第六章 回归分析
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第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章 回归分析
Standardized Residual Plots栏，标准 化残差图类型，有选择项： Histogram: 标准化残差直方图 Normal probability plot 标准化残差序 列的正态分布概率图.
Produce all partial plots 依次绘制 因变量和所有自变量的散布图
F SSE /(n p 1) p(1 r 2 )
• r2为回归方程的判定系数。在H0成立的条件下， 统计量F服从自由度为（p,n-p-1）的F分布，对于 给定的显著性水平，查临界值如果则拒绝原假设 H0，认为回归方程显著.
• 四、回归系数的t检验 • 对于多元线性回归，回归方程通过了显著 性检验，只说明Y与回归变量（X1， X2，…，XP）”整体上”线性相关关系显 著，并不能说明每一个回归变量与Y都是线 性相关关系，为此还要对每个回归系数进 行显著性检验，也就是说，在多元回归分 析中F检验和T检验不是等价的，二者的作 用是不同，所以，二者缺一不可。建立假 设 H0: b i 0(i 1,2,, p) • H1:
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
选入权重变量，进行加 权最小二乘法
Estimates (系统默认): 输出回归系数的 相关统计量：包括回归系数，回归系数 标准误、标准化回归系数、回归系数检 验统计量（t值）及相应的检验统计量概 率的P值（sig）。本例中只选择此项。 Confidence intervals:输出每一个非标准 化回归系数95％的置信区间。 Covariance matrix: 输出协方差矩阵。
第六章 相关与回归分析
第六章相关与回归分析第一节简单线性相关一、变量间的关系：1、函数关系：①、是一一对应的确定关系；②、设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y= f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量；③、各观测点落在一条线上。
2、相关关系：①、变量间关系不能用函数关系精确表达；②、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；③、当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个；④、各观测点分布在直线周围。
3、相关关系的种类：①、根据密切程度分为：完全相关、不完全相关、完全不相关；②、根据相关的方向分为：正相关、负相关；③、根据相关的形式分为：线性相关、非线性相关；④、根据变量的多少分为：单相关、复相关、偏相关。
二、相关分析和回归分析1、相关分析：用一个指标来表明现象间相互依存的密切程度；广义的相关分析包括相关关系的分析（狭义的相关分析）和回归分析。
2、回归分析：是指具有相关关系的现象，根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程式）用来近似地表达变量的平行变化关系的一种统计分析。
3、相关分析与回归分析的区别及联系：①、相关分析中，变量x变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化②、相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量③、相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制④、相关分析是回归分析的基础与前提，回归分析是相关分析的深入和继续。
三、相关系数：1、简单相关系数：是指在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
2、相关关系的计算公式为：公式一：2222)()(/))(()()(/))((y y x x y y x x y y x x y y x x r -∑⋅-∑--∑=-∑⋅-∑--∑= 公式二：2222)()(/y y n x x n xy x xy n r ∑-∑⋅∑-∑⋅∑-∑=公式三：y x y x xy r σσ⋅⋅-=/3、“r ”的取值范围及其意义：①、取值范围：相关系数的取值范围在+1和-1之间（-1≤r ≤1）。
第六章 多元回归分析
2
可决系数
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使 得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
[ RSS ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ Fk ,n1 n2 2 k ( RSS1 RSS2 ) /(n1 n2 2k )
例6-1：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域
面积＝0.95
面积＝0.05
0 2.76 拒绝区域
例6-2：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型：
6.2 参数的最小二乘估计
拟合值和残差的重要性质
（1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合
值与残差之间的样本协方差也为0；
（3）点( X 2 , X 3 ,
, X k , Y ) 总位于OLS回归线上；
ˆ ˆ X ˆX Y 1 2 2 3 3
（i=2，3…k）
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 2=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F
e
2 ˆ y i 2 i
n2 ˆ 2
e
