相似三角形的证明
相似三角形六大证明技巧
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
五、等比三角形如果两个三角形的对应边成等比，那么这两个三角形相似。
这是因为等比关系可以保证两个三角形的形状相同。
六、共线相似如果两个三角形有一条边共线，且这条边上的两个点分别与另一个三角形的两个点对应，那么这两个三角形相似。
这是因为共线关系可以保证两个三角形的形状相同。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
三角形的相似公式
三角形的相似公式以三角形ABC和三角形DEF为例，如果它们的对应角度相等，则可以判断它们相似。
相似三角形的对应边长之比可以通过相似三角形的对应边的长度比来表示。
下面是三角形的相似公式及其证明：1.AA相似定理（角-角-相似定理）如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据角的等量可知，∠A=∠D，∠B=∠E。
由于角度之和为180°，可推导出∠C=∠F。
所以，根据角-角-角相似性质，得出△ABC~△DEF。
2.SS相似定理（边-边-边相似定理）如果两个三角形的两对边之比相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF=AC/DF。
由于两个角之和也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）如果两个三角形的一对相对应的边之比相等，并且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF。
由于两个夹角也相等，即∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
通过上述相似公式，我们可以判断两个三角形是否相似，以及计算两个相似三角形的对应边长比例。
对于给定的相似三角形，我们可以根据已知的边长比例求解未知边长，或者根据已知的边长计算出未知角度。
需要注意的是，相似三角形的边长比例只与角度有关，而与具体的边长无关。
所以，在判断两个三角形相似时，只需要比较它们的角度是否相等，而不必考虑具体的边长。
另外，相似三角形的角度相等是相似的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，如果两个三角形的角度相等，它们不一定是相似的。
通过相似公式，我们可以更好地理解三角形的形状和性质，并在实际问题中应用。
证明三角形相似判定方法
证明三角形相似判定方法三角形的相似判定方法主要有三种，分别是AAA相似判定法、AA相似判定法和边比值相似判定法。
下面将对这三种判定方法进行详细解释。
首先是AAA相似判定法。
根据AAA相似判定法，如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可判定三角形ABC和DEF相似。
其次是AA相似判定法。
根据AA相似判定法，如果两个三角形的两个角分别相等，且它们对应的两边成比例，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。
最后是边比值相似判定法。
根据边比值相似判定法，如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。
下面以AAA相似判定法为例进行证明。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要证明三角形ABC和DEF相似，即证明它们的边比值相等。
由于∠A=∠D，根据角度对应定理，可以得到∠BAC=∠EDF。
又由于∠B=∠E，根据角度对应定理，可以得到∠CBA=∠FED。
首先考察三角形ABC和DEF的边比值AB/DE。
根据正弦定理，可以得到：sin∠BAC/DE = sin∠ABC/AB由于∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，所以sin∠BAC = sin∠EDF，sin∠ABC = sin∠DEF。
将其代入上式，可以得到：sin∠EDF/DE = sin∠DEF/AB即AB/DE = sin∠DEF/sin∠EDF同理，可以证明AC/DF = sin∠DEF/sin∠FED和BC/EF =sin∠EDF/sin∠FED。
综上所述，根据AAA相似判定法，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得知AB/DE=AC/DF=BC/EF，即三角形ABC和DEF相似。
证明三角形相似的方法 -回复
证明三角形相似的方法 -回复
证明三角形相似的方法主要有以下几种：
1. AA相似法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角
形相似。
2. SSS相似法：若两个三角形分别的三边成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似法：若两个三角形的一个角和两个与这个角对应的边与另一个三角形的一个角和两个与这个角对应的边成比例，则这两个
三角形相似。
4. 前两角相等法：若两个三角形的两个角中有一个角相等，另
一对相邻的角也相等，则这两个三角形相似。
其中，AA相似法是最为常用的一种方法，尤其适用于确定两个三角形是否相似。
而SSS相似法和SAS相似法通常用于证明三角形相似，而前两角相等法则常用于确定三角形相似后的比例关系。
在使用这些
方法时，还需要注意各种三角形的性质和几何知识，以确保证明的正
确性。
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。
根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。
根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。
我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。
因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。
综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形六大证明技巧
相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.〔SSS 〕3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A 〞型与“反X 〞型.示意图结论E D CB A反A 型：如图，△ABC ，∠ADE =∠C ，如此△ADE ∽△ACB 〔AA 〕，∴AE ·AC =AD ·AB.假如连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)O DCBA反X 型：如图，角∠BAO =∠CDO ，如此△AOB ∽△DOC 〔AA 〕，∴OA ·OC =OD ·OB . 假如连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .“类射影〞与射影模型示意图结论A BCD类射影：如图，△ABC ，∠ABD =∠C ，如此△ABD ∽△ACB 〔AA 〕，∴2AB =AD ·AC.CABH射影定理如图，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，如此222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅“旋转相似〞与“一线三等角〞示意图结论相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法ABCDE旋转相似：如图，△ABC ∽△ADE ，如此AB ADAC AE=，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE 〔SAS 〕CBAED一线三等角：如图，∠A =∠C =∠DBE ，如此△DAB ∽△BCE 〔AA 〕巩固练习 反A 型与反X 型△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：〔1〕AE AB AF AC ⋅=⋅〔2〕∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO 〔3〕∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型〞〔A 型，X 型，线束型〕，也离不开上述的6种“相似模型〞. 但是，王教师认为，“模型〞只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
