB＝15m，∵tan∠ABH=AH BH，∴BH=15tan30°=√33=15√3，∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝（15√3+15）m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD=12BC=15√3+152≈20（m）．答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．2．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为（30﹣10√3）米（结果保留根号）．【解答】解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD=√33AB＝10√3（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10√3）m，故答案为：（30﹣10√3）．3．（2021•黄冈）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为24.2m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则BC＝CD，设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD=x+8x，则x+8＝x•tan53°，∴x+8＝1.33x，∴x≈24.2（m），故建筑物BC的高约为24.2m，故答案为：24.2．4．（2021•乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝52√3米．（结果保留根号）【解答】解：设石碑的高度AB的长为x米，Rt△ABC中，BC=ABtan30°=√3x，Rt △ABD 中，BD =AB tan60°=√3， ∵CD ＝5，∴BC ﹣BD ＝5，即√3x x √3=5，解得x =52√3，故答案为：52√3．5．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m ？（2）A 、C 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【解答】解：（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，如图所示：则∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠BAD ＝30°， ∴BD =12AB ＝50（m ），即风筝离地面50m ；（2）由（1）得：BD ＝50m ，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝50°，∵tan ∠BCD =BD CD =tan50°≈1.1918， ∴CD ≈BD 1.1918=501.1918≈41.95（m ），在Rt △ABD 中，∠BAD ＝30°，∵tan ∠BAD =BDAD =tan30°≈0.5774，。

解直角三角形的应用：俯角仰角问题 (解析版)