ˆ 2 x2 2 i
2 i2) xi2
ˆX k k
随机误差项的均值为0，方差的估计量为：
ee ˆ nk
2
6.3 最小二乘估计量的性质
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
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第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
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第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
第六章相关与回归分析
3. 有总体相关系数与样本相关系数之分：
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
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统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
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统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
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统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
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计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
概率论 高等院校概率论课件JXHD6-1
第六章回归分析回归分析是研究变量间相关关系的一个统计分支，它主要解决以下面几个问题：（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预测或控制可达到什么样的精确度；（3）进行因素分析，在共同影响一个变量的许多变量(因素)之间找出哪些因素重要，哪些因素次要，这些因素之间有什么关系等。
回归分析一元线性回归多元线性回归逐步回归非线性回归与回归诊断一元线性回归建立模型参数估计显著性检验预测预报一.建立模型引例1.一个作匀速直线运动的质点，在时刻t 的位置是S ，则S a bt =+,其中 a 为质点在t =0时刻的初始位置,b 为平均速度。
观测到的数据是ε+=s y ,其中ε是随机误差（测量误差）。
于是我们有ε+=s y ε++=bt a （6-1） 其中t 是非随机的，ε是随机的，通常认为E ε=0，显然y 也是随机的。
为了估计a 、b ，现在 n 个不同时刻作观察，得n 组观察值)(i i y t ，n i ,21 ，，=。
即 y i =i i bt a ε++ (i n =12，，， )用向量矩阵形式表示如下：εβ+=X Y 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n εεεε 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t t t X 21111，⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a β。
问题:如何利用Y X 、的观测值来估计参数a 、b ，进一步预测未来时刻t 质点的位置。
引例2.在硝酸钠（3NaNO ）的溶解度试验中，测得在不同温度C X 0下溶解于100份水中的硝酸钠份数y 数据见下表:x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68y i 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125试找出X 与Y 之间的关系。
图6-1bx a +εy =+(6-2)20406080100120140020406080 Y X =+βε 问题：如何利用观测值来估计参数a 、b ，从而确定y 与x 的近似线性关系。
第六章 回归分析
第六章Excel在回归分析中的应用6.1 概述现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变量的变化来估计与推算另一个变量的变化。
这种分析方法称为回归分析。
回归分析的主要内容▪回归参数估计▪方程拟合效果评价▪回归参数的推断6.2 图表分析与回归函数分析例近年来国家教育部决定将各高校的后勤社会化。
某从事饮食业的企业家认为这是一个很好的投资机会，他得到十组高校人数与周边饭店的季销售额的数据资料，并想根据高校的数据决策其投资规模。
操作过程：①打开“饭店.xls”工作簿，选择“饭店”工作表，如下图所示。
②从“插入”菜单中选择“图表”选项，打开“图表向导”对话框如下图所示。
在“图表类型”列表中选择XY散点图，单击“下一步”按钮。
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产生在——列”，如下图所示，单击“下一步”按钮。
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如下图所示。
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图所示。
250200150100500510********⑥如图1所示，用鼠标激活散点图，把鼠标放在任一数据点上，单击鼠标右键，打开菜单，在菜单栏里选择“填加趋势线”选项，打开趋势线对话框如图2所示。
⑦打开“类型”页面，选择“线性”选项，Excel将显示一条拟合数据点的直线。
⑧打开“选项”页面如图3所示，在对话框下部选择“显示公式”和“显示R平方根”选项，单击“确定”按钮，便得到趋势回归图如图4所示。
