专题一第4讲 导数与函数图像的切线及函数零点问题
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第4讲 导数与函数图象的切 线及函数零点问题
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
高考定位 在高考试题的导数压轴题中，把求切线和 研究函数的性质交汇起来是一个命题热点；两个函数 图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题， 函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题，在高 考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是 高考命题的另一热点.
2.
(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则 y0＝2x30－3x0，且切线斜率为 k＝6x20－3，
所以切线方程为 y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，
因为 t－y0＝(6x20－3)(1－x0).
整理得 4x30－6x20＋t＋3＝0，设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
将 x0＝±12，y0＝32代入 y＝ax3＋1(a＞0)，得 a＝4. 答案 4
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探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在 点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点， 点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为 切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率 之间的关系，进而和导数联系起来求解.
f
－a3＝23a
－a3＋14.
①若 f
－a3>0，即－34<a<0，f(x)在(0，1)无零点；
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②若 f
－a3＝0，即 a＝－34，则 f(x)在(0，1)有唯一零点；
③若 f
－a3<0，即－3<a<－34，由于 f(0)＝14，f(1)＝a＋54，
f′(x0)＝0.即x30＋ax0＋14＝0，解得 3x20＋a＝0，
x0＝12，a＝－34.
因此，当 a＝－34时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线.
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(2) 当 x∈(1 ， ＋ ∞) 时 ， g(x) ＝ － ln x<0 ， 从 而 h(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}≤g(x)<0，故 h(x)在(1，＋∞)上无零点. 当 x＝1 时，若 a≥－54，则 f(1)＝a＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝ g(1)＝0，故 x＝1 是 h(x)的零点； 若 a<－54，则 f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0， 故 x＝1 不是 h(x)的零点.当 x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考 虑 f(x)在(0，1)的零点个数. (ⅰ)若 a≤－3 或 a≥0，则 f′(x)＝3x2＋a 在(0，1)上无零点，故 f(x) 在(0，1)单调.
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a 的符号
零点个数
充要条件
a＞0 (f(x1)为极大值，
f(x2)为极小值) a＜0
(f(x1)为极小值，
一个 两个 三个 一个 两个
f(x1)＜0 f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0
f(x1)＞0 且 f(x2)＜0 f(x2)＜0
f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0
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而 f(0)＝14，f(1)＝a＋54，所以当 a≤－3 时，f(x)在(0，1)内有一个
零点；当 a≥0 时，f(x)在(0，1)没有零点.
(ⅱ)若－3<a<0，则 f(x)在0，
单调递增，
－a3上单调递减，在
－a3，1上
故在(0，1)中，当 x＝ －a3时，f(x)取得最小值，最小值为
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则 “ 过 点 P(1 ， t) 存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y ＝ f(x) 相 切 ” 等 价 于
“g(x)有3个不同零点”.g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，1)
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热点二 利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题 [微题型 1] 讨论方程根的个数 【例 2－1】 (2015·广州模拟)已知函数 f(x)＝(x2－3x＋3)·ex 的定
义域为[－2，t](t＞－2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在[－2，t]上为单调 函数； (2)当 1＜t＜4 时，求满足f′（exx00）＝23(t－1)2 的 x0 的个数.
所以当－54<a<－34时，f(x)在(0，1)有两个零点；
当－3<a≤－54时，f(x)在(0，1)有一个零点. 综上，当 a>－34或 a<－54时，h(x)有一个零点；当 a＝－34或 a
＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点.
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考点整合
1.求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：求出切线 的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)， 通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率， 列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程.
f(x2)为极大值)
三个
f(x1)＜0 且 f(x2)＞0
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3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象 交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的 个数得出两曲线交点的个数.
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解析 设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax20，
C2 在 A 处的切线的斜率为－k1OA＝－xy00， 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，
所以－xy00·3ax20＝－1，即 y0＝3ax30， 又 ax30＝y0－1，所以 y0＝32，代入 C2：x2＋y2＝52，得 x0＝±12，
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解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.令 f′(x)＝0，
得 x＝－ 22或 x＝ 22.因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，
f
22＝－
2，f(1)＝－1，所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值
为f
－
22＝
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λ (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
g′(λ)
＋
0－
0
＋
g(λ)
极大 值3
极小值 －5
因为 g(λ)在 R 上只有一个极大值 3 和一个极小值－5， 所以过点 N 可以作曲线 f(x)＝x3－x 的三条切线.
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2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时， 函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零 点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2 且 x1＜x2 的函数 f(x) ＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
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探究提高 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标， 解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达 切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2) 问中的切线过点(1，t).
【训练 1】 已知函数 f(x)＝x3－x. (1)设 M(λ0，f(λ0))是函数 f(x)图象上的一点，求点 M 处的切线方程； (2)证明：过点 N(2，1)可以作曲线 f(x)＝x3－x 的三条 切线.
