剪切、挤压与扭转
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材料力学拉伸压缩剪切扭转名称公式判别及汇总
一、拉（压）杆强度条件：--------（1）二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ --------（2）2.挤压强度条件：--------（3）三、圆轴扭转时的强度和刚度条件资料个人收集整理，勿做商业用途1.扭转强度条件：-----------（4）----------------（5）2.扭转刚度条件：-----------（6）----------------（7）四：弯曲正应力强度条件：------(8)符号释义：1.：正应力2. τ：切应力3.T：扭矩4.：轴力5.：剪切力6.7.A：剪切截面面积8.：抗扭截面系数9.：横截面对圆心的极惯性矩10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变) 三个弹性材料的关系：1.E：弹性模量（GN/m²）2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G：剪切弹性模量（GN/m²）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E：抗拉刚度17.胡可定律：σ=Eεσ=E18.ρ：曲率半径19.：梁弯曲变形后的曲率20.M：弯矩轴力、剪切力、均为内力求内力的方法-截面法：1.假想沿m-m横截面将杆件切开2.留下左半端或右半段3.将弃去部分对留下部分的作用(力)用内力代替4.对留下部分写平衡方程，求出内力的值。
当你选择好研究对象时，建立坐标系，这个对象的所有受力的x方向的代数和，和y方向的代数和为零，这就建立平衡方程，【me=o】，就是你在研究对象上选取一个点作为支点，然后所有力对这个点取矩，顺时针和逆时针方向的代数和为零，这样就分别建立三个平衡方程，可以联立接触其中未知数，这种情况只是用于解决静定结构的。
12.γ：切应变(角应变)21.：外力偶矩13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。
一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。
第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类
12
挤压面积的计算
d
挤压力
t Fbs
Abs=td
bs
Fbs Abs
计算挤压面
①挤压面为平面，计算挤压面就是该面
②挤压面为弧面，取受力面对半径的投 影面
13
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
14
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
A
A向
B向
B
注意：实际挤压面 是半圆柱
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
挤压力计算 面 积 Abs
剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
m1
m4
n
A
B
C
D
T
– –
4.78
6.37
x
9.56
38
§3.2.3 扭转时内力的计算
39
§3-3 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
1、实验观察和假设推论
40
41
实验现象：
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
6.4.3等直圆杆扭转时横截面上的切应力 1.几何方面
根据所观察到的现象，假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴 线转动，即平面假设
上式中dφ/dx为扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面是个 常量，表明切应变γρ与ρ成正比，即沿半径按直线规律变化
6.4 等直圆杆扭转轴的内力与应力
6.4.3等直圆杆扭转时横截面上的切应力 2.物理方面
建筑力学
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
教学目标
了解剪切与挤压的实用计算方法 了解扭矩计算方法 掌握扭矩图绘制方法 掌握切应力的计算及分布规律 掌握扭转角计算 教学重点与难点
扭矩计算方法及扭矩图绘制 切应力的计算及扭转角计算
6.1 剪切与挤压概念
剪切是杆件的基本变形形式之一，当杆件受到图所 示大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对横向力 作用时，杆件发生剪切变形，此时截面相对错动趋势。
（1）假定应力分布规律，计算出各部分的“名义应力”； （2）根据实物或模拟实验，采用同样的计算方法，由破 坏荷载确定材料的极限应力 （3）然后根据上述两方面的结果建立强度条件。
6.2 剪切与挤压的实用计算 6.2.1剪切的实用计算
在连接件中，铆钉和螺栓连接是较为典型的连接方 式，其强度计算对其他连接形式具有普遍意义
根据剪切强度条件可得
6.2 剪切与挤压的实用计算
解：(1)按剪切强度条件求F
(2)按挤压强度条件求F
(3)按连接板抗拉强度求Fs
许用荷载
[]
6.3 扭转的概念
等截面直杆扭转