y = 5x + 60R 2 = 0.9027501001502002500510********回归分析中的工作表函数▪截距函数INTERCEPT功能：利用已知的x 值与y 值计算回归直线在y 轴的截距。
语法结构：INTERCEPT(known_y's,known_x's)▪斜率函数SLOPE功能：返回根据known_y‘s 和known_x’s 中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。
第六章回归分析误差理论与数据处理费业泰-PPT课件
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
合肥工业大学
误差理论与数据处理
第二节
一、回归方程的确定
19.1
76.30
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
N
一元线性回归
x
t 1 N t 1
N
t
y
t
t
(x
t 1 N
x)
2
N
t 1
1 N xt ( xt ) 2 N t 1
2
(x
t 1 N
t
x )( yt y )
N
t 1
N 1 N x t y t ( x t )( y t ) N t 1 t 1
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
25.0
77.80
30.1
79.75
36.0
80.80
40.0
82.35
46.5
83.90
50.0
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
MATLAB程序设计 第6章 回归分析和方差分析
参数估计和假设检验
（1）区间估计 ❖例：有一大批糖果，现从中随机地取16袋,称得质量(单位:g)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
参数估计和假设检验
❖计算的MATLAB程序如下：
x0 = [506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496]; x0 = x0( : ); alpha = 0.05; mu = mean( x0); sig = std( x0 ); n =length(x0 ); t =[mu -sig/sqrt(n)*tinv(1-alpha /2,n-1),mu+ sig/sqrt(n)*tinv(1 -alpha/2,n-1)]; %以下命令ttest的返回值ci就直接给出了置信区间估计 [h,p,ci] =ttest(x0, mu,0.05)%通过假设检验也可求得置信区间
记
多元线性回归
（2）参数估计 理论模型中的参数 β0 ，β1，…，βm用最小二乘法估计，即应选取估计值
， j=0，1，…，m 时，误差平方和达到最小。
，使当
令
得
整理化为正规方程组
多元线性回归
正规方程组的矩阵形式为
，
当矩阵 X列满秩时，XT X 为可逆方阵，
将 代回原模型得到 y 的估计值，
而这组数据的拟合值为，
非线性回归
非线性回归是指因变量 y对回归系数 β1 ,…, βm (而不是自变量)是非线性的。 MATLAB统计工具箱中的命令 nlinfit、nlparci、nlpredci、nlintool，不仅可以给出 拟合的回归系数及其置信 区间，而且可以给出预测值及其置信区间等。
第六章 多元回归分析
预测对数模型中的 y（续）
• 如果u 不服从正态分布, E(exp(u)) 就必须 用辅助回归来进行估计 • 计算 ln(y)的预测值的指数函数, 然后用y 对 它做不含截距项的回归 • 回归结果中的系数就是E(exp(u)) 估计值， 可以用来乘以 ln(y) 的预测值的指数函数来 得到y 的预测值
重新定义变量
• • • • 表6.1、数据测度的影响 对参数估计的影响 对R2 、t检验、F检验的影响 各种不同的函数形式的影响
– – – – y = β0 + β1x1+ u y = β0 + β1 ln x1 +u lny = β0 + β1x1+ u lny = β0 + β1 ln x1+ u
T 1⎡ T s s 2 T a a 2 s a s a s s ⎤ = ⎢∑Yt −Y ) +∑Yt −Y ) +T(Y −Y ) +2(Y −Y )∑Yt −Y )⎥ ( ( ( T ⎣ t=1 t=1 t=1 ⎦
1⎡ s a T a a T s s a a ⎤ −2 ⎢(Y −Y )∑Yt −Y ) +∑Yt −Y )( t −Y )⎥ ( ( Y T⎣ t=1 t=1 ⎦ 1T s s2 1T a a2 s a 1T s s a a = ∑Yt −Y ) + ∑Yt −Y ) +(Y −Y ) −2 ∑Yt −Y )( t −Y ) ( ( ( Y T t=1 T t=1 T t=1 1T s s a a ∑(Yt −Y )(Yt −Y ) 1 T s s 2 1 T a a 2 T t=1 2 2 s a 2 =σs +σa +(Y −Y ) −2 ∑(Yt −Y ) ×T ∑(Yt −Y ) T T T t=1 t=1 1 s s 2 1 a a 2 (Yt −Y ) × ∑Yt −Y ) ( ∑ T t=1 T t=1 =σs2 +σa2 +(Y s −Y a )2 −2ρσσa =(σs −σa )2 +(Y s −Y a )2 +2(1−ρ)σsσa s
实验数据分析方法_回归分析
0.10
0.9877 0.9000 0.8054 0.7293 0.6694 0.6215 0.5822 0.5494 0.5214 0.4973 0.4762 0.4575 0.4409 0.4259 0.4124 0.4000 0.3887 0.3783 0.3687 0.3598 0.3233 0.2960 0.2746 0.2573 0.2428 0.2306 0.2108 0.1954 0.1829 0.1726 0.1638
上式右边第二项是回归值ŷ与平均值 y 之差的平方和，我们
称它为回归平方和，并记为U： U (y ˆ k y ) 2 ( b 0 b x k b 0 b x ) 2
k
b2 (xkx)2.