三角形的相似性质及其证明方法
三角形的相似性质及其证明方法三角形是几何学中常见的形状，其具有许多特性和性质。
其中一个重要的概念是相似三角形，指的是具有相似形状但大小不同的三角形。
在本文中，我们将探讨三角形的相似性质以及如何证明相似三角形的方法。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等的对应角度，并且各边之间成比例的三角形。
如果三角形ABC与三角形DEF相似，则表示为∆ABC ~ ∆DEF。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
3. 相似三角形的比值：相似三角形的边长之比等于任意两边的对应边的比值。
三、相似三角形的证明方法在几何证明中，证明两个三角形相似常常需要运用一些相似性质和定理。
下面介绍一些常用的证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：通过给出的角度条件，结合三角形的内角和为180°，可以推导出对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
2. SSS相似定理如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：根据给出的边长比值，运用三角形的边长比例定理，可以推导出对应角度相等，从而证明两个三角形相似。
3. SAS相似定理如果两个三角形的两个对应边成比例，并且夹角的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以得出∆ABC ~ ∆DEF。
证明方法：根据给出的边长比值和对应角度条件，可以运用三角形的边长比例定理，推导出对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
初中相似三角形几何证明技巧
初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在初中的几何学中，相似三角形是一个重要的概念，学生们需要学会如何证明两个三角形是相似的。
下面，我将介绍几种常用的相似三角形几何证明技巧。
1.AA相似定理证明法AA相似定理指出，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以先找到两个对应的角相等，然后通过其他已知条件来证明另外两个对应的角也相等。
最后，根据AA相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
2.SAS相似定理证明法SAS相似定理指出，如果两个三角形的两个对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以从已知条件出发，利用比例关系和夹角相等来证明两个对应边成比例。
最后，根据SAS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
3.SSS相似定理证明法SSS相似定理指出，如果两个三角形的三个对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，同样可以从已知条件出发，利用三边成比例的关系来证明两个对应边成比例。
最后，根据SSS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
4.辅助线法辅助线法是一种常用的证明技巧，在通过辅助线的引入可以简化证明过程。
对于一些复杂的相似三角形问题，通过引入辅助线，可以将问题拆解成多个简单的相似三角形的证明。
这样，可以分步骤进行证明，更容易理解和思考。
5.割线法割线法是一种用于证明两个相似三角形的证明技巧。
通过在三角形内部或者外部引入割线，并证明割线和三角形的一些边成比例关系，从而导出相似三角形的结论。
这种证明方法常用于证明特殊的相似三角形问题。
总结起来，学习相似三角形的几何证明技巧需要掌握不同的相似定理和常用的辅助线法、割线法等技巧。
在解题过程中，需要灵活运用这些技巧和定理，从已知条件出发，逐步推导出证明结论。
通过反复练习和思考，可以提高解题的能力和几何推理的水平。
相似三角形的判定条件及证明
相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。
在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。
本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。
我们需要证明它们是相似的。
根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。
假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。
因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。
2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。
我们需要证明它们是相似的。
假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。
根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。
因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。
3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。
我们需要证明它们是相似的。
我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。
设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。
由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。
证明相似三角形的方法
证明相似三角形的方法
要证明相似三角形的方法如下：
1. 角-角-角相似定理（AAA相似定理）：如果两个三角形的
三个角分别相等，那么这两个三角形相似。
证明方法：假设∠A₁=∠A₂, ∠B₁=∠B₂, ∠C₁=∠C₂。
通
过角分割，可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据角-角-
角相似定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
2. 边-角-边相似定理（SAS相似定理）：如果两个三角形的一
对对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
证明方法：假设AB/A'B' = BC/B'C'，且∠B=∠B'。
通过边分割，可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据边-角-边相似
定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
3. 边-边-边相似定理（SSS相似定理）：如果两个三角形的三
对对应边成比例，则这两个三角形相似。
证明方法：假设AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
通过边分割，