（1）受力特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作 用面都垂直于杆轴线； （2）变形特点：两端截面A与B之间产生相对扭转角 （φ3）杆表面的纵向线将由斜线逐渐变成螺旋线。
根据所观察到的现象，假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴 线转动，即平面假设
上式中dφ/dx为扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面是个 常量，表明切应变γρ与ρ成正比，即沿半径按直线规律变化
6.4 等直圆杆扭转轴的内力与应力
6.4.3等直圆杆扭转时横截面上的切应力 2.物理方面
建筑力学
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
教学目标
了解剪切与挤压的实用计算方法 了解扭矩计算方法 掌握扭矩图绘制方法 掌握切应力的计算及分布规律 掌握扭转角计算 教学重点与难点
扭矩计算方法及扭矩图绘制 切应力的计算及扭转角计算
6.1 剪切与挤压概念
剪切是杆件的基本变形形式之一，当杆件受到图所 示大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对横向力 作用时，杆件发生剪切变形，此时截面相对错动趋势。
（1）假定应力分布规律，计算出各部分的“名义应力”； （2）根据实物或模拟实验，采用同样的计算方法，由破 坏荷载确定材料的极限应力 （3）然后根据上述两方面的结果建立强度条件。
6.2 剪切与挤压的实用计算 6.2.1剪切的实用计算
在连接件中，铆钉和螺栓连接是较为典型的连接方 式，其强度计算对其他连接形式具有普遍意义
根据剪切强度条件可得
6.2 剪切与挤压的实用计算
解：(1)按剪切强度条件求F
(2)按挤压强度条件求F
(3)按连接板抗拉强度求Fs
许用荷载
[]
6.3 扭转的概念
等截面直杆扭转
（1）受力特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作 用面都垂直于杆轴线； （2）变形特点：两端截面A与B之间产生相对扭转角 （φ3）杆表面的纵向线将由斜线逐渐变成螺旋线。
材料力学四种基本变形要点
(–)
16kN•m (+)
6kN•m
6kN•m
2kN x=1m 3kN MC= 20kN•m MB= –6kN•m M图 MD右= 6kN•m MD左= 16kN•m MG= 20.5kN•m (–)
梁弯曲时横截面上的正应力计算公式 s = My / Iz M
smax= M / Wz
矩形截面 z b bh Iz= —— 12
四种基本变形
一、轴向拉压
轴力FN、FN图 横截面上正应力
F
拉 “+ ” ；压 “━” FN s = —— A
s
正应变
e = ——
E
FNl Dl = —— EA
s
杆件伸长量
二、扭转 扭矩Mx 、 Mx图 T
P (kW) T 9549 n (r/min) (N· m)
T 右手螺旋法则:扭矩矢与截面外法线方向一致时为“+” ； 反之为 “ -” “+” Mx “━” Mx
三、剪切和挤压 四、弯曲 剪力FQ和弯矩M
F Q 图 、 M图
剪力：对所取梁内任一点之矩顺时针转向为 “+” ； 反之为“ – ”。 弯矩：使梁产生上凹下凸变形为 “+” ；反之为“– ”。 FQ FQ为 + FQ FQ FQ
FQ为 –
M为 +
M为 –
求梁的剪力 FQ 和弯矩 M 大小的规律： q F1 M F2
弯曲变形(积分法)
w
M ( x) EI z
M ( x) dxC EI z
w q
w
M ( x) d x d x Cx D EI z
C、D为积分常数，由位移的边界与连续条件确定。
第10章 剪切和扭转讲解
等。）
解：受力分析如图
P
P
Fs F P 4
t
b
t
P
123
P
P
d
P/4
123
切应力和挤压应力的强度条件
t Fs P 110 107 136 .8MPa t
A d 2 3.14 1.62
s bs
F Abs
P 4td
110 107 411.6
171.9MPa sbs
23
外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的
平面内.
变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。
24
任意两截面间相对转动的角度——扭转角, 如 ； 杆的纵线也转过一角度γ——剪切角。
以扭转变形为主要变形的受力杆件——轴.
圆形截面的扭转构件——圆轴.
工程实例:。 机器中的传动轴;。
地质勘探中的钻杆等。
Me
B
T图
31
例 10-3 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮 输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
32
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
§10-3 扭转的概念与工程实例
一、引例 F
F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作
用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会
发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用
材料力学 剪切和扭转.
