中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及详细答案

∴ DJ＝FG，JH＝HF，
∴ EJ＝BG＝EM＝BI，
∴ BE＝IM＝BF，
∵ ∠ MEJ＝∠ B＝60°，
∴ △ MEJ 是等边三角形，
∴ MJ＝EM＝NI，∠ M＝∠ B＝60°
在△ BIF 和△ MJI 中，
BI＝MJ B＝M ， BF＝IM
∴ △ BIF≌ △ MJI， ∴ IJ＝IF，∠ BFI＝∠ MIJ，∵ HJ＝HF， ∴ IH⊥JF， ∵ ∠ BFI+∠ BIF＝120°， ∴ ∠ MIJ+∠ BIF＝120°， ∴ ∠ JIF＝60°， ∴ △ JIF 是等边三角形， 在 Rt△ IHF 中，∵ ∠ IHF＝90°，∠ IFH＝60°， ∴ ∠ FIH＝30°，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图（1）在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一动点，连接 AE，作 BF⊥AE，垂足为 G 交 AD 于 F （1）求证：AF＝DE； （2）连接 DG，若 DG 平分∠ EGF，如图（2），求证：点 E 是 CD 中点； （3）在（2）的条件下，连接 CG，如图（3），求证：CG＝CD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析． 【解析】 【分析】 （1）证明△ BAF≌ △ ADE（ASA）即可解决问题． （2）过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．想办法证明 AF＝DF，即可解决 问题． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明 BC＝CP 即可． 【详解】 （1）证明：如图 1 中，
（2）IH＝ 3 FH．只要证明△ IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，先证 明△ DEG≌ △ DEM，再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）①证明：如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ CG＝ 1 BP＝BC， 2
∴ CG＝CD． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题．
2．(1)如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE、DF，且 BE 平分∠ ABD． ①求证：四边形 BFDE 是菱形； ②直接写出∠ EBF 的度数； (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究，如图②，点 G、I 分别在 BF、BE 边上，且 BG=BI，连 接 GD，H 为 GD 的中点，连接 FH 并延长，交 ED 于点 J，连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系，并说明理由； (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时，点 E 是对角 线 AC 上一点，连接 DE、EF、DF，使△ DEF 是等腰直角三角形，DF 交 AC 于点 G.请直接写 出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系.
∴ IH＝ 3 FH．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2． 理由：如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，
∵ ∠ FAD+∠ DEF＝90°， ∴ AFED 四点共圆， ∴ ∠ EDF＝∠ DAE＝45°，∠ ADC＝90°， ∴ ∠ ADF+∠ EDC＝45°， ∵ ∠ ADF＝∠ CDM， ∴ ∠ CDM+∠ CDE＝45°＝∠ EDG， 在△ DEM 和△ DEG 中，
∴ AD∥ BC，OB＝OD，
∴ ∠ EDO＝∠ FBO，
在△ DOE 和△ BOF 中，
EDO＝FBO
OD＝OB
，
EOD＝BOF
∴ △ DOE≌ △ BOF， ∴ EO＝OF，∵ OB＝OD， ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形， ∵ EF⊥BD，OB＝OD， ∴ EB＝ED， ∴ 四边形 EBFD 是菱形． ②∵ BE 平分∠ ABD， ∴ ∠ ABE＝∠ EBD， ∵ EB＝ED， ∴ ∠ EBD＝∠ EDB， ∴ ∠ ABD＝2∠ ADB， ∵ ∠ ABD+∠ ADB＝90°， ∴ ∠ ADB＝30°，∠ ABD＝60°， ∴ ∠ ABE＝∠ EBO＝∠ OBF＝30°， ∴ ∠ EBF＝60°．
定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．
5．（问题发现）
（1）如图（1）四边形 ABCD 中，若 AB=AD，CB=CD，则线段 BD，AC 的位置关系
为
；
（拓展探究）
（2）如图（2）在 Rt△ ABC 中，点 F 为斜边 BC 的中点，分别以 AB，AC 为底边，在
Rt△ ABC 外部作等腰三角形 ABD 和等腰三角形 ACE，连接 FD，FE，分别交 AB，AC 于点
3 解：设 GF x ，则 AF 5 x ， AC 2x ，
在 Rt AFC中， (2x)2 ( 7 )2 (5 x)2 ，
解得：
x1
2，
x2
16 3
(
舍去 )
，
GF 2，
菱形 BDFG 的周长为 8．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些
（2）结论：IH＝ 3 FH．
理由：如图 2 中，延长 BE 到 M，使得 EM＝EJ，连接 MJ．
∵ 四边形 EBFD 是菱形，∠ B＝60°，
∴ EB＝BF＝ED，DE∥ BF，
∴ ∠ JDH＝∠ FGH，
在△ DHJ 和△ GHF 中，
DHG＝GHF
DH＝GH
，
JDH＝FGH
∴ △ DHJ≌ △ GHF，
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 【解析】 【分析】
1 利用平行线的性质得到 CFA 90 ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半即可得证，
2 利用平行四边形的判定定理判定四边形 BDFG 为平行四边形，再利用 1 得结论即可得
证，
3 设 GF x ，则 AF 5 x ，利用菱形的性质和勾股定理得到 CF、AF 和 AC 之间的关
M，N．试猜想四边形 FMAN 的形状，并说明理由；
（解决问题）
（3）如图（3）在正方形 ABCD 中，AB=2 ，以点 A 为旋转中心将正方形 ABCD 旋转
60°，得到正方形 AB'C'Fra Baidu bibliotek'，请直接写出 BD'平方的值．
【答案】（1）AC 垂直平分 BD；（2）四边形 FMAN 是矩形，理由见解析；（3）16+8 或 16﹣8 【解析】 【分析】 （1）依据点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，即可得出 AC 垂直平分 BD； （2）根据 Rt△ ABC 中，点 F 为斜边 BC 的中点，可得 AF=CF=BF，再根据等腰三角形 ABD 和等腰三角形 ACE，即可得到 AD=DB，AE=CE，进而得出∠ AMF=∠ MAN=∠ ANF=90°，即可 判定四边形 AMFN 是矩形； （3）分两种情况：①以点 A 为旋转中心将正方形 ABCD 逆时针旋转 60°，②以点 A 为旋 转中心将正方形 ABCD 顺时针旋转 60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结 论． 【详解】 （1）∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AF＝DF＝DE＝ 1 AD＝ 1 CD， 22
即点 E 是 CD 的中点． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，
∠ ADE＝∠ ECP＝90°，∠ DEA＝∠ CEP， ∴ △ ADE≌ △ PCE（ASA） ∴ AE＝PE， 又 CE∥ AB， ∴ BC＝PC， 在 Rt△ BGP 中，∵ BC＝PC，
在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠ BAD＝∠ D＝90o， ∴ ∠ 2+∠ 3＝90° 又∵ BF⊥AE， ∴ ∠ AGB＝90° ∴ ∠ 1+∠ 2＝90°， ∴ ∠ 1＝∠ 3 在△ BAF 与△ ADE 中， ∠ 1=∠ 3 BA=AD ∠ BAF=∠ D， ∴ △ BAF≌ △ ADE（ASA）
和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.