可以得到相似三角形ABC与A'B'C'。
根据边-边-边相似定理，可以得出ABC∽A'B'C'。
这些是证明相似三角形常用的定理和方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的证明条件
相似三角形的证明条件在初中数学中，我们学习了很多与三角形相关的知识，其中相似三角形是一个重要的概念。
相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的概念在数学中有着广泛的应用，比如在几何图形中的缩放变换中，相似三角形的概念就有着重要的作用。
在本文中，我们将探讨相似三角形的证明条件。
一、AA相似定理对于两个三角形，如果它们的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
这个定理被称为AA相似定理。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，则这两个三角形是相似的。
证明：由于∠A=∠D，∠B=∠E，因此∠C=∠F。
又因为三角形ABC 和三角形DEF的两个角分别相等，所以它们的第三个角相等。
因此，三角形ABC与三角形DEF的三个角分别相等，两个三角形是全等的。
由于全等的三角形的对应边相等，因此我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF，即三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，两个三角形是相似的。
二、SAS相似定理对于两个三角形，如果它们的两个角分别相等，且它们的一条边对应成比例，则这两个三角形是相似的。
这个定理被称为SAS相似定理。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=AC/DF，则这两个三角形是相似的。
证明：由于∠A=∠D，∠B=∠E，因此∠C=∠F。
又因为AB/DE=AC/DF，因此我们可以得到AB/AC=DE/DF。
根据比例的定义，我们可以得到三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，即三角形ABC和三角形DEF 是相似的。
三、SSS相似定理对于两个三角形，如果它们的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
这个定理被称为SSS相似定理。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF，则这两个三角形是相似的。
证明：由于AB/DE=BC/EF=AC/DF，因此我们可以得到AB/AC=DE/DF，BC/AC=EF/DF，以及AB/BC=DE/EF。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形判定定理的证明
AD A' B' , AB AB
C' 又 AB BC AC , A' B' B'C' A'C'
DE B'C', EA A'C', ADE ≌ A' B'C',
ABC ∽ A' B'C'.
巩固提高
1.根据下列条件，判断△ABC和△ A'B'C'是否相似， 并说明理由. ①∠A=40°，AB=8 cm，AC=15 cm； ∠A'=30°，A'B'=16 cm，A'C'=30 cm. 不相似 ②AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm； A'B'=20 cm，B'C'=16 cm，A'C'=32 cm. 相似
已知：在△ABC和△ A'B'C'பைடு நூலகம்，AB BC AC .
求证：△ABC∽△ A'B'C'.
A'B' B'C' A'C'
A
思考：
（1）要证明这个定理可以采用 哪些方法？
B A'
B'
C 根据定义或判定定理1或判定定理2
（2）根据前面两个定理的证明 过程，你有哪些解题思路？
C'
探索新知
AB
已求知证：：在△△ABACB∽C△和A△'BA'C'B'.'C'中，A'B'
复习引入
1.相似三角形的判定方法有哪些？
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
证明两个三角形相似的方法有多种，下面是50条关于证明相似三角形的方法，并展开详细描述。
1. 三角形内角相等原理：如果两个三角形的对应内角相等，则它们是相似的。
2. 三角形内角和等于180度原理：如果两个三角形的对应内角和相等，则它们是相似的。
3. 直角三角形的相似判定：如果两个直角三角形的两个锐角分别相等，则它们是相似的。
4. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，其对应边的比例相等，则它们是相似的。
5. AAA相似判定：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
6. 内角和边的比例判定：如果两个三角形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
7. 直角三角形斜边比例判定：如果两个直角三角形的两个直角边的比例相等，则它们是相似的。
8. SAS相似判定：如果两个三角形的一个边及其夹角分别与另一个三角形的一个边及其夹角相等，则它们是相似的。
9. SSS相似判定：如果两个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，则它们是相似的。
10. 应用百分比表示相似：利用百分比表示相似三角形的边长之比，推导相似关系。
11. 等腰三角形的相似判定：如果两个等腰三角形的对应角相等，则它们是相似的。
12. 内切圆与三角形的相似性：利用内切圆切割一个三角形，可以得到两个相似三角形。
13. 外接圆与三角形的相似性：利用外接圆切割一个三角形，可以得到两个相似三角形。
14. 通过平行线判定相似：如果两个三角形中的对应边全都平行，则它们是相似的。
15. 通过中位线判定相似：如果两个三角形中的对应边全都平行，则它们是相似的。
以上是关于证明相似三角形的50种方法，每种方法都可以通过具体的例子和证明过程来详细描述。
证明相似的方法
证明相似三角形的方法
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
初中数学证明三角形相似的几种方法
初中数学证明三角形相似的几种方法
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊初中数学证明三角形相似的几种超棒方法！
第一种方法就是“两角对应相等”，就好比说有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有 30 度和 60 度的角，那它们不就相似了嘛！这多简单呀！
还有“三边对应成比例”呢！就像假如有两个三角形，它们的三条边的比例都一模一样，那不就是相似三角形嘛，这不是很明显嘛！例如一个三角形三边是 3、4、5，另一个是 6、8、10，这还用说吗？肯定相似呀！
“两边对应成比例且夹角相等”也是很常用的哦！想象一下，有两个三角形，它们有一对相等的角，夹这个角的两边比例也一样，那它们肯定很相似呀，就像一对双胞胎一样！比如说一个三角形两条边是 2 和 3，夹角是
45 度，另一个三角形对应边是 4 和 6，夹角也 45 度，这不就妥妥的相似啦！
哎呀，学会了这些方法，证明三角形相似不就变得轻而易举啦！以后遇到这种问题，咱就可以轻松搞定，那可太有成就感啦！
我的观点结论就是：这些方法真的超好用，学会了就不怕遇到三角形相似问题啦！。