§3–2 连接接头的强度计算
（合力） P 1、连接处破坏三种形式： ①剪切破坏
n
n
P （合力） 剪切面 n
沿铆钉的剪切面剪断，如
沿n– n面剪断 。 ②挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动，
FS n
P
发生破坏。
③拉伸破坏
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
2、剪切的实用计算
此杆安全。
[例6]木榫接头如图所示，宽b=20cm，材料[]=1MPa， [bs]=10MPa。受拉力P=40kN作用，试设计尺寸a 、h 。 F F
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
解： 剪切面面积：As
ab bh
Abs 挤压面面积：
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
取接头右边，受力如图。
Fs Fbs F
P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。 h P a 解：：受力分析如图∶ P
FS Fbs P 挤压面和挤压力为：
P ：剪应力和挤压应力
剪切面和剪力为∶
P b
c
As
Abs
P P
FS P 40 107 0.952MPa AS bh 12 35
Pbs P 40 bs 107 7.4MPa Abs cb 4.5 12
度条件。
P
t
d
t
P
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
上板受力图
F/4 F/4 F/4
F/4
3F/4
F
F
上板轴力图
铆钉受力图
F/4
建筑力学 项目六 学习剪切和扭转
（a）
的内力必为一力偶。此力偶的力偶矩称为扭矩，
m
Me
m
以符号T 表示。
T
n
m
（b）
列平衡方程
m
Me
T n
（c）
m
得
扭矩的单位与力偶矩的单位相同，常用单位为牛米（N·m）和千牛米（kN·m）
项目六 学习剪切和扭转
对扭矩T的正负号作如下规定：按右手螺旋法则，将右手四指弯曲方向与扭矩转 向一致，拇指指向与横截面外法线方向一致时，扭矩取正号；反之，取负号。
d
t
项目六 学习剪切和扭转
为了保证构件在工作中不发生挤压破坏，构件必须满足挤压强度条件
上式称为挤压的强度条件
项目六 学习剪切和扭转
例题
F
F
F
F
解 （1）校核铆钉的剪切强度 每个铆钉所受的剪力为
切应力为 该铆钉满足剪切强度
项目六 学习剪切和扭转
F
F
F
F
（2）校核铆钉的挤压强度 每个铆钉承受的挤压力为
项目六 学习剪切和扭转
例题
M eB
M eA 1
M eC 2
M eD 3
1
2
3
B
C
D
A
M eB
解 （1）计算外力偶矩 1
B T11
n
M eB B
M eA
2
n T12
A
M eD
n
3 T3 3
（a） （b） （c） （d）
项目六 学习剪切和扭转
M eB
M eA 1
1 B
A M eB
1
B T11
n
M eC 2 2
MMeB eB BB
剪切与扭转
P 9.549 ( KN m) n
三 扭 转 应 力 与 变 形 的 计 算
（二）扭转计算 1、扭矩
扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。
扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。
三 扭 转 应 力 与 变 形 的 计 算
MA １
１
２
MC
MB
M n1 M A
Mn M n 180 GI p GI p
(0.25 0.50)0 / m
(0.50 1.0)0 / m
精度要求不高的轴
(2.0 4)0 / m
（2）刚度计算的三方面： a刚度校核 b荷载确定 c截面选择
（2） 强度计算的三个方面： a b c
三 扭 转 应 力 与 变 形 的 计 算
例题：如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5KN.m, 直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。 解：（1）计算扭矩 M n ， 由平衡条件，得
M n m 2.5KN .m
（2）校核强度 由公式 max
键连接
上半部分挤压面
l
h
2
下半部分挤压面
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 铆钉与螺栓 A d 2 4
挤压应力为正应力
挤压面计算
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
剪切与扭转变形.
L×L×h的基础上，求基础的τ。
FP
剪切面
FP
立柱
基础 h
p
p
L
解：地基对基础的约束反力集度p＝FP/L2 FQ=p(L2－a2)、剪切面面积A＝4ah
FP
L2 a2 4ahL2
例题 5： 已知：[σ]、[τ] 、[σbs]、D、t、d。求[FP]
解：1.由强度条件 ＝ N ＝ FP
10
A dA r T r AdA r 2 r T
T T Me 2 r 2 2A 2A
A：平均半径所作圆的面积。
例1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管， 承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力， 使用：
(1)薄壁管的近似理论；
由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：
A空 (D2 D 2t2 ) d 2 0.334 1
A实
4
4
3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，
故空心轴较实心轴合理。
应变
刚度
G
T
GI p
T d x
l GI p
若T const，则 Tl
GI p
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
由 D12 (1 0.52 ) 2 D2 (1 0.52 )得 D1 2
4 由
T1
4
T
D
[ ]
D13 (1 4 ) D3 (1 4 )
16
16
得T1
D1
3
23/ 2
2.828
A 2. 由剪切强度条件：
第六章 材料力学剪切与扭转
土木工程力学
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力剪应力与抗拉强度关系我们在设计的时候常常取许用剪切应力,在不同的情况下安全系数不同,许用剪切应力就不一样...校核各种许用应力常常与许用拉应力有联系,而许用材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系一拉伸钢材的屈服强度与许用拉伸应力的关系[σ ]= σu/n n为安全系数a.ASME VIII-II, [σ ]=0.67σs二剪切许用剪应力与许用拉应力的关系1 对于塑性材料 [τ]=0.6—0.8[σ]2 对于脆性材料 [τ]=0.8--1.0[σ]三挤压许用挤压应力与许用拉应力的关系1 对于塑性材料 [σj]=1.5—2.5[σ]2 对于脆性材料 [σj]=0.9—1.5[σ]注：：[σj]=(1.7—2)[σ]（部分教科书常用）四扭转许用扭转应力与许用拉应力的关系:1 对于塑性材料 [σn]=0.5—0.6[σ]a.ASME VIII-II AD132-0.6Sm(Key,shear ring and pin),b.ASME VIII-II AD132-0.8Sm(Sm=0.67σs(circle round of stem )2 对于脆性材料 [σn]=0.8—1.0[σ]轴的扭转变形用每米长的扭转角来衡量。
对于一般传动可取[υ]=0.5°--/m;对于精密传动，可取[υ]=0.25°—0.5°/M；对于要求不严格的轴，[υ]可大于1°/M计算。
