第11章 图与网络

备，这样可以省去购置费，但维修费用就高了。现在需要我
们制定一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费 和维修费总的支付费用最小。 最短路问题
3.
某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油
从采地运送到一些销售点。由于管道的直径的变化。它的
各段的流量也不同。如果使用这个网络系统从采地向销售 地运送石油，问每小时最多能运送多少石油？ 最大流问题 某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料，应按照什么 路线送货才能使送货时间最短，其中点表示中间经过的地 最短路问题 名，线表示两地之间的道路，线上的权表示开车送原料通 过这段道路所需要的时间？ 5. 某电力公司要沿道路为8个居民点架设输电网络，其中点
交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
v2
6
1 2 6 10
v5
4 3 10 2
2 6
v9
3
v1来自百度文库
1
3
v3
2
v4
v6
v7
4
v8
§2 最短路问题
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号算法） 原理：对图中的点vj赋予两个标号（lj,kj），lj表、
示从起点vs到vj的最短路长度。kj表示在vs到vj的
最短路上vj前面一个邻点的下标。
1.给出点V1以标号(0,s)。（标号表示已经选择）
2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以 及弧的集合（Vi,Vj），这个弧的集合是指所有 从已经标号的点到未标号的点的弧的集合。
§2 最短路问题
3. 如果上述弧的集合是空集或者vt已标号，则计算
结束。否则转下一步。
4.
表示8个居民点，线表示连接8个居民点的道路，线上的权
表示这条道路的长度，请设计一个输电网络，连通8个居 民点，并使总的输电线路长度为最短？
最小生成树问题
第十一章 图与网络模型
1.图的基本概念 2.最短路问题 3.最小生成树问题 4.最大流问题 5.最小费用最大流问题
本 章 内 容
§1 图的基本概念
点：研究对象（陆地、路口、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、路口 之间道路、两国边界、两球队比赛及结果)。 点间连线分两种情况： 用不带箭头的连线表示，称为边。 用带箭头的连线表示，称为弧。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。
在所有的 sij中，找到值为最小的弧。设此弧为
（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号（scd,c）, 返回步骤2。
§2 最短路问题
(4) I ={v1， v2 ，v3 ，v4 }， J={v5，v6} v2 (3,1)
3 2 2 7 5 1
练习：分析以下各题目
1. 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从 最小费用最大 流问题 采地运送到一些销售点。由于管道的直径的变化。它的各段
的流量也不同。由于管道长短不一,还有不同的单位流量的 费用。如果使用这个网络系统从采地向销地运送石油，怎样 运送才能运送最多石油并使得总的运送费用最小？ 2. 某公司使用一台设备,在每年年初,公司就要决定是购买新的 设备还是继续使用旧设备.如果购置新设备，就要支付一定 的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设
求最大流的基本算法（原理：不断尝试）
1）找出一条从发点到收点的路，在这条路上的
每一条弧顺流方向的容量都大于0且包含弧数最
少(更快地找到解决方案)，如不存在这样的路，
则已求得最大流； 2）找出这条路上各条弧的最小的顺流容量Pf，通 过这条路增加网络的流量Pf ； 3）在这条路上，减少每一条弧的顺流容量Pf ， 同时增加这些弧的逆流容量Pf ，返回1。
• 赋权图：对一个图的每一条(vi,vj)，相应地有一个 数Cij，则称图为赋权图，Cij称为(vi,vj)上的权。
• 网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，把D中 的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D称为网络。
§2 最短路问题
例 下图为单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这 条线所需的费用。现在某人要从v1出发，通过这个
A ={(v2，v6), {(v4，v6}
s26 =l2 +c26=3+7=10
(0,s) v1
v4 5 1 (3,3)
5
v6 (8,4) v5
3
(2,1)v3
s46 =l4 +c46=3+5=8
(v3, v5)不存在，方向必 须是从已标号到未标号。
给弧(v4，v6)的终点v6标号(8,4)
§4
最大流问题
图：点及边（或弧）组成的图形。
§1 图的基本概念
无向图G=（V，E）：由点及边构成 ，边[vi，vj]
有向图D=（V，A）：由点及弧构成，弧（ vi，vj）
§1 图的基本概念
• 连通图：对无向图G，若任何两个不同的点之间， 至少存在一条链，则G为连通图。 • 回路： （有向图）若路的第一个点和最后一个点 相同，则该路为回路。