浙江省温州市高二上学期期末数学试题
浙江省温州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省温州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为（）A .B .C .D .2. （2分）已知命题P：，那么命题为（）A . ,B . ,C . ,D . ,3. （2分） (2020高一下·苍南月考) 过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，点I 到△三边的距离相等，若成立，则＝（）A .B .C .D .5. （2分）“”是“直线与圆相交”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知是不同的直线，是不同的平面，若，，，则下列命题中正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）圆上的点到直线的距离最大值是a，最小值是b，则a+b＝（）B .C .D . 58. （2分） (2019高一上·葫芦岛月考) 若不等式的解集为，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高二上·深圳期末) 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二上·鹤岗月考) 设直线与直线的交点为 ,则到直线的距离最大值为（）A .B . 4D .11. （2分）(2019·泉州模拟) 设为坐标原点，直线交圆于，两点，则面积的最大值是（）A . 1B .C . 2D . 412. （2分）(2018·吉林模拟) 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·德州月考) 圆锥的体积为，底面积为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为________．14. （1分） (2019高二上·金华月考) 平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是________，其方程是________.15. （1分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=________16. （1分）(2017·长沙模拟) 已知抛物线的顶点为原点，焦点为F（1，0），过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|AB|=6，则点P的坐标为________．三、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2019高二上·集宁月考) 已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“ 或”为真命题、“ 且”为假命题，求实数的取值范围．18. （10分） (2018高三上·深圳月考) 如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.19. （2分）填空题（1）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣15=0的最大距离是________．（2）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是________．20. （10分） (2020高一下·河西期中) 已知（2，1），（1，7），（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使取到最小值时的；（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．21. （10分）如图，四边形是正方形，△ 与△ 均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.22. （15分）(2018·延边模拟) 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，），过点P(2,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、。
2022-2023学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题(B卷)(解析版)
2022-2023学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题（B 卷）一、单选题1．已知(3,是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.【详解】因为(3,是直线的一个方向向量，故直线的斜率为设直线的倾斜角为,[0,π)αα∈，则tan α=， 所以5π6α=， 故选：D2．已知空间的三个不共面的单位向量a ，b ，c ，对于空间的任意一个向量p ，（ ） A ．将向量a ，b ，c 平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上 B ．总存在实数x ，y ，使得p xa yb =+C ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a b =+++- D ．总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a c =+++- 【答案】D【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.【详解】解：对于A ，当空间的三个不共面的单位向量a ，b ，c 作为空间直角坐标系的标准正交基底时，向量a ，b ，c 的正三角形，其外接圆半径r 满足2r =，即r =A 不正确； 对于B ，由三个向量共面的充要条件可知，当向量a ，b ，p 共面时，总存在实数x ，y ，使得p xa yb =+，但向量p 是空间的任意一个向量，即a ，b ，p 可以不共面，故B 错误；对于C ，由于向量()()2a b a b a ++-=，则向量,,a b a b a +-是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基底向量，所以当p 不与a ，b 共面时，则找不到实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a b =+++-成立，故C 不正确；对于D ，已知空间的三个不共面的单位向量a ，b ，c ，则向量,,a a b a c +-不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x ，y ，z ，使得()()p xa y a b z a c =+++-，故D 正确. 故选：D.3．过两点()3,5A -，()5,5B -的直线在y 轴上的截距为（ ） A ．54-B ．54C ．25-D ．25【答案】A【分析】由两点式得出直线方程，令0x =，即可解出直线在y 轴上的截距. 【详解】过两点()3,5A -，()5,5B -的直线的为535553y x +-=+--， 令0x =，解得：54y =-，故选：A.4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，且c 是a ，b 的等比中项，则在椭圆上使1290F PF ∠=︒的点P 共有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．8个【答案】C【分析】当P 为椭圆短轴的顶点时，211290P F PF OF ∠︒>∠=，从而得出满足条件的点P 个数. 【详解】因为c 是a ，b 的等比中项，所以2c ab =， 当P 为椭圆短轴的顶点时，12F PF ∠最大，此时1tan 1c aOPF b c∠==>，145OPF ∠>︒，即121290F PF OPF ∠=∠>︒，因此在第一象限内存在一点P 满足1290F PF ∠=︒，结合对称性可知，在椭圆上使1290F PF ∠=︒的点P 共有4个. 故选：C5．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，则“对于任意*N n ∈，都有5n S S ≤”是“65a a <的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用等差数列的前n 项和公式和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 没有最大值，所以由对于任意*N n ∈，都有5n S S ≤可得0d <，所以65a a <，充分性成立；当650a a <<时，6565S S a S =+>，所以必要性不成立， 故“对于任意*N n ∈，都有5n S S ≤”是“65a a <的充分不必要条件， 故选：A6．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线C ：()220y px p =>，一平行于x 轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着x 轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x = C ．28y x = D ．216y x =【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，消去x 得到关于y 的方程，利用韦达定理得到1212,y y y y +的值，然后表示两平行线间的距离，并求出其最小值为2p ，而由题意可知最小值为8，从而得到28p =，抛物线方程得解.【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，设两平行线间的距离为d ， 由题意可知，12d y y =-，因为(,0)2p F ，而直线PQ 过点F ，则设直线PQ 方程为：2px my =+，R m ∈，因为222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理可得21212,2y y pm y y p +==-，则1222d y y p =-=≥，所以两平行线间的最小距离为28p =， 故抛物线方程为28y x =，故选：C7．已知椭圆1L ：2212516x y +=，椭圆2L 与椭圆1L 的离心率相等，并且椭圆1L 的短轴端点就是椭圆2L 的长轴端点，据此类推：对任意的*N n ∈且2n ≥，椭圆n L 与椭圆1n L -的离心率相等，并且椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，由此得到一个椭圆列：1L ，2L ，⋅⋅⋅，n L ，则椭圆5L 的焦距等于（ ）A ．4365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．4465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．2365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．2465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】确定椭圆的离心率，根据椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，可得1n n a b -=，结合22222111n n n n b b e a b -=-=-可推出{}n b 为首项为4，公比为45的等比数列，即可求得35444()5a b ==⨯，进而利用5535c a =即可求得答案.【详解】由题意可设椭圆n L 的长半轴为n a ，短半轴为n b ，焦半距为n c ，对于椭圆1L ：2212516x y +=，有1115,4,3a b c === ，则由题意可知所有椭圆的离心率都为35，由于椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，故1n n a b -=，则222221,11n n n n n n c b b e e a a b -=∴=-=- ，即2221134()1,55n n n n b b b b --=-∴=，即{}n b 为首项为4，公比为45的等比数列，故35444()5a b ==⨯，所以345533444()3()5555c a ==⨯⨯=⨯ ，故椭圆5L 的焦距等于45426()5c =⨯，故选：B8．正三棱柱111ABC A B C 中，2AB =，13AA =，O 为BC 的中点，M 是棱11B C 上一动点，过O 作ON AM ⊥于点N ，则线段MN 长度的最小值为（ ）A ．364B ．62C ．334D ．3【答案】B【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】解：因为正三棱柱111ABC A B C 中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ， 如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,3,0,3,3O A B C -，因为M 是棱11B C 上一动点，设(,03M a ，，且[]1,1a ∈-，所以((),033,0,00OM OA a ⋅=⋅=，，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，所以在直角三角形OMA 中可得：OMN AMO ~，所以MN MOMO MA=， 即2222222633MO MN MA a a ===+++26,6,7t a t ⎡=+∈⎣， 222336t t t t a -==-+，6,7t ⎡∈⎣，又函数3=-y t t 在6,7t ⎡⎤∈⎣⎦上为增函数， 所以当6t min 3666t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭MN 6故选：B.二、多选题9．设直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，下列说法正确的是（ ） A ．当12C C ≠时，直线1l 与2l 不重合 B ．当12210A B A B -≠时，直线1l 与2l 相交 C ．当12210A B A B -=时，12//l l D ．当12120A A B B +=时，12l l ⊥ 【答案】BD【分析】举出反例判断A ；联立11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，结合1221A B A B -是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断B,C ，讨论12B B 是否为0，结合12120A A B B +=可判断两直线是否垂直，判断D.【详解】对于A ，12C C ≠时，若120A A ≠,120B B ==,且1212C C A A =时， 两直线1l ：11C x A =-，2l ：22C x A =-重合，A 错误；对于B ，联立11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ ，可得12211221()A B A B x B C B C -=-, 当12210A B A B -≠时，12211221B C B C x A B A B -=-，此时方程组有唯一一组解，故直线1l 与2l 相交，B 正确；对于C ，12210A B A B -=时，若12210B C B C -≠，则11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩无解，此时12//l l ；若12210B C B C -=，则11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有无数多组解， 此时12,l l 重合，故C 错误；对于D ，若120B B ≠，则由12120A A B B +=可得1221()()1A AB B -⋅-=-， 即两直线斜率之积等于1-，故12l l ⊥；若120(0)B B ==,则可得210(0)A A ==，此时满足12120A A B B +=，直线1l ：11110(0)A x C B y C +=+=，2l ：22220(0)B y C A x C +=+=， 此时12l l ⊥，故当12120A A B B +=时，12l l ⊥，D 正确， 故选：BD10．已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，下列说法正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b 上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】对于A ：结合向量垂直的性质即可求解； 对于B ：结合向量的四则运算即可求解； 对于C ：利用投影的几何意义即可求解； 对于D ：根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A ：a b ⊥，∴0a b ⋅=，即：()()2,1,34,2,8230a b x x ⋅=-⋅-=--+=， 解得：103x =. 故A 选项正确； 对于B ：()32,1,10a b +=-，∴()()()()332,1,34,2,2,1,92,1,10a b x x +=-+-=-+=- ∴910x +=，解得：1x =.故B 选项正确；对于C ：a 在b 上的投影向量为：a b bb b⋅⋅， 即13a b b b b b ⋅⋅=，代入坐标化简可得：29500x x -+=，x 无解， 故C 选项错误；对于D ：a 与b 夹角为锐角，∴1030a b x ⋅=-+>，解得：103x >， 且a 与b 不共线，即42,2313x x-≠≠-，解得：6x ≠-， 所以a 与b 夹角为锐角时，解得：103x >. 故D 选项正确； 故选：ABD.11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则5S ，105S S -，1510S S -为等差数列 B ．若{}n a 为等比数列，则5S ，105S S -，1510S S -为等比数列 C ．若{}n a 为等差数列，则55S ，1010S，1515S 为等差数列 D ．若{}n a 为等比数列，则55S ，1010S，2020S 为等比数列 【答案】ABC【分析】A 选项，设出公差，利用等差数列前n 项和公式得到()051051512S S S S S -=-+，从而得到5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，A 正确；B 选项，考虑公比为1和公比不为1两种情况，得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，B 正确；C 选项，利用等差数列前n 项和公式得到11010551051510S S S S -=-，C 正确； D 选项，考虑公比为1时满足55S ，1010S ，2020S 为等比数列，当公比不为1时，55S ，1010S，2020S 不为等比数列，D 错误.【详解】A 选项：{}n a 为等差数列，设公差为d ，所以51510S a d =+， 1011045S a d =+，15115105S a d =+，故1051535S S a d -=+，15101560S S a d -=+，因为()051051512S S S S S -=-+，所以5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，A 正确； B 选项，{}n a 成等比数列，设公比为q ，若1q =，则511011515,10,15S a S a S a ===，则1051151015,5S S a S S a -=-=，故()()210551510S S S S S -=-，故5S ，105S S -，1510S S -成等比数列， 若1q ≠，则()51511a q S q-=-，()1011011a q S q-=-，()1511511a q S q-=-，所以()()()10551011110511111a q a q a q q S S qqq----=-=---，()()()15101015111151011111a q a q a q q S S qqq----=-=---，则()()51015105551111a q q S S q q S q a q ---=⋅=--，()()1015151510510105111a q q S S q q S S q a q q ---=⋅=---， 故10515105105S S S S S S S --=-，即5S ，105S S -，1510S S -成等比数列， 综上：若{}n a 为等比数列，则5S ，105S S -，1510S S -为等比数列，B 正确； C 选项，{}n a 为等差数列，设公差为d ， 则151510525a d a d S =++=，11011045921010a d a d S =++=，11511510571515a d a d S =++=，因为10595210522S S d d d -=-=，1150905722151S d S d d -=-=， 故11010551051510S S S S -=-， 则55S ，1010S，1515S 成等差数列，C 正确； D 选项，{}n a 成等比数列，若1q =，则51020111,,51020S S Sa a a ===， 则55S ，1010S，2020S 为等比数列， 若1q ≠，则()()5151551a q S q -=-，()()10110110101a q S q -=-，()()15120120201a q S q -=-，则()()2210211021101001a q S q -⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()()()215515202115201001a q q S S q --⋅=-， 因为()()()215551520101111q q q q q q --=--+≠-，所以55S ，1010S，2020S 不为等比数列，D 错误. 故选：ABC12．如图，已知点P 是椭圆2211612x y +=上第一象限内的动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y 轴上的动圆T 始终与射线1PF ，2PF 相切，切点分别为M ，N ，则下列判断正确的是（ ）A ．4PM PN ==B ．212PM PF PF ≤⋅C ．PMN 面积的最大值为43D ．