【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题）1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．(1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）；(2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】(1)52m(2)1.1m/s【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可；（2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论．（1）⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．⊥∠DBA=60°，在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m，=tan∠DBA,⊥ADBD⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)，所以，求热气球A离地面的高度约为52m；（2）过点C作CE⊥BD于点E，如图，则四边形ADEC是矩形，⊥CE=AD=52,AC=DE⊥∠ACB=45°，⊥∠EBC=∠ECB=45°,⊥△BCE是等腰直角三角形，⊥BE=CE=52(m)，⊥BD=30m，⊥DE=BE−BD=52−30=22(m)⊥AC=22（m）⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形．2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：(1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？(2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长．【答案】(1)80√3米(2)AD=800米7【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC；（2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长．（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，⊥AF=BE，EF=AB，在Rt⊥ADF中，AD=140，⊥F AD=30°，AD=70，AF=AD⋅cos30°=70√3，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，=10√3，⊥CE=DEtan60°⊥BC=BE+CE=80√3（米）；（2）设CD=√3x，AD=4x，在Rt⊥ADF中，⊥F AD=30°，AD=2x，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，x，⊥DE=CD⋅sin60°=32⊥DF+DE=EF=100，，解得x=2007⊥AD=4x=800（米）．7【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键．3．（2022·浙江台州·二模）“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN 的长度约为多少米？（结果保留一位小数）．【答案】0.7米【分析】延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=1（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=2.6-1.6=1（米），在Rt⊥ABE中，⊥ABE=30°，⊥BE=√3AE=√3，在Rt⊥ACE中，⊥ACE=45°，=1，∴CE=AEtan45°∴MN=BC=BE−CE=√3−1≈1.73−1≈0.7（米），答：对小明来说，有效测温区间MN的长度约为0.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．4．（2022·浙江台州·二模）2022年2月4日晚，当我国运动员迪妮格尔·衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第24届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式，小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置（点O）观测“大雪花”的顶部A的仰角α为12.8°，底部B的俯角β为15.3°，已知“大雪花”高AB约14.89 m，求小华的位置离“大雪花”的水平距离OC．（结果精确到0.l m，参考数据：tan12.8°≈0.23，sin12.8°≈0.22，tan15.3°≈0.27，sin15.3°≈0.26）【答案】小华的位置离“大雪花”的水平距离OC约为29. 8 m【分析】通过解RtΔAOC和RtΔBOC得AC=OC tan12.8°，BC=OC tan15.3°，再根据AC+BC= AB求出OC的长即可．【详解】解：∵OC⊥AB，∴tanα=ACOC ，tanβ=BCOC，⊥AC=OC tanα，BC=OC tanβ．又AB=14.89 m，且AC+BC=AB∴OC(tanα+tanβ)=14.89,即(0.23+0.27)OC≈14.89，解得OC≈29. 8 m．【点睛】本题考查仰角和俯角的定义，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2022·浙江宁波·九年级期末）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角∠FAB=α，点C处的俯角∠FAC=37°，线段AD的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，tanα=3，BD=25米．(1)求无人机的飞行高度AD．(2)求河流的宽度BC．（参考数据；sin37°≈0.60，cossin37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】(1)75米(2)75米【分析】（1）在Rt⊥ABD中，由锐角三角函数定义求出AD的长即可；（2）在Rt⊥ADC中，由锐角三角函数定义求出CD的长，即可解决问题．（1）由题意得：AF⊥CD，⊥⊥F AB=⊥ABD=α，⊥F AC=⊥ACD=37°，在Rt⊥ABD中，tan⊥ABD=ADBD，⊥tanα=3，BD=25米，⊥AD=BD•tanα=25×3=75（米），答：无人机的飞行高度AD为75米（2）在Rt⊥ACD中，tan⊥ACD=ADCD，⊥CD=ADtan∠ACD =75tan37°≈750.75=100（米），∴BC=CD−BD=100−25=75（米），答：河流的宽度BC为75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．6．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，小刚想测量学校的旗杆AB的高度，他先站在C点处观察旗杆顶端A点，测得此时仰角为45°．然后他爬上三楼站在D处观察旗杆顶端A，此时的仰角为30°．已知三楼的高度即CD=10米．请帮小刚计算求出旗杆AB的高度．（小刚的身高不作考虑，最后结果保留根号．）【答案】旗杆AB的高度为(15+5√3)米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，证明四边形DCBE是矩形，得BE=CD=10米, 设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10，通过解直角三角形ADE即可得到结论．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，⊥∠DEB=90°又∠DCB=∠CBE=90°⊥四边形DCBE是矩形⊥BE=CD=10米，ED=BC⊥∠ACB=45°⊥∠CAB=45°⊥BA=BC设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10在Rt⊥ADE中，tan∠ADE=AEDE⊥x−10x =tan30°，即x−10x=√33解得，x=15+5√3即AB=15+5√3答：旗杆AB的高度为(15+5√3)米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．