概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A 、B 互斥时，

P(A+B)=P(A)+P(B)

条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes 公式：从结果找原因

第二章

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)

泊松分布——X~P(λ)

概率密度函数

怎样计算概率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp (θ)

分布函数

对离散型随机

变量 对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：

二元随机变量及其边缘分布

分布规律的描述方法

联合密度

函数 联合分布函数

联合密度与边缘密度

)(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x

dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性

连续型随机变量的独立性

第三章

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

E(a)=a ，其中a 为常数

E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望

常用公式

方差

定义式

常用计算

式

常用公式

当X 、Y 相互独立时：

方差的性质

D(a)=0，其中a 为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数

当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

协方差与相关系数

协方差的性质

独立与相关

独立必定不相关 ∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

相关必定不独立

不相关不一定独立

第四章

正态分布

标准正态分布的概率计算

标准正态分布的概率计算公式

一般正态分布的概率计算

一般正态分布的概率计算公式

第五章

卡方分布 t 分布

F 分布 正态总体条件下

样本均值的分布：

样本方差的分布：

两个正态总体的方差之比

第六章

点估计：参数的估计值为一个常数

矩估计

最大似然估计

似然函数 均值的区间估计——大样本结果

正态总体方差的区间估计

两个正态总体均值差的置信区间 ),(~2σμN X )(~)1,0(~212

n X N X n i i χ∑=，则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则

若χχ)

;(1θi n i x f L ∏==);(1θi n i x p L ∏==()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点

—样本方差—22/2αχS

大样本或正态小样本且方差已知

两个正态总体方差比的置信区间

第七章

假设检验的步骤

① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1

② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值

③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

不可避免的两类错误

第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设

第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设

单个正态总体的显着性检验

单正态总体均值的检验

大样本情形——Z 检验

正态总体小样本、方差已知——Z 检验

正态总体小样本、方差未知—— t 检验

单正态总体方差的检验

正态总体、均值未知——卡方检验

单正态总体均值的显着性检验

统计假设的形式

双边检验

左边检验

右边检验

单正态总体均值的Z 检验

0100::)1(μμμμ≠=H H

拒绝域的代数表示 双边检验 左边检验 右边检验

比例——特殊的均值的Z 检验 单正态总体均值的 t 检验 单正态总体方差的卡方检验 拒绝域 双边检

验 左边检验

右边检验 2

/αZ Z ≥αZ Z ≥2

2

/1222/2ααχχχχ-≤≥或αZ Z -≤