当点P 坐标为()23,3时，则直线PT 的斜率是23【答案】AD【分析】根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断A ，结合基本不等式可判断B ，利用椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断C ，根据角平分线定理可求解直线PT 与x 轴交点坐标，从而可求直线PT 的斜率来判断D.【详解】解：已知椭圆椭圆2211612x y +=，则224,23,2a b c a b ===-=，所以左右焦点为()12,0F -，()22,0F对于A ，如下图，连接12,,,MT NT FT F T ，点P 是椭圆上第一象限内的动点，所以1228PF PF a +==，又圆心T 在y 轴上，所以12FT F T =， 动圆T 始终与射线1PF ，2PF 相切，切点分别为M ，N ，所以MT NT =，且12,MT PF NT PF ⊥⊥，所以12MF NF =，切线长PM PN =所以由图可得：12128PF PF PM MF PN NF PM PN +=++-=+=，则4PM PN ==，故A 正确；对于B ，因为128PF PF +=，所以21212162PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当124PF PF ==时等号成立，又P 是椭圆上第一象限内的动点，所以12PF PF ≠，故1216PF PF ⋅<，由于4PM =，故212PF PF PM ⋅<，故B 不正确；对于C ，取椭圆的上顶点为B ，连接12,BF BF ，由椭圆可知23OB b ==，122OF OF ==，所以12π6F BO F BO ∠=∠=，故12π3F BF ∠=， 由于P 是椭圆上第一象限内的动点，所以12π0,3F PF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则123sin 0,2F PF ⎛⎫∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭，于是可得PMN 面积()12121211sin 44sin 8sin 0,4322PMNSPM PN F PF F PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯⋅∠=∠∈， 故PMN 面积没有最大值，故C 不正确；对于D ，连接PT ，设PT 与x 轴的交点为Q ，如下图：设()(),0,2,2Q t t ∈-，由题可得直线PT 为12F PF ∠的平分线，所以由角平分线定理可得：1212PF PF FQ F Q =，即12822PF PF t t-=+-，整理得1122t PF =-， 因为当点P 坐标为()23,3时，()()22123230198343PF =++-=+=+，所以()11132432222t PF =-=+-=，则3,02Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线PT 的斜率30233232PT PQ k k -===-，故D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知圆()2211x y -+=与圆220x y ax by +++=内切，则有序实数对(),a b 可以是______．（写出一对即可）【答案】(1,0)-（答案不唯一）【分析】根据给定条件，求出两个圆的圆心、半径及圆心距，再结合两圆内切列式求解作答. 【详解】圆()2211x y -+=的圆心1(1,0)C ，半径11r =，圆2222()()224a b a b x y ++++=，220a b +>，圆心2(,)22a b C --，半径2222a b r +=， 依题意，1212||||0C C r r =->，则有2222(1)()|1|0222a b a b +++=->，解得0,0b a =<且2a ≠-， 所以有序实数对(),a b 可以是(1,0)-. 故答案为：(1,0)-14．11世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此可知：33331239+++⋅⋅⋅+=______．【答案】2025【分析】利用图形的割补求面积，即可求得自然数的三次方的求和公式.【详解】由题知，3333123n +++⋅+⋅⋅ 可转化为一个底边长为：()1n n ⨯+， 高为：()12n n +的直角三角形， 其面积即是自然数的三次方的求和：()()()221111224n n n n S n n ⨯++=⨯⨯+⨯=， 当9n =时，2025S =. 故答案为：2025.15．二面角l αβ--的棱上有两个点A 、B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l ，若4AB =，6AC =，8BD =，217CD =，则平面α与平面β的夹角为_________.【答案】60##3π【分析】先设平面α与平面β的夹角为θ，因为AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以=0CA AB ⋅，=0BD AB ⋅，根据空间向量得CD CA AB BD =++， 两边平方代入数值即可求出答案.【详解】设平面α与平面β的夹角为θ，因为AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以=0CA AB ⋅，=0BD AB ⋅由题意得CD CA AB BD =++，所以()(2222222222222361664268cos 17CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD CA AB BD CA BD πθ=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⋅=+++⨯⨯⨯-= 所以()1cos 2πθ-=-，所以1cos 2θ=，所以60θ︒=，即平面α与平面β的夹角为60.故答案为：60或3π. 16．已知点()2,2A 在抛物线22y px =上，B ，C 是抛物线上的动点且CA CB ⊥，若直线AC 的斜率1,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则点B 纵坐标的取值范围是______．【答案】[]3,2--【分析】由已知得出1p =，即可设出211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，则根据已知可得2212212CA CB k k y y y ⋅=⨯=-++与211,222y y ⎡+-⎤∈⎢⎥⎣⎦，211,222y y ⎡+-⎤∈⎢⎥⎣⎦与212222y ≤≤+可解出160y -≤≤，由2212212CA CB k k y y y ⋅=⨯=-++整理为()221212240y y y y ++++=，根据已知得出关于2y 的方程()221212240y y y y ++++=，在[]21,2y ∈-上有解，即可解出132y -≤≤-或16y ≥，综合即可得出答案.【详解】点()2,2A 在抛物线22y px =上， 44p ∴=，解得1p =，即22y x =，设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222222222CA y k y y -==+-，22222121222CB y y k y y y y -==+-， 直线AC 的斜率1,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，212222y ∴≤≤+，解得：212y -≤≤①，CA CB ⊥，2212212CA CB k k y y y ∴⋅=⨯=-++，且211,222y y ⎡+-⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由211,222y y ⎡+-⎤∈⎢⎥⎣⎦解得：1212y y ≤--≤②，由+①②可得：160y -≤≤，2212212y y y ⨯=-++整理化简为：()221212240y y y y ++++=， 则关于2y 的方程()221212240y y y y ++++=，在[]21,2y ∈-上有解，则()()()()()211211211Δ2424012240222240y y y y y y ⎧=+-+≥⎪⎪--+++≥⎨⎪++++≥⎪⎩， 解得：132y -≤≤-或16y ≥，综上所述：点B 纵坐标的取值范围是[]3,2--， 故答案为：[]3,2--.四、解答题17．已知点()3,2P -及圆C ：222410x y x y ++++=． (1)求过P 且与圆C 相切的直线方程；(2)以PC 为直径的圆交圆C 于A ，B 两点，求AB ． 【答案】(1)3x =-或3410x y ++= (2)855AB =【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径即可求解； （2）两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求解. 【详解】（1）由题知，圆C 的圆心()1,2C --，2r = 当k 不存在时，3x =-，符合题意．当k 存在时，设直线方程为()23y k x -=+，即230y kx k ---=222321k kd k -+--==+，所以34k =-∴()3234y x -=-+，即3410x y ++= 综上所述，切线方程为3x =-或3410x y ++= （2）以PC 为直径的圆的方程为()2225x y ++= 所以AB 直线方程为210x y --= 所以C 到直线AB 的距离为1412145d -+-'==+ ∴4852455AB =-=. 18．长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．(1)求证：11D E A D ⊥；(2)当E 为棱AB 的中点时，求1D E 与面1ACD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)39【分析】（1）由已知以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，令()1,,0E a ，其中02a ≤≤，计算得出10D E AD ⋅=，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得1D E 与面1ACD 所成角的正弦值.【详解】（1）由已知以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由已知()0,0,0D 、()1,0,0A 、()10,0,1D 、()0,2,0C 、()10,2,1C 、()11,0,1A ， 令()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()11,,1D E a =-，()11,0,1A D =--， 所以，110D E A D ⋅=，故1D E AD ⊥；（2）由已知()1,1,0E ，()1,2,0AC =-，()10,2,1CD =-，()11,1,1D E =-， 令面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则12020n AC x y n CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，可得()2,1,2n =， 所以，11113cos ,33D E n D E n D E n⋅===⨯⋅， 因此，直线1D E 与面1ACD 3 19．已知数列{}n a 满足：12a =，()111n n na n a +-+=-（*n ∈N ）(1)写出2a ，3a ，并求{}n a 的通项公式； (2)若数列2n nn a a b =（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)23a =，34a =，{}n a 的通项公式为：1n a n =+； (2)13322n n n S ++=-.【分析】（1）由递推公式求出2a ，3a ；根据递推公式求出11111n n a a n n n n+-=-++； （2）利用错位相减法求和.【详解】（1）因为12a =，()111n n na n a +-+=-，所以2121a a -=-，解得：23a =；32231a a -=-解得：34a =.当1n ≥时，由()111n n na n a +-+=-，得()1111111n n a a n n n n n n+-=-=-+++ 11111n n a a n n n n +-=-++，所以1n a n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列. 又1111a -=，得11n a n n -=，所以1n a n =+.综上，23a =，34a =，{}n a 的通项公式为：1n a n =+. （2）由112n n n b ++=，得231231222nn n S ++=++⋯+， 两边同乘以12得：3412123122222n n n n n S +++=++⋯++两式相减得：231212*********222222422n n n n n n n S ++++++=++⋯+-=+--整理得：13322n n n S ++=-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，二面角P BC A --为直二面角．2BP CP ==，BP CP ⊥，M ，N 分别为AP ，AC 的中点．(1)求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值；(2)若平面BMN ⋂平面PCD l =，求点A 到直线l 的距离．【答案】(1)63(2)2．【分析】（1）根据图形位置关系，作//PF CD ，//CP DF ，连接MF ，ND 补成棱柱确定线面、面面关系，即可求得BMN 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）由（1）可得面BMN ⋂面PCD DF =，结合线面关系，即可求点A 到交线的距离． 【详解】（1）解：∵PB PC ⊥，2PB PC ==，∴2BC = ∵面PBC ⊥面ABCD ，面PBC ⋂面ABCD BC =， 又∵底面ABCD 为正方形，∴//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC CD DA ====，又CD ⊂面ABCD ，则CD ⊥面PBC ，故AB ⊥面PBC ，PB ⊂面PBC ，∴CD PB ⊥，且面ABCD 为正方形，如下图，作//PF CD ，//CP DF ，连接MF ，ND ，∴四边形ABPF 、四边形CDFP 为矩形，则CP PF ⊥ ∵M 、N 分别为AP 和AC 的中点∴B 、M 、F 三点共线，B 、N 、D 三点共线， 易知：面BMN 与面BDF 为同一个平面，且面BDF 面PCD DF =，所以平面BMN ⋂平面PCD DF =，∵BP CP ⊥，CP PF ⊥，又,,BP PF P BP PF ⋂=⊂面ABPF ∴⊥CP 面ABPF ，结合//CP DF ，故DF ⊥面ABPF ， 又BF ⊂面ABPF ，则DF ⊥BF ，在矩形CDFP 中PF DF ⊥，由BF ⊂面BMN ，PF ⊂面PCD ，故平面BMN 与平面PCD 夹角为PFB ∠， ∵PB PF ⊥，2PB =2PF =，∴6BF =∴6cos 6PF PFB BF ∠==∴平面BMN 与平面PCD 6（2）解：由（1）知四边形ABPF为矩形，所以AF BP == 由（1）知：DF ⊥面ABPF ，又AF ⊂面ABPF ，故DF AF ⊥ ∵面BMN ⋂面PCD DF l ==∴A 到直线l 的距离即A 到直线DF 的距离，即为线段AF 的长， ∴A 到直线l21．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>过点M ⎝且与抛物线2C ：22y px =有一个公共的焦点()1,0F ．(1)求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，与抛物线2C 交于C ，D 两点．是否存在这样的直线l ，使得2AB CD =？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22143x y +=，24y x = (2)存在，)1y x =-【分析】（1）由题意椭圆与抛物线共焦点，由焦点得出基本量，即可求出椭圆1C 与抛物线2C 的方程. （2）分直线l 的斜率存在与不存在，在直线斜率不存在时求出直线方程，并验证2AB CD =是否成立，再求直线斜率存在时，设直线的斜率为k ，联立直线与椭圆方程，求得当满足2AB CD =时直线的斜率k ，即可求得直线方程. 【详解】（1）由221a b =+，224213a b+=，得2a =，b = 所以椭圆1C 的方程：22143x y +=， 由12p=，得2p =，所以抛物线2C 的方程：24y x =． （2）当直线l 斜率不存在时，1x =，得3AB =，4CD =，不符合；当直线l 斜率存在时，设()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y 由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()22224384120k x k x k +-+-=2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， ()()2222121212212111443k AB k x x k x x x x k +=+⋅-=+⋅+-=+，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，()2242440k k ∆=+->， 212224k x x k ++=，121=x x ，()2122412k CD x x k+=++=， 由2CD AB =，得()()22224124143k kk k ++=+，232k=，62k =±，经检验符合. 故存在直线，方程为()612y x =±-. 22．广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的．其中双曲面的构成原理如图所示：圆1O ，2O 所在的平面平行，12O O 垂直于圆面，AB 为一条长度为定值的线段，其端点A ，B 分别在圆1O ，2O 上，当A ，B 在圆上运动时，线段AB 形成的轨迹曲面就是双曲面．用过12O O 的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线．已知主塔的高度()12151293m O O =+，()151673m AB =+，设塔身最细处的圆的半径为0r ，上、下圆面的半径分别为1r 、2r ，且0r ，1r ，2r 成公比为2的等比数列．(1)求1O A 与2O B 的夹角；(2)建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程． 【答案】(1)105︒；(2)()3534y x +=±.【分析】（1）根据给定条件，过A 作1AA ⊥圆面2O 于点1A ，直线AB 与塔身最细处的圆的公共点为L ，L 在圆面2O 上射影为H ，结合线面垂直求出12AO B ∠作答.（2）建立平面直角坐标系，结合（1）中信息，求出点A 的坐标，设出双曲线方程即可代入求解作答.【详解】（1）过A 作1AA ⊥圆面2O 于点1A ，连接211,O A BA ，如图，则有121O A O A =，令塔身最细处的圆的圆心为O ，直线AB 与圆O 的公共点为L ，过L 作1//LH AA 交1BA 于H ，连接2,OL O H ，必有OL AB ⊥，1AA ⊥圆面O ，OL ⊂圆面O ，则1OL AA ⊥，而11,,ABAA A AB AA =⊂平面1ABA ，有OL ⊥平面1ABA ， 1BA ⊂平面1ABA ，则1OL BA ⊥，又12O O ⊥圆面2O ，则121////O O AA LH ，显然圆面//O 圆面2O ，有2//OL O H ，因此21O H A B ⊥，依题意：20O H r =，2102O A r r ==，2202O B r r ==，2212221221cos 2O HO H AO H BO H O A O B ∠==∠==，12245,60AO H BO H ∠=︒∠=︒， 于是得12122105AO B AO H BO H ∠=∠+∠=︒，所以1O A 与2O B 的夹角为105︒.（2）由（1）知，10A H r =，0BH ，在直角1ABA △中，)1301A B =，因此))1101301A B A H BH r =+==，解得030r =，1r =， 以塔身最细处的圆的圆心O 为原点，以12O O 所在直线为y 轴，以圆O 的一条平行于1O A 的直径所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的顶点坐标为()30,0±，设双曲线方程为：2222130x y b -=，设()0A y ，00y >，令1AA 交x 轴于点K ，显然四边形1LKA H是平行四边形，则10111KL A H y AA A B A B ===解得：(015124552y +=，即(4552A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得：((22224552130b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=，解得：(4552b =， 所以双曲线的渐近线方程为(354y x +=±．。
浙江省温州八校高二数学上学期期末联考试题 文 新人教A版