五弯曲许用弯曲应力与拉应力的关系:1 对于薄壁型钢一般采用轴向拉伸应力的许用值.2 对于实心型钢可以略高一点,具体数值可参见有关规范..拉应力与材料的屈服强度有关,。
第七章剪切与扭转
原直角有了微小的变化， 直角的改变量称为剪应变， 用γ表示，单位是弧度 （rad)。
剪切虎克定律：当剪应力τ不超过材料的
比例极限τb时，剪应力τ
与剪应变γ 成正比，即：
G
式中：G—材料的剪变模量，
表示材料抵抗剪切变形的 能力，是材料的弹性指标
曲线
之一。对各向同性材料， E G 2(1 )
例
[σ]=170MPa。试校核该连接件的强度。
例7-1
解：
分析 ：连接件可能发生 三种破坏：
①铆钉被剪断；
②铆钉或钢板挤压破坏； ③钢板被拉断。
1)铆钉剪切强度校核
设各个铆钉受力相等
Fi=F/n
取出一个个铆钉为 研究对象，画受力 图。 F1=F/n=F/4 剪切面上的剪力： V=F1 V F1 F /4 A A d 2 / 4 3 100 10 124MPa 2 16
简化假设
挤压应力在挤压面上均匀分布。
简化假设 应力在挤压面上均匀 分布。 挤压应力计算
Fc c Ac
挤压面上的挤压力 挤压面的计算面积。
挤压面计算面积的取值
挤压面计算面积等于实际挤压面面积在垂直于 总挤压力作用线的平面上的投影。
挤压面计算面积的取值
挤压面计算面积等于实际挤压面面积在垂直于 总挤压力作用线的平面上的投影。
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。
M
1. 点M的应力单元体如图(b)： 2. 斜截面上的应力；
(a)
取分离体如图(d)：
x
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Gg
剪切弹性模量
碳钢的切变模量 G≈7.94×104MPa
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、抗扭截面系数
实心圆截面
d 3
Wt 16
TD
B
C
D A
TB
TC
TA
B
C
955N·m
A
477.5N·m Tn
计算外力偶矩
637N·m
TA 9550NnA 1592N•m TB TC 9550NnB 477.5N•m TD 9550NnD 637N•m
TD D
作扭矩图 Tnmax=955N·m
三、扭转切应力与强度条件
1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律
键连接
上半部分挤压面
l
h 2
下半部分挤压面
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力 bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布
也非常复杂，工程上往往采取实用计算的
办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
挤压力
bs
F Abs
bs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接
机械零件工作能力计算 的理论基础
1、剪切变形的特点
两外力与连接件轴线垂直，距离很近 连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
1）铆钉类
铆钉连接
螺栓连接
螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面
P
P
内力外力要平衡
2）键类
F M d
单键连接
单键连接的受力分析
空心圆截面
Wt
D3
16
1 4
3、扭转轴内最大切应力
d
D
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
max
Tmax Wt
4、扭转强度条件
max
Tmax Wt
5、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
（2）设计截面
WtTmaxΒιβλιοθήκη 花键连接以螺栓为例
剪切面
P
F
P
P
x
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有： X 0
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
工程上往往采用实用计算的方法
F
A
上式称为剪切强度条件
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
mc
AB段 BC段
Mn1设为正的 Mn2设为正的
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出 功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min， 画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
P 188KN
挤压面的计算面积为
Aj 1d 119 99cm2 99104m2
所以工作挤压应力为
j
P Aj
1881000 99 104
19106 Pa
19MPa [ j ] 200MPa
故挤压强度是足够的。
❖ 1.剪切实用计算所作的主要假设是：
❖ （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布， 由此得出剪切强度条件为
6KW，试计算该轴的扭矩。
A
B
C
x
先计算外力偶矩
A
B
C
x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550
NB n
9550 10 500
191Nm
mC
9550 NC n
9550 6 500
114.6 Nm
计算扭矩：
mA
x
Mn1
MX 0
MX 0
M n1 mA 0
Mn2
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手螺旋法则：
以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇 指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负
指向截面
离开截面
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟， 主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从 动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC=
l h b
Abs l h 2
铆钉或螺栓连接
挤压力 分布
d
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力 挤压应力为正应力
剪切面计算
挤压面计算
铆钉与螺栓 A 1 d 2
4
键
A bl
Abs d h Abs l h 2
高炉热风围管套环和
吊杆通过销轴连接，
A d 2 92 63.6cm2 63.6 104m2
44
销轴的工作剪应力为
Q A
94 1000 63.6 104
14.8 106 Pa
14.8MPa [ ] 90MPa
故剪切强度是足够的。
（2） 校核 挤压强度 销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作 为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为
W W'
W 60N1000 60000 N
W T T 2n1 2nT
T 9550 N Nm 单位
n
