2.4 压缩映射原理及应用ppt课件
叙述压缩映射原理
叙述压缩映射原理压缩映射原理是数学中的一个重要概念，它在不同领域都有着广泛的应用，特别是在动力系统、概率论、几何等领域中。
本文将详细介绍压缩映射原理的概念、性质和应用。
一、概念压缩映射是指在度量空间中，存在一个映射f，使得对于任意两个点x和y，它们之间的距离d(f(x),f(y))都小于它们之间的距离d(x,y)。
也就是说，压缩映射可以将原来相距较远的点映射成相距较近的点。
具体来说，若存在一个常数0< k <1，使得对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，则称f为一个k-压缩映射。
二、性质1. 压缩映射是连续的。
这是因为对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，因此当x趋近于y时，f(x)也趋近于f(y)。
2. 压缩映射是唯一的。
若存在两个不同的压缩映射f和g，使得它们都满足上述条件，则对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)和d(g(x),g(y))≤k d(x,y)，因此d(f(x),g(x))≤(k/(1-k)) d(f(x),f(y))，这说明f和g之间的距离也可以被压缩，因此f和g必须相等。
3. 压缩映射是有界的。
这是因为对于任意一个点x，它的像f(x)一定在以x为中心、半径为d(x,0)/(1-k)的球内。
三、应用1. 压缩映射定理。
压缩映射定理是数学分析中的一个重要结果，它说明了对于任意一个k-压缩映射f，它都有唯一的不动点x0，即f(x0)=x0。
并且，从任意一个起始点x开始，通过不断迭代f，可以得到收敛于x0的数列。
这个定理在动力系统和概率论等领域中有着广泛的应用。
2. 度量空间的完备性。
一个度量空间是完备的，当且仅当它是一个压缩映射的不动点。
这个定理在数学分析和拓扑学中有着广泛的应用。
3. 分形几何。
分形几何是一种研究自相似性的几何学，而压缩映射是分形几何中的一个重要工具。
通过对一个图形进行一系列压缩映射，可以得到一个自相似的分形。
压缩映射原理的应用整理
压缩映射原理的应用整理1. 什么是压缩映射原理压缩映射原理是一种用于数据压缩的算法，它通过利用数据中的重复模式来减少存储空间。
这种技术在计算机科学和信息技术领域非常常见，可以用于网络传输、文件存储以及图像和视频处理等方面。
2. 压缩映射原理的应用领域压缩映射原理广泛应用于以下几个领域：•数据传输：通过在数据传输过程中对重复的数据片段进行压缩映射，可以减少网络传输的时间和带宽消耗。
•文件存储：将文件中的重复内容进行压缩映射，可以减少存储空间的占用。
•图像压缩：压缩映射可以通过对图像中重复的像素进行压缩映射来减少图像文件的大小。
•视频压缩：在视频文件中，往往连续的帧之间存在较多重复的像素，通过压缩映射可以有效地减少视频文件的大小。
3. 压缩映射原理的核心思想压缩映射的核心思想是利用数据中的重复性，将重复的数据片段用较短的标记来替代，从而减少存储空间的占用。
具体包括以下几个步骤：•数据分块：将数据按照一定的规则划分为多个块。
•块去重：通过比较块之间的内容，找出重复的块。
•块替换：将重复的块用较短的标记来替代。
•映射表维护：维护一个映射表，记录块和标记的对应关系。
4. 压缩映射原理的实现方法压缩映射原理可以通过多种实现方法来实现，以下是两种常见的方法：•字典方法：字典方法是一种将重复的数据片段存储到字典中，然后用字典的索引来替代重复的数据片段的方法。
在解压缩时，只需通过字典索引在字典中查找对应的数据片段即可。
•前向指针方法：前向指针方法将每个块的索引指向下一个不同的块，通过遍历索引链表来还原重复的数据片段。
5. 压缩映射原理的优点和局限性压缩映射原理具有以下优点：•存储空间节省：压缩映射可以有效地减少存储数据所占用的空间，提高存储效率。
•传输速度加快：对于重复性较高的数据，压缩映射可以减少传输时间和带宽消耗。
然而，压缩映射也存在一些局限性：•计算复杂性：压缩映射需要对数据进行分块、匹配和替换等操作，计算复杂性较高，可能会增加系统的负担。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用
1 压缩映射原理
压缩映射原理是一种著名的算法，它使用一组非负整数实现从源
集合到长度更短的目标集合的映射。
它基于一个分段数学原理，也称
为累加比总和，被广泛用于图像处理和黑白分割、遥感图像研究中。
它可以将灰度图像或数字序列按照预定义的百分比比例压缩，比如20%、30%或50%等。
2 压缩映射的基本原理
压缩映射的基本原理是从图像源的最大灰度值开始，依次减去一
定的百分比值，比如15%，25%，50% ......等来进行层次分割，并只
保存最大层次分割灰度值，然后将所有灰度值都映射到对应的最大层
次分割灰度值上，以便减少灰度级数，从而减少图像像素的量化。
3 压缩映射的应用
压缩映射的应用非常广泛，它不仅可以用于图像压缩，还可以用
于数字图像处理，如图像滤波、图像锐化、图像去噪等。
另外，压缩
映射原理也可以用于遥感图像的分割，对遥感图像中的地物进行CT值
定位，减少分类误差，提高分类精度，进而提高遥感图像处理的应用
效果。
4 结论
压缩映射是一种有效的数字图像处理算法，主要用于图像压缩、图像滤波、图像锐化以及遥感图像分割等。