参考公式： （考试过程中不得使用计算器）棱柱的体积公式V Sh = 棱锥的体积公式13V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=球的表面积公式 24S R π=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积， 球的体积公式334R V π=h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的倾斜角为45°，则m 的值为---（▲） A.1 B.2 C.3 D.42. 实数“1a = ”是“直线1l ：2(1)10:(21)210a x y l a x y +-+=-+-=和”垂直的（▲） A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是--------------------------(▲)A ．(0,0)B ．(2,4) C.11(,)416 D.11(,)244. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边 长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形， 该三棱柱的左视图面积为--------------（▲） A.23 B.3 C. 22D.45.已知椭圆1C 的方程为：221169144x y +=，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为-----------------（▲）A ．221916x y -= B ． 221169144x y -= C ． 22116925x y -= D ． 221169x y -= 6.在三棱锥S ABC -中，E,F 分别为棱SC,AB 的中点，若AC=SB=2,2EF = ，则异面直线AC 和SB 所成的角为-------------------------------（▲） A. 030 B. 045 C. 090 D. 01207．若a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有------------------------------------（▲） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点------------------------------------------------------（▲） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9.若直线:l 4mx ny +=和圆O :224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为----------------------------------（▲） A. 0个 B. 至多有一个 C.1个 D. 2个10. 已知直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A,B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||2||FA FB =,则k=----------------------------( ▲)A.23 B. 13C. 22D. 2二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．一个正方体的体积为8，则它的内切球的体积为 ▲ .12．抛物线2ax y =的焦点坐标为1(0,)8，则a 的值为 ▲ .13．已知222:430(0),:230p x ax a a q x x -+<>--<，若p 是q 的充分条件，则实数a的取值范围 ▲ .14. 设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是________▲____15．若关于x 的方程3650x x a -+-=有3个不同实根，求实数a 的取值范围 ▲ . 三、解答题（本大题共4小题，满分40分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 16．（本题满分8分）已知圆C: 2220x x y -+=. （1）判断直线:10l x y -+=与圆C 的位置关系； （2）求过点（0，2)且与圆C 相切的直线方程.17．（本题满分10分）如右图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的动点（异于A 、B ），过动点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在的平面，D,E 分别是VA,VC 的中点. (1)求证：直线ED ⊥平面VBC;(2)若VC=AB=2BC,求直线EO 与平面VBC 所成角大小的正切值.18.（本题满分12分）已知函数321()(1)(2)3f x mx m x m x =-+++，其中0.m < （1）求(1)f '的值； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒小于m ，求m 的取值范围.19.（本题满分10分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，它的四个顶点连成的菱形的面积为动点P (不在x 轴上)的直线12,PF PF ,A B 和,C D .（1）求此椭圆的标准方程;（2）是否存在点P ,使2AB CD =,若存在求出点P 标;若不存在,请说明理由.2012学年第一学期“温州八校”高二期末联考数学试卷(文科)答题卷试场号 座位号一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）.11． 12． 13． 14． 15．三、解答题（本大题共4小题，满分40分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 16．（本题满分8分）已知圆C: 2220x x y -+=. （1）判断直线:10l x y -+=与圆C 的位置关系； （2）求过点（0，2)且与圆C 相切的直线方程.17．（本题满分10分）如右图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点（异于A、B），过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D,E分别是VA,VC的中点.(1)求证：直线ED⊥平面VBC;(2)若VC=AB=2BC,求直线EO与平面VBC所成角大小的正切值.18.（本题满分12分）已知函数321()(1)(2)3f x mx m x m x =-+++，其中0.m < （1）求(1)f '的值； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m ，求m 的取值范围.19.（本题满分10分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，它的四个顶点连成的菱形的面积为82.过动点P (不在x 轴上)的直线12,PF PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D .(1) 求此椭圆的标准方程;(2) 是否存在点P ,使2AB CD =,若存在求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2012学年第一学期“温州八校”高二期末联考数学试卷(文科)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDADCBADC11.43π; 12.2a = ; 13.01a <≤; 14. 53;15. 542542a -<<+三、解答题（本大题共4小题，满分42分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 16.解： (1)22211(1)d ==>+-，直线:10l x y -+=与圆C 相离--- 3分(2)0x =-----------------2分，324y x =-+. -------3分17.（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC又∵VC 垂直于⊙O 所在的平面，∴AC ⊥VC而BC ∩VC=C ∴AC ⊥平面VBC------------------------3分 又∵D,E 分别是VA,VC 的中点, ∴DE 是△VCA 的中位线，∴DE//AC, ∴DE ⊥平面VBC -------------------------2分(2)设VC=AB=2BC=2a,取BC 的中点K, 在正△OBC 中，OK=3a ,且OK//AC,OK ⊥平面VBC∴EK 是斜线EO 在平面VBC 上的射影，∴∠OEK 就是所求线面角的大小，而EK 是RT △VBC 的中位线，∴EK=2a ---------------3分∴tan ∠OEK=aOK EK ==, ∴直线EO 与平面VBC所成角大小的正切值为5----------2分 18.2()2(1)2f x mx m x m '=-+++（1）(1)2(1)20f m m m '=-+++=.------------------------------------3分； （2）由（1）知，22'()2(1)2(1)[(1)]f x mx m x m m x x m=-+++=--+当0m <时，有211>+，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表：故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减 ∴()f x 的单调递增区间为2(1,1)m+.---------------------------------------------------4分； （3）由已知得'()f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222(1)0x m x m m-++<，即222(1)0,[1,1]x m x x m m-++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩ 解之得403m m -<<又所以403m -<<即m 的取值范围为 4(,0)3-------------------------------------------------------5分2219.:(1)20, 2.21.(4)84c S ab e a b a b c a x y ====>>===∴+=--------解且可解得所求的椭圆方程为分11221122(2)||2||,,,,:(2),:(2).AB CD P y PF k PF k PF y k x PF y k x ==+=-若成立点必在轴的右侧故直线必存在设为当直线的斜率存在时设为此时有直线为直线为22222211112211121222112121(2)1,,(12)88(1)0,8488(1),,,12121||12x y y k x y k x k x k k k x x x x k k k AB k =++=+++-=--+==+++∴===+由代入消去整理得由韦达定理得2222221222122221211,||.1211||2||2,1212,2310.,,||2||.k CD k k k AB CD k k k k k P AB CD +=+++==⋅++++==同理可得若成立,则有整理得因为此方程无实数解所以不存在这样的点使得成立222||||2||2.,||2||.(6)b PF CD AB CD a aP AB CD =====--------当直线的斜率不存在时,通径不成立综上可得,不存在这样的点使得成立分。
浙江省“温州十校联合体”高二上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省“温州十校联合体”高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的焦点坐标是，所以此题的答案应是，故选A.【考点】抛物线的焦点坐标和标准方程.3．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】试题分析：对于A,若，与可能平行，故A错；对于B, 若，与可以相交、异面直线、平行，故B错；对于C, 若，，l与可以相交、异面直线、平行，故C错；对于D,根据线面垂直的性质定理可得若，则，故D正确.【考点】空间直线与平面的位置关系.【方法点晴】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4．“直线y ＝x+b 与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，可得（0，b ）在圆内，b 2＜1，求出﹣1＜b ＜1，即可得出结论． 【详解】由题意，直线y ＝x+b 恒过（0，b ），∵直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，∴（0，b ）在圆内，∴b 2＜1，∴﹣1＜b ＜1； 又由0＜b ＜1时，（0，b ）在圆内，∴直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充要条件的判断问题，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的求解方法，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线条数为（ ）A.1 B .2 C.3 D.4 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆1C 的圆心1(1,4)C --，半径为5R =；圆2C 的圆心2(2,2)C ，半径为3r =，则12C C =，且2,8R r R r -=+=，即12R r C C R r -<<+，所以两圆相交，所以共有2条公切线，故选B ．【考点】圆与圆的位置关系．6．双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB 的长为5，那么的周长是A．12 B．16 C．21 D．26【答案】D【解析】依题意，利用双曲线的定义可求得，，从而可求得的周长．【详解】解：依题意，，，，又，．．即的周长是26．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题．7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C. 8．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．9．已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】方法一：第一步，把A，B点设出来；第二步，根据向量垂直的等式关系推导出参数间的关系；第三步，根据题意列出面积方程；第四步，利用均值不等式进行求最小值.方法二：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，根据对称关系，直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，【详解】解析：设，则，,则解得，根据三角形的面积公式，，当且仅当时，取最小值.则的面积的最小值为16.解法2：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，又因为，所以直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，解得，所以，此时．答案选A 【点睛】本题考查直线与抛物线形成的三角形面积，对动点采用设而不求的方法，难点在于根据已有向量关系形成等量代换，进而均值不等式求解面积最小值，难度较大。
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++= B ．2420x y -+= C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】 解：双曲线22154x y -=，焦点在x轴上，3c ==， 所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a +=-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小. 即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD 上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥ B ．αϕ> C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角， 而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M是唯一的，则a =（ ）A．3±B．CD【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆， 且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为3：④二面角A BC D --的：其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a =，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2abn c=-， 将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b--=， 化简可得2241c a -=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题 12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8(0,【解析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】 解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .【答案】43643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯= 14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ，∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥， 又ED AB ⊥，ABAC A =，AB平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥， ∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒. 故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=.故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.【答案】321+【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】 解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，∵AB 的最大值为22BF 21，∴2321AF BF +≥，又2AF BFk +≥恒成立，则k 的最大值为321.故答案为：321.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程22220040x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③ 联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22r ：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=： 故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=.（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R <=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点 （2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-=【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，M是PC的中点，二面角P DC A--的大小为45︒.（1）设l是平面PAB与平面PCD的交线，证明CD l∥；（2）在棱AB是否存在一点N，使M DN C--为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN=【解析】（1）先证明//CD平面PAB，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A--的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设()N x，求出平面的法向量，,0,0根据M DN C--的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴//CD AB，又AB在平面PAB内，CD不在平面PAB内，∴//CD平面PAB，又平面PCD过直线CD，且平面PAB⋂平面PCD l=，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ， 易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴22112cos ,cos 6021142xm n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=， 所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长8MN===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4 yy'=-，4 yy =-'因为41OAyk yy==-='-，244ONyy ykx y'''===''∴OA ONk k=，AO，ON又有公共点O，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若1AB=，3BC=，1AF FE EC===.（1）求证：AC DE⊥；（2）若1DE=，求BE与面ACEF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，1OE CE AF===，2==AC BD，从而CDO∆是边长为1的正三角形，取OC中点G，连结DG，EG，连结DG，EG，从而EG AC⊥，DG AC⊥，由此能求出AC⊥平面DEG，由此能证明AC DE⊥. （2）过B作BH AO⊥，交AO于点H，连结FH，以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =，设BE与面ACEF所成角为θ，则21 3sin2169BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE与面ACEF所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l 与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【答案】（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ3|AB|=10列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b +=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=． 