§2变换群、置换群与循环群
群论中的置换群及其应用
群论中的置换群及其应用群论是数学中非常重要的一个分支，它主要研究群的性质及其应用。
而置换群作为群论中的一个基本概念，是群论研究的一个重要方向。
置换群是指某个集合中的所有元素在不同情况下的排列和变换所构成的一种群结构。
接下来，我将从置换群的概念、性质和应用三个方面进行详细介绍。
一、置换群的概念置换群的概念来源于群上的置换操作。
在数学中，置换指的是对于一个集合中的所有元素进行排列的一种操作。
这种操作可以看做是一个把集合内的所有元素重新排列的变化。
而一个置换群就是由集合中所有可能的置换操作构成的群结构。
在置换群中，每个置换操作都是一个置换元，而群结构就是由所有置换元的集合组成的。
置换群中的元素有两种表示方法，一是环形表达式，二是秩序表达式。
环形表达式指的是将元素描绘成一个环，按照环上的顺序进行排列，而秩序表达式则是按元素的秩序进行排列。
例如，一个置换群 {1, 2, 3} 就可以表示为 {(1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1), (2), (3)}。
置换群有许多基本的性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，同时还有一些特殊的性质，如循环群、置换群的阶等。
二、置换群的性质置换群不仅有基本性质，还有一些比较特殊的性质：1、置换群的循环群如果一个置换群中的元素可以由一个或多个置换循环所表示，那么这个置换群就是一个循环群。
循环群在加密算法中有着广泛的应用，可以支持数字签名、身份验证等多种功能。
2、置换群的阶置换群的阶指的是每个置换元的阶的最小公倍数。
其中，置换元的阶是指执行该置换元所需的最小步骤数。
阶在加密算法中也有很大的作用，例如可以用于求模运算的模数选择和随机数的生成。
3、可逆性置换群中的置换元有可逆和不可逆之分。
可逆的置换元可以通过执行逆置换来回到原始状态，而不可逆的置换元则无法回到原始状态。
可逆性在密码学中也有重要的应用，例如对称加密算法中使用的置换矩阵通常是可逆的。
三、置换群的应用置换群有着广泛的应用，特别是在密码学中。
第9讲 第2章第6节 置换群
混合循环
(12)(34), (13)(24), (14)(23)
2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4 2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 3 6 5 1 4 2
1 5 3
5 1 4
S3 是有限非交换群.
而且，可以说 S3 是最小的有限非交换群.因为我们 后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。
命题1
设 1 j1 2 j1
j1 j1(1)
jk jk
jk jk (1) jk 1 jk 1(2)
2 n k2 kn
1 2 n 2.单位（恒等）置换： 1 2 n
3.置换的逆：
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 pn 2 n
2 2 1 3 1 3 5 1 3 1 2 1 2 3 2 2 1 3 1 3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 5 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
性质1 两个不相连的循环置换是可以交换的. 性质2 k—循环置换的阶为k.
性质3 不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的 最小公倍数.
