常微分方程数值解及其Matlab实现

3.学位论文 陈钊 高振荡微分方程的对称数值解法 2008
高振荡微分方程是指其解具有高振荡性的一类微分方程，在分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面有着广泛的应用。因此，研究其 数值解法具有重要意义。然而对于高振荡微分方程，一般的数值解法难以给出好的计算结果。
设计数值计算格式的一个基本想法是数值解法保持原问题的基本特征。对于Hamilton方程，Hamilton函数(通常表示能量)为守恒量。按照上述原则 ，数值解法也应较好地保持这一性质。
ｊ或＋·２虬＋６（¨一２＿７＂）
（３）
ｌｎ＋，＝虬＋Ⅱ（¨一２矗／％）＋（只＋。一２矗／只＋．）］，２
定理改进尤拉法的精度是二阶的． 证明对（３）作如下变形
ｆ％＋。＝％＋向（＾十如）／２ ｛毛＝厂（＿，儿） ． 【屯＝厂（‰。Ｍ＋饨）
基金项目，目孪自燕科学基仝啊目膏助（批准号。７０３７１０６３） 作者简介－武瑞蝉，士，讲师。主薹研宽期碱为复杂康垃、并行计算午
２．２根据数值解法的思想编程实现
对于一阶微分方程的初值问题
』ｙ’一砂２（ｏ≤ｘ≤５）
（６）
、
７
ｌｙ（ｏ）＝２
运用改进尤拉法和四阶龙格库塔法求解程序如下：
（”改进尤拉法
建立如下Ｈ文件：
一
Ⅱ＝Ｏ：
６＝５：
月＝１２０：
Ｍ＝０：
ｙ＂＝２；
矗＝（６一日）／一； 向，，＝ｌ：以 ｙｐ＝”一ｈ’ｘＨ＋ｙｎ’ｙ％ ｘｎ＝Ⅺｌ十ｋ
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常微分方程数值积及其Ｍａｔｌａｂ实坝
襄类学院数学系 武瑞蝉华东交通大学 邓黎
［摘要］本文对常豢分方程初值问道竹薮值解法作１进一步探讨，并运用Ｍａｎａｂ对其中较难以求解的疫进尤拉法和 四阶龙格库塔法进行编程实现，程序简洁、直观，求并速度快，方法实用性较强． ［关键词］擞分方程数值解法Ｍ“ｌＢｂ
2.期刊论文 阳莺.YANG Ying 应用Matlab辅助微分方程数值解法教学 -桂林电子科技大学学报2007,27(4)
灵活运用Matlab软件中的一些科学计算的工具箱能对微分方程数值解法这门课程的教学起到很好的辅助作用.通过带有点源奇性的泊松方程为例,阐 述了利用Matlab中的"pdetool"工具箱来实现有限元方法求解这一偏微分方程的具体步骤.实例表明,利用Matlab软件中的工具箱来辅助微分方程数值解法 教学,有助于学生进一步深入学习算法,也有益于教师在课堂有限的时间内,传授更为丰富的知识和提供更多的信息.