则()221211116482104AB k x b =+-=+--=解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++,由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+． ∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭，()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442k k k k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A .B .C . 1D .2. （2分）一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.则正确的命题是（）A . ①③B . ②③C . ①④D . ②④4. （2分）已知圆x2+（y﹣3）2=r2与直线y= x+1有两个交点，则正实数r的值可以为（）A .B .C . 1D .5. （2分） (2017高一下·扶余期末) 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为（）A . 120 cm3B . 100 cm3C . 80 cm3D . 60 cm36. （2分） (2017高一下·景德镇期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·黄陵开学考) 抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于（）A .B .C .D . 158. （2分） (2017高一上·延安期末) 直线x﹣y+2=0与x﹣y+1=0的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交D . 重合二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分）如图已知梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为10，则梯形ABCD的面积为________．10. （2分） (2017高一上·湖州期末) 在半径为6cm的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是________ cm，该扇形的面积是________ cm2 ．11. （1分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为________ ．12. （1分）(2017·南京模拟) 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是________．13. （1分）(2017·厦门模拟) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC1垂直的有________条．14. （1分）(2018·衡阳模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的直线被圆，圆截得的弦分别为，，且，则定点的坐标为________.15. （1分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分）如图，四棱锥C﹣ABB1A1内接于圆柱OO1 ，且A1A，B1B都垂直于底面圆O，BC过底面圆心O，M，N分别是棱AA1 ， CB1的中点，MN⊥平面CBB1 ．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比．17. （5分）已知A，B为两个定点，动点M到A与B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．18. （10分） (2016高二上·金华期中) 如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．（1）求证：AF⊥EF；（2）求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值．19. （10分） (2018高二上·綦江期末) 已知直线：与直线关于轴对称.（1）若直线与圆相切于点 ,求的值和点的坐标；（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于 , 两点，求的值 .20. （10分）(2018·衡水模拟) 已知椭圆的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点，的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，，在椭圆上，且，两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分)16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。
浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
b
(4,
x,y)，a来自//b，则
x
y
（
D． 3 4
）
A．4
B．-4
C．0
D．2
3．下列曲线中，与双曲线 x2 y2 1 有相同渐近线的是（ 4
A． x2 y2 1 4
B． x2 4 y2 1
C． 4x2 y2 1
） D． y2 x2 1 4
4．已知抛物线 C : y x2 ，过点 P(1, 0) 与抛物线 C 有且只有一个交点的直线有（
抛物线 C : y x2 的对称轴为 y 轴，直线 x 1 过点 P 且与 y 轴平行，它与抛物线 C 只有一个
公共点，
设过点 P(1, 0) 与抛物线 C 只有一个公共点且斜率存在的直线方程为： y k(x 1) ，
y k (x 1)
由
y
x
2
消去 y 并整理得： x2 kx k 0 ，则 k 2 4k 0 ，解得 k 0 或 k 4 ，
(1)求证： CD AB ； (2)当 AD 与平面 BCD 所成角为 45°时，求二面角 C AD B 的余弦值． 19．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 过点 A(1, 2) ，O 为坐标原点． (1)求焦点 F 的坐标及其准线方程； (2)抛物线 C 在点 A 处的切线记为 l，过点 A 作与切线 l 垂直的直线，与抛物线 C 的另一个 交点记为 B，求 OAB 的面积．
2．A
【分析】
根据空间向量平行求出 x,y，进而求得答案. 【详解】
因为
a
//
b
，所以存在实数
，使得
b
a
(4,
x
,
y
)
(2,1,1)
浙江省温州市 - 高二数学上学期期末试题 理 新人教A版
高二期末考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1.若复数21(1)()z a a i a R =-++∈是纯虚数，则||z 等于（ ）A .0B .2C .0或2D 2.在空间直角坐标系中，若向量13(2,1,3)(1,1,1)(1,)22a b c =-=-=-- ，，，，则它们之间的关系是（ ） A .//a b a c ⊥ 且 B .a b a c ⊥⊥ 且 C .//a b a c ⊥ 且 D .////a b a c 且3.对任意x R ∈，不等式|||1|a x x ≤+-恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A .1a > B .1a ≥ C .1a < D .1a ≤4.曲线12y x=和2y ax =在它们的交点处的两条切线互相垂直，则实数a 的值是（ ） AB .-C .±D .不存在5.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，AD =1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ）A .1010 B .1030 C .1060 D .101036.函数 y = ）A B .3 C .D 7.如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第m 行从左至右算的第n 个数字，则（m ，n ）为（ ）A .（63，60）B .（63，4）C .（64，61）D .（64，4）8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点为21,F F ，过2F 作x 轴的垂线交双曲线于B A ,两点，若1ABF ∆内切圆的半径为a ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D9.已知0t >，关于x 的方程31x =有相异实根的个数情况是（ ）A .0或1或2或3B .0或1或2或4C .0或2或3或4D .0或1或2或3或410.若对可导函数()f x ，恒有2()()0f x xf x '+>，则()f x （ ）A .恒大于0B .恒小于0C .恒等于0D .和0的大小关系不确定二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.命题“若x <0，则20x >”的逆否命题是 命题．（填“真”或“假”）12.记复数12ω=-+，则2ωω+等于 ． 13.对于函数)(x f ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数21()(0)f x x x x=+>上的“下确界”为 ． 14.已知命题：在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(,0)A c -和(,0)C c ，顶点B 在椭圆 22221(0,x y a b c a b +=>>=上，椭圆的离心率是e ，则e B C A 1sin sin sin =+，类比 上述命题有：在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(,0)A c -和(,0)C c ，顶点B 在双曲线 22221(0,0,x y a b c a b-=>>=上，双曲线的离心率是e ，则 ． 15.平面α、β、γ两两垂直，定点A α∈，A 到β、γ距离都是1，P 是α上动点，P 到β的距离等于P 到点A 的距离，则P 点轨迹上的点到β距离的最小值是 ．16.使关于x 的不等式a x ≥x ≥log a x （a >0且a ≠1）在区间(0,)+∞上恒成立的实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图，在组合体中，ABCD —A 1B 1C 1D 1是一个长方体，P —ABCD是一个四棱锥．AB =2，BC =3，点P ∈平面CC 1D 1D ，且PC =PD（Ⅰ）证明：PD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值；（Ⅲ）若1AA a =，当a 为何值时，PC //平面1AB D ．18.（12分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx b =+与抛物线C 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12||y y a -=（a 为正．常数．．）．过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的 直线交抛物线C 于点D ，连结AD 、BD 得到ABD ∆．（i ）求实数a ，b ，k 满足的等量关系；（ii ）ABD ∆的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．19.（14分）已知函数()ln f x x x =，()1g x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意正实数x ，不等式()()f x kg x ≥恒成立，求实数k 的值；（Ⅲ）求证：22ln !(1)(*)n n n n N ≥-∈．（其中!123(1)n n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯） 2012学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11． 12．13． 14．15． 16．三、解答题（本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）18.（12分）19.（14分）2012学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B AC C BD B D B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11． 真 12． -1 13． sin sin 1sin A C B e -= 15． 1216． 1e a e ≥ 三、解答题（本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.方法一：(Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以PCD ∆为等腰直角三角形，所以PC PD ⊥．因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面⊂，所以PD BC ⊥．因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．(Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ．因为PCD ABCD 面面⊥，所以ABCD PE 面⊥，所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角．因为1=PE ，10=AE ，所以1010101tan ===∠AE PE PAE ． 所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为1010． (Ⅲ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面．当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以0145=∠DC C ，而045=∠PDC ，所以0190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1．而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//．而D C AB D C 111面⊂，所以D C AB PC 11//面，所以D AB PC 1//平面．方法二：(Ⅰ)证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长a AA =1则有),0,0(a D ，)1,1,0(+a P ，),2,3(a B ，),2,0(a C ．于是(0,1,1)PD =-- ，(3,1,1)PB =- ，(0,1,1)PC =- ，所以0PD PB ⋅= ，0PD PC ⋅= ．所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．(Ⅱ)解：),0,3(a A ，所以(3,1,1)PA =-- ，而平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n = ．所以1cos ,PD n <= ．所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为1010． (Ⅲ)解：)0,2,3(1=B ，所以)0,0,3(=，),2,0(1a AB -=．设平面D AB 1的法向量为),,(2z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅0203212az y n AB x n ，令2=z ，可得平面D AB 1的一个法向量为)2,,0(2a n =．若要使得D AB PC 1//平面，则要2n ⊥，即022=-=⋅a n ，解得2=a ． 所以当2=a 时，D AB PC 1//平面．18.解：(Ⅰ)依题意：452p +=，解得2p =.∴抛物线方程为24y x =. (Ⅱ)(i )由方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440ky y b -+=.（※） 依题意可知：0k ≠. 由已知得124y y k +=，124b y y k=. 由12y y a -=，得221212()4y y y y a +-=，即221616b a k k -=，整理得221616kb a k -=. 所以2216(1)a k kb =- .(ii )由(i )知AB 中点222(,)bk M k k -，所以点212(,)D k k，依题意知12211122ABD bk S DM y y a k -=-=⨯⨯ . 又因为方程（※）中判别式16160kb =-> ，得10kb ->. 所以2112ABD bk S a k -=⨯⨯ ，由（Ⅱ）可知22116a k bk -=，所以23121632ABD a a S a =⨯⨯= . 又a 为常数，故ABD S 的面积为定值.19. (Ⅰ)解：定义域：(0,)+∞11()1ln ()(0,)(,)f x x f x e e'=+∴+∞ 在上，在上 ； (Ⅱ)解法一：(1)1;x =当时，显然成立ln (2)11x x x k x >≤-当时， 22ln (1ln )(1)ln 1ln ()()1(1)(1)x x x x x x x x h x h x x x x +----'===---令，则 1()1ln ()10()(1)0t x x x t x t x t x '=--=->∴>=令，则， ()(1,)h x ∴+∞ 在上 11ln lim =lim(1ln )11x x x x x x →→+=-由洛比达法则可知： ()11h x k ∴>≤，由题意：；(3)1(2)1x k <≥当时，类似可得；综上：1k =；解法二：()ln ()1ln h x x x kx k h x x k '=-+=+-令，则 11()(0,)(,)k k h x e e --∴+∞ 在上，在上 11()()k k h x h e k e --∴≥=- 由题意10k k e --≥，11()()1k k t k k e t k e --'=-=-令，则， ()(0,1)(1,)()(1)=0t k t k t ∴+∞∴≤ 在上，在上10k k e -∴-≤， 101k k e k -∴-=∴=(Ⅲ)证法一：()111ln 1ln 1x x x x x x x x ->>-∴>=-由知：当时，Ⅱ 2(*,2)x k k N k =∈≥令， 211112ln 111()(1)1k k k k k k>->-=----则 2,3,,1,k n n =⋅⋅⋅-取，并累加得：21(1)2ln !(1)(1)n n n n n->---= 22ln !(1)n n n ∴>- 212ln !=(1)n n n n =-又当时，22ln !(1)(*)n n n n N ∴≥-∈证法二：数学归纳法（略）。
浙江省温州市数学高二上学期文数期末考试试卷
浙江省温州市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下面有关抽样的描述中，错误的是（）A . 在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n次抽样有关，先抽到的可能性较大B . 系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等C . 分层抽样为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样D . 抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”2. （2分） (2015高一下·南阳开学考) 若直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a值为（）A . 0B . 1C . 0或1D . 0或﹣13. （2分）执行程序框图，则输出的S是（）A . 5040C . 2450D . 25504. （2分）(2017·孝义模拟) 如果x，y满足，则z= 的取值范围是（）A . [0，2）B . [0，2]C . [﹣1， ]D . [0，+∞）5. （2分）(2017·武邑模拟) 已知函数，在随机取一个实数a，则f（a）＞0的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·长春模拟) 已知为直线，平面，则下列说法正确的是（）① ，则② ，则③ ，则④，则A . ①②③B . ②③④C . ①③7. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·河南月考) 为了解某校学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下图，但不慎将部分数据丢失，仅知道后5组频数之和为70，则视力在4.6到4.7之间的学生数为（）A . 14B . 16C . 30D . 329. （2分）若A为不等式组表示的平面区域，则a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A . 1B .C .D .11. （2分） (2019高二上·长治月考) 如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（）A . 一条线段B . 一段圆弧C . 一个球面区域D . 两条平行线段12. （2分） (2018高二上·遂宁期末) 在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上C 的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆C上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（）A . 7B . 6C . 5D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）“庄稼一枝花，全靠肥当家”说明农作物的产量与施肥之间有________ 关系．14. （1分）阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为________15. （1分）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A ， B两点，若|AB|＝2 ，则圆C的面积为________．16. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2018高一下·伊春期末) 已知两点，两直线，求：（1）过A且与平行的直线方程；（2）过AB中点和两直线交点的直线方程。