性质4
i1i2 ik
1
ik ik 1 i1
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
离散数学第6讲置换群和循环群
在群<G,g*i>=中a,,如gj果=存b 在一个元素g∈G, 对于每一个元素 a∈G都有一个相应的正整数i∈I, 能把a表示成gi形式, 那么称<G , *>是一个循 环群，g那是该么循a环*b群=的gi生*g成j=元g。i+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
以把每一旋转看成是三角形的顶点集合{1, 2, 3}的置换, 于是有
p1
1
1
2 2
3
3
( 旋转 0 )
p5
1
2
2 3
3
1
( 旋转 120 )
p6
1
3
2 1
3
2
( 旋转
240 )
一、置换群
例2 两面体群(续) 再将三角形围绕直线1A、2B、3C翻转。又得到顶点集合的置换:
2 31 2
2 3
1 31 3
2 2
1 3
11
2 3
3 2
◇
12
2 3
1312
2 1
33
一、置换群
不难验证： (右合成运算：◇, p1◇p2, 先p1置换, 再p2置换) (1) <Sn, ◇>是一个代数； (2) <Sn, ◇>是一个群。
给定集合A, (1) Sn关于运算◇封闭 (2) A上所有置换对运算◇而言满足结合律 (3) Sn关于运算◇存在么元—恒等置换，恒等函数，又称么置换 (4)每一置换都有逆置换——逆函数
p1
1 2
2 3
3 4
4 1
p2
1 3
2 4
3 1
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
置换群的表示方法及循环
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
(精选)近世代数练习题题库
§ 1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。
( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。
( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。
( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集 Z 上， 定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。
( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。
2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}， 则 A×B =_________________ 。
2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。
2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。
2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。
2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。
2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }， 则 A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3， 则共可定义 个从 A 到 B 的映射， 其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集 合 A 的 元 间 的 关 系~ 叫 做 等 价 关 系， 如 果 ~ 适 合 下 列 三 个 条 件： _____________________________________________ 。
变换群和置换群
基于已知群定义变换群的例子
• 对群(G,*)中任意一元素a, 可以定义： a:GG, xG, a(x)=x*a,
– a是一一变换
• a是显然是函数 • 对任意bG，群方程x*a=b有唯一解，即a是满射 • 由群满足消去律：x*a=y*a x=y, 即a是单射
– 经常讨论的是一一变换，即f是双射。 – 变换就是函数，变换的“乘法 ”就是函数复合 运算。
• 集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群称为变 换群。
非空集合上所有一一变换构成群
• 设A是任意的非空集合，A上所有的一一 变换一定构成群。
– 封闭性：双射的复合仍是双射。 – 结合律：变换乘法是关系复合运算的特 例。 – 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任 意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换) – 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g 1:AA, 即其逆元素。
变换群的例子
• G是R上所有如下形式的变换构成的集合 {fa,b | fa,b(x)=ax+b，其中a,b是有理数，a0} 则G是变换群。
– 封闭性: – 结合律： – 单位元： – 逆元素：
置换及其表示
• 定义：有限集合S上的双射 :SS称为S 上的n元置换 • 记法：
1 2 ... n (1) (2) ... (n)
– e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2); =(2 3); =(1 3); =(1 2)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 7 2 5 8 6
不相交的轮换相乘可以交换
• 给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ), 若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交 • 若 与 不相交，则 =
近世代数
§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里，我们计算的对象是数， 计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐 进步，我们发现，可以对于若干不是数的 事物，用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多， 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数（或抽象代数）的 主要内容就是研究所谓代数系统，即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.
循环群和置换群
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
《循环群与置换群》课件
05
循环群与置换群的习题 与解答
习题部分
习题1
什么是循环群？请给出循环群 的定义。
习题2
置换群的定义是什么？请举例 说明。
习题3
请描述循环群和置换群之间的 关系。
习题4
给出几个具体的循环群和置换 群的例子。
解答部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
解答1
循环群是由一个元素生 成的群，其定义是 G={a^n | n属于整数} ，其中a是G的元素， 且a^n表示a自乘n次 。
群，其中包含元素 (1,2,3)和(1,3,2)，因为 它们分别表示元素之间
的替换。
谢谢观看
交替群
由两个置换交换位置形成 的群。
完全置换群
由所有可能的置换组成的 群。
置换群的子群与共轭类
子群
置换群的子集，满足封闭性和结合性。
共轭类
两个置换在共轭关系下形成的类。
03
循环群与置换群的关系
循环群是置换群的特例
循环群是置换群的一 种特殊形式，其中元 素都是循环置换。
置换群中的元素可以 表示为 $(1)(2)(3),(1)(3)(2),( 2)(1)(3),(2)(3)(1),do ts,(12)(34),dots$。
循环群中的元素可以 表示为 $(1),(12),(13),(14),d ots,(123),(124),dots ,(1234),dots$。
置换群在几何中的应用
置换群在几何中有着广泛的应用，特 别是在晶体结构和分子结构的研究中 。
通过研究置换群的性质和分类，可以 深入了解晶体或分子的结构和性质。
和逆元等。
晶体结构中的置换群
总结词
晶体结构中的置换群是物理学中的一个 重要实例，它展示了置换群的基本性质 和特点。
§2变换群、置换群与循环群
• |An|=? • 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换
，它也是An的元素，|An|=1。 • 若n>1, • |An|=|On|=12 n !
