常微分方程阶段(2)复习题

《常微分方程》第二阶段试题
一. 单选题
1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（ ） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ；
)sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。

2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是（ ）
（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式为零 （C ）
12()=()
x C x ϕϕ（常数） （D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=不是基本解组的充要条件是（ ）
（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式不为零 （C ）12()()x C x ϕϕ≠（常数） （ ）线性相关 4.线性齐次微分方程组
()dx A t x dt
=的一个基本解组的个数不能多于（ ） （A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个．
（A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n
6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1
，则此方程通解为（ ） （A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-； （B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-；
（C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-； （D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=-
7.方程x
xe y y 2'2"=-的特解具有形式（ ）。

（A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=;
（C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。

8.微分方程x x y y 2sin =+''的一个特解应具有形式（ ）
（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+
（C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）()cos Ax B x +2
9.微分方程210y y '''++=的通解是（ ）
（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；
（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2
1sin cos 21-+=。

10.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（ ）
（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin
（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin
11.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )
（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x +
12.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )
（A ）A x sin （B ）A x cos
（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+
13.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ）
（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+
（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +2
14.微分方程012'''=++y y 的通解是（ ）
（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；
（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2
1sin cos 21-+=。

15.设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()y p x y q x y '''++=)(x f 的解，21,C C 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
（A ）32211y y C y C ++； （B ）1122123()C y C y C C y +-+；
（C ）3212211)1(y C C y C y C ---+； （D ）3212211)1(y C C y C y C --++
16.方程0='+'''y y 的通解是( ).
(A) 1sin C x y +=； (B) 1cos sin C x x y +-=；
(C) 1cos sin C x x y ++=； (D) 321cos sin C x C x C y +-=.
17.求方程 x xe y y y 396-=+'+''的特解时，应令（ ）
x e b ax y A 3)()(-*+=； x e b ax x y B 32)()(-*+=；
x axe y C 3)(-*=； x e b ax x y D 3)()(-*+=。

18．函数)(1x ϕ,)(2x ϕ在区间［a,b ］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a, b ]上线性相关的( ).
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
19．设函数)(1x ϕ,)(2x ϕ方程()()0x p t x q t '''++=在区间［a,b ］上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( ).
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
20．设函数)(1x ϕ,)(2x ϕ方程()()0x p t x q t '''++=在区间［a,b ］上的两个解，则其朗斯基行列式区间［a,b ］上某一点不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( ).
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
21．函数)(1x ϕ,)(2x ϕ在区间［a,b ］上的朗斯基行列式在[a, b ]上某一点处不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( )
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
22．n 阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?( )
(A)是； (B)不是；
(C)也许是； (D)也许不是.
23.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( )
(A)不可以 (B)可以
(C)也许不可以 (D)也许可以
24.若)(x Φ是线性齐次方程组Y A Y )(d d x x
=的一个基解矩阵，T 为非奇异n ×n 常数矩阵，那么)(x ΦT 是否还是此方程的基解矩阵.( )
(A)是 (B)不是
(C)也许是 (D)也许不是
25.方程组x t A x )(='（ ）
(A)n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组
(B)n 个解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组
(C)n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基解矩阵
(D)n 个线性相关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组
26.若()t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则（ ）
（A ）)(t ψ＝()+t Φc 其中c 为非奇异常数矩阵 （B ）)(t ψ＝()+t Φc 其中c 常数矩阵
（C ）)(t ψ＝()t Φc 其中c 为非奇异常数矩阵 （D ）)(t ψ＝()t Φc 其中c 为常数矩阵
27.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）
（A ）01()()()t
t t s f s ds η-Φ+Φ⎰ （B ）010()()()()()t
t t t t t f s ds η-ΦΦ+ΦΦ⎰ （C ）01()()
()()t t t t s f s ds η-Φ+ΦΦ⎰ （D ）0110()()()()()t
t t t t s f s ds η--ΦΦ+ΦΦ⎰ 28.方程组()x A t x '=的（ ）称之为()x A t x '=的一个基本解组。

（A ）n 个线性无关解 （B ）n 个不同解
（C ） n 个解 （D ）n 个线性相关解
29.n 阶齐线性微分方程的（ ）称方程的一个基本解组。

（A ） n 个线性相关解 （B ）n 个不同解
（C ） n 个解 （D ）n 个线性无关解
30.A 、B 为n n ⨯的常数矩阵，则下列式子错误的是 （ ）
（A ）0!k
A k A e k ∞
==∑ （B ）1() A A e e --=
（C ） A B A B e e e += （D ）11() T T AT A e T e T --=为非奇异矩阵
二. 填空题
1. 以x e y x 2cos 43=为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。