2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(b卷)
2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．82．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A ．6B ．2C ．12D ．35．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( ) A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B ．各个面都是正三角形C ．三个侧面是全等的等腰三角形D ．顶点在底面上的射影为重心6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为( )A ．12B ．10C ．8D ．67．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．3410．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1,12]+B ．[12,122]-+C ．[1,122]+D ．[12,12]+二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为 ． 14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ．15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是 ．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 ．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积．21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线221916x y -=的实轴长为：2236a =⨯=．故选：C ．2．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=【解答】解：设(,)P x y 为要求直线上的任意一点，则点P 关于y 轴对称的点为(,)x y -，代入直线l 的方程可得：2310x y --+=， 化为：2310x y +-=， 故选：B ．3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)【解答】解：若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离， 则圆心到直线的距离d r >，>0m >，解得02m <<， 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A．6B．2C．12D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，1(12)2262V=⨯+⨯⨯=，故选：A．5．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是()A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【解答】解：对于A，若一个三棱锥是正三棱锥，则底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，反之，若一个三棱锥底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，则三棱锥为正三棱锥，故A正确；对于B，正三棱锥的侧面不一定是正三角形，故B错误；对于C，如图，三棱锥A BCD-满足2AB AC BD CD====，3AD BC==，满足三个侧面是全等的等腰三角形，但三棱锥不是正三棱锥，故C错误；对于D，一个三棱锥顶点在底面上的射影为重心，三棱锥不一定是正三棱锥，故D错误．故选：A．6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC-，点P是VA的中点，且2AC=，4VB=，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为()A．12B．10C．8D．6【解答】解：如图所示，过点P作//PF AC，交VC于点F，过点F作//FE VB交BC于点E，过点E作//EQ AC，交AB于点Q；由作图可知：//EQ PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得122EF PQ VB===，112EQ PF AC===；所以截面四边形EFPQ的周长为2(21)6⨯+=．故选：D．7．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠【解答】解：设(,)P x y ，直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ， 可得20yx y x+-=g ，0x ≠，即2220x x y -+=，0x ≠，可得22(1)1(0)x y x -+=≠． 故选：D ．8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)【解答】解：双曲线224x y -=，双曲线的渐近线方程为：y x =±，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，(1,1)，(2,2)在双曲线的渐近线上，所以A 、D ，不成立．因为(2,1)是第一象限，在双曲线外与x 轴与y x =所围成的区域内，不可能满足：过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点， 所以只有选项B 满足条件， 故选：B ．9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．34【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，所以22||5a PF =，18||5aPF =， 222212121212178cos 4||||2||||cos 4()25F PF c PF PF PF PF F PF a -∠=+-∠=当且仅当12cos 1F PF ∠=时，2294425c a ⨯…，所以35e …．故选：A ．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,1+B ．[1-+C ．[1,1+D ．[1+【解答】解：设(,)M x y ，22||||12MA MB +=Q2222(2)(2)12x y x y ∴-+++-=， 22(1)(1)4x y ∴-+-=，Q 圆C 上存在点M ，满足22||||12MA MB +=∴两圆相交或相切，13∴，即|1|a -„，11a ∴-+ 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = 0 ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．【解答】解：Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），直线l 的斜率为12，∴21122m +=， 解得0m =，Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），1m =-，∴直线l 的斜率2(1)112k -+==，∴直线l 的倾斜角为45︒．故答案为：0，45︒．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 (1-，2-，3)- ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 4 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则22004x y x +-的最大值为 ．【解答】1r =+，解得4r =；由点0(A x ，0)y 在圆1C 上，所以2201x y +=，且0[1x ∈-，1]， 所以22000414[3x y x x +-=-∈-，5] 所以220004x y x +-的最大值为5， 故答案分别为：4，5．14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 1x =- ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ． 【解答】解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，1y x =-，令0y =，1x =，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)， 所以抛物线的方程为24y x =， 所以准线方程为：1x =-； 若OA OB ⊥，设(,)A x y ，(,)B x y ''， 直线与抛物线联立：2(22)10x p x -++=， 22x x p '∴+=+，1xx '=， ()12yy xx x x p '''∴=-++=- 若OA OB ⊥，则0OA OB =u u u r u u u rg ，0xx yy ''∴+=，即120p -=，解得12p =； 故答案分别为：1x =-，12． 15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是243a b π ．【解答】解：S S =Q 圆环总成立，∴椭球的体积为：222142()33a b a b a b πππ-=．故答案为：243a b π．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 1[0,]5．【解答】解：如图，过点P 作AE 的垂线，垂足为O ，并延长交AB 于点M ，由翻折性质可知，AE ⊥平面OMP ，故平面OMP ⊥平面ABE ，因此点P 在平面ABE 内的射影点Q 必在OM 上：由于点Q 在ABE ∆内（含边界），则点Q 在线段OM 上； 当θ取最小值时，有PM OM ⊥，此时cos θ有最大值OM OP ，又15,22OM OP ==，故1(cos )5max θ=， 显然θ的最大值为2π，故(cos )0min θ=， 综上，cos θ的取值范围是1[0,]5．故答案为：1[0,]5．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 (0，1)(1⋃，9) ． 【解答】解：设2(4,4)N t t ，可知(0,1)F ，0m >且1m ≠，所以2(4,14)NF t t =--u u u r ，2(4,4)NM t m t =--u u u u r ， 因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM >u u u r u u u u rg ，即22216(14)(4)0t t m t +-->， 整理得4216(124)0t m t m +-+>， 等价于428(62)02mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =…，则2()8(62)02mf x x m x =+-+>对任意[0x ∈，)+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下： （1）308m--„，即03m <„时， ()(0)02min mf x f ==>， 所以03m <„； （2）308m-->，即3m >时， 应有2(62)4802mm =--⨯⨯<V ， 得39m <<；综上所述：(0m ∈，1)(1⋃，9)． 故答案为：(0，1)(1⋃，9)．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．【解答】解：（1）法一、Q 易求得AB 的中点为(1,0)，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --= 由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为(1,0)，∴半径||CA =故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=， 法二、设圆心(,22)C a a -，则由||||CA CB ==解得：1a =∴圆心(1,0)C ，半径r =， 故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=．（2）法一、当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2， 若直线l 的斜率存在，设直线:1(3)l y k x +=-， 即310kx y k ---=∴圆心(1,0)C 到直线l 的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=． 法二、设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，90MCN ∠=︒Q ，||4MN ∴= 若直线l 的斜率不存在， 则直线:3l x =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设:(3)1l y k x =--与圆方程22(1)8x y -+=，联立得：2222(1)2(31)3(322)0k x k k x k k +-++++-=， 由弦长公式得：221212(1)[()4]16k x x x x ++-=， 由韦达定理代入，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．【解答】（Ⅰ）证明：//AB CD Q ，AB α⊂/，CD α⊂，//AB α∴， 又AB γ⊂，EF αγ=I ，//AB EF ∴， 又//AB CD Q ，//CD EF ∴；（Ⅱ）解：122sin 6032ACE S ∆=︒g g g又三棱柱ACE BDF -的高212421()266555h =-=g g∴41236255V Sh ===g． 20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ， 则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21(0y x y =-≠或1)x ≠±；（Ⅱ）方法一：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以221212||11()410PQ x x x x ++-A 到直线的距离为22211d ==+所以15||2APQ S d PQ ∆==g g方法二：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，212121212111||||||||()4222APQ S AO y y AO x x x x x x ∆=-=-=+-g g g g ，所以5APQ S ∆=． 21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点． 所以CH BD ⊥，又面ABD ⊥面BCD ，CH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥， 又AD CD ⊥，AD CH ⊥，CD CH C =I ，AD ∴⊥面BCD ， AD BC ∴⊥．（Ⅱ）解：在CH 延长线上取点F ，使FH HC =， 则四边形BCDF 为平行四边形，又//EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊂/面BDE ，//AF ∴面BDE ， 又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角， 又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒， 即AF 与面BCD 所成线面角为45︒．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，212)()y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 所以12212112212112212121212(2())2(22())2()2()P x y x y y y my y y y y y x x y x y y y y y y y ++-+++-==-++-++，又因为121223()my y y y =+， 所以212121212(4()2())42()P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．。
浙江省温州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省温州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣2i表示的复数在复平面中位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高二上·天河期末) 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中抽取人进行问卷调查，则高二抽取的人数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·天河期末) 双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·天河期末) 下列有关命题的说法错误的是（）A . “若，则”的逆命题为假命题B . 命题“如果则”的否命题是真命题C . 若为假命题，则、均为假命题D . 若为假命题，则、均为假命题5. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知向量且与互相垂直，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A . 求首项为，公比为的等比数列的前项的和B . 求首项为，公比为的等比数列的前项的和C . 求首项为，公比为的等比数列的前项的和D . 求首项为，公比为的等比数列的前项的和7. （2分） (2019高二上·天河期末) “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较大的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·天河期末) 二面角为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面内，，，且AB＝AC＝，BD＝，则CD的长为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·天河期末) 某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是（）A . 130B . 140C . 133D . 13710. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率是，则的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知命题，；命题，，则命题是命题的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于、两点，点为双曲线上异于、的动点，且直线、的斜率分别为、，若双曲线的离心率为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·珠海期末) 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）•（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是________①（1+a+a2+a3）（1+b3）（1+c）2②（1+a3）（1+b+b2+b3）（1+c）2③（1+a）3（1+b+b2+b3）（1+c2）④（1+a3）（1+b）3（1+c+c2）14. （1分）已知随机变量X服从正态分布且则 ________．15. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．16. （1分） (2019高二上·天河期末) 如图，在棱长为的正方体中，、分别是线段、上的点，是直线上的点，且，平面，，则的长为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合.（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明.18. （10分）(2020·天津模拟) 如图，在四棱锥P一ABCD中，已知，点Q为AC中点，底面ABCD, ，点M为PC的中点.（1）求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2）求二面角D-AM-C的正弦值；（3）记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且平面ADM，求线段OQ的长.19. （10分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.20. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.21. （10分） (2019高二上·天河期末) 设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值，若不存在说明理由.22. （10分） (2019高二上·天河期末) 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为 .