它可以有效地减少灰度级别，降低图像质量，提高处理速度，增强遥感图像处理的应用效果。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也称为Banach不动点定理，是数学分析中的一个重要定理。
它描述了完备度空间中的压缩映射的存在性与唯一性，并提供了一种计算不动点的方法。
设(X, d)是一个完备度量空间，而f：X→X是一个映射。
如果存在一个常数0 ≤ k < 1，使得对于任意x, y∈X，有d(f(x), f(y)) ≤k·d(x, y)，那么称f是一个压缩映射。
压缩映射原理的证明可以通过构造一个逐步逼近不动点的序列来完成。
首先，选择X中的任意一个点x0作为起始点。
然后，根据f的定义，我们可以得到一个点x1=f(x0)。
继续应用f，我们可以得到一个序列{x0, x1, x2, ...}，其中xn+1=f(xn)。
由于d(f(x), f(y)) ≤k·d(x, y)，可以证明这个序列是一个柯西序列。
因为(X, d)是一个完备度量空间，柯西序列在X中必有一个极限值x*。
我们可以证明，x*就是f的不动点，即f(x*)=x*。
这是因为当n趋向于无穷大，d(xn+1, xn)会趋向于0，即lim(n→∞)d(xn+1, xn)=0。
由于d(f(x), f(y)) ≤ k·d(x, y)，我们有d(x*, f(x*))=lim(n→∞)d(xn+1, xn)=0。
因此，x*是一个不动点。
进一步地，我们可以证明这个不动点是唯一的。
假设存在另一个不动点y*，即f(y*)=y*。
我们有d(x*, y*)=d(f(x*), f(y*)) ≤ k·d(x*,y*)，其中0 ≤ k < 1。
因为k < 1，我们可以将不等式两边除以1-k，得到d(x*, y*) ≤ (1/(1-k)) · d(x*, y*)。
由于d(x*, y*)是一个非负数，(1/(1-k))是一个正数，因此只有当d(x*, y*)=0时，不等式才成立，即x*=y*。
所以，这个不动点是唯一的。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也被称为Banach原则或固定点定理，是函数分析中的一个重要定理。
该原理在数学领域中有广泛的应用，尤其在拓扑学、微积分学和动力系统领域中。
压缩映射原理简要地说，对于一个完备度量空间上的收缩映射，其将这个度量空间中的每一个元素映射到自身的一个更接近的点。
具体地说，设(X, d)是一个完备度量空间，f:X-->X是一个映射，如果存在一个常数k(0<k<1)，使得对于任意的x, y∈X，都有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么f称为一个压缩映射。
压缩映射原理指出，对于这样的压缩映射f，存在唯一的X中的点x_0，使得f(x_0)=x_0。
为了证明压缩映射原理，我们首先需要证明收缩映射的连续性。
对于任意的x_1和x_2∈X，我们有：d(f(x_1), f(x_2))≤kd(x_1, x_2)另一方面，由于度量空间X是完备的，所以对于一个Cauchy序列{x_n}在X中收敛于x，即lim_{n→∞d(x_n,x)}=0。
我们可以通过数学归纳法证明{x_n}是一个Cauchy序列。
首先，由于k<1，我们有：d(x_{n+1},x_n)≤kd(x_n,x_{n-1})≤k^2d(x_{n-1},x_{n-2})≤...≤k^n(x_1,x_0)由于k<1，所以k^n趋近于0，所以d(x_{n+1},x_n)也趋近于0。
因此，{x_n}是一个Cauchy序列，且由完备性可知其收敛于一些x∈X。
现在，我们定义一个函数序列{f_n}，其中f_1=f，f_2=f∘f，...，f_{n+1}=f∘f_n，...。
由于f是一个压缩映射，所以有：d(f_{n+1}(x),f_n(x))=d(f(f_n(x)),f_n(x))≤kd(f_n(x),x)≤k^n d(f(x),x)由此可得：d(f_{n+1}(x),f_n(x))≤k^nd(f(x),x)因此，我们得到了函数序列{f_n(x)}的一致收敛性。
压缩映射原理的几个应用
压缩映射原理的几个应用定义设 H 是一个非空集，称之为距离空间，如果在 H 上定义一个双变量的实值函数ρ(x,y) ，且满足下述三个条件：(1) ρ(x,y)≥0 ，且ρ(x,y)=0 当且仅当 x=y ；(2) ρ(x,y)=ρ(y,x) ，满足交换律；(3) ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) ，满足三角不等式，称作ρ为 H 上的一个距离，以ρ为距离的距离空间 H 记作 (H,ρ) .定义距离空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做收敛到 x0 的是指：当 n→∞时，有ρ(xn,x0)→0 ，记作 limn→∞xn=x0 ，或简单记作 xn →x0 .定义度量空间 (H,ρ) 中的一个子集 E 称为闭集，是指：∀{xn}⊂E ，若 xn→x0 则 x0∈E .定义度量空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做基本列，是指ρ(xm,xn)→0(m,n→∞) 。