— 可以看出，回归平方和U是由于x的变化而引起的。因
此U反映了在y的总的变化中由于x和y的线性关系而引起
解之可得:
b
xkyk
xk yk N
(xk x)(yk y)
xk2N 1( xk)2
(xk x)2
b0N 1( ykb xk)ybx,
实验数据分析方法_Chap.6
8
其中 1 N
1N
xNk1xk,
y Nk1
yk.
在给定参数估计值b, b0后，可得到相应的回归方程 (或回归函数)为: yˆ b0 bx.
0.05
0.9969 0.9500 0.8783 0.8114 0.7545 0.7067 0.6664 0.6319 0.6021 0.5760 0.5529 0.5324 0.5139 0.4973 0.4821 0.4683 0.4555 0.4438 0.4329 0.4227 0.3809 0.3494 0.3246 0.3044 0.2875 0.2732 0.2500 0.2319 0.2172 0.2050 0.1946
应用统计学第六章回归分析
非线性回归模型的预测与应用
预测
使用非线性回归模型可以对未来的因变量值进行预测。通过将自变量代入模型，可以计算出未来的因变量值。
应用
非线性回归模型在许多领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、医学等。例如，在经济学中，可以使用非线性 回归模型来研究商品价格与销售量之间的关系；在生物学中，可以使用非线性回归模型来研究药物剂量与疗效之 间的关系。
回归分析的分类
一元线性回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的线性关 系。
非线性回归分析
研究自变量和因变量之间的非线性关系。
多元线性回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的线性关 系。
逻辑回归分析
用于研究分类因变量的概率预测，常用于二 元分类问题。
02
线性回归分析
一元线性回归
一元线性回归的数学模型为
回归分析的基本思想
探索自变量和因变量之间 的相关关系
回归分析通过收集数据并利用统计方法来探 索自变量和因变量之间的相关关系。
建立数学模型
基于收集的数据，通过最小二乘法等方法来拟合一 个最佳的数学模型，以描述自变量和因变量之间的 关系。
预测和推断
利用建立的数学模型，可以对因变量的取值 进行预测，并对自变量对因变量的影响进行 推断。
线性回归模型的预测与应用
01
线性回归模型的主要目的是进行 预测和分析。
02
通过输入自变量的值，可以预测 因变量的值。
在实际应用中，线性回归模型可 以用于各种领域，如经济、金融 、医学、农业等。
03
在应用线性回归模型时，需要注 意模型的适用性和局限性，并根
据实际情况进行调整和改进。
04
03
非线性回归分析
回归分析
b
截距：
4
a y b x 0.0342 0.058 0.600 6 10
回归方程为：
Y 0.0006 0.058x
2013/10/10
2013/10/10
2013/10/10
2013/10/10
电流 (A)
Linear Fit of 电流
0.06
2013/10/10
当x 值为x1, x2, …., xn时， Y1 = a + bx1 Y2 = a + bx2 ………… Yn = a + bxn
2013/10/10
相应于x1, x2, …., xn的实验测定值 y1, y2, ……, yn与按回归方程计算的 值Y1, Y2, ……, Yn并不相等；
2013/10/10
任意一个实验点(xi , yi) 偏离回归直线的 程度可以用离差的平方 [ yi – (a + bxi) ]2 来表示; n个实验点有n个离差； n个离差的平方和用VE表示；
2013/10/10
最小二乘法
VE [ yi (a bxi )] ........(2)
y峰电流 0.011 (μA) x2 0.040
xy
y2
0.0022
0.0088
0.021
0.001225
0.0368
0.057
0.000121 0.000484
0.002116 0.003249
Σx = 3.00 ; Σy = 0.171 ; Σx2 = 2.20 ; Σxy = 0.1258 ; Σy2 = 0.007195
n i 1 i
第六章回归分析
2. 对每一个自变量都要单独进行检验 3. 应用 t 检验 4. 在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
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重点与难点
回归分析的基本概念和主要内容 一元线性回归方程的求法 回归方程的方差分析和显著性检验 一元非线性回归方法 多元线性回归
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误差理论与数据处理
第一节 回归分析的基本概念
一、函数与相关
函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示 出来