（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2023-2024学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√324．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√226．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．1707．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±18．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝010．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=611．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 ． 15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为 ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC =23π，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ； （2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）求证：当a ＞0时，f(x)+44√a． 21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣2）e ax．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3x+b＝0，求a，b的值；（2）若当x＞0时，恒有f（x）＞﹣x﹣2，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)．2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°解：直线x +y +1＝0的向量为﹣1，直线的倾斜角为α，∴tan α＝﹣1，∴α＝135°． 故选：A ．2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →解：由题意可知，12CD →=CG →，故AB →+12(BD →+BC →)=AB →+12(BC →+CD →+BC →)=AB →+BC →+12CD →=AC →+CG →=AG →．故选：C ．3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√32解：f ′(x)=f ′(π3)cosx +sinx ，∴f ′(π3)=12f′(π3)+√32，∴f ′(π3)=√3．故选：A ．4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：因为S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1， 根据等比数列的求和公式S n =a 11−q −a11−q⋅q n ，可知，q ＝2，m ＝1， 则q ＝2，m ＝1，a 1＝1，则a 4=a 1q 3=8． 故选：C ．5．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√22解：根据题意，画出轴截面△ABC ，DEFG 为内接矩形，如图所示： 设圆柱的高为h ，圆柱的底面半径为r ，圆锥的高为H ，底面半径为R ，则ℎH=R−r R，所以h =H(R−r)R， 所以圆柱的侧面积为S 侧＝2πrh ＝2πr •H(R−r)R =2πH(Rr−r 2)R；则当r =−R 2×(−1)=R2时，圆柱的侧面积最大，此时ℎH=R−R2R=12． 故选：B ．6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．170解：由题意可知，a 1＝1，a 2＝5，a 3＝12，a 4＝22，则数列{a n }的后项与前项的差依次为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…， 所以a 5＝35，a 6＝51，a 7＝70，a 8＝92，a 9＝117，a 10＝145，a 11＝176，a 12＝210，…． 故选：D ． 7．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±1解：根据题意可得a ＝2，b =√3，c ＝1，设直线AB 的倾斜角为θ，A 到左准线的距离为d ， 则|AF|d=e ，∴|AF |＝ed ＝e （a 2c−c +|AF |cos θ），∴|AF |＝e （b 2c+|AF |cos θ），∴（1﹣e cos θ）|AF |=b2a ，∴|AF |=b 2a1−ecosθ，同理可得|BF |=b 2a1+ecosθ，∴|AF |•|BF |=b 4a 21−e 2cos 2θ=125， ∴941−14cos 2θ=125，解得cos 2θ=14，∴cos θ＝±12，又θ∈[0，π），∴θ=π3或2π3，∴k ＝tan θ＝±√3． 故选：B ．8．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8解：f （x ）＝a x +b x ，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f ′（x ）＝a x lna +b x lnb ， 令g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝a x （lna ）2+b x （lnb ）2＞0恒成立， 故f ′（x ）＝a x lna +b x lnb 在（0，+∞）上单调递增， 要想f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增， 只需f ′（0）＝lna +lnb ≥0，即只需ab ≥1， A 选项，ab ＝10ln 1.1， 令h （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，x ＞1，则h ′（x ）＝1−1x =x−1x＞0在（1，+∞）上恒成立，故h （x ）＝x ﹣1﹣lnx 在（1，+∞）上单调递增， 故h （1.1）＞h （1）＝0，即0.1＞ln 1.1＞0， 故ab ＝10ln 1.1＜10×0.1＝1，A 错误； B 选项，由于ln 11＜10，故ab ＝0.1ln 11=ln1110＜1，B 错误； C 选项，ab ＝0.8e 0.2，令q （x ）＝（1﹣x ）e x ，x ∈（0，1），则q ′（x ）＝﹣e x +（1﹣x ）e x ＝﹣xe x ＜0恒成立， 故q （x ）＝（1﹣x ）e x 在（0，1）上单调递减， 故q （0.2）＜q （0）＝1，即0.8e 0.2＜1，C 错误； D 选项，ab ＝1.8e﹣0.2，令w （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ∈（﹣1，0），则w ′（x ）＝e x ﹣1＜0恒成立，故w （x ）＝e x ﹣x ﹣1在（﹣1，0）上单调递减， 故w （﹣0.2）＞w （0）＝0，即e ﹣0.2＞1﹣0.2＝0.8，故ab ＝1.8e ﹣0.2＞1.8×0.8＝1.44＞1，D 正确．故选：D ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝0解：对于A ：双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，椭圆的离心率e =c a =√4−24=√22，故A 错误； 对于B ：第一个双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个双曲线的离心率e =c a =√2+42=√3，故B 错误；对于C ：第一个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，故C 正确；对于D ：所以抛物线的离心率都为1，故D 正确． 故选：CD ．10．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=6解：A ．由f （x ）＝x 3+3x 2，得f ′（x ）＝3x 2+6x ，所以f ′（﹣1）＝3﹣6＝﹣3，故A 正确； B ．由f ′（x ）＞0，可得x ＜﹣2或x ＞0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增；由f ′（x ）＜0，可得﹣2＜x ＜0，所以f （x ）在（﹣2，0）上单调递减． 所以f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值，故B 正确； C ．由B 知，f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值．f （﹣3）＝﹣27+27＝0，f （﹣2）＝﹣8+12＝4，f （0）＝0，f （3）＝27+27＝54．显然f （3）＞f （﹣2），所以f （x ）在区间（﹣3，3）上没有最大值，故C 错误；D ．因为f(−52)=(−52)3+3×(−52)2=258，f(−1)=−1+3=2，f(12)=(12)3+3×(12)2=78．所以f(−52)+f(−1)+f(12)=6．故D 正确．故选：ABD ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列 解：因为a 1＜0，a 1+a 2＞0， 所以a 2＞﹣a 1＞0，若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则{a n }为递增数列，数列{S n }也为递增数列，A 正确； 若{a n }为等比数列，则公比q =a 2a 1＜−1，则{a n }为摆动数列，则数列{S n }不具有单调性，B 错误； 若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则a n ＞a n ﹣1＞…＞a 2＞|a 1|，即{|a n |}为递增数列，C 正确； 若{a n }为等比数列，则q =a 2a 1＜−1， 故对于数列{|a n |}，|a n ||a n−1|＞1，|a 1|＞0，即数列{|a n |}为递增数列，D 正确．故选：ACD ．12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22解：如图，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，设CF ＝t （0＜t ＜4），则AE =4−t ，BT =√22t ，AB =2√2，故BT BA =t 4，所以BT =t4BA ， 则E （2，0，4﹣t ），F （0，0，t ），A （2，0，0），B （0，2，0），故BT →=t 4BA →=t 4(2，−2，0)=(t 2，−t2，0)，所以T （t 2，2−t 2，0），对于A ，A 1（2，0，4），则A 1B →=(−2，2，−4)，ET →=(t 2−2，2−t 2，t −4)=(1−t 4)⋅(−2，2，4)=(1−t 4)A 1B →，所以ET →∥A 1B →，则ET ∥A 1B ，又ET ⊂平面EFT ，A 1B ⊄平面EFT ，所以A 1B ∥平面EFT ，故A 正确； 对于B ，M （0，1，0），则FM →=(0，1，−t)，FT →=(t 2，2−t2，−t)，FE →=(2，0，4−2t)，假设M ∈平面EFT ，则M ，E ，F ，T 四点共面， 所以存在唯一实数对（λ，μ），使得FT →=λFE →+μFM →， 即(12t ，2−12t ，−t)=λ(2，0，4−2t)+μ(0，1，−t)， 所以{12t =2λ2−12t =μ−t =(4−2t)λ−tμ，解得{λ=14tμ=2−12t ，所以M ，E ，F ，T 四点共面，即M ∈平面EFT ，故B 正确； 对于C ，AE →=(0，0，4−t)，设平面EFT 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则有{m →⋅FE →=2x +(4−2t)z =0m →⋅FM →=y −tz =0，令z ＝1，则y ＝t ，x ＝t ﹣2，所以m →=(t −2，t ，1)，所以点A 到平面EFT 的距离为|m →⋅AE →||m →|=22，令4﹣t ＝p ，p ∈（0，4），则t ＝4﹣p ， 故|m →⋅AE →||m →|=22=22=2=√2−p +p 2，当1p =27，即p =72时，(|m →⋅AE →||m →|)max =1√2−12×27+127=√142，所以点A 到平面EFT 距离的最大值为√142，故C 正确； 对于D ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1→=(0，0，4)即为平面ABC 的一个法向量， 又B 1（0，2，4），则FB 1→=(0，2，4−t)， 设平面B 1EF 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则有{n →⋅FE →=2a +(4−2t)c =0n →⋅FB 1→=2b +(4−t)c =0，令c ＝1，则a =t −2，b =12t −2，故n →=(t −2，12t −2，1)，设平面B 1EF 与平面ABC 所成的角为θ， 则|cosθ|=|cos〈AA 1→，n →〉|=|AA 1→⋅n →||AA 1→||n →|=44√(t−2)2+(12t−2)2+1=1√54t 2−6t+9，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−154t 2−6t+9， 当t =125时，(sinθ)min =23， 所以平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为23，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ﹣1 ． 解：设等差数列{a n } 的公差为d ，因为3S 3＝S 2+2S 4，a 4＝1，可得3（3a 1+3d ）＝2a 1+d +2（4a 1+6d ），即且a 4＝a 1+3d ＝1，解得d ＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 7（答案不唯一） ．解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0，即（x ﹣4）2+y 2＝9，其圆心为（4，0），半径为3； 圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0，即x 2+（y +3）2＝9﹣m ，必有m ＜9， 其圆心为（0，﹣3），半径为√9−m ，若两圆外离，则有3+√9−m ＜5，解可得：m ＞5， 综合可得：5＜m ＜9，又由m 为整数，则m 的值为6、7、8，则m 的一个取值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）．15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为√33． 解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ， 根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，∴BC ⊥BE ，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），C （0，0，1），F （1，1，0），E （0，1，0）， ∵CM ＝a ，BN ＝b ，(a ，b ∈[0，√2])，∴M(a √20，1−a √2)，N(b √2b√20)， MN =√(a √2b √2)2+(0−b √2)2+(1a √2)2=√a 2−√2a +1+b 2−ab =√(b −a 2)2+34(a −2√23)+13，当a =2√23，b =√23时，MN 最小，最小值为√33． 故答案为：√33． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= √3−1 ．解：设∠F1PF2＝α，y=√3x的倾斜角为60°，即∠QOF2＝60°，由双曲线的渐近线方程可得ba=√3，则c=√a2+b2=2a，即e=c a=2，由QF1⊥QF2，可得∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝150°﹣α，在△PF1F2中，由正弦定理可得|PF1|sin∠PF2F1=|PF1|sin(150°−α)=|PF2|sin30°=|F1F2|sinα，则|PF1|−|PF2|sin(150°−α)−12=12cosα+√32sinα−12=2csinα，即有e=ca=12cosα+√32sinα−12=2，化为1﹣cosα＝（√3−1）sinα，即1−cosαsinα=2sin2α22sinα2cosα2=tanα2=tan∠F1PF22=√3−1．故答案为：√3−1．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=23π，PD⊥平面ABCD，PD＝1，M为PB的中点．（1）求证：平面MAC⊥平面PDB；（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB，∵AC⊂平面AMC，∴平面MAC⊥平面PDB；（2）过点P作PH⊥平面AMC，交平面AMC于点H，连接CH，则∠PCH是CP与平面MAC所成角，连接BD ，交AC 于O ，连接OM ，∵PD ∥OM ，∴PD ∥平面AMC ，∴PH 是点D 到平面AMC 的高， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴OM ⊥OD ，∵平面AMC ⊥平面PDB ，平面AMC ∩平面PDB ＝OM ， ∴OD ⊥平面AMC ，∴PH ＝OD =12，PC =√2，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则CP 与平面MAC 所成角的正弦值为sin θ=ODPC =122=√24．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．解：设所求圆心为P （a ，b ），半径为r ，则圆心到x 轴，y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2+1，又圆被x 轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1， ∴劣弧所对的圆心角为90°， 故r =√2b ，即r 2＝2b 2， ∴2b 2﹣a 2＝1①，又∵P （a ，b ）到直线x ﹣2y ＝0的距离为√55， 即√5=√55，即a ﹣2b ＝±1．② 解①②组成的方程组得：{a =1b =1或{a =−1b =−1，于是即r 2＝2b 2＝2， ∴所求的圆的方程为（x +1）2+（y +1）2＝2或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2． 19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 解：（1）证明：由a n+1=a n a n +1，a 1=12，可得1a n+1=1a n+1， 即有数列{1a n}是首项为2，公差为1的等差数列； （2）1a n=2+n ﹣1＝n +1，则a n =1n+1，数列{a n}前n项和S n=12+13+...+1n+1，S2n=12+13+...+1n+1+1n+2+...+12n+12n+1，S2n﹣S n=1n+2+...+12n+12n+1，由S2n﹣S n＞k对任意的n∈N*恒成立，可得k＜（S2n﹣S n）min．设b n=1n+2+...+12n+12n+1，b n+1=1n+3+1n+4+...+12n+1+12n+2+12n+3，b n+1﹣b n=12n+2+12n+3−1n+2=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0，则n∈N*，S2n﹣S n递增，可得n＝1时，（S2n﹣S n）min=1 3，则k＜13，即k的取值范围是（﹣∞，13）．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求证：当a＞0时，f(x)+44√a．解：（1）因为f′（x）=1x−a，所以当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，得x=1 a ，在（0，1a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）知当a＞0时，f（x）max＝f（1a ）＝ln1a−1，只需要证（ln 1a −1）+44√a，即证√a+lna﹣3＞0，令g（a）=4√alna﹣3，则g′（a）=√a−2a√a，所以g（a）在（0，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，所以g（a）≥g（4）＝ln4﹣1＞0，所以f（x）+44√a ．21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C：x2a2−y2a2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，可得5a 2−4a2=1，解得a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝1．