2016复变函数与拉氏变换 作业题 答案

u v x y 对任意的 ( x, y ) 有 u v x y
a d 2, b c 1
即
2 x ay dx 2 y (1 分) ax 2by 2cx dy
可得:
(2
分
).
这
时
,
f ( z )
2
4. 应用拉氏变换求解微分方程
y 2 y 3 y e t y (0) 0, y(0) 1
复变函数与积分变换试题答案 一 判断正确与错误（每题 3 分）
（×） 1 若 u ( x, y ) 与 v( x, y ) 都是调和函数，则 f ( z ) u ( x, y ) i v( x, y ) 是解析函数。
复变函数与积分变换试题 答案
一 判断正确与错误（每题 3 分）
1． 若 u ( x, y ) 与 v( x, y ) 都是调和函数， 则 f ( z ) u ( x, y ) i v( x, y ) 是解析函数。 （ ） 2．因为 | sin z | 1 ，所以在复平面上 sin z 有界。 3．若 f ( z ) 在 z0 解析，则 f ( n ) ( z ) 也在 z0 解析。 4．对任意的 z ， Ln z 2 2 Ln z （ ） （ ） （ ）
1 2
1 2 (4分) 解: 设w f ( z ) ei 1 1 z 2 2z 1 wi (2分). 2 z z
, 则
1 4 π f ( ) ei (2分) 2 3 2
, 故
四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题 9 分）
1．求 f (t )
u v i 2( x y ) 2i( x y )或2 z 2iz (2 分) x x
1 3
5. 求 (1) 的所有三次方根。
1
解: ( 1) 3 cos
π π 1 3 2k +1 2k +1 , π+isin π k 0,1, 2 (4 分), w0 cos +isin = +i 3 3 2 2 3 3 5π 5π 1 3 +isin = i (3 分) 3 3 2 2
2. 求 (1) 3 的所有三次方根。
1
3． C z 2 d z 其中 C 是 z 0 到 z 3 4 i 的直线段。
4． |z|2 e z cos z d z 。(积分曲线指正向)
5． |z|2
dz 。(积分曲线指正向) z ( z 1)( z 3)
6 将 f ( z)
arg[
π 2 kπ i 3π π ] 。 2．ln(3i) ln 3 i , ii e 2 。 2 2i 4 2
3.在映照 f ( z ) 2 z 2 4 z 下，曲线 C 在 z i 处的伸缩率是 4 2 ，旋转角是
π 。 4
1 e2 z 1 e2 z 4 4. z 0 是 4 的 3 阶极点， Re s[ 4 , 0] 。 z z 3
1 1 6 1 (1,2,2,1分) 3 2 s ( s 1) ( s 2)2 36 1 6. 设 F ( s) 2 2 ，求 F ( s) 的逆变换。 s ( s 1) 解: F (s)
解: L-1[ F ( s )] L-1[ 1 1 ] L-1[ 2 ] 2 s s 1
0
4分 4 4 x3 1分 4 3 x 2 (1 i)3dx (1 i)3 [ ]3 i) (2分) 0 9(1 3 3 3 3
4． |z|2 e z cos z d z 。(积分曲线指正向) 解:原式=0. (7 分)
5． |z|2
解:
dz 。(积分曲线指正向) z ( z 1)( z 3)
Y (s)
s2 ( s 1)( s 1)( s பைடு நூலகம் 3)
(2分 )

3 1 1 (2分) 8( s 1) 4( s 1) 8( s 3)
3 1 1 1 5 1 y (t ) et e t e 3t (2分)或y (t ) ch t sh t e 3t (2分) 8 4 8 8 8 8
1．求 f (t )
0 e
kt
t0 t0
（ k 为正实数）的傅氏变换。
2. 设 f (t ) t 2 t et e2t sin 6t (t ) , 求 f (t ) 的拉氏变换。
3. 设 F ( s)
1 ，求 F ( s) 的逆变换。 s ( s 2 1)
解:
0 e
0
t0 t0
kt
（ k 为正实数）的傅氏变换。
1 1 [e ( k i )t ]0 . k i k i
F ( ) e kt e i t dt (2分)

3. 设 f (t ) t 2 t et e2t sin 6t (t ) , 求 f (t ) 的拉氏变换。
1 在 1 | z | 2 上展开成罗朗级数。 ( z 1)( z 2)
7.求将单位圆内 | z | 1 保形映照到单位圆内 | w | 1 且满足 f ( ) 0 ，
1 π arg f ( ) 的分式线性映照。 2 2
1 2
四 解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题各 9 分）
1 1 zn 1 分)=解: 原式 (1 n 1 ] (3 3分) n 1 z 2 z 1 z n 0 2
7.求将单位圆内 | z | 1 保形映照到单位圆内 | w | 1 且满足 f ( ) 0 ，
1 π arg f ( ) 的分式线性映照。 2 2
2．因为 | sin z | 1 ，所以在复平面上 sin z 有界。 （×） 3．若 f ( z ) 在 z0 解析，则 f ( n ) ( z ) 也在 z0 解析。 （√） 4．对任意的 z ， Ln z 2 2 Ln z （×）
二 填空（每题 3 分）
1．
i 2 ， 2 2 i 4
(1分 )
t sin t
(2.5,2.5分)
4. 应用拉氏变换求解微分方程
y 2 y 3 y e t y (0) 0, y(0) 1
解: 因为s 2Y ( s ) sy (0) y(0) 2[ sY ( s ) y (0)] 2Y ( s ) 1 , (3分)所以 s 1
。 阶 极 点 ，
1 e2 z Re s[ 4 , 0] z
。
三 解答题（每题 7 分）
1. 设 f ( z ) x 2 axy by 2 i(cx 2 dxy y 2 ) 。 问常数 a, b, c, d 为何值时 f ( z ) 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。
(2 分) 1 1 πi lim ] (2分) z 0 ( z 1)( z 3) z 1 z ( z 3) 6
原式 2πi Res[ f , 0] Re s[ f , 1] (3分) =2πi[lim
6 将 f ( z)
1 在 1 | z | 2 上展开成罗朗级数。 ( z 1)( z 2)
二 填空（每题 3 分）
1．
i 2 2 i
， ，
arg
i 2 2i
。 。
2． ln(3i)
ii
3. 在 映 照 f ( z ) 2 z 2 4 z 下 ， 曲 线 C 在 z i 处 的 伸 缩 率 是 4. z 0 是
1 e2 z 的 z4
，旋转角是
w1 cos π+isinπ = 1 , w2 cos
3． C z 2 d z 其中 C 是 z 0 到 z 3 4 i 的直线段。
解: 原式 [ z dz ]0

2
3 4i
3分
[
z 3 3 4i 2分 (3 4i)3 ]0 (2分)或 3 3
原式

3
三 解答题（每题 7 分）
4. 设 f ( z ) x 2 axy by 2 i(cx 2 dxy y 2 ) 。 问常数 a, b, c, d 为何值时 f ( z ) 在 复平面上处处解析？并求这时的导数。
解:
因为
u v u v 2 x ay , ax 2by , 2cx dy , dx 2 y ,(2 分)则 x x y y