7．（2022·浙江金华·九年级期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）【答案】37.2米【分析】过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，在Rt△AHF =tan32°≈0.62，列出方程，解方程求解可得AH，根据AB=AH+HB 中，tan∠AFH=AHHF即可求解．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，∵∠ADH=45°，=AH，∴HD=AHtan∠ADH根据题意可得四边形CDFE是矩形，则CE=DF=22,CD=EF=HB=1.3，=tan32°≈0.62，在Rt△AHF中，tan∠AFH=AHHF≈0.62，∴xx+22解得x≈35.9，∵AB=AH+HB=35.9+1.3=37.2（米）答：嵩岳寺塔AB的高度为37.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的使用三角函数是解题的关键．8．（2022·浙江台州·一模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行140米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求她滑行的水平距离BC约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）【答案】138.6米【分析】作DE⊥AB于E于F,DF⊥BC，在Rt△ADE中，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE和DE的长，再根据线段的和差关系求出BE长，再证明四边形EBFD为矩形，求出DF 和BF长，然后在Rt△CDF中计算出CF长，最后求BF和CF长之和即可．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F，在Rt△ADE中，⊥∠DAE=90°−30°=60°，⊥∠ADE=90°−∠DAE=30°，AD=70米，AE=12DE=√3AE=70√3米，⊥BE=AB−AE=100−70=30米，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ABC=90°，⊥四边形EBFD为矩形，⊥BE=DF，DE=BF，⊥DF=30米，BF=70√3米，在Rt△CDF中，⊥∠CDF=90°−60°=30°，DF=10√3米，⊥CF=√33∴BC=80√3≈80×1.732=138.56≈138.6米．答：她滑行的水平距离BC约为138.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知量和未知量相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．9．（2022·浙江台州·一模）如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道AB，在规划中首先需要测量A，B之间的距离．无人机保持离水平道路240m的竖直高度，从点A的正上方点C出发，沿正东方向飞行600m到达点D，测得点B的俯角为37°．求AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）【答案】280m【分析】过点B作BE⊥CD于E，则由矩形性质可得BE的长，在Rt△BDE中，由正切可得出DE的长，即可求得．【详解】解：过点B作BE⊥CD于E，⊥四边形ABEC是矩形，⊥BE=AC=240m，AB=CE，，在Rt△BDE中，tan∠BDE=BEDE≈0.75，即：240DE∴DE≈320m，∴CE=CD−DE≈280m，∴AB=CE≈280m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角形函数以及添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．(1)求点B′到地面的距离；(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；(3)一辆高1.6m，宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：√3≈1.73，π≈3.14，所有结果精确到0.1)【答案】(1)2.8m(2)3.1m(3)汽车能安全通过，理由见解析【分析】（1）过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；（2）根据弧长公式解答即可；（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．（1）解：如图，过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，∵AB′=AB=3，∠BAB′=60°，∴B′E=AB′sin60°=3×√32=3√32≈2.6m，∴B′N=B′E+EN=2.6+0.2=2.8m；（2）∵点C′是点C绕点D旋转60°得到，∴点C经过的路径长为60×π×3180=π≈3.1m；（3）在OM上取MK=0.4m，KF=1.5m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB′于点G，当汽车与BC保持安全距离0.4m时，∵汽车高度为1.6m，∴OF=3−1.5−0.4=1.1m，∵AB//OM，AO⊥OM，∴AH=OF=1.1m，∠AHG=90°，HF=OA=0.2m，∴GH=1.1×tan60°=1.1×√3≈1.903m，∵GH+HF=1.903+0.2≈2.1m>1.6m，∴汽车能安全通过．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）(2)求路段AB的长；（√3≈1.7，结果保留整数）(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当P A过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【答案】(1)4米(2)8米(3)不超速，计算过程见详解【分析】（1）先求出∠PBQ的度数，再利用三角函数求BQ的长；（2）通过做辅助线构造直角三角形P AE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长；（3）通过做辅助线，构造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速．（1）解：∵电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°，∴∠QPB=90∘−70∘=20∘，∵∠PQB=90∘，∴∠PBQ=70∘，∵PQBQ=tan∠PBQ=tan70∘，∴BQ=PQtan70∘≈112.75=4即路段BQ的长为4米．（2）如图，过点A作AE⊥PQ，垂足为E，过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G，∵坡AB的坡比为3：4设BG=4x，AG=3x,在Rt△ABG中，根据勾股定理，AB=√AG2+BG2=5x，∵AE=QG=4x+4，EQ=AG=3x，∴PE=PQ−EQ=11−3x，∵电子眼照射在A处时俯角为30°，∠APE=60∘在Rt△PBQ中，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．(1)如图2，当道闸打开至⊥ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至⊥ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】(1)PF=2米(2)轿车能驶入小区；理由见解析【分析】（1）在Rt⊥PDQ中，由⊥PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，进而求出FP即可；（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案．