压缩映射原理在求极限中的应用

压缩映射原理在求极限中的应用

张烁

摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性.

关键词：压缩映射原理极限压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach 在1922 年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性. 这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用. 在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1 压缩映射定义1 若X 是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α

<1, 使得对所有的x , y ∈ x ,

d( Tx , Ty ) ≤α d( x , y) ,

则称T 是X 上的一个压缩映射, α称为压缩常数。

定义 2 设X 为一非空集, T ∶X → X 是一个映射, 如果有x 3∈ X 使得T x 3=

x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。

定理 1 (压缩映射定理)设X 是完备的度量空间T 是X 上的压缩映射，那

么T 只有且只有一个不动点(就是说，方程Tx=x ，有且只有一个解) .

证明任取x0 ∈ X , 令x1 = Tx 0 , x2 = Tx 1 , ⋯⋯, x n+1 =

Tx n , ⋯.我们先证明{ x n } 是基本列.

ρ( x2 , x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) ,

ρ( x3 , x2 ) = ρ ( T x 2 , Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α 2ρ ( Tx 0 , x0 ) .

一般, 由归纳法可得ρ( x n+1 , x n ) ≤αnρ( Tx 0 , x0 ) ( n = 1 , 2 , ⋯) , 于是, 对于任意的正整

数P , 有

ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ⋯,ρ( x n+1 , x n ) ≤ (αn+ p- 1 +αn+ p- 2

+⋯+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ ( Tx 0, x0)/(1 - α) ≤ αn /(1 -α)ρ( Tx 0 , x0 )。

因为0 ≤α≤1 , 当n →∞,ρ( x n+ p , x n ) →0 , 即{ x n } 是基本列。由于X 是完备空间,

存在x n ∈X , 使得x n →x n。再由T 的连续性, 在( 1) 中, 令n →∞ , 就得到x n = Tx n .

再证唯一性。如y n 也是T 的一个不动点, 即y n=Ty n, 则有

ρ( x n ，y n) = ρ( Tx n, Ty n) ≤αρ( x n ，y n). 由于0≤α< 1 , 做ρ( x n , y n ) = 0 , 即x n=y n .

推论设X 是完备距离空间, TX→X 。如果存在常数α( 0 ≤α< 1)及正整n0 ,使对任何x , y∈X 都有ρ( T n0 x , T n0y) ≤αρ( x , y) , 则T 存在唯一的不动点(其中T no可以归纳定义如

下: T2 x=T(Tx)，T3 ( x) = T ( ( T2 x) , ⋯) .

定理 1 ′对数列{ x n},若存在常数h :0

证明 n , p ∈N, 有

h n -h n+p ）/（1-h ）

≤| x 1-x 0| ·h n /(1-h )→0 , 所以{ x n } 为基本列, 从而{ x n } 收敛。 若递推公式由一元可

微函数 x n = f ( x n- 1 ) 给出, 则可通过f 的导数 f ′来考察。

若存在实数 h , 使得|f ′(x) | ≤r < 1 , 则应用微分中值定理, 可知{ x n } 满足压 缩映射的

条件

|x n+1-x n |=|f （ x n ） - f （ x n- 1 ）|=|f ′（ζ）|| x n - x n- 1|≤h|x n - x n- 1 | .

2 压缩映射原理在求数列极限中的应用

例 设 c > 0 , x n+1=c （1+x n ）/（c+x n ）（ c >1 为常数）

解 构造函数 f （ x ） = x （ 1+x ） / （ c+x ）

显然， f ( x) 在 ( 0 , + ∞ ) 连续可导 。 因 x n > 0 ,

当 x > 0 时 f ′( x) =[ c (1+x )/(c+x)}'=c(c-1)/(c+x)2

且由 c > 1 知 f ′( x)c(c -1)/(c+x)2≤c(c-1)/c 2=1-1/c< 1 , 故 x n+1 = f ( x n ) 为压缩映射。由 定理 1 ' 知{ x n } 收敛 .

数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上 “凑 ”，这种 “凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，数列极限的求解方法多种多 样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用 是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范围.

参考文献：

[1]徐新亚，夏海峰.数学分析选讲[M].上海：同济大学出版社，2008(8)：9-17.

[2] 陈守信 . 数学分析选讲 [M]. 北京：机械工业出版社， 2009( 9)： 1-8.

[3] 裴礼文 . 数学分析中的典型问题和方法(第二版) [M]. 北京：高等教育出版社，2006

( 4 )： 32-60.

[4] 张恭庆，林源渠 . 泛函分析讲义(上册)[M]. 北京：北京大学出版社，2006( 12)： 4-8. 1 |x n+p -x n | ≤ |x k - x k+1|≤ | x 1 - x 0|=|x 1- x 0|