相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系， 又不能由一个（或几个）自变量的数 值精确地求出另一个因变量的数值， 而是要通过试验和调查研究，才能确 定它们之间的关系。
第五节 多元线性回归
讨论多个变量之间试验结果的数学表示 一、多元线性回归方程
假如因变量 y 与M个自变量 x1, x2,L , xM 的内
在联系是线性的，通过试验得到N组观测数据：
(xt1, xt2,L , xtM ; yt ) t 1,L , N
那么这批数据的测量方程为：
y1 0 1x11 2 x12 L M x1M 1
第二节 一元线性回归
从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。
设测量数据有如下结构形式： yt 0 xt t , t 1,2, , N
式中，1,2, ,N 分别表示其它随机因素对电阻值 y1, y2, , yN 影响的总和。
思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出
0 和 的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。
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第一节 回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式；
2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
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第二节 一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
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第四节 一元非线性回归
回归曲线方程的效果与精度：
残余平方和 残余标准差
N
Q ( yt yˆt )2 t 1
Q
N 2
相关指数
R2 1 N Q
( yt yt )2
t 1
衡量回归曲线效果好坏 的指标
可以作为 根据回归 方程预报 y值的精 度指标
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2）方差分析
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第二节 一元线性回归
来源 回归 失拟 误差
总计
平方和
自由度
U mblxy
U 1
QL mlyy U
L N 2
Nm
QE
( yti yt )2
E
N(m 1)
t 1 i1
S U QE QL S Nm 1
方差
U /U QL / L QE / E
第四节 一元非线性回归
4、表差法（适用于多项式回归，含有常数项多于两 个的情况）
a、用试验数据画图；
b、确定定差x，列出xi,yi各对应值；
c、根据x,y的读出值作出差值 yk，看其是否与确 定方程式的标准相符，若一致，则说明原选定 的曲线类型是合适的。
三、化曲线回归为直线回归问题
用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都 可以通过变量代换转为直线回归方程，利用线性回 归分析方法可求得相应的参数估计值。
第六章 回归分析
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误差理论与数据处理
教学目标
本章主要阐述回归分析的基本概念，并 重点介绍一元线性回归和非线性回归的基本 方法，给出回归方程的方差分析和显著性检 验。从而使学生掌握回归分析方法的基本原 理，学会从实际测量中寻求两个变量和多个 变量之间的内在关系。
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误差理论与数据处理
－
F
F U /U
QE / E
F1
QL QE
/ /
L E
－
显著性 F (U , E ) F ( L , E )
－
3）方差检验
F U /U QE / E
:判断一元回归方程拟合效果
F1
QL QE
/ /
L E
:判断失拟平方和对试验误差的影响
F2
(QE
U /U QL ) /(
E
L )
:综合判断一元回归方程拟合效果
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第二节 一元线性回归
四、回归直线的简便求法
1）分组法－平均值法
将自变量按由小到大次序排列，分成个数相等或近于相
等的两个组（分组数等于未知数个数），则可建立相应的两
组观测方程：
y1 b0 bx1
yk b0 bxk
yk1 b0 bxk1
yN b0 bxN
v1
bˆ
b0 b
V
v2
vN