（1）解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，如图所示：由题意可知，⊥ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt⊥PDQ中，⊥PDQ＝45°，PQ＝1.2−0.2＝1米，∴∠DPQ=90−45°=45°，∴∠PDQ=∠DPQ=45°，⊥DQ＝PQ＝1（米），⊥PF＝EN=AB−DQ＝3−1＝2（米）．（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，则⊥DPQ＝36°，PQ＝1.6−0.2＝1.4（米），⊥DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），⊥PF＝3−1.022≈1.98（米），⊥1.98＞1.8，⊥能通过．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．13．（2022·浙江宁波·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC=100m，坡面AB的坡比为1:0.7（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角∠DBE，∠DBF分别为45∘，28∘．(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）【答案】(1)山脚A到河岸 E 的距离为30m(2)河宽EF的长为88.7m【分析】（1）由坡比可求AC的长，由平行线的性质可知∠BEC=∠DBE=45°，∠CBE=∠BEC=45°，可知CE=BC，根据AE=CE−AC计算求解即可；（2）由题意知∠BFC=∠DBF=28°，由CF=BCtan28°求出CF的值，根据EF=CF−CE计算求解即可．（1）解：⊥坡面AB的坡比为1:0.7，BC=100m，⊥AC=70m，⊥∠BEC=∠DBE=45°，⊥∠CBE=∠BEC=45°，⊥CE=BC=100m，⊥AE=CE−AC=30m，⊥山脚A到河岸E的距离为30m．（2）解：⊥∠BFC=∠DBF=28°，⊥CF=BCtan28°=1000.53≈188.67m⊥EF=CF−CE≈88.7m．⊥河宽EF的长为88.7m．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段的数量关系．14．（上海市闵行区2022-2023学年九年级上期中学期数学试卷）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°．已知测角仪的高AB为√3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离．【答案】3米【分析】过A 作AM 垂直于CD ，垂足为M ，根据含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理求出CM ，根据勾股定理得到DE 的长，由BD 的长减去DE 的长即可求出BE 的长. 【详解】解：如图：过A 作AM 垂直于CD ，垂足为点M ，则AM =BD =6米，MD =AB =√3米，∠AMC =90°， ∵∠CAM =30°， ∴CM =12AC ，∵AC 2−CM 2=AM 2， ∴3CM 2=36， ∴CM =2√3（米）， ∴CD =3√3（米）， ∵CE =6米，利用勾股定理得DE =√CE 2−CD 2=√62−（3√3）2=√9=3（米）， ∴BE =6−3=3（米）．答：测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E ）之间的距离是3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理知识点，掌握仰角俯角的概念及30°的直角三角形直角边与斜边的关系是解题的关键．15．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】八仙阁AB的高度为48米．【分析】证明四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．在Rt△AGE和Rt△AGD中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．【详解】解：由题意得∠DCB=∠EFB=∠GBF=∠BGD=90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．所以BG=EF=CD=1.5米，DE=CF=15.5米，在Rt△AGE中，∠AEFG=∠EAG=45°，则AG=EG．设AG=EG=x米，在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG，则tan37°=xx+15.5，即3(x+15.5)=4x，解得：x=46.5，所以AG=46.5米，则AB=46.5+1.5=48（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2022·重庆南开中学九年级期中）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：√3≈1．73）(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？【答案】(1)BC的高度约为85米(2)小开能在闭馆前赶到图书馆【分析】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，解直角三角形即可；（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．【详解】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，得矩形EFCG，⊥EF=CG，EG=FC，根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，DE=20米，⊥EG=12⊥DG=√3EG=20√3（米），⊥EF=GC=GD+CD=(20√3+30)米，⊥BF=EF=(20√3+30)米，⊥BC=BF+FC=BF+EG=20√3+30+20=20√3+50=85（米），答：BC的高度约为85米；（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263（秒），⊥263<300，⊥小开能在闭馆前赶到图书馆．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．(1)求斜坡CD的高；(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）【答案】(1)10米(2)24.3米【分析】(1)过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i= 1：2.4可设DG=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；(2)由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】（1）解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，⊥斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，BC=CD=26米，⊥DG=x，则CG=2.4x．在Rt△CDG中，⊥DG2+CG2=DC2，即x2+(2.4x)2=262，解得x=10，⊥DG=10米，即：斜坡CD的高为10米；（2）⊥DG=10米，⊥CG=24米，⊥EG=10+0.8=10.8米，BG=26+24=50米．⊥EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，⊥四边形EGBM是矩形，⊥EM=BG=50米，BM=EG=10.8米．