（2）由直线l 垂直于OA ，可得直线l 的斜率k =−1k OA =√52， 设直线l 的方程为y =√52x +m 且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程组{y =√52x +m x 2−y 2=1，整理得x 2+4√5mx +4(m 2+1)=0，因为直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，所以{Δ=(4√5m)2−16(m 2+1)＞0x 1+x 2=−4√5m ＞0x 1x 2=4(m 2+1)＞0，解得m ＜−12，所以x 1+x 2=−4√5m ，x 1x 2=4(m 2+1)， 则|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+(√52)2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(√52)2√(−4√5m)2−4×4(m 2+1)=6√4m 2−1，又由点A 到直线l ：√5x −2y +2m =0的距离为d =√5×√5−2×2+2m|√(√5)+(−2)=13|2m −9|， 所以S 2=12|PQ|⋅d =√4m 2−1⋅|2m −9|，直线AP 的方程为y −2=1x 1+√5+√5)，令x ＝0，可得y M =√5⋅(1x 1+√5)+2， 直线AQ 的方程为y −2=2x 2+5+√5)，令x ＝0，可得y N =√5⋅(2x 2+5)+2， 则|MN|=|y M −y N |=√5|1x 1+52x 2+5=√5|√52x 1+m−2x 1+5√52x 2+m−2x 2+5=√5|122(x 1+√5)(x 2+√5)=√5|√22x 1x 2+2√5(x 1+x 2)+10=√5|(2m−9)√(−4√5m)−16(m 2+1)8(m 2+1)+2√5⋅(−4√5m)+10=2√5⋅√4m 2−1|2m−1|，所以△AMN 的面积S 3=5⋅√4m 2−1|2m−1|，又由S 1S 2=S 2−S 3S 2=1−S 3S 2，得S 1S 2=1−5|(2m−1)(2m−9)|=1−5|4m 2−20m+9|，m ＜−12，令f(m)=4m 2−20m +9=4(m −52)2−16，可得函数f （m ）在(−∞，−12)上单调递减，且f(−12)=20，所以f （m ）＞20，所以S 1S 2∈(34，1)，即S 1S 2的取值范围为(34，1)．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣2）e ax ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0，求a ，b 的值； （2）若当x ＞0时，恒有f （x ）＞﹣x ﹣2，求实数a 的取值范围； （3）设n ∈N *时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n 2+(n+1)2＜ln(n +1)．解：（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e ax ，得f ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax ，则f （0）＝﹣2，f ′（0）＝1﹣2a ，即切点坐标为（0，﹣2），切线的斜率k ＝1﹣2a ， 由曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0， 可得{−2−3×0+b =01−2a =3，解得a ＝﹣1，b ＝2．（2）由g （x ）＝f （x ）+x +2＝（x ﹣2）e ax +x +2， 得g ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax +1＝（ax ﹣2a +1）e ax +1， 由题意可知，当x ＞0时，恒有g （x ）＞0，且g （0）＝0， 则g ′（0）＝1﹣2a +1≥0，解得a ≤1，若a ≤1，则当a ＜0时，g(x)=(x −2)e ax +x +2=(x +2)e ax (x−2x+2+e −ax )=(x +2)e ax (1−4x+2+e −ax )，因为x ＞0，所以（x +2）e ax ＞0， 令ℎ(x)=1−4x+2+e −ax ，则h （x ）＞h （0）＝0，即g （x ）＝（x +2）e ax h （x ）＞0，符合题意； 当a ＝0时，则g （x ）＝x ﹣2+x +2＝2x ＞0在（0，+∞）内恒成立，符合题意；当0＜a ≤1时，令φ（x ）＝g ′（x ），则φ′（x ）＝ae ax +a （ax ﹣2a +1）e ax ＝a （ax ﹣2a +2）e ax ， 因为x ＞0，则ax ﹣2a +2＞﹣2a +2≥0，e ax ＞0，可知φ′（x）＝a（ax﹣2a+2）e ax＞0在（0，+∞）内恒成立，则φ（x）在（0，+∞）内单调递增，可得φ（x）＞φ（0）＝2﹣2a≥0，则g（x）在（0，+∞）内单调递增，可得g（x）＞φ（0）＝0，符合题意；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．（3）证明：由（2）可知，当a≤1，x＞0时，（x﹣2）e ax+x+2＞0，令a＝1，可得（x﹣2）e x+x+2＞0，令t=e 12x＞1，则t2＝e x，x＝2lnt，则（2lnt﹣2）t2+2lnt+2＞0，所以t2−11+t2＜lnt，令t=n+1n＞1，n∈N∗，则(n+1n)2−11+(n+1n)2＜lnn+1n，所以2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，则312+22＜ln2−ln1，522+32＜ln3−ln2，⋯，2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，所以312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−ln1=ln(n+1)．。
浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(A)含答案
2023学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷选择题部分上无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程10x y ++=，则倾斜角为（）A.45° B.60°C.120°D.135°【答案】D 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=的斜率为-1，设直线的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，因为[)0,πθ∈，所以3π1354θ== .故选：D.2.在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则()12AB BD BC ++=（）A.ADB.GAC.AGD.MG【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得2BD BC BG +=，代入即可得出答案.【详解】因为，点G 是CD 的中点，所以，2BD BC BG +=，所以，()12AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：C.3.已知函数()f x 满足()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭'，则π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】求出导函数，代入π3x =，即可得出答案.【详解】由已知可得，()πcos sin 3f x f x x ⎛⎫'+⎪⎝⎭'=，则ππππ1πcos sin 3333232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21nn S m =⋅-，则4a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据n a 与n S 的关系，求出当2n ≥时，12n n a m -=⋅，以及12n na a +=，22a m =.由等比数列的可得212221a m a m ==-，求出m 的值，代入得出12n n a -=，48a =.【详解】由已知可得，1121a S m ==-，当2n ≥时，()11121212nn n n n n a S S m m m ---=-=⋅--⋅-=⋅，所以，11222nn n n a m a m +-⋅==⋅，且22a m =.由{}n a 为等比数列，可知212221a ma m ==-，解得1m =.所以，11122n n n a --=⋅=，48a =.故选：C.5.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A.13B.12C.23D.2【答案】B 【解析】【分析】画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用条件结合圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积，利用二次函数的图象和性质求解即可．【详解】设圆锥的底面半径为R ，高为h ；圆柱的底面半径为r ，高为x ，画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，如图则r h x R h-=，∴h x xr R R R h h-==-．∴圆柱侧面积22π2π·2π·2π(0)x R S r x R R x x Rx x h h h ⎛⎫==-=-+<< ⎪⎝⎭．22ππ(0)22R h Rh x x h h ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭∴当2hx =时，圆柱侧面积最大，此时圆柱与圆锥的高之比为21x h =．故选：B.6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数．．．．，若五边形数所构成的数列记作{}n a ，下列不是数列{}n a 的项的是（）A.35B.70C.145D.170【答案】D 【解析】【分析】根据已知得出的前几项，进而得出递推公式11,132,2n n n a a n n -=⎧=⎨+-≥⎩.根据累加法求得通项公式为232n n na -=.分别令n a 取35，70，145，170，求出n 的正整数解的情况，即可得出答案.【详解】由已知可得，11a =，21154322a a a ==+=+⨯-，322127332a a a ==+=+⨯-，4332210331a a a ==+=+⨯+，所以，132,2n n a a n n -=+-≥.当2n ≥时，累加法求和如下11a =，214a a =+，327a a =+，L132n n a a n -=+-，两边同时相加可得，12312114732n n a a a a a a a n -++++=+++++++- ，整理可得，()232131473222n n n n na n -+-=++++-==.对于A 项，令23352n n-=可得，23700n n --=，解得5n =或143n =-（舍去）.所以，535a =，故A 项错误；对于B 项，令23702n n -=可得，231400n n --=，解得7n =或203n =-（舍去）.所以，770a =，故B 项错误；对于C 项，令231452n n-=可得，232900n n --=，解得10n =或293n =-（舍去）.所以，10145a =，故C 项错误；对于D 项，令231702n n -=可得，233400n n --=，解得*16n +=∉N （舍去）或*16n =∉N （舍去）.所以，170不是数列{}n a 的项，故D 项正确.故选：D.7.已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，125AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为（）A.2± B. C. D.1±【答案】B 【解析】【分析】求出F 坐标，设()()1122,,,A x y B x y ，直线斜率为k ，倾斜角为θ，结合图象得出12,sin sin y y AF BF θθ==，表示出直线的方程为()1y k x =+，与椭圆联立，根据韦达定理得出2122943k y y k -=+，进而推得222129sin 543k k θ=+，根据三角函数基本关系式化简，得出方程，求解即可得出答案.【详解】易知2a =，b =，1c =，点()1,0F -.不妨设()()1122,,,A x y B x y ，120,0y y ><，直线斜率为k ，倾斜角为θ，易知12,sin sin y y AF BF θθ==，且直线的方程为()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得，()22243690k y ky k +--=.根据韦达定理可得，2122943k y y k -=+.又1212122212sin sin sin sin 5y y y y y y AF BF θθθθ-⋅=⋅===，所以有12212sin 5y y θ=-，所以，222129sin 543k k θ=+.又22tan k θ=，代入可得，()()22222222129tan 12sin 12tan sin 54tan 35sin cos 5tan 1θθθθθθθθ===+++所以，()22229tan 12tan 4tan 35tan 1θθθθ=++，解得2tan 3θ=，所以23k =，k =.故选：B.8.若函数()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，则a 和b 的可能取值为（）A.ln1.1a =，10b =B.ln11a =，0.1b =C.0.2e a =，0.8b =D.0.2e a -=， 1.8b =【答案】D 【解析】【分析】二次求导得到()ln ln xxf x a a b b '=+在()0,∞+上单调递增，要想()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，只需()0ln ln 0f a b '=+≥，A 选项，构造()1ln h x x x =--，1x >，求导得到单调性，求出0.1ln1.10>>，得到10ln1.1100.11ab =<⨯=；B 选项，ln110.1ln11110ab ==<；C 选项，令()()1e x q x x =-，()0,1x ∈，求导得到其单调性，求出0.210.8e ab =<；D 选项，构造()e 1x w x x =--，()1,0x ∈-，求导得到单调性，得到0.2e 0.8->，从而求出0.21.8e 1.80.81ab -=>⨯>.【详解】()xxf x a b =+，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，()ln ln x x f x a a b b '=+，令()()g x f x '=，则()()()22ln ln 0x x g x a a b b '=+>恒成立，故()ln ln xxf x a a b b '=+在()0,∞+上单调递增，要想()xxf x a b =+在()0,∞+上单调递增，只需()0ln ln 0f a b '=+≥，即只需1≥ab ，A 选项，10ln1.1ab =令()1ln h x x x =--，1x >，则()1110x h x x x='-=->在()1,+∞上恒成立，故()1ln h x x x =--在()1,+∞上单调递增，故()()1.110h h >=，即0.1ln1.10>>，故10ln1.1100.11ab =<⨯=，A 错误；B 选项，由于ln1110<，故ln110.1ln11110ab ==<，B 错误；C 选项，0.20.8e ab =，令()()1e xq x x =-，()0,1x ∈，则()()e 1e e 0xxxq x x x '=-+-=-<恒成立，故()()1e xq x x =-在()0,1x ∈上单调递减，故()()0.201q q <=，即0.210.8e ab =<，C 错误；D 选项，0.21.8e ab -=，令()e 1xw x x =--，()1,0x ∈-，则()e 10xw x '=-<恒成立，故()e 1xw x x =--在()1,0x ∈-上单调递减，故()()0.200w w ->=，即0.2e 10.20.8->-=，故0.21.8e 1.80.8 1.441ab -=>⨯=>，D 正确.故选：D【点睛】比较大小或证明不等式常用的不等式放缩如下：e e x x ≥，e 1x x ≥+，()ln 10x x x ≤->，11ln1x x ≤-，111ln 11x x x⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭等，根据不等式特征，选择合适的函数进行求解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A.22142x y -=与22142x y += B.22142x y -=与22124y x -=C.22142x y +=与22124x y += D.240y x +=与220x y +=【答案】CD 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；椭圆22142x y +=的离心率为22e ===≠，故A 错误；对于B 项，双曲线22142x y -=的离心率为2e ===；双曲线22124y x -=的离心率为2e ===≠，故B 错误；对于C 项，椭圆22142x y +=的离心率为22e ===；椭圆22124x y +=的离心率为2e ===，故C 项正确；对于D 项，方程240y x +=可化为抛物线24y x =-，方程220x y +=可化为抛物线22x y =-，而且抛物线的离心率均为1，故D 项正确.故选：CD.10.已知函数()323f x x x =+，则（）A.()13f ¢-=-B.()f x 有两个极值点C.()f x 在区间()3,3-上既有最大值又有最小值D.()()()511622f f f -+-+=【答案】ABD 【解析】【分析】求导得出导函数，代入=1x -，即可判断A 项；根据导函数得出函数的单调性，即可得出函数的极值，进而判断B 项；根据B 项的单调性与极值，结合函数的极值以及()3f -、()3f ，即可判断C 项；求出()51,1,22f f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，即可判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，()236f x x x '=+，所以()1363f -=-=-'.故A 正确；对于B 项，解()0f x '=可得，0x =或2x =-.解()0f x '>可得，<2x -或0x >，所以()f x 在(),2∞--上单调递增，在()0,∞+上单调递增；解()0f x '<可得，20x -<<，所以()f x 在()2,0-上单调递减.所以，()f x 在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值.故B 正确；对于C 项，由B 知，()f x 在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值.因为()327270f -=-+=，()28124f -=-+=，()00f =，()3272754f =+=.显然()()32f f >-，所以，()f x 在区间()3,3-上没有最大值.故C 错误；对于D 项，因为325552532228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1132f -=-+=，32111732228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，()511622f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故D 项正确.故选：ABD.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a <，120a a +>，则下列命题正确的是（）A.若{}n a 为等差数列，则数列{}n S 为递增数列B.若{}n a 为等比数列，则数列{}n S 为递增数列C.若{}n a 为等差数列，则数列{}n a 为递增数列D.若{}n a 为等比数列，则数列{}n a 为递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，得到公差0d >，110a d a +>->，结合等差数列求和公式得到110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，A 正确，推出()11n n a a n +>≥得到C 正确；BD 选项，得到公比211a q a =<-，举出反例得到C 错误，由10a >，且11n na q a +=>，得到D 正确.【详解】因为10a <，120a a +>，所以20a >，且211a a a >=-，AC 选项，若{}n a 为等差数列，则公差210d a a =->，110a d a +>->，则()112n n n S na d -=+，110n n S S a nd +-=+>对1n ≥恒成立，则数列{}n S 为递增数列，A 正确；由于21a a >，故21a a >，又0d >，故()102n n a a n +>>≥，则()11n n a a n +>≥，数列{}n a 为递增数列，C 正确；BD 选项，若{}n a 为等比数列，则公比211a q a =<-，不妨设2q =-，11a =-，则232,4a a ==-，故1313S S =->=-，则数列{}n S 不为递增数列，B 错误；由于1q >，故11n na q a +=>，又10a >，故数列{}n a 为递增数列，D 正确.故选：ACD12.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，2AC BC ==，ACBC ⊥，点,,E F T 分别为棱1A A ，1C C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC的中点，且1A E FC ==，则（）A.1//A B 平面EFTB.M ∈平面EFTC.点A 到平面EFT距离的最大值为2D.平面1B EF 与平面ABC所成角正弦值的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】以点C 为原点建立空间直角坐标系，设()04CF t t =<<，利用向量法逐一分析判断即可.