若对∀ε>0 ， \existN(ε) 使得 m,n≥N(ε)⇒ρ(xm,xn)<ε .如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间完备。
定义设 T:(H,ρ)→(Y,r) 是一个映射，称它是连续的，如果对于 H 中任意点 x0和点列 {xn} ，有ρ(xn,x0)→0⇒r(Txn,Tx0)→0 (n →∞) .命题映射 T:(H,ρ)→(Y,r) 连续，当且仅当∀ε>0, ∀x0∈H, 以及 \existδ=δ(x0,ε)>0 ，对于任意的 x∈H ，有ρ(x,x0)<δ⇒r(Tx,Tx0)<ε证明必要性，利用反证法证明，假设存在 x0∈H 以及ε>0 ，使得对任意的 n∈N ，存在 xn 使得ρ(xn,x0)<1/n 但 r(Txn,Tx0)≥ε，即有 limn→∞ρ(xn,x0)=0 但是 limn→∞r(Txn,Tx0)≠0 ，与连续矛盾，所以必要性成立。
充分性，设题目中条件成立，且 limn→∞ρ(xn,x0)=0 ，那么对于任意ε>0 存在 N ，当 n>N 时，有ρ(xn,x0)<δ，从而 r(Txn,Tx0)<ε，于是可得到映射 T 连续。
压缩映射原理的性质和应用
压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。
主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。
第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。
第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。
第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。
虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。
第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。
关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。
Ch2-4 压缩映射原理及应用
n
(Tx (1) , Tx (2) )= max Tx (1) Tx (2)
1 i n
max ( aij x
1 i n j 1
n
(1) j
bi ) ( aij x (2) bi ) j
j 1 (2) x ) max aij x (1) x j j (2) j 1 i n j 1 n
j 1 j 1
n
nБайду номын сангаас
x Ax b
令 Tx Ax b
则T是Rn到Rn的映射, 可以证明，T是压缩映射，因而存在 唯一不动点x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )Rn, k=1,2.
i 1, 2,..., n, aij 1
d (Tx Ty ) max Tx(t ) Ty (t ) max
0 t 1 0 t 1
1 1 sin x(t ) sin y (t ) 2 2
max sin
0 t 1
x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) 1 cos max sin max = d ( x, y ) 0 t 1 0 t 1 2 2 2 2 2
压缩映射原理(Banach不动点原理)
定理2 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，T：XX是压 缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。 证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X： xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。 T是压缩映射, 0<<1, 使得
压缩映射原理的应用场景
压缩映射原理的应用场景简介压缩映射是一种常见的数据压缩算法，通过将一系列常见的数据序列映射为较短的编码序列，从而减小数据的存储空间。
该原理可以应用于许多领域，为数据处理和存储提供了便利。
应用场景1. 文件压缩在日常使用中，我们经常需要传输和存储大量的文件，如文档、图片、视频等。
为了节省传输和存储空间，可以使用压缩映射原理来对这些文件进行压缩。
通过映射常见的数据序列为较短的编码序列，可以大大减小文件的大小。
常见的文件压缩格式如ZIP、RAR等就是通过压缩映射实现的。
•优点：减小文件大小，节省存储空间和传输时间。
•缺点：解压缩需要消耗一定的计算资源，可能降低一些性能。
2. 数据库压缩数据库是现代应用中非常重要的组件，存储着大量的数据。
为了提高数据库的性能和节省存储空间，可以使用压缩映射原理来对数据库中的数据进行压缩。
通过映射常见的数据序列为较短的编码序列，可以减小数据库的体积，提高数据的读写速度。
•优点：减小数据库体积，提高数据的读写速度。
•缺点：解压缩需要消耗一定的计算资源，可能降低一些性能。
3. 网络传输压缩随着互联网的普及和发展，很多应用都需要在网络上传输大量的数据。