在Rt△AEM中，⊥∠AEM=15°，⊥AM=EM⋅tan15°≈50×0.27=13.5米，⊥AB=AM+BM=13.5+10.8≈24.3(米)．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°，且D离地面的高度DE为9米，坡底的长度EA=21米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为45°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.73）⊥DE⊥EC，BC⊥EC，DH⊥BC，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）了如下方案（如图）：⊥在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MCE的度数；⊥在点A 与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MDE的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；⊥量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度AC=BD=1.5米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：(1)写出∠MCE的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40）(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的∠MCE的度数和除以2即可求解；（2）在Rt⊥MDE中，利用仰角⊥MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt⊥MCE中，利用仰角⊥MCE的正切值，可得ME=CE⋅tan⊥MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．（1）=22°，解⊥ ∠MCE的度数的平均值=22.3°+21.7°2答：∠MCE的度数的平均值为22°；（2）解：在Rt⊥MDE中，⊥⊥MDE=45°，⊥⊥DME=⊥MDE=45°，⊥ME=DE，在Rt⊥MCE中，⊥tan∠MCE=ME，CE⊥ME=CE⋅tan⊥MCE，由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，⊥ME=(CD+DE)⋅tan22°=(150+ME)×0.40，⊥ME=100(米)，⊥MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度约为101.5米．（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．【点睛】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．【答案】此气球有9.7米高【分析】由于气球的高度为P A+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程即可解答．【详解】解：设AP=h，⊥∠PFB=45°，⊥BF=PB= h+1，⊥EA= h+6，在Rt△PEA中，P A=AE·tan30°，⊥h=(h+6)tan30°，⊥3ℎ=(ℎ+6)√3，≈8.2米，⊥h=6(√3+1)2⊥气球的高度为P A+AB+FD=9.7米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．22．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如图，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．(1)求⊥BPQ的度数；(2)求树PQ的高度．√3√3测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，5D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）∵在Rt△DCE中，cosα=4，CD=15m，筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B、C、D、E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）【答案】建筑物AB的高度为21.7米．【分析】延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，则四边形BMFC是矩形，首先解直角三角形Rt⊥CDF，求出DF，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题．【详解】解：延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，如图所示：则四边形BMFC是矩形，⊥CF⊥DE，在Rt⊥CDF中，⊥CFDF =43，CF=8，⊥DF=6，⊥CD=√62+82=10，⊥四边形BMFC是矩形，⊥BM=CF=8，BC=MF=20，EM=MF+DF+DE=20+6+40=66，在Rt⊥AEM中，tan24°=AMEM，⊥0.45=8+AB66，解得：AB=21.7（米），答：建筑物AB的高度为21.7米．【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）“太阳鸟”是某市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：信息一：在H处用高1.5米的测角仪BH，测得最高点A的仰角为30°．信息二：在F处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．信息三：测得FH=25米，点D、F、H在同一条直线上．请根据以上信息，回答下列问题：(1)在Rt△ACB中，ACCB =________（填sin30°、cos30或tan30°），⊥ACCB=________．(2)设AC=x米，则CE=________米（用含x的代数式表示）米，BC=________米（用含x 的代数式表示）．(3)“太阳鸟”的高度AD约为多少米？（精确到0.1，√3=1.73）【答案】(1)tan30°，√33；(2)x，（x＋25）；(3)“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【分析】（1）根据锐角三角函数定义及特殊角三角函数值求解即可；（2）易证⊥ACE是等腰直角三角形，四边形EFHB是矩形，可得CE＝AC＝x米，EB＝FH ＝25米，进而可表示出BC的长；（3）根据（1）（2）列式求出AC，然后证明四边形BCDH是矩形，可得CD＝BH＝1.5米，进而可得答案．（1）解：由题意得：在Rt△ACB中，ACCB=tan∠ABC=tan30°，⊥AC CB =√33，故答案为：tan30°，√33；（2）解：设AC=x米，由Rt△ACB可得⊥ACB＝90°，⊥⊥AEC＝45°，⊥⊥ACE是等腰直角三角形，⊥CE＝AC＝x米，由题意得：BH＝EF，BH∥EF，⊥四边形EFHB是平行四边形，又⊥BH⊥FH，即⊥H＝90°，⊥平行四边形EFHB是矩形，⊥EB＝FH＝25米，⊥BC＝CE＋EB＝（x＋25）米，故答案为：x，（x＋25）；（3）解：由（1）（2）可得：xx+25=√33，解得：x=25√3+252，经检验，x=25√3+252是分式方程的解，⊥AC＝25√3+252米，⊥⊥ACB＝90°，⊥⊥DCB＝90°，又⊥⊥D＝⊥H＝90°，⊥四边形BCDH是矩形，⊥CD＝BH＝1.5米，⊥AD＝AC＋CD＝25√3+252＋1.5≈35.6米，答：“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．26．（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图⊥）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图⊥所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正。