2.若12(),(),()n X t X t X t 为n 阶齐线性微分方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

3.形如___________________的方程称为欧拉方程。

4.若()t Φ和()t ψ都是()x A t x '=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是__________
5.以x x xe y e y 2221,== 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。

6.(4)20x x x '''''-+=的通解是
7.若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是____________
8.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(='满足η=)(0t x 的解
9.设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ---------------------。

10.若()(1,2,,)i x t i n = 为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为
11.若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为
12.若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为
13.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解
14．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

15．若),,2,1)((n i t x i =为()x A t x '=的一个基本解组，)(t x -
为()()x A t x f t '=+的一个特解，则()()x A t x f t '=+的所有解可表为 ____________ 。

16．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -
为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________________ 。

17．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______________是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；
18.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵向量函数)(t ϕ= __ ___ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

19．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，
那么矩阵)(t Φ= ___ ___ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

20.若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

21.若)(),...(),(321t x t x t x 为一阶齐线性方程组的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

22.方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/
=的一个基本解组。

23.若()t Φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。

24.形如 的方程称为欧拉方程。

25.n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
26.n 阶非齐次线性微分方程的任意两解 必为其相应的齐次线性微分方程的解
三．求高阶微分方程的解
1. 试验证=---+x t dt dx t t dt
x d 111220有基本解组t ，t e ，并求方程
=---+x t dt dx t t dt
x d 11122t-1的通解。

2.2y ''+y '-y =2e x ;
3.sin cos2x x t t ''+=-
4.t x x cos =-'''
5.t e x x x =+-96'''
6.求方程t e x x x 25'6''=++的解。

7.求微分方程2
0yy y '''+=的通解。

8.y 3y ''-1=0;
9.求2
0,y ay '''-= 满足000,1x x y y =='==的特解 四．求解下列方程组的解
1.解方程组2332x x y y x y '=+⎧⎨'=+⎩
2. 已知 2332x x y y x y '=+⎧⎨'=+⎩的基解矩阵为55t t t t e e e e --⎛⎫ ⎪-⎝⎭，求方程组⎩⎨⎧++='++='t e
y x y t y x x 823532的通解
3．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x t
y y t x 2d d 3d d 4．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x t
y y x t x 32d d d d 5．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t
y y x t x 4d d d d
6.若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
并求expAt 7.试求方程组'
x =A x 的一个基解矩阵，并计算exp A t ，其中A 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421 五．应用题
1.试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线12
1
+=x y 相切的积分曲线. 4 2. 求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。

六．综合题
1.设⎰
--=x
dt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中)(x f 为连续函数，求)(x f
2.设)(x f 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且为一全微分方程，求)(x f 及此全微分方程的通解。

七．证明题
1.设121(),(),.....,()n x t x t x t +是方程()(1)11()...()()()n n n n x a t x a t x a t x f t --'++++=的n+1个线性无关解,证明微分方程的任一解恒能表为:
112211()()().....()()n n n n x t c x t c x t c x t c x t ++=++++且121.....1n n c c c c +++++=
2. n 阶线性齐次微分方程一定存在n 个线性无关解。

3.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t 22102
x,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

4.设()t Φ为方程x '=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:
()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
5.试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
=)(t ϕ[]
η)(0t t A e - 6.假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt x Ax ce '=+
有一解形如mt
pe t =)(ϕ，其中c ，p 是常数向量。

7.假设y ＝)(x ϕ是二阶常系数线性微分方程初值问题 ⎩⎨⎧===++1
)0(',0)0(0'''y y by ay y 的解，试证⎰-=x
dt t f t x y 0)()(ϕ是方程 )('''x f by ay y =++
的解，这里f （x ）为已知连续函数。

8.设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令
)()()()()()()()()(212121
21x y x y x y x y x y x y x y x y x W '-'=''=, 证明: W (x )满足方程W '+p (x )W =0;
9. 设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令
1212()
()()()()
y x y x W x y x y x ='', 且W (x )满足方程W '+p (x )W =0; 证明⎰=-x x dt t p e
x W x W 0)(0)()(.。