为了提高传输速度和降低带宽占用，可以使用压缩映射原理对数据进行压缩。
通过将数据序列映射为较短的编码序列，可以减小数据的大小，提高传输速度。
•优点：减小数据大小，提高传输速度，降低带宽占用。
•缺点：解压缩需要消耗一定的计算资源，可能降低一些性能。
4. 音视频压缩在音视频领域，由于音频和视频数据的特殊性，需要对其进行专门的压缩处理。
压缩映射原理可以应用于音频和视频数据的压缩，通过将音频和视频数据进行编码，减小数据的体积，并保持较高的音视频质量。
•优点：减小音视频数据体积，保持较高的音视频质量。
•缺点：解压缩需要消耗大量的计算资源，可能降低一些性能。
5. 数据备份与恢复为了保证数据的安全性，很多组织和个人都会进行数据备份。
压缩映射原理可以应用于数据备份和恢复过程中，通过压缩存储备份数据，可以节省存储空间和备份时间。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。
他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ∀∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。
而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。
定义为：设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。
利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。
例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。
在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。
如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。
利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。
首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即：n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞()314x f x x =++，()()21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出：()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到：1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r++-+-+--≤-=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令n →∞，得到()314A A f A A==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞=。
压缩映射原理及其应用
对（1）的证法仍属未知，那么因为 6=2*3，而 2 与 3 又互质，因而（1）又可转 化为往证： （2）三个连续自然数之积，既能被 2 整除，又能被 3 整除 。 注 ｛可以通过可用数学归纳法来证明:n(n+1)(n+2) (n 为 任意自然数,注意,现在规定 0 是自然数,n 为 0 时显然成立,故下面还是以 1 为奠基 当 n=1 时,1*2*3=6 能被 6 整除,结论成立, 假设 n=k 时结论成立,即 k(k+1)(k+2)能被 6 整除,那么 当 n=k+1 时:(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]=(k+1)(k+2)(k+3),拆开最后一个括号 =k(K+1)(k+2)+3(k+1)(k+2) 这两项中,由归纳假设,前项能被 6 整除,后项有两连续整数相乘,必含因数 2,前面 还有因数 3,故后项也能被 6 整除,这就证明了当 n=k+1 时结论成立. 综上所述,结论对一切均自然数都成立｝ 因此原问题可由此获解。 例 2：已知 A,B,C 是三角形 ABC 的三内角，求 y=sinAsinBsinC 的最大值 注意到函数式中的 sinA，sinB，sinC，它容易使我们联想到正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C (R 是三角形外接圆半径)。 考虑到 y 值得大小与三角形外接圆半径的大小无关，因此不妨碍假定 R=1，于是 根据正弦定理便可将原函数式变形为 y=sinAsinBsinC= 1 = bc sin A 4 1 其中 bc sin A 是我们所熟悉的三角形面积公式，于是原问题就转化为求单 2 位圆内接三角形面积之最大值。 这是一个为我们所熟悉并能求解的问题，从而原 问题也就由此而得解。 事实上， 由于圆内接三角形中以正三角形面积最大 。 因 而当 A=
证明压缩映射原理
证明压缩映射原理压缩映射原理是现代分析数学中一个重要的定理，关于非线性算子意义下连续映射存在性和唯一性问题的关键性原理。
该原理的应用范围很广，特别是在微分方程和变分问题中占有重要的地位。