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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）例3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE ·DF 。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE2＝BE·CE ．分析：2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ．求证：AB DFAC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．同类练习：1．如图，△ABC中，点CD在边AB上，且△PCD是等边三角形，∠APB=120°求证：（1）△PCA∽△BPD;（2）CD2=AC·BD;（3）AP·PB=PC·AB.2．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB .4．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD2=FC·FB。
5．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．试说明：AE2=EG•EF．6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.求证：FM=CF.7．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，E 为AD 上任意一点，过C 作CF ∥AB 交BE 的延长线于F ，交AC 于G ，连接CE 求证：（1）BE=CE. （2）BE 2=EG ·FE.9．如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。
AD= BD ，过E 作EF ∥AB 交AD 于F. 试说明：（1）AF=BE;(2)AF 2=AE ·EC.七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．例1 如图5在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，DF ⊥AB 于F ，交AC 的延长线于H ，交BE 于G ，求证：(1)FG / FA ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH 的比例中项．图5 A EF B DG C例2 如图6，□ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ：EC ＝3：1， S △FBE ＝18，求：(1)BF ：FD (2)S △FDA例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；例4 如图8在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ．求证：AG 2＝AF×FC例5 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．CA D BEF 图6 BE A DM N A B C E D G F A E B D M C F例6 如图10过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ．过点D 作DM ∥FC 交AB 于点M ．(1)若S △AEF ：S 四边形MDEF ＝2：3，求AE ：ED ； (2)求证：AE×FB ＝2AF×ED例7 己知如图11在正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？例8 己知如图12在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝900，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3．试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．图10C E DA F M BPA DB Q C图11 图12 A D B CP 1 P 2P 3例11．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD 于P点，交AC于E点。
求证：BP2=PE·PF。
例12．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
求证：。
九、相似三角形中的辅助线一、作平行线例1. 如图，ABC∆的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
例3、如图，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.例4、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FE例6：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
二、作延长线例7. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF ∙BF例8．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，，连E 、F 交AC于G ．求AG ：AC 的值．AD AF 31=三、作中线例10： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．综合题型1.已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．2.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米/秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求t (用表示)N3．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；4.如图（10）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC 于C1交AB的延长线于B1.⑴请你探究：AC CDAB DB=，1111AC C DAB DB=是否都成立？⑵请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问AC CD AB DB=一定成立吗？并证明你的判断.5.如图12，在平面直角坐标系中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB=16，点D 与点A 关于y 轴对称，AB:BC=4:3，点E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 不与点A 、D 重合），且∠CEF=∠ACB. （1）求AC 的长和点D 的坐标； （2）说明△AEF 与△DCE 相似；6.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝21，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度；（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．GFE DCBA7.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF ＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；8. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：; AM HG AD BC(2)求这个矩形EFGH的周长.9. 1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：QCPEBQ DP ． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；10．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB2＝AE•AC ．BDC11．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。