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0－
0
＋
g(x)
t＋3
t＋1
所以，g(0)＝t＋3 是 g(x)的极大值，g(1)＝t＋1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)＝t＋3≤0，即 t≤－3 时，此时 g(x)在区间(－∞，1]和[1， ＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)＝t＋1≥0，即 t≥－1 时，此时 g(x)在区间(－∞，0)和[0， ＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点.
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(1)解 因为 f′(x)＝3x2－1.所以曲线 f(x)＝x3－x 在点 M(λ0， f(λ0))处的切线的斜率为 k＝f′(λ0)＝3λ20－1.所以切线方程为 y －(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0)，即 y＝(3λ20－1)x－2λ30. (2)证明 由(1)知曲线 f(x)＝x3－x 在点(λ，f(λ))处的切线的方程 为 y＝(3λ2－1)x－2λ3.若切线过点 N(2，1)，则 1＝2(3λ2－1)－2λ3， 即 2λ3－6λ2＋3＝0.过点 N 可作曲线 f(x)的三条切线等价于方程 2λ3－6λ2＋3＝0 有三个不同的解.设 g(λ)＝2λ3－6λ2＋3， 则 g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2). 当 λ 变化时，g′(λ)，g(λ)的变化情况如下表：
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真题感悟 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－ln x.
(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线；
(2)用 min{m，n}表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)＝min{f(x)，
g(x)}(x>0)，讨论 h(x)零点的个数. 解 (1)设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)，则 f(x0)＝0，
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热点一 函数图象的切线问题 [微题型 1] 单一考查曲线的切线方程 【例 1－1】 (2015·衡水中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A
是曲线 C1：y＝ax3＋1(a＞0)与曲线 C2：x2＋y2＝52的一个公共 点，若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是________.
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当 g(0)＞0 且 g(1)＜0，即－3＜t＜－1 时，因为 g(－1)＝t－7＜ 0，g(2)＝t＋11＞0，所以 g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1， 2)上恰有 1 个零点，由于 g(x)在区间 (－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以 g(x)分别在区间(－∞，0) 和[1，＋∞)上恰有 1 个零点.综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1). (3)过点 A(－1，2)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切； 过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲线 y＝f(x)相切； 过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 y＝f(x)相切.
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[微题型 2] 综合考查曲线的切线问题 【例 1－2】 (2014·北京卷)已知函数 f(x)＝2x3－3x.
(1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的 取值范围； (3)问过点 A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线 与曲线 y＝f(x)相切？(只需写出结论).
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解 (1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex， 由 f′(x)＞0，得 x＞1 或 x＜0；由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. ∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增， 在(0，1)上单调递减， 若使 f(x)在[－2，t]上为单调函数，则需－2＜t≤0， 即 t 的取值范围为(－2，0].
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高考定位 在高考试题的导数压轴题中，把求切线和 研究函数的性质交汇起来是一个命题热点；两个函数 图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题， 函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题，在高 考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是 高考命题的另一热点.
2.
(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则 y0＝2x30－3x0，且切线斜率为 k＝6x20－3，
所以切线方程为 y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，
因为 t－y0＝(6x20－3)(1－x0).
整理得 4x30－6x20＋t＋3＝0，设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
将 x0＝±12，y0＝32代入 y＝ax3＋1(a＞0)，得 a＝4. 答案 4
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探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在 点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点， 点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为 切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率 之间的关系，进而和导数联系起来求解.
f
－a3＝23a
－a3＋14.
①若 f
－a3>0，即－34<a<0，f(x)在(0，1)无零点；
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②若 f
－a3＝0，即 a＝－34，则 f(x)在(0，1)有唯一零点；
③若 f
－a3<0，即－3<a<－34，由于 f(0)＝14，f(1)＝a＋54，
f′(x0)＝0.即x30＋ax0＋14＝0，解得 3x20＋a＝0，
x0＝12，a＝－34.
因此，当 a＝－34时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线.
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(2) 当 x∈(1 ， ＋ ∞) 时 ， g(x) ＝ － ln x<0 ， 从 而 h(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}≤g(x)<0，故 h(x)在(1，＋∞)上无零点. 当 x＝1 时，若 a≥－54，则 f(1)＝a＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝ g(1)＝0，故 x＝1 是 h(x)的零点； 若 a<－54，则 f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0， 故 x＝1 不是 h(x)的零点.当 x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考 虑 f(x)在(0，1)的零点个数. (ⅰ)若 a≤－3 或 a≥0，则 f′(x)＝3x2＋a 在(0，1)上无零点，故 f(x) 在(0，1)单调.
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a 的符号
零点个数
充要条件
a＞0 (f(x1)为极大值，
f(x2)为极小值) a＜0
(f(x1)为极小值，
一个 两个 三个 一个 两个
f(x1)＜0 f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0
f(x1)＞0 且 f(x2)＜0 f(x2)＜0
f(x1)＝0 或者 f(x2)＝0
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而 f(0)＝14，f(1)＝a＋54，所以当 a≤－3 时，f(x)在(0，1)内有一个
零点；当 a≥0 时，f(x)在(0，1)没有零点.