本文介绍了Hamilton方程的性质、辛几何算法、对称方法、Magnus展开和Neumann展开方法。在Magnus展开和Neumann展开方法中，迭代都起着重要 作用，我们考虑了利用迭代法构造高振荡微分方程的数值解法。对于基于迭代的数值解法，以FPU问题为例进行了数值实验，实验显示，该方法可给出较 好的数值结果。
１一阶微分方程初值问题的数值解法 对于一阶方程的初值问题
』－ｙ：２ｆ（ｘ，ｙ）（口≤ｘ≤６）
ｌｙ（ｘｏ）２％
从理沦上说，只要函数，（ｘ，ｙ）适当光滑，譬如关于，满足李氏条件
厂（ｘ，ｙ）一厂（ｘ，歹）ｌ≤三Ｉｙ一歹
就可以保证初值问题（１）的解ｙ＝ｙ（ｘ）存在且惟一．
求解问题（１）的数值解法又可称之为差分方法，因为常用的数值解法，如尤拉法，改进尤拉挂，龙格厍培珐等等本质上 均是将导数化为差商来做近似。
万方数据
一ｂ一
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在儿＝ｙ（＿）前提下，将岛，心作泰勒屉开，则
尼。＝／（％，％） ☆：＝，（％＋自，此＋胁：，）＝，（％，＂）＋妩＋＾墨‘＋ｏ（＾２）
＝ｙ’（＿）＋咖”（“）＋Ｄ（＾２） 以＋．＝ｎ＋矗（ｙ’（‘）＋ｙ’（矗）＋砂”（％））／２＋Ｄ（旷）
：，（矗）＋吵－（矗）＋嬖ｙ”（‘）＋。（矿）
￡盯ｄ
当迭代次数盯＝２０时获得计算结果：Ｊｗ＝Ｏ．０７６９２６６８５１３８２１，比运用改进尤拉法迭代１２０步的效果都要好得多； 而尚迭代次数胛＝１２０时，迭代结果Ｊ啊＝Ｏ．０７６９２３０７９４１２９５基本已达到精确解．
３结果分析 对问题（５）的求解简单方便，但难于体现求解的具体思想；对于问题（６）的求解运用编程实现，从实验角度来帮助理解 理论知识，不仅可以深入掌握求解方法的思想，而且还可以提高实践动手能力．对于数学教学的改进有很大帮助。 闷题（６）中，初值问题的糟确解为．”玎＝Ｏ．０７６９２３０７…，改进尤拉法在迭代到１２０步时误差还较大．迭代到５０００步 时误差较小，但与精确解仍有出入，而且从迭代过程来看，迭代次数门越大．收敛速度越慢，效果不很显著．而四阶龙格库 塔法迭代２０步的结果远远好于改进尤拉法选代１２０步的结果，当它迭代到１２０步时已跟精确解非常接近。故而龙格库塔法不 仅得到的解比改进尤拉法准确得多，而且收敛速度非常快，确实足一种很好的算法。但惟一的不足是计算量大，这一对矛盾很 难解决。
参考文献 【１】王能超．数值分析简明教程．北京：高等教育出版社，２００３．９７一１２４ 【２】崔国华．计算方法．武汉：华中科技大学出版社，１９９６．８９—１１９ 【３】华中理工大学数学系．计算方法．北京：高等教育出版社，１９９９．１０５—１２６ 【４】李庆扬，王能超，易太义．数值分析．武汉：华中理工大学出版社，１９８７．１０２—２９１ １５ｌ苏全明，阮洗勇．卧ＴＬ＾Ｂ６．１实用指南．北京：电于工业出版社，２００２．３３７—３４３ １６】桂现才，刁群．解线性方程组的Ｍａｔｌａｂ浩．湛江师范学院学报，２００３，２４（６）：１４～１８
— 万８一 方数据
常微分方程数值解及其Matlab实现
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
武瑞婵， 邓黎 武瑞婵(襄樊学院数学系)， 邓黎(华东交通大学)
科技信息（学术版） SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2007，""(35) 1次
Ｏ．４０００ １ｔ３４１６
Ｏ．６０００ １．４８３２
Ｏ．８０００ １．６１２５
１．ＯＯＯＯ Ｊ．７３２１
此结果与四阶龙格库塔法求解结果相同，比改进尤拉法求解结果要精确得多．运用内建函数直接求解最大的优点是简洁 方便，只要依照函数调用格式调用即可，但是对于理解数值解法的思想没有太大帮助，故而要体现数值解法的具体思想，可以 通过编写程序来实现．
常微分方程的求解是现代科学研究和工程技术中经常遇到的实际问题，然而，从实际问题中建立出来的微分方程往往具有 非常复杂的形式，有些解析式难以计算，有些则根本不能用解析式来表达，所以利用数值解法“１。求解实际问题就显得非常重 要。本文在总结常微分方程数值解法的基础上给出了Ｍａｔｌａｂ“１求解常微分方程的多种方法．并对其中较为复杂的改进尤拉法和 四阶龙格库塔法给出了Ｍａｔｌａｂ程序．
4.期刊论文 张宏伟 注重培养研究能力的《微分方程数值解法》课程教学研究与实践 -大学数学2006,22(6)
论述了注重培养研究能力的教学的重要性,数学专业基础课教学在研究能力培养中的作用,在《微分方程数值解法》课程教学中的体会,以及关于《微 分方程数值解法》课程教学进一步改进的探讨.