解直角三角形(仰角俯角坡度问题)

解直角三角形（仰角俯角坡度问题）1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为300，看这栋高楼底部C 的俯角为600，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为A. 40D. 1602、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB的长为（） A ．12 B ．4米 C ．5米 D ．6米4、（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（）m∠= ，则该山坡的高5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30BC的长为_____米。

6、（2013•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．7、（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）A．m B．m C．m D m8、（2013•牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．9、（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）10、（13年安徽省10分、19）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）11、（2013•白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．12、（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）13、（2013甘肃兰州24）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）14、（2013•毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）15、（2013•六盘水）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°﹣30°）===根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）16、（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．17、（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．18、（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）19、（2013•孝感）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．20、（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．21、（2013•张家界）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）22、（2013•泰州）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）23、（2013•徐州）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）24、（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）25、（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）26、（2013聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？27、（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？28、（2013•泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．29、（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF ；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）30、（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A 点的高度AB 为3米，台阶AC 的坡度为1：（即AB ：BC=1：），且B 、C 、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．31、(2013河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE ︒∠=，新坝体的高为DE ，背水坡坡角60DCE ∠=︒。

课时练习：解直角三角形的应用(仰角、俯角问题)

仰角、俯角问题知识点一与仰角、俯角有关的问题1．如图，在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做；当视线在水平线下方时叫做．2．身高相同的三个小朋友甲，乙，丙放风筝，他们放出的线长分别为300m ，250m ，200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A ．甲的最高B ．乙的最高C ．乙的最低D ．丙的最高3．如图，河对岸有古塔AB.小明在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔前进a m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为β，则塔高是 m.4．小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20m ，这时测得∠CBD=600，若牵引底端B 离地面1.5m ，求此时风筝离地面高度. (计算结果精确到0.1m ，3 1.732≈)知识点二与坡度有关的问题5．如图，坡面的铅直高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i = ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i = ，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡．6．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是．第3题图第5题图第1题图第7题图 7．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（）．A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m8．某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）技能点利用仰角、俯角的概念解决实际问题9．如图，为了对我市城区省级文物保护对象－—高AC约42米的天然塔进行保护性维修，工人要在塔顶A和塔底所在地面上的B 处之间拉一根铁丝，在BC 上的点D 处测得塔顶的仰角α为43°（测倾器DE 高1.6米，A ，E ，B 三点在同一条直线上）．求∠BAC 的度数和铁丝AB 的长．（接头部分的长度忽略不计，结果精确到0.1米．sin43°≈,tan43°≈）10．为庆祝建国六十三周年，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10m 后，又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1m ，参考数据:2 1.414,3 1.732≈≈．）第9题图第10题图 30 B 第8题图参考答案1．仰角俯角2．B3．tan tan tan tan a αββα- 4．18.8m.5．h ltan α6．7．A8．9．因为BC ∥EF ，所以∠AEF ＝∠B ＝43°，又∠ACB ＝90°，所以∠BAC ＝90°－43°＝47°，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝42AB，所以AB ＝42÷sin43°≈42÷≈(米).因而∠BAC ＝47°，铁丝的长度是61.8米. 10．在Rt △BCD 中， tan 451CD BC ==，∴CD BC =．在Rt △ACD 中，tan 30CD AC ==∴CD AB BC =+．∴10CD CD =+．∴3CD =+．∴513.666CD +===≈（m ）． ∴条幅顶端D 点距离地面的高度为13.66 1.4415.1+=（m ）．。