下面将系统阐述压缩映射原理的定义，证明和应用。
一、定义设$X$是一个完备的度量空间，$T:X\rightarrow X$是一个映射。
如果存在一个常数$0\leq k <1$，使得对于$X$中任意两个元素$x,y$，都满足：$$d(T(x),T(y))\leq kd(x,y)$$其中$d(x,y)$是度量空间$X$的距离。
那么$T$是$X$ 上的一种压缩映射，或者简称压缩映射。
二、证明在距离度量与完备性的基础下，压缩映射原理是比较容易证明的，可以分成两个部分来证明。
1. 映射$T$存在唯一不动点$x^*$首先需要证明映射$T$存在唯一不动点$x^*$，即$Tx^*=x^*$ 。
假设$Tx=x$，则从$Tx=T(x^*+x-x^*)$可得：$$d(Tx, Tx^*)\leq kd(x,x^*) \Rightarrow kd(x,x^*)\geqd(Tx,Tx^*)=d(T(x^*+x-x^*),T(x^*))$$根据三角不等式，上式可进一步变形：其中$n$为正整数。
因为$k<1$且$d(x_0,x^*)$为常数，所以当$n\rightarrow\infty$时，$(k+1)^n\rightarrow 0$。
$$d(x,x^*)=0\Rightarrow x=x^*$$证毕。
2. $T$ 的每个序列$x_n$都收敛于不动点$x^*$$$d(x_{n+p},x_n)\leq k^nd(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+k^{n+p-1}d(x_{n+1},x_n)$$$$=k^n(p+1)d(x_{n+1},x_n)$$因为$k<1$且$p$为固定的正整数，有$(kp+1)\rightarrow 1$。
压缩映射原理
压缩映射原理压缩映射原理是信息论中的重要概念，用于描述在数据传输中如何通过压缩来减少数据的体积，从而提高传输效率。
压缩映射原理指的是将原始数据通过某种编码方式转换为具有较高压缩比的编码，并在接收端将压缩后的编码进行解码还原为原始数据。
通过压缩映射原理，可以将大量的原始数据进行压缩，从而在数据传输中节省带宽和存储空间。
压缩映射原理是基于信息熵的概念。
信息熵是对信息量的度量，表示一个随机事件所包含的信息量的期望。
在信息论中，通过熵编码的方式可以实现对数据的无损压缩。
熵编码利用随机变量出现的频率来构建编码表，将频率较高的符号用较短的编码表示，频率较低的符号用较长的编码表示，从而实现对数据的高效压缩。
在实际应用中，常用的压缩映射原理有哈夫曼编码和算术编码。
哈夫曼编码是一种基于符号出现频率构建编码表的压缩算法，通过根据频率构建一颗二叉树，并将频率较高的符号编码为树的左子树，频率较低的符号编码为树的右子树，从而实现高效的压缩。
算术编码是一种将符号映射到一个区间的压缩算法，符号出现的频率用来确定符号所对应的区间大小，从而实现高效的压缩。
除了无损压缩，压缩映射原理还可以用于无损压缩。
无损压缩是一种将数据通过某种映射方式进行编码，使得压缩后的数据可以精确无误地还原为原始数据。
无损压缩常用于对文本、图像、音频等数据的压缩。
在无损压缩中，压缩率一般较低，但可以保证数据的完整性和准确性。
在实际应用中，压缩映射原理被广泛应用于网络传输、存储设备和多媒体压缩等领域。
通过使用压缩映射原理，可以大大节省网络传输的带宽，加快数据传输速度；可以节省存储设备的空间，提高数据存储效率；可以有效压缩多媒体数据，提供更高质量的音视频传输。
总之，压缩映射原理是信息论中的重要概念，通过将原始数据通过某种编码方式进行压缩映射，可以实现数据的高效压缩和传输。
压缩映射原理在实际应用中有着广泛的应用，可以改善数据传输的效率，提高存储设备的利用率，同时保证数据的完整性和准确性。
Banach压缩映照原理及其应用
定理2 定理2
设函数 f (x,y )在带状域 a ≤ x ≤ b, − ∞ < y < ∞
中处处连续,且处处有关于 y的偏导数 f y′ (x,y ).如果还存在常 数m和M满足 0 < m ≤ f y′ (x,y ) ≤ M ,m < M ,
则方程 f (x,y ) = 0在区间[a,b ]上必有唯一的连续函数 y = ϕ (x ) 作为解 : f (x,ϕ (x )) ≡ 0,x ∈ [a,b ].
(1)证明存在 ϕ (x )∈ C [a,b ],使得 f (x, ϕ (x )) ≡ 0，此问 题等价于求 ϕ (x ) ∈ C)) ≡ ϕ (x ), (2 )求 ϕ (x )∈ C [a,b ],使得,ϕ (x ) − Kf (x, ϕ (x )) ≡ ϕ (x ),此 问题等价于求 ϕ ( x ) ∈ C [a,b ],使 T ϕ (x ) = ϕ (x ), 即求 T:C [a,b ] → C [a,b ],在 C [a,b ]上的不动点. 这里 T ϕ (x ) = ϕ (x ) − Kf (x, ϕ (x )). (3 )选取恰当的常数 K , 使 T 是压缩映照, 由定理1此问
Banach压缩映照原理 Banach压缩映照原理 及其应用
本节主要教学内容
1. 问题的提出 Banach逐次迭代法 2. 压缩映照及Banach逐次迭代法 压缩映照及Banach Banach压缩映照原理 3. Banach压缩映照原理 4. Banach压缩映照原理的应用 Banach压缩映照原理的应用 5. 思考问题 6. 习题配备 7. 致谢
2.