二 . 扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念 扭转变形的杆往往称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其 横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力 偶矩称为扭矩。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
（3）确定载荷
Tmax Wt
例5 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输 出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为 300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC
TA
TD
B
C
D A
955N·m
477.5N·m
Tn
637N·m
Tnmax=955N·m 由强度条件设计轴直径：
max
Tnmax Wp
16Tnmax d 3
[]
3
d
16Tnmax
49.5mm
[]
选：d = 50 mm
圆轴的扭转
扭转变形的概念和特点
Mn A'
g
A
Mn
B
x
j
B'
概念：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用力偶矩方向沿圆杆的轴线
特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动
一. 外力偶矩的计算
按轴的转速和传递的功率求得
输入功率：N(kW)
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
单剪切与双剪切
单剪切
P P
前面讨论的都是单剪切现象
双剪切 出现两个剪切面
P/2 P/2 P
剪切力为P
中间段 P/2
P/2 剪切面面
积2倍
P
左右两段
P/2
剪切力为P/2
剪切面面
P/2
积单倍
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
二、挤压
一个假设
# 根据几何 关系，有切 应变：
g Rj
l
g Rj
l
上式中 g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量，
称为剪应变(即相对角度位移)，单位为弧度。
上式说明剪应变 g 与点到圆轴中心的距离 R
成正比，在圆轴表面剪应变最大，越向中心 处越小，在轴心处为零。
剪切胡克定律
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正应 变，故各横截面上只有剪应力而无正 应力。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系 称为剪切虎克定律。
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压
挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎
作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
每个吊杆上承重
P=188kN,销轴直径 d=90mm,吊杆端部厚 1=110mm,套环厚 2=75mm,材料皆为A3 钢， []=90MPa，
[j]=200MPa，试校 核销轴连接强度。
解：（1）校核剪切强度
用截面法求剪力, 受力分析如图,用平衡方程 求得剪力 Q P 188 94KN
22
剪切面面积为
Q
A
❖ （2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布， 由此得出挤压强度条件为
j
j
❖ 2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也 是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。 在作外力和内力分析时，还须注意以下几点：
❖ （1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出 其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确 地辨明剪切面和挤压面。 （2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪 切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。 挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半 圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。
剪切弹性模量
碳钢的切变模量 G≈7.94×104MPa
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、抗扭截面系数
实心圆截面
d 3
Wt 16
TD
B
C
D A
TB
TC
TA
B
C
955N·m
A
477.5N·m Tn
计算外力偶矩
637N·m
TA 9550NnA 1592N•m TB TC 9550NnB 477.5N•m TD 9550NnD 637N•m
TD D
作扭矩图 Tnmax=955N·m
三、扭转切应力与强度条件
1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律
键连接
上半部分挤压面
l
h 2
下半部分挤压面
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力 bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布
也非常复杂，工程上往往采取实用计算的
办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
挤压力
bs
F Abs
bs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接
机械零件工作能力计算 的理论基础
1、剪切变形的特点
两外力与连接件轴线垂直，距离很近 连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
1）铆钉类
铆钉连接
螺栓连接
螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面
P
P
内力外力要平衡
2）键类
F M d
单键连接
单键连接的受力分析
空心圆截面
Wt
D3
16
1 4
3、扭转轴内最大切应力
d
D
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
max
Tmax Wt
4、扭转强度条件
max
Tmax Wt
5、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
（2）设计截面
WtTmaxΒιβλιοθήκη 花键连接以螺栓为例
剪切面
P
F
P
P
x
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有： X 0
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
工程上往往采用实用计算的方法
F
A
上式称为剪切强度条件
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
mc
AB段 BC段
Mn1设为正的 Mn2设为正的