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-单选题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-单选题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题单选题专训1、(2019南关.中考模拟) 数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国如图所示，在处没得旗杆顶端的仰角为，到旗杆的距离为米，测角仪的高度为米，设旗杆的高度为米，则下列关系式正确的是（）A .B .C .D .2、(2018吴中.中考模拟) 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A .B .C .D .3、(2017苏州.中考模拟) 如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°．已知楼高AB=9m，则旗杆CD的高度为（）A . mB . mC . 9 mD . 12 m4、(2017苏州.中考模拟) 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（）A . （35 +55）mB . （25 +45）mC . （25 +75）mD . （50+20）m5、(2019杭州.中考模拟) 如图，从白塔山山顶A外测得正前方的长江两岸B、C的俯角分别为30°，75°，白塔山的高度AD是600m，则长江的宽度BC等于（）A . 300（+1）mB . 1200（﹣1）mC . 1800（﹣1）mD . 2400（﹣1）m6、(2016长沙.中考模拟) 如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（）A . 164mB . 178mC . 200mD . 1618m7、(2019山东.中考模拟) 如图，小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C 的俯角为a，A处到地面B处的距离AB=35m，则两栋楼之间的距离BC(单位：m）为（）A . 35tanαB . 35sinαC .D .8、(2018益阳.中考模拟) 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A .B .C .D .9、(2019海珠.中考模拟) 某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米，＝1.732）.A . 585米B . 1014米C . 805米D . 820米10、(2017越秀.中考模拟) 如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A . 200米B . 200 米C . 220 米D . 100（）米11、(2017南宁.中考模拟) 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E 处测得观光塔顶端A的仰角为60°，则观光塔AB的高度是（）A . 50米B . 100米C . 125米D . 150米12、(2017渝中.中考模拟) “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带，预计2017年底竣工通车，图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度为1：2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面高度EF=700米，则隧道BC段的长度约为（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98）A . 2100B . 1600C . 1500D . 154013、(2018重庆.中考真卷) 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A . 12.6米B . 13.1米C . 14.7米D . 16.3米14、(2020南宁.中考模拟) 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A . 5.1米B . 6.3米C . 7.1米D . 9.2米15、(2013绵阳.中考真卷) 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A . 20米B . 10 米C . 15 米D . 5 米16、(2011绵阳.中考真卷) 周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A . 36.21米B . 37.71米C . 40.98米D . 42.48米17、(2017蒙自.中考模拟) 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A . 300B . 900C . 300D . 30018、(2019长春.中考模拟) 如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为，若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（精确到，参考数据：，，）（）A . 8.5米B . 9米C . 9.5米D . 10米19、(2019长沙.中考模拟) (2018·商河模拟) 如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为30°，则电线杆 AB 的高度为（）A .B .C .D .20、(2020重庆.中考真卷) 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E 在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A . 23米B . 24米C . 24.5米D . 25米21、(2020重庆.中考真卷) 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C 点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A . 76.9mB . 82.1mC . 94.8mD . 112.6m22、(2020涪城.中考模拟) 如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（）米A .B .C .D .23、(2020重庆.中考模拟) 如图，小明站在某广场一看台C处，从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21°，若CD=1.6米，BC=1.5米，BC平行于地面FA，台阶AB 的坡度为i=3：4，坡长AB=10米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为(参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38)( )A . 8.8米B . 9.5米C . 10.5米D . 12米24、(2021章丘.中考模拟) 保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37°，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22°，则塔高为（）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）A . 18.3米B . 19.3米C . 20米D . 21.2米25、(2021房.中考模拟) 小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在处测得顶端的仰角∠ ＝，到旗杆的距离＝5米，测角仪的高度为1米，则旗杆的高度表示为（）.A . 5 ＋1B . 5 ＋1C . 5 ＋1D . ＋126、(2021苏州.中考模拟) 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A . mB . mC . mD . m27、如图，小明在Р处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，，，若斜面AB坡度为，则斜坡AB的长是（）A . 10mB . 20mC . 30mD . 40m28、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）米．A . 7tanαB .C . 7sinαD . 7cosα29、无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界。

九年级数学上册专题突破讲练解决仰角、俯角问题试题(青岛版)

解决仰角、俯角问题仰角、俯角1. 铅垂线：重力线方向的直线；2. 水平线：垂直于铅垂线的直线；3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。

OC D水平线方法归纳：（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。

总结：1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。

2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。

例题我国为了维护对钓鱼岛（点P ）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。

在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC ＝5000m 。

轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°。

试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）。

解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF 和△PDG 中分别求出BF 、GD 的值，由BF ＋FG ＋DG 求BD 的长。

答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F 、G ，由题意得：AF ＝PG ＝CE ＝5000m ，FG ＝AP ＝20km ，在Rt△AFB 中，∠B＝45°，则∠BAF＝45°，∴BF＝AF ＝5。

∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，在Rt△PG D 中，tan∠D＝GP GD ，即tan30°＝5GD ，∴GD＝53，则BD ＝BF ＋FG ＋DG ＝5＋20＋53＝25＋53（km ）。