3．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CE=BF．连接 DE，过 点 E 作 EG⊥DE，使 EG=DE，连接 FG，FC． （1）请判断：FG 与 CE 的关系是___； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是 否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是 否仍然成立？请直接写出你的判断．
∴ AF＝DE． （2）证明：过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．
由（1）得∠ 1＝∠ 3，∠ BGA＝∠ AND＝90°，AB＝AD ∴ △ BAG≌ △ ADN（AAS） ∴ AG＝DN，
又 DG 平分∠ EGF，DM⊥GF，DN⊥GE， ∴ DM＝DN， ∴ DM＝AG，又∠ AFG＝∠ DFM，∠ AGF＝∠ DMF ∴ △ AFG≌ △ DFM（AAS），
【答案】（1）FG=CE，FG∥ CE；（2）成立；（3）成立. 【解析】 试题分析：（1）只要证明四边形 CDGF 是平行四边形即可得出 FG=CE，FG∥ CE； （2）构造辅助线后证明△ HGE≌ △ CED，利用对应边相等求证四边形 GHBF 是矩形后，利 用等量代换即可求出 FG=C，FG∥ CE； （3）证明△ CBF≌ △ DCE 后，即可证明四边形 CEGF 是平行四边形． 试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥ CE； （2）过点 G 作 GH⊥CB 的延长线于点 H．∵ EG⊥DE， ∴ ∠ GEH+∠ DEC=90°．∵ ∠ GEH+∠ HGE=90°，∴ ∠ DEC=∠ HE．在△ HGE 与△ CED 中， ∵ ∠ GHE=∠ DCE，∠ HGE=∠ DEC，EG=DE，∴ △ HGE≌ △ CED（AAS），∴ GH=CE， HE=CD．∵ CE=BF，∴ GH=BF．∵ GH∥ BF，∴ 四边形 GHBF 是矩形，∴ GF=BH，FG∥ CH， ∴ FG∥ CE．∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ CD=BC，∴ HE=BC，∴ HE+EB=BC+EB，∴ BH=EC， ∴ FG=EC； （3）∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ BC=CD，∠ FBC=∠ ECD=90°．在△ CBF 与△ DCE 中， ∵ BF=CE，∠ FBC=∠ ECD，BC=DC，∴ △ CBF≌ △ DCE（SAS），∴ ∠ BCF=∠ CDE， CF=DE．∵ EG=DE，∴ CF=EG．∵ DE⊥EG，∴ ∠ DEC+∠ CEG=90°．∵ ∠ CDE+∠ DEC=90°， ∴ ∠ CDE=∠ CEG，∴ ∠ BCF=∠ CEG，∴ CF∥ EG，∴ 四边形 CEGF 平行四边形，∴ FG∥ CE， FG=CE．
4．在 ABC中， ABC 90 ，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作 CE BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG BD ，连接 BG，
DF．
1 求证： BD DF ； 2 求证：四边形 BDFG 为菱形； 3 若 AG 5 ， CF 7 ，求四边形 BDFG 的周长．
系，解出 x 即可． 【详解】
1 证明： AG / /BD ， CF BD ，
CF AG ， 又 D 为 AC 的中点， DF 1 AC ，
2 又 BD 1 AC ，
2 BD DF，
2 证明： BD / /GF ， BD FG ，
四边形 BDFG 为平行四边形， 又 BD DF， 四边形 BDFG 为菱形，
DE＝DE EDG＝EDM ， DG＝DM
∴ △ DEG≌ △ DEM， ∴ GE＝EM， ∵ ∠ DCM＝∠ DAG＝∠ ACD＝45°，AG＝CM， ∴ ∠ ECM＝90° ∴ EC2+CM2＝EM2， ∵ EG＝EM，AG＝CM， ∴ GE2＝AG2+CE2． 【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝ 3 FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】 【分析】 （1）①由△ DOE≌ △ BOF，推出 EO＝OF，∵ OB＝OD，推出四边形 EBFD 是平行四边形， 再证明 EB＝ED 即可． ②先证明∠ ABD＝2∠ ADB，推出∠ ADB＝30°，延长即可解决问题．