压缩映照及Banach逐次迭代法 压缩映照及Banach逐次迭代法 Banach 压缩映照
定义1 设 X是度量空间,T是X到 X中的映照,如果存在 一个数 α, < α < 1,使得对所有的 x,y ∈ X ,成立 0 d (Tx,Ty ) ≤ αd (x,y ), 则称 T是压缩映照.
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理（也称为连续映射原理或Banach不动点定理）在数学分析领域中是一个非常重要的原理，它指出了一个压缩映射一定存在不动点。
下面将介绍20条关于叙述并证明压缩映射原理的内容。
1. 定义压缩映射原理压缩映射原理是关于完备度量空间中连续映射不动点存在性质的定理。
它表述为：在完备度量空间中，每一个压缩映射都有唯一的不动点。
2. 定义不动点在数学中，不动点是指一个映射函数的输入等于它的输出的点，也就是满足f(x) = x 的点x。
在此指出的是，不动点不一定是唯一的，但压缩映射的不动点是唯一的。
3. 定义完备度量空间完备度量空间是满足所有柯西序列收敛的度量空间。
柯西序列是一个序列，使得对于任意一个极小正数，存在一个正整数N，使得序列中的所有后续项距离前N个项的距离小于这个正数。
4. 定义压缩映射压缩映射是一种Lipschitz连续的函数，也就是说这种函数的斜率始终小于等于一个定值。
摩根定理解释了这个定理的几何含义。
5. 压缩映射的例子一些例子：线性或非线性内插函数；不动点迭代解法（如牛顿迭代法）；与基准函数的卷积的函数等。
6. 证明压缩映射的存在性如果T : X → X是一个压缩映射，其中X是完备度量空间，比例因子是l\lt 1，则存在唯一的不动点x^{*}，它是T在X上的唯一不动点。
7. 证明唯一性唯一性的证明：假设x^{*}和y^{*}是T的两个不动点，然后套用压缩映射的定义，可以得到d(Tx^{*}, Ty^{*})≤ld(x^{*},y^{*})由于不动点的定义，有d(x^{*},y^{*})=d(Tx^{*},Ty^{*})将其代入上式得到d(x^{*},y^{*})≤ld(x^{*},y^{*})当l\lt 1时，左侧与右侧的差距应该越来越小；当d(x^{*},y^{*})≠0时，应该可以得到\frac1l\lt 1的矛盾。
所以，唯一不动点的存在是必然的。
8. 证明不动点的存在性如果x_0 \in X是T的任意初始点，则由于T是压缩映射，对于所有n \in\mathbb{N}，d(T^{n}x_0,T^{n+1}x_0)≤ld(T^{n-1}x_0,T^{n}x_0)≤l^{n}d(x_0,Tx_0)应该能得到下式：d(T^{n}x_0,T^{m}x_0)≤\frac{l^{n}}{1-l}d(Tx_0,x_0)在上式中，应该满足\frac{l^{n}}{1-l}d(Tx_0,x_0) \rightarrow 0，即T^{n}x_0是一个柯西序列，因此存在\lim_{n \rightarrow \infty}T^{n}x_0 = x^{*}。
压缩映射原理证明
压缩映射原理证明嘿，朋友们！今天咱来唠唠压缩映射原理。
这玩意儿啊，就像是生活中的一把神奇钥匙，能打开好多奇妙的大门呢！咱先想想，压缩映射不就像是一个大力士，能把一个大大的东西给使劲儿地压缩变小嘛！比如说，你有一团大大的棉花，经过压缩映射这个大力士的作用，就变得小小的、紧实的一块儿了。
在数学里呀，压缩映射就是把一个空间里的点通过某种规则映射到另一个空间里，而且还会让这些点之间的距离变得更小。
这多有意思啊！就好像是把一群调皮的小孩子排好队，让他们整整齐齐的。
你说这压缩映射原理和我们的生活有没有关系呢？那肯定有啊！比如说你学骑自行车，一开始你东倒西歪的，就像是那些没被压缩好的点，乱成一团。
但等你慢慢熟练了，掌握了技巧，不就相当于被压缩映射了嘛，变得稳稳当当的啦！再比如你收拾房间，一开始乱七八糟的，各种东西乱放，这就像没经过压缩映射的状态。
等你把东西都整理好，摆放整齐，这不就是一种压缩映射嘛，让一切都变得有序起来。
你看啊，很多复杂的事情，其实都可以用压缩映射原理来理解。
它就像是一个隐藏在背后的魔法，默默地发挥着作用呢！你难道不觉得神奇吗？咱再深入想想，这压缩映射原理在科学研究里那也是大有用处啊！科学家们研究各种现象，不就是想把复杂的东西给搞清楚，变得简单易懂嘛。
这不就跟压缩映射一个道理嘛！而且啊，这压缩映射原理还能让我们看到事物变化的趋势呢。
就好像你看着天上的云，虽然它们一直在变，但你能感觉到它们大致的走向。
这不就是一种压缩映射带来的效果嘛！哎呀呀，说了这么多，咱得好好琢磨琢磨这压缩映射原理的妙处啊！它可不是那种只存在于书本里的枯燥理论，而是实实在在能在我们生活中发挥作用的好东西呢！它能让我们把复杂的事情变简单，能让我们看到事物的本质，能让我们更好地理解这个世界。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这压缩映射原理。
它就像是我们生活中的一个小宝藏，等你去发现它的价值呢！咱可得好好利用它，让我们的生活变得更加精彩呀！。
2.4 压缩映射原理及应用1
事实上， 事实上，由定理证明过程知
→∞, 令k→∞ 有极限保号性记即得证 →∞
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推论4.1 设X是完备的距离空间，T：X→X. 是完备的距离空间， ： → 推论 是完备的距离空间 如果T在闭球 在闭球S(x 上是压缩映射， 如果 在闭球 0, r)上是压缩映射，并且 上是压缩映射 −α)r ≤α<1) ρ(Tx0, x0)≤(1−α (0≤α ≤ −α ≤α 在闭球S(x 中存在唯一的不动点。 则T在闭球 0, r) 中存在唯一的不动点。 在闭球 只要在闭球内构造一个迭代序列{x 即可 即可。 分析 只要在闭球内构造一个迭代序列 n}即可。 取初始点x 证 取初始点 0∈S(x0, r)，作迭代 n=Tn x0 (n=0,1,2,…) ，作迭代x T是S(x0,r)上的压缩映射 且ρ(Tx0, x0)≤(1−α (0≤α 上的压缩映射, −α)r ≤α ≤α<1) 是 上的压缩映射 ≤ −α ⇒ρ(x1, x0)=ρ(Tx0,x0)≤(1-α)r≤r ρ ≤ α ≤ ⇒ρ(x2,x0)=ρ(Tx1,x0) ≤ ρ(Tx1,Tx0)+ρ(Tx0,x0) ρ ρ αρ(x ≤α+r(1-α)r=r ≤ αρ 1,x0)+(1-α)r≤α α ≤α α 数学归纳法) ⇒ρ(xn,x0)≤r (n=1,2,…) (数学归纳法 ≤ 数学归纳法 ⇒xn∈S(x0,r) (n=1,2,…) 唯一x∈ 上应用定理4.1) ⇒∃唯一 ∈S(x0,r)，使得 ，使得x=Tx. （在S(x0,r)上应用定理 上应用定理