答：飞机的飞行距离BD 为25＋53km 。

点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。

湘教版数学九年级上册_课时作业：第1课时_仰角、俯角相关问题

4.4第1课时仰角、俯角相关问题一、选择题1．如图1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E 在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是()A．500sin55°米B．500cos35°米C．500cos55°米D．500tan55°米图1图22.如图2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米.2≈1.414)() A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米3．如图3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A．60° B．45° C．15° D．90°图3图44.如图4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度(E，C′，A在同一水平线上)，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()A．20 3 B．30 m C．30 3 m D．40 m二、填空题5．如图5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)图5图66.如图6，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得顶端A的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)三、解答题7．小亮在某桥附近试飞无人机，如图7，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为60°，30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD约为多少．(精确到0.01米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图78．如图8，小明在教学楼A处分别测得对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长约为多少．(精确到1 m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图89．如图9，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A 距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度BE及彩旗的长度AE(精确到0.01 m)；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．(参考数据：cos31°≈0.857，tan31°≈0.601，cos19°≈0.946，tan19°≈0.344，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839)图910．图10是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的点O处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.732.结果精确到0.01米)图10一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同的旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．图11详解详析[课堂达标]1．[解析] C∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°.∵∠D＝55°，∴∠E＝90°.在Rt△BED中，BD＝500米，∠D＝55°，∴ED＝500cos55°米．故选C.2．[解析] C过点B作BF⊥CD于点F，过点B′作B′E⊥BD于点E.由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF＝45°，∴∠BDC＝45°，∠BDB′＝∠B′DC＝22.5°，∴B′E＝B′F.∵∠EBB′＝45°，∠BEB′＝90°，∴B′E＝B′F＝22BB′＝10 2米，∴DF＝BB′＋B′F＝(20＋10 2)米，∴DC＝DF＋FC＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C.3．[解析] C在Rt△ACB中，∵sin∠CAB＝BCAC＝3 26＝22，∴∠CAB＝45°.在Rt△AC′B′中，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC＝3 36＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C.4．[答案] B5．[答案] 100 2[解析] 连接AN.由题意知，BM⊥AA′，BA＝BA′，∴AN＝A′N，∴∠ANB＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB＝22.5°，∴∠MAN＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN＝MN＝200米．在Rt△ABN中，∠ANB＝45°，∴AB＝22AN＝100 2(米)．故答案为100 2.6．[答案] 137[解析] 设AB ＝x 米．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝ BC ＋CD ＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即xx ＋100＝33，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137. 7．解：由题意，得AE ∥CD ，∴∠ACD ＝∠EAC ＝30°，∠ABD ＝∠EAB ＝60°. 设AD ＝x 米．在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ADCD，∴CD ＝3x 米．在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴BD ＝33x 米． ∵CD －BD ＝BC ，BC ＝30米，∴3x －33x ＝30，解得x ＝15 3≈25.98(米)．答：无人机飞行的高度AD 约为25.98米．8．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E.∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE ，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31·tan 31°≈18.63(m )，AE ＝AB cos 31°＝31cos 31°≈36.17(m )，则甲楼的高度BE 约为18.63 m ，彩旗的长度AE 约为36.17 m .(2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°≈18.63，解得x≈37.64，则DG≈37.64·tan 40°≈31.58(m )．答：乙楼的高度约为31.58 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.64 m . 10．解：(1)过点M 作MN ⊥AB 交BA 的延长线于点N. ∵OM ＝1.2米，∠MON ＝60°， ∴ON ＝OM·cos 60°＝0.6米，∴点M 到地面的距离＝ON ＋OB ＝0.6＋3.3＝3.9(米)．(2)能．根据题意可得货车的右端应该在图中点E 处，过点E 作EF ⊥BC ，交OM 于点F ，过点O 作OG ⊥EF 于点G.此时BE ＝3.9－(2.55＋0.65)＝0.7(米)，∴EF ＝GE ＋FG ＝3.3＋0.7·tan 30°≈3.704(米)，∵3.704＞3.5， ∴该货车能安全通过．[素养提升]解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12AB ＝t cm ，BD ＝32AB ＝3t cm .在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC ＋∠BAM ＝45°，∴MD ＝AD ＝t cm . ∵BM ＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20，解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )．答：AB 的长为40 cm .(2)如图②，当光线旋转6秒时，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN ＝15°×6＝90°. 在Rt △ABN 中，BN ＝AB cos 30°＝4032＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N距点B 80 33 cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需120÷15×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C ：8 s ，C→Q ：6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33 cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm )，∴光线AP 旋转2030秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33cm 处．。