5.学位论文 李晓红 常微分方程数值解法及其应用 2008
本文系统地介绍了Hamilton方程的性质、辛几何算法及对称、组合、分裂数值方法。主要讨论了形如（x）+Ω2x=g(x)（g(x)=-аU/аx）的一类高 振荡微分方程。此类方程可以写成Hamilton方程，相应的Hamilton函数为守恒量。FPU问题可以表示成该类方程的形式。针对这类方程，本文给出了两个 新的对称数值格式。以FPU问题为例进行了数值实验，实验结果显示，这两个解法具有较好的能量保守性。
对于微分方程｛ｙ：ｉ，（墨ｙ）ｏ≤ｘ≤６），直接利用Ｍａｔｌａｂ语言中的内建函数。‘Ｉ。２３或。如４５，按照调用格式 Ｉｙ【卅２％
［ｘ，ｙ】＝ｏ出４５（’厂：ｘ，虬）即可求出最终结果．其中，指函数名或所建立的Ｍ文件的文件名．ｘ为已知的离散节点向量，
Ｊ七为初值ａ 例如：求解一阶微分方程初值问题：Ｉ．２ｘ源自Ｍ＝０：ｙ聆＝２；
厅＝（６一ｄ）／门； 南，ｆ＝１：”
女１．一＾＋Ｍ＋＂＋＂； Ｍ＝Ｍ＋矗／２： ＾２＝一＾＋ｘＨ＋ｔ朋＋≈ｌ／２）＋（ｙＨ＋ｔ１／２）；
．
女３＝－厅’Ｍ＋（”＋ｔ２／２）＋（＂＋ｔ２／２）；
ｘｎ＝ｘｎ＋ｈ｝２：
ｔ４＝·＾４朋＋（＂＋☆３）＋（＂＋女３）； ＂＝＂＋（≈ｌ＋２＋＾２＋２＋后３＋女４）／６
参考文献(6条) 1.王能超 数值分析简明教程 2003 2.崔国华 计算方法 1996 3.华中理工大学数学系 计算方法 1999 4.李庆扬.王能超.易大义 数值分析 1987 5.苏金明.阮沈勇 MATLAB6.1实用指南 2002
6.桂现才.刁群 解线性方程组的Matlab法[期刊论文]-湛江师范学院学报 2003(06)
弦＝彬·＾＋（ｘ＂＋即＋”）； ＂＝（即＋妒）／２＝
．
Ｐ胛ｄ
选代次数，？＝１２０时求解结果；Ｊｗ＝０．０７６９４７３３４０９４５０＃若
仰＝Ｏ．０７６９２３０９０５２１０１．
（２）标准四阶龙格库塔法 对于上述初值问题建立如下Ｍ文件：
Ⅳ＝５０００时，求解结果
万方数据
一，——
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口＝Ｏ： ６＝５： 胛＝２０：
微分方程初值问题模型是数学建模竞赛中常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程 等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解 ，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进 行了综述研究。主要讨论了针对多种常微分方程模型中数值解法精度比较而言的，某些常用的数值解法：即欧拉法，向后欧拉法，θ—法，改进欧拉法 ，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。并通过追溯数值解法的历史，利用数值解法的事例，总结了各类数值解法的优、缺点，为在数学建 模及数学建模竞赛中寻求满足各种精度要求的合理算法提供借鉴。文章最后，结合常见的较为典型的运用微分方程模型数值解法的实例，诸如耐用消费 新产品的销售规律模型、司机饮酒驾车防避模型的数值解法等，探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。