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第二节 一元线性回归
则误差方程的矩阵形式为
Y Xbˆ V
对照 V L AXˆ ，设测得值 yt 的精度相等，则有
bˆ ( X T X )1 X T Y
将测得值分别代入上式，可计算得
N
N
N
b
N
xt yt (
t 1
第二节 一元线性回归
S=U+Q
其中
N
U ( yt y)2 blxy t 1
U 1
N
Q ( yt yˆt )2 lyy blxy Q N 2 t 1
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关
系而引起 y变化的部分。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
第四节 一元非线性回归
一、求解思路
1、确定函数类型并检验。
2、求解未知参数。可化曲线回归为直线回归， 用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式 回归。
二、回归曲线函数类型的选取和检验
1、直接判断法
2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何 种类型，然后检验。
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第四节 一元非线性回归
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第二节 一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，
U越大，Q越小，说明y与x的线性关 系愈密切。
计算统计量F
F U /U Q / Q
对一元线性回归，应为
F U /1 Q /( N 2)
查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的
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第二节 一元线性回归
为检验一个回归方程拟合的好坏，可通过重 复试验，获得误差平方和 QE 和失拟平方和 QL ，然 后用 QE 对QL 进行F检验。
2、重复试验回归直线的求法 1）设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将
这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进 行拟合，见表6－5和表6－6。
自由度1和N-2进行检验：
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第二节 一元线性回归
若 F F0.01(1, N 2), 回归在0.01的水平上高度显著。 F0.05(1, N 2) F F0.01(1, N 2), 回归在0.05的水平上显著。 F0.10(1, N 2) F F0.05(1, N 2),回归在0.1的水平上显著。 F F0.10(1, N 2), 回归不显著。
x
1 N
N
xt
t 1
y
1 N
N t 1
yt
lxx
N t 1
( xt
x)2
N t 1
xt 2
1 N
N
(
t 1
xt )2
lxy
N t 1
( xt
x)( yt
y)
N t 1
xt yt
1 N
N
(
t 1
N
xt )(
t 1
yt )
lyy
N t 1
( yt
y)2
N t 1
yt 2
1N (
yt 0 (xt t ) t
所求回归方程为
yˆ b0 bxˆ
式中，为xˆ使、xyˆ、、yb0的、误b差分在别求为回x、归方y、程式0、具有 等的价估性计，值令。x2 / y2
y ' y，则回归方程可写成
yˆ ' b0 ' b ' xˆ '
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第三节 两个变量都具有误差时线性回 归方程的确定
t 1
0
得
b
b lyy lxx
(lyy
lxx )2
4l yy 2
2lyy
b0 y bx
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第三节 两个变量都具有误差时线性回 归方程的确定
变量 x、y 的方差可用下式估计：
x2
1 N
2
1 b2
2 y
x2
N t 1
dt
2
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平方和 自由度
U blxy Q lyy blxy
S lyy
1 N-2
N-1
方差 －
－
F
显著性
F U /1 Q /(N 2)
F (1, N 2)
－
－
三、重复试验情况
1、重复试验的意义
“回归方程显著”：只表明因素x的一次项对y的影响 显著；难以确定影响y的是否还有其它不可忽略的 因素？x和y是否线性? 不表明该方程拟合得很好。
3、直线检验法（适用于待求参数不多的情况）
a、预选回归曲线 f (x, y, a,b) 0