有唯一解。 有唯一解。 完备, 上连续, 证 R2完备 且y(x)在R上连续 ∀δ 在 上连续 ∀δ>0, 使α=kδ<1, 令 δ C[x0-δ,x0+δ]={y=y(x)|x∈[x0-δ, x0+δ], y(x)连续 ， 连续}， δ δ | ∈ δ δ 连续 按如下距离ρ 是完备的距离空间： 则C[x0-δ, x0+δ]按如下距离ρ(y1,y2)是完备的距离空间： δ δ 按如下距离 是完备的距离空间
压缩映射原理
考虑方程 x ( x) (4.3) 若x ( x ) (4.4) 称x 是(4.3)的根，又称x 是函数 ( x)的不动点，称(4.3)为不动点 形式的方程。 压缩性直观的给出一种 求不动点的方法 设 ( x)是[a, b]上的压缩函数， x0 [a, b], xk 1 ( xk )(k 0,1,2...) (4.5) 称（4.5）为解方程（ 4.3）的不动点迭代公式， ( x)为迭代函数， x0为迭代初值，xk 为第k次迭代值。
全局收敛：在固定 [a, b]中任取一个初值 x0 , 迭代都收敛，称为全局 收敛。 定理4.1，定理4.2，推论都是全局收敛。 局部收敛：称一种迭代 过程在根x 邻近收敛，如果存在 x 的一个领域 {x :| x x | }, 使得x0 迭代过程均收敛
2.收敛速度 设迭代公式（ 4.5）收敛，所谓收敛速度 ，是指接近收敛的过程 中 迭代误差的下降速度。 记ek x xk , 称ek 为第k次迭代误差。 定义4.3若ek 0，且存在常数p 1, 使 Lim ek 1 C (C 0)(k ), ek
定义4.2设x 是 ( x)的不动点， {xk }是由迭代公式 (4.5)生成的一个近似根 数列，若Lim xk x (k ),则称迭代公式（ 4.5）收敛。 定理4.1设 ( x)是[a, b]上的压缩函数，则 ( x)在[a, b]中有唯一的不动点 x ，且对任意的x0 [a, b], 迭代公式（ 4.5）都收敛。 定理4.2设 ( x)是[a, b]上的压缩函数，则下列 误差估计成立 L | x xk | | xk xk 1 |, (4.6) 1 L Lk | x xk | | x1 x0 |, (4.7) 1 L 注：（4.6）是后验误差估计，常 用 | xk xk 1 | （允许误差）作为迭代
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= 1-
m M
，则有0＜＜1，且
A2 x A1 x 2 x 1 x
按 Ca,b 中距离的定义，即知
d A2, A1 d 2,1。
因此，A是压缩映射。由定理1，存在唯一的 Ca,b满
足A= ，即 x x 1 f x, x，这就是说
f
x,
x
0,
M
a
x
b
定理证毕。
定理3（Picard）设 f t, x 是矩形
（1），我们有
d x,Tx d x, xm d xm,Tx
d x, xm d xm1, x
上面不等式右端当m 时趋向于0，所以 d x,Tx 0 ，即 x Tx 。
下证唯一性。如果又有 x X ，使 Tx x，则由条件（1），
d x, x d Tx,Tx d x, x
因 ＜1，所以必须 d x, x 0 ，即 x x 。证毕。
x
m 1
d
x0 ,
x1
（4）
（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。
§6 压缩映射原理及其应用
Banach空间的压缩映射原理是完备度量空间概念
的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分
方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。
定义1 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存
在一个数 ，0＜＜1，使得对所有的x，y∈X，成立
d（Tx，Ty）≤ d（x，y），
（1）
则称T是压缩映射。
数m和M，满足
0＜m≤ fyx, y≤M，m＜M。 则方程 f x, y =0在区间 a,b上必有唯一的连续函数 y=x 作
为解：
f x, x 0, x a,b 。
证 在完备空间 Ca,b 中作映射A，使对任意的函数 Ca,b，
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(x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<1)
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注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法: x0X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…), x=lim xn (n). 3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：
定义4.1 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。
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2. 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922) 定理4.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T： XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。
T是S(x0,r)上的压缩映射, 且(Tx0, x0)(1)r (0<1) (x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr (x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0)
(x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r (xn,x0)r (n=1,2,…) (数学归纳法) xnS(x0,r) (n=1,2,…) 唯一xS(x0,r)，使得x=Tx. （在S(x0,r)上应用定理4.1)
