第10应力状态
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txy箭头指向第几象限 (一、四)，则s'(较大主应 力)在第几象限，即先判断 s' 大 致 方 位 ， 再 判 断 其 与 算得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。
⑥ s ' s " s x s y s a s a 9o0
ss" '
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
第九章 应力与应变分析
第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆 第三节 三向应力状态下的最大应力 第四节 广义虎克定律 第五节 三向应力状态下的变形比能
第一节 应力状态的概念
应力与应变分析
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
(txd y A coas)sia n(tyxdA sia n)coas 0
t 0：ta dA (sxdc Aoa)ssia n(sydA sia n)coas
(txd y A coas)coas(tyd x A sia n)sia n 0
得
tsaassxx 2 2ssyysisn2xa 2styxcycoo2s2asatxysin2a
应力与应变分析
sy
sx
sx
tyx txy sy
sx
sx
txy tyx sy
2.任意a角斜截面上的应力
y sy
t
应力与应变分析
n
sx
sx x
txy
ssxtxxy a
sα
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
n 0：sa dA (sxdc Aoa)scoa s(sydA sia n)sia n
论 体
并证 s's明 "s： asa90oC(同一 任意垂直 应平 力面 之上 和)正 为
例92 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me AD BC
s1
s3
t s3 ABCD s1
Me
45o x
-45o
分析圆轴扭转时的应力状态
解：1)围绕圆轴外表面一点取
单元体ABCD：tMe /Wn
2)s s'''02
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
tan2a0
2txy sx sy
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
ds a da
02t2t 2
tg2a00t a045o 3)s1s't， s20， s3s''t
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
2)ss'''30240 3024022023455..33M MPPaa
s1s'35.3MP， as20，s3s''45.3MPa
tg2a0302400 a014.9o，主单元体
3)tt'''s'2s''40.3MPa4)元 讨
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
Z sz
应力与应变分析
sy z
tzy
tzx
txy
tyx
tyz
txz O
txy
sx
tzy
tzx
sx
txz tyz tyx
dz sy
Y
dx
X O
y
x
dy sz
2.单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， yt z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元 40 体；③极值切应力。
s" 40
20
sa 20 s'
30
a
143.90o
s'
ta
解1： )sa239.082M 40P30a240co6s0o(20)sin 60o
单位：sM" Pa
ta30240sin 60o(20)co6s0o20.3MPa
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A sP/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
cLeabharlann Baidu 同b)，但从 上表面截取
sC
t
s
P A
B C
sA
A
sA
B
tB
tC
sC
C
sC
三、应力状态分类(按主应力)
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
dt a 0，可求出两个相差90o 的 da
tg2a1
sx sy 2txy
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力： t t" ' sx 2sy2t2 xys 2s" ③ tg2a0tg21a1 (极值切应力平面与主平面成45o)
0
得：
tan2a0
2txy sx sy
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
应力与应变分析
s s"' sx 2sysx 2sy2tx 2y(s's")
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)
⑥ s ' s " s x s y s a s a 9o0
ss" '
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
第九章 应力与应变分析
第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆 第三节 三向应力状态下的最大应力 第四节 广义虎克定律 第五节 三向应力状态下的变形比能
第一节 应力状态的概念
应力与应变分析
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
(txd y A coas)sia n(tyxdA sia n)coas 0
t 0：ta dA (sxdc Aoa)ssia n(sydA sia n)coas
(txd y A coas)coas(tyd x A sia n)sia n 0
得
tsaassxx 2 2ssyysisn2xa 2styxcycoo2s2asatxysin2a
应力与应变分析
sy
sx
sx
tyx txy sy
sx
sx
txy tyx sy
2.任意a角斜截面上的应力
y sy
t
应力与应变分析
n
sx
sx x
txy
ssxtxxy a
sα
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
n 0：sa dA (sxdc Aoa)scoa s(sydA sia n)sia n
论 体
并证 s's明 "s： asa90oC(同一 任意垂直 应平 力面 之上 和)正 为
例92 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me AD BC
s1
s3
t s3 ABCD s1
Me
45o x
-45o
分析圆轴扭转时的应力状态
解：1)围绕圆轴外表面一点取
单元体ABCD：tMe /Wn
2)s s'''02
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
tan2a0
2txy sx sy
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
ds a da
02t2t 2
tg2a00t a045o 3)s1s't， s20， s3s''t
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
2)ss'''30240 3024022023455..33M MPPaa
s1s'35.3MP， as20，s3s''45.3MPa
tg2a0302400 a014.9o，主单元体
3)tt'''s'2s''40.3MPa4)元 讨
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
Z sz
应力与应变分析
sy z
tzy
tzx
txy
tyx
tyz
txz O
txy
sx
tzy
tzx
sx
txz tyz tyx
dz sy
Y
dx
X O
y
x
dy sz
2.单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， yt z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元 40 体；③极值切应力。
s" 40
20
sa 20 s'
30
a
143.90o
s'
ta
解1： )sa239.082M 40P30a240co6s0o(20)sin 60o
单位：sM" Pa
ta30240sin 60o(20)co6s0o20.3MPa
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A sP/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
cLeabharlann Baidu 同b)，但从 上表面截取
sC
t
s
P A
B C
sA
A
sA
B
tB
tC
sC
C
sC
三、应力状态分类(按主应力)
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
dt a 0，可求出两个相差90o 的 da
tg2a1
sx sy 2txy
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力： t t" ' sx 2sy2t2 xys 2s" ③ tg2a0tg21a1 (极值切应力平面与主平面成45o)
0
得：
tan2a0
2txy sx sy
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
应力与应变分析
s s"' sx 2sysx 2sy2tx 2y(s's")
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)