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出 功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min， 画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
P 188KN
挤压面的计算面积为
Aj 1d 119 99cm2 99104m2
所以工作挤压应力为
j
P Aj
1881000 99 104
19106 Pa
19MPa [ j ] 200MPa
故挤压强度是足够的。
❖ 1.剪切实用计算所作的主要假设是：
❖ （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布， 由此得出剪切强度条件为
6KW，试计算该轴的扭矩。
A
B
C
x
先计算外力偶矩
A
B
C
x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550
NB n
9550 10 500
191Nm
mC
9550 NC n
9550 6 500
114.6 Nm
计算扭矩：
mA
x
Mn1
MX 0
MX 0
M n1 mA 0
Mn2
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手螺旋法则：
以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇 指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负
指向截面
离开截面
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟， 主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从 动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC=
l h b
Abs l h 2
铆钉或螺栓连接
挤压力 分布
d
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力 挤压应力为正应力
剪切面计算
挤压面计算
铆钉与螺栓 A 1 d 2
4
键
A bl
Abs d h Abs l h 2
高炉热风围管套环和
吊杆通过销轴连接，
A d 2 92 63.6cm2 63.6 104m2
44
销轴的工作剪应力为
Q A
94 1000 63.6 104
14.8 106 Pa
14.8MPa [ ] 90MPa
故剪切强度是足够的。
（2） 校核 挤压强度 销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作 为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为
W W'
W 60N1000 60000 N
W T T 2n1 2nT
T 9550 N Nm 单位
n
二 . 扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念 扭转变形的杆往往称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其 横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力 偶矩称为扭矩。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
（3）确定载荷
Tmax Wt
例5 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输 出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为 300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC
TA
TD
B
C
D A
955N·m
477.5N·m
Tn
637N·m
Tnmax=955N·m 由强度条件设计轴直径：
max
Tnmax Wp
16Tnmax d 3
[]
3
d
16Tnmax
49.5mm
[]
选：d = 50 mm
圆轴的扭转
扭转变形的概念和特点
Mn A'
g
A
Mn
B
x
j
B'
概念：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用力偶矩方向沿圆杆的轴线
特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动
一. 外力偶矩的计算
按轴的转速和传递的功率求得
输入功率：N(kW)
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
单剪切与双剪切
单剪切
P P
前面讨论的都是单剪切现象
双剪切 出现两个剪切面
P/2 P/2 P
剪切力为P
中间段 P/2
P/2 剪切面面
积2倍
P
左右两段
P/2
剪切力为P/2
剪切面面
P/2
积单倍
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
二、挤压
一个假设
# 根据几何 关系，有切 应变：
g Rj
l
g Rj
l
上式中 g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量，
称为剪应变(即相对角度位移)，单位为弧度。
上式说明剪应变 g 与点到圆轴中心的距离 R
成正比，在圆轴表面剪应变最大，越向中心 处越小，在轴心处为零。
剪切胡克定律
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正应 变，故各横截面上只有剪应力而无正 应力。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系 称为剪切虎克定律。
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压
挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎
作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
每个吊杆上承重
P=188kN,销轴直径 d=90mm,吊杆端部厚 1=110mm,套环厚 2=75mm,材料皆为A3 钢， []=90MPa，
[j]=200MPa，试校 核销轴连接强度。
解：（1）校核剪切强度
用截面法求剪力, 受力分析如图,用平衡方程 求得剪力 Q P 188 94KN
22
剪切面面积为
Q
A
❖ （2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布， 由此得出挤压强度条件为
j
j
❖ 2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也 是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。 在作外力和内力分析时，还须注意以下几点：
❖ （1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出 其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确 地辨明剪切面和挤压面。 （2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪 切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。 挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半 圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。