证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X：
xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。T是压缩映射 , 0<1, 使得
(xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) …n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,…)
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事实上，由定理证明过程知
令k, 有极限保号性记即得证
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推论4.1 设X是完备的距离空间，T：XX. 如果T在闭球S(x0, r)上是压缩映射，并且 (Tx0, x0)(1)r (0<1) 则T在闭球S(x0, r) 中存在唯一的不动点。
分析 只要在闭球内构造一个迭代序列{xn}即可。 证 取初始点x0S(x0, r)，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,…)
x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
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例4.2 设f(x)在闭区间[x0-h,x0+h]上可导, 且f’(x)<1, 又f(x0)x0(1-)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点x, 且x可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0[x0-h,x0+h])迭代求得. 证 （结合推论4.1及例4.1即得证。）
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推论4.2 设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数 (0<1) 及正整数n0 ，使对任何x, yX，都有
则T存在唯一不动点x，即x=Tx. (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…)
证 是X上的压缩映射
x与Tx都是 的不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
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第3页
一、压缩映射及压缩映射原理 1.压缩映射及其不动点的定义
定义4.1 (压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在0<1，对x,yX，都有
(Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。
定理1 压缩映射是连续映射 事实上，{xn}X, xnxX, T:XX是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n) T是连续映射
(xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+…+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+…+n)(Tx0,x0) (kN)
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(xn+k,xn)0 (n) (0<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n) ② 证明极限点x就是T的不动点。 T是压缩映射T是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n)
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3.压缩映射原理应用 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。
例4.1 设f (x)在R可导, 且f ′(x)<1, 则f (x)在R上有唯一的不动 点x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得. 证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射，
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第四节 压缩映射原理及其应用
• 压缩映射及其不动点的概念 • 压缩映射原理 • 压缩映射原理应用举例—求映射的不动点
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基本思想：
代数方程 微分方程 积分方程
Байду номын сангаас
x=Tx
x0 , xn+1=Txn
~x T~x
注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问 题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法 是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿 求代数方程根时采用的切线法。 2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.
R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2[x0-h, x0+h], 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 又(f(x0), x0)=f(x0)-x0(1-)h f(x)在[x0-h, x0+h]上有唯一的不动点x (推论4.2)， 且对于迭代xn+1=Txn，有