(ⅱ)若－3<a<0，则 f(x)在0，
单调递增，
－a3上单调递减，在
－a3，1上
故在(0，1)中，当 x＝ －a3时，f(x)取得最小值，最小值为
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则 “ 过 点 P(1 ， t) 存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y ＝ f(x) 相 切 ” 等 价 于
“g(x)有3个不同零点”.g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，1)
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热点二 利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题 [微题型 1] 讨论方程根的个数 【例 2－1】 (2015·广州模拟)已知函数 f(x)＝(x2－3x＋3)·ex 的定
义域为[－2，t](t＞－2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在[－2，t]上为单调 函数； (2)当 1＜t＜4 时，求满足f′（exx00）＝23(t－1)2 的 x0 的个数.
所以当－54<a<－34时，f(x)在(0，1)有两个零点；
当－3<a≤－54时，f(x)在(0，1)有一个零点. 综上，当 a>－34或 a<－54时，h(x)有一个零点；当 a＝－34或 a
＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点.
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1.求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：求出切线 的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)， 通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率， 列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程.
f(x2)为极大值)
三个
f(x1)＜0 且 f(x2)＞0
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3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象 交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的 个数得出两曲线交点的个数.
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解析 设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax20，
C2 在 A 处的切线的斜率为－k1OA＝－xy00， 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，
所以－xy00·3ax20＝－1，即 y0＝3ax30， 又 ax30＝y0－1，所以 y0＝32，代入 C2：x2＋y2＝52，得 x0＝±12，
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解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.令 f′(x)＝0，
得 x＝－ 22或 x＝ 22.因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，
f
22＝－
2，f(1)＝－1，所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值
为f
－
22＝
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λ (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
g′(λ)
＋
0－
0
＋
g(λ)
极大 值3
极小值 －5
因为 g(λ)在 R 上只有一个极大值 3 和一个极小值－5， 所以过点 N 可以作曲线 f(x)＝x3－x 的三条切线.
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2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时， 函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零 点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2 且 x1＜x2 的函数 f(x) ＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
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探究提高 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标， 解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达 切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2) 问中的切线过点(1，t).
【训练 1】 已知函数 f(x)＝x3－x. (1)设 M(λ0，f(λ0))是函数 f(x)图象上的一点，求点 M 处的切线方程； (2)证明：过点 N(2，1)可以作曲线 f(x)＝x3－x 的三条 切线.
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0－
0
＋
g(x)
t＋3
t＋1
所以，g(0)＝t＋3 是 g(x)的极大值，g(1)＝t＋1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)＝t＋3≤0，即 t≤－3 时，此时 g(x)在区间(－∞，1]和[1， ＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)＝t＋1≥0，即 t≥－1 时，此时 g(x)在区间(－∞，0)和[0， ＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点.
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(1)解 因为 f′(x)＝3x2－1.所以曲线 f(x)＝x3－x 在点 M(λ0， f(λ0))处的切线的斜率为 k＝f′(λ0)＝3λ20－1.所以切线方程为 y －(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0)，即 y＝(3λ20－1)x－2λ30. (2)证明 由(1)知曲线 f(x)＝x3－x 在点(λ，f(λ))处的切线的方程 为 y＝(3λ2－1)x－2λ3.若切线过点 N(2，1)，则 1＝2(3λ2－1)－2λ3， 即 2λ3－6λ2＋3＝0.过点 N 可作曲线 f(x)的三条切线等价于方程 2λ3－6λ2＋3＝0 有三个不同的解.设 g(λ)＝2λ3－6λ2＋3， 则 g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2). 当 λ 变化时，g′(λ)，g(λ)的变化情况如下表：
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真题感悟 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－ln x.
(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线；
(2)用 min{m，n}表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)＝min{f(x)，
g(x)}(x>0)，讨论 h(x)零点的个数. 解 (1)设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)，则 f(x0)＝0，
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热点一 函数图象的切线问题 [微题型 1] 单一考查曲线的切线方程 【例 1－1】 (2015·衡水中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A
是曲线 C1：y＝ax3＋1(a＞0)与曲线 C2：x2＋y2＝52的一个公共 点，若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是________.
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当 g(0)＞0 且 g(1)＜0，即－3＜t＜－1 时，因为 g(－1)＝t－7＜ 0，g(2)＝t＋11＞0，所以 g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1， 2)上恰有 1 个零点，由于 g(x)在区间 (－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以 g(x)分别在区间(－∞，0) 和[1，＋∞)上恰有 1 个零点.综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1). (3)过点 A(－1，2)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切； 过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲线 y＝f(x)相切； 过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 y＝f(x)相切.
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[微题型 2] 综合考查曲线的切线问题 【例 1－2】 (2014·北京卷)已知函数 f(x)＝2x3－3x.
(1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的 取值范围； (3)问过点 A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线 与曲线 y＝f(x)相切？(只需写出结论).
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解 (1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex， 由 f′(x)＞0，得 x＞1 或 x＜0；由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. ∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增， 在(0，1)上单调递减， 若使 f(x)在[－2，t]上为单调函数，则需－2＜t≤0， 即 t 的取值范围为(－2，0].