2020/10/31
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任 意gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.Leabharlann ii1 2i2 i3
id1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
2020/10/31
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解 为不含公共元的若干个循环置换的乘积 。
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
2020/10/31
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积 ，但它们的对换个数的奇偶性则是一致 的。
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
2020/10/31
近世代数第二章答案解析
近世代数第二章群论答案§.群的定义1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如3- 2-1 =3-仁2 3-2 -1 =1-1=03 - 2-1 3-2 -12. 举一个有两个元的群的例。
解：令G=「e,",G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) xy z =x yz x,y,z G因为，由于ea二ae二a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。
(参考第一章，§4，习题3。
)若是e不在(1)中出现，那么有aa a = ea = a a aa = ae = a而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。
所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3•证明，我们也可以用条件以及下面的条件IV , V来做群的定义：IV G里至少存在一个右逆元a J，能让ae = a对于G的任何元a都成立；V 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a-1，能让aa A = e解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2.单位元、逆元、消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2 = e，那么G是交换群。
解：令a和b是G的任意两个元。
由题设2ab ab = ab = e另一方面2 2ab ba = ab a = aea = a = e于是有ab ab = ab ba。
利用消去律，得ab= ba所以G是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。
解：令G是一个有限群。
设G有元a而a的阶n> 2。
考察a，。
我们有af ) = e e(a，) =(a^ f = e设正整数m<n而a4 m=e,那么同上可得a m = e，与n是a的阶的假设矛盾。
这样，n也是a J的阶，易见a J=a否贝卩a2 = aa 1 = e与n > 2的假设矛盾。
循环群与置换群
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
置换群——精选推荐
11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。
注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。
(2) 任何素数阶的群都是循环群。
设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。
若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。
例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。
(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。
2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。
证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。
由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。
再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。
由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。
从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。
因为G 是无限群，必有mt-1=0。
从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。
(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。
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一般地,对于σ σ(11)σ2(2) σn(n), τ τ(11)τ2(2) τn(n),有
σ
•τ
σ1(1)
2 σ (2)
σ
n (n)
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
στ(τ(1()1))
τ (2) σ (τ (2))
σ
τ (τ
(n) (n))
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
σ
证明: (0)•是上的运算
(1)•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
in (in
)
恒等置换e 11
2 2
n n
σ的逆置换σ1 σ(11)
σ(2) 2
σn(n)
但习惯上重新整理按1— n重排，即
σ1 σ11(1)
2 σ1(2)
σ1n(n)
• n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? • S上的一一变换个数有多少?
• S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 • 下面以三次对称群S3为例， • 考察群运算。
• 作业: P293 12.(2) (3), 13
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
|An|=|On|=
1 2
n
!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.
(τ
1 (1))
2 σ (τ (2))
σ
(τ
n (n))
• 定义14.7:设|S|=n, Sn, 形如:
i1 i2
i2 i3
id 1 id
id i1
id id
1 in 1 in
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
• 定义14.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
(复合)运算,并称为变换的乘法。
• 定理14.9:[T(S);•]是一个变换群。
• 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义14.6:设S,|S|<+,S上的一个一一
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。
• 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设对n>1，|S|n-1,结论成立 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换
• 推论14.1:任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
σ 13
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(1 3)(3 4)(2 6)(5 8)(8 7)
(1 4)(3 1)(2 6)(5 7)(8 5)
( 1 , 4 ) ( 1 , 2()2 , 3 ) ( 2 , 6()6 , 1 ) ( 5 , 8()8 , 7 )
• 说明分解不唯一
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义14.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)
2
(2)
n (n)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(2)
n (n)
i(1i1
)
i2
(i2 )
§2 变换群、置换群与循环群
• 例14.8:证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成•构成群。
• B4={e,,,},[B4;•]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• 变换:非空集合S到S的一个映射, • 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。
• 定义14.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)