【详解】如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，设()04CF t t =<<，则4,2AE t BT t =-=，AB =，故4BT t BA =，所以4tBT BA =，则()()()()2,0,4,0,0,,2,0,0,0,2,0E t F t A B -，故()112,2,0,,04422t t BT BA t t ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，所以11,2,022T t t ⎛⎫-⎪⎝⎭，对于A ，()12,0,4A ，则()12,2,4A B =-- ，()111112,2,412,2,412244ET t t t t t A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1//ET A B，则1//ET A B ，又ET ⊂平面EFT ，1A B ⊄平面EFT ，所以1//A B 平面EFT ，故A 正确；对于B ，()0,1,0M ，则()()110,1,,,2,,2,0,4222FM t FT t t t FE t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，假设M ∈平面EFT ，则,,,M E F T 四点共面，所以存在唯一实数对(),λμ，使得FT FE FM λμ=+，即()()11,2,2,0,420,1,22t t t t t λμ⎛⎫--=-+-⎪⎝⎭，所以()12212242t t t t t λμλμ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪-=--⎪⎪⎩，解得14122t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,,,M E F T 四点共面，即M ∈平面EFT ，故B 正确；对于C ，()0,0,4AE t =-，设平面EFT 的法向量为(),,m x y z =，则有()2420m FE x t z m FM y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则,2y t x t ==-，所以()2,,1m t t =-，所以点A 到平面EFT 距离为m AEm⋅= 令()4,0,4p t p =-∈，则4t p =-，故m AEm⋅====，当127p =，即72p =时，max142m AEm ⎛⎫⋅ ⎪== ⎪⎝⎭ ，所以点A 到平面EFT 距离的最大值为2，故C 正确；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以()10,0,4AA =即为平面ABC 的一条法向量，()10,2,4B ，则()10,2,4FB t =-，设平面1B EF 的法向量为(),,n a b c =，则有()()12420240n FE a t c n FB b t c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1c =，则12,22a t b t =-=-，故12,2,12n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面1B EF 与平面ABC 所成的角为θ，则111cos cos ,AA n AA n AA nθ⋅===，则sin θ==，当125t =时，()min 2sin 3θ=，所以平面1B EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为23，故D 错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32432S S S =+，且41a =，则公差d =______．【答案】1-【解析】【分析】根据已知可推得3422a a ==，进而得出答案.【详解】由32432S S S =+可得，()32432S S S S -=-，即342a a =，又41a =，所以32a =，431d a a =-=-.故答案为：1-.14.已知圆1C ：22870x y x +-+=和圆2C ：2260x y y m +++=外离，则整数m 的一个取值可以是______．【答案】6（答案不唯一，或7或8）【解析】【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m 的值.【详解】由题意，将两圆的方程化为标准方程：得：圆1:C ()2249x y -+=，圆2:C 22(3)9x y m ++=-，圆1C 的圆心为()4,0，圆2C 的圆心为()0,3-，圆1C 的半径为3，圆2C ，5=．所以3590m <->⎪⎩，解得59m <<，所以整数m 的取值可能是6,7,8．故答案为：6（答案不唯一，或7或8）.15.两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值.【详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，BC BE ∴⊥，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0A C F E (),,,0,2CM a BN b a b ⎡⎤==∈⎣⎦ ，∴(,0,1)22a a M -，(,,0)22b b N ．22222()(0)(1)212222b a ab a b MN a a b =-+-+-=+--+=223221()2433a b a ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，当222,33a b ==时，MN 最小，最小值为33；故答案为：3316.已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，l ：3y x =是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线1PF 与l 交于点Q ，12QF QF ⊥，则12tan 2F PF ∠=______．【答案】31-##13-+【解析】【分析】作出图形，合理转化条件，硬解出P 点的纵坐标，利用焦点三角形面积相等求解即可.【详解】如图连接2PF 设(3)Q x ，易知3y x =是C 的一条渐近线，3ba=，则3b a =，而2()1312b ce a a=+=+==，故2c a =，则双曲线的方程为222213x y a a -=，1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，则1(23)F Q x a += ，2(23)Q F x a x =-，由12QF QF ⊥得222x a x -4+3=0，解得x a =，则()Q a ，故133F Q k a ==，则1FQ的方程为(2)3y x a =+2a x -=，联立方程组2x a =-，222213x y a a-=，设22(,)P x y ，11(,)T x y ，可得22890y a -+=，故122y y +=，21298y y a =，由图易得21y y >，则2132y y a -==，解得234y a =，易知12122F PF S c =⨯=V ，由焦点三角形面积公式得12212123tan tan 22F PFb a S F PF F PF ==∠∠V ，22123tan2a F PF =∠，解得12tan 12F PF∠=.1四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的菱形，2π3ABC ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD =，M 为PB的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ；（2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见讲解.（2）24【解析】【分析】（1）利用直线与平面的垂直的性质，平面与平面的判断定理进行证明.（2）利用空间向量求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为PD⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，因为PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，因为AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PDB .【小问2详解】连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MO 为PBD △的中位线，所以MO PD ∥，因为PD⊥平面ABCD ，所以MO ⊥平面PBD ，如图建立空间直角坐标系.根据题意有0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,0,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以13,,122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知平面MAC 的一个法向量为()1,0,0n =，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则·sin cos ,4CP n CP n CP n θ==== ，所以CP 与平面MAC所成角的正弦值4.18.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：-=5，求该圆的方程．x y20【答案】或【解析】【详解】（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2，圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2-a2=1．又因P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圆的方程是，或（法二）设圆的方程为，令x=0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，从而有2b2-a2=1．又因为P （a ，b ）到直线x -2y=0的距离为，得d=，即有综前述得，解得，，于是r 2=2b 2=2所求圆的方程是，或19.已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，112a =．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）13k <【解析】【分析】（1）证明111n na a +-为定值即可；（2）先求出数列{}n a 的通项，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n nb S S =-，利用单调法求出数列{}n b 的最小项即可得解.【小问1详解】因为11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为112a =，公差为1的等差数列；【小问2详解】由（1）得11n n a =+，所以11n a n =+，要使2n n S S k ->对任意的*N n ∈恒成立，只需要()2min n n k S S <-即可，令2n n n b S S =-，则()1221222211n n n n n n n n n b b S S S S a a a ++++++-=---=+-11111111023222232422324n n n n n n n n =+->+-=->++++++++，所以数列{}n b 是递增数列，所以()1212min 13n b b S S a ==-==，即()2min 13n n S S -=，所以13k <.20.已知函数()ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当0a >时，()4f x+<【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可得解；（2）由（1）可得当0a >时，()max 1f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，要证()4f x +<，只需要证明()max 4f x +<即可，即ln 30a+>，令()()ln 30g a a a =+>，利用导数求出()g a 的最小值即可得证.【小问1详解】函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，则10x a<<，令()0f x '<，则1x a >，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；【小问2详解】由（1）可得当0a >时，()max 1ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，要证()4f x +<()max 4f x +<即可，即ln 30a -+-，即ln 30a +->，令()()ln 30g a a a =+>，则()1g a a '==，当04a <<时，()0g a '<，当4a >时，()0g a '>，所以函数()g a 在()0,4上单调递减，在()4,∞+上单调递增，所以()()min 4ln 423ln 410g a g ==+-=->，所以ln 30a +>，所以当0a >时，()4f x +<21.已知点()2A 在双曲线C ：22221x y a a -=上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）221x y -=（2）3(,1)4【解析】【分析】（1）由点()2A在双曲线C上，代入求得a的值，即可求解；（2）根据题意，设直线l为2y x m=+，联立方程组，由0∆>，求得12m<-，且21212,4(1)x x x x m+=-=+，利用弦长公式求得则PQ=，进而得到229S m=-，再由直线AP和AQ的方程，得到21MNm=-，求得AMN的面积3521Sm=-，进而得到122511,24209S mS m m=-<--+，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由点()2A在双曲线2222:1x yCa a-=上，可得22541a a-=，解得21a=，所以双曲线C的方程为221x y-=.【小问2详解】解：由直线l垂直于OA，可得直线l的斜率为12OAkk=-=，设直线l的方程为2y x m=+，且1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程组2221y x mx y⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，整理得224(1)0x m+++=，因为直线l与双曲线C的右支交于,P Q两点，则()()2212212Δ16(1)0410mx xx x m⎧=-+>⎪⎪+=->⎨⎪=+>⎪⎩，解得12m<-，可得21212,4(1)x x x x m+=-=+，则12PQ x=-===又由点A到直线220l y m -+=的距离为1293d m ==-，所以21292S PQ d m =⋅=-，直线AP的方程为2y x -=+，令0x =，可得2M y =+，直线AQ的方程为2y x -=+，令0x =，可得2N y =+则M N MN y y =-===21m==-，所以AMN 的面积3521S m =-，又由23312221S S S S S S S -==-，则12255111,(21)(29)24209S m S m m m m =-=-<----+，令()22542094(162f m m m m =-+=--，可得函数()f m 在1(,2-∞-上单调递减，且1(202f -=，所以()20f m >，所以123(,1)4S S ∈，即12S S 的取值范围为3(,1)4.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.22.设函数()()2e axf x x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a ，b 的值；（2）若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；（3）设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．【答案】（1）1,2a b =-=（2）(],1-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为()()2e ax f x x =-，则()()e 2e ax ax f x a x =+-'，则()02f =-，()012f a '=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.【小问2详解】令()()()22e 2axg x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax axg x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e 2e 1e 22ax ax ax ax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e0ax x +>，令()41e 2ax h x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0axg x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax ax x a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax >，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【小问3详解】由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20axx x -++>，令1a =，可得()2e 20xx x -++>，令12e 1x t =>，则2e ,2ln x t x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t t t -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）命题“若x＞2，则3x＞9”的否命题为________．2. （1分）(2018·杨浦模拟) 若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则________．3. （1分）(2020·昆山模拟) 已知复数z满足(1+ i) z＝2i ，其中i 是虚数单位，则z的模为________.4. （1分） (2016高一下·河南期末) 已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足 =3 ，则弦AB的中点到准线的距离为________．5. （1分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 曲线在点处的切线方程为________．6. （1分） (2016高二下·凯里开学考) 在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于________．7. （1分）(2020·连城模拟) 已知双曲线 - =1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为________.8. （1分） (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________．9. （1分） (2017高二下·延安期中) 观察下列不等式1+ ＜，1+ + ＜，1+ + +＜，…照此规律，第五个不等式为________．10. （1分）命题：“ 或”的否定是________．11. （1分）(2019高二下·吉林期末) 设，过下列点分别作曲线的切线，其中存在三条直线与曲线相切的点是________．12. （1分） (2016高一上·陆川期中) 已知下列四个命题：①函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点；②函数f（x）=log2（x+ ），g（x）=1+ 不都是奇函数；③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，其中正确命题的序号是________．13. （1分）已知a＞b，椭圆C1的方程为 =1，双曲线C2的方程为 =1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________14. （1分） (2019高一上·河南月考) 已知函数的零点，则整数m的值为________.二、解答题： (共6题；共50分)15. （5分） (2016高二上·重庆期中) 直线过点P（﹣3，1），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若 = ，求直线l的方程．16. （5分）已知数列中，，求，并判断97是否为数列中的项．17. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于 , 两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.18. （10分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？19. （10分） (2018高二上·万州期末) 已知椭圆C：上的点到左焦点的最短距离为，长轴长为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.20. （10分） (2017高三上·邯郸模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a=﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥ ．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共50分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省温州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）命题p：∀x∈R，sinx＜1；命题q：∃x∈R，cosx≤﹣1，则下列结论是真命题的是（）A . p∧qB . ￢p∧qC . p∨￢qD . ￢p∧￢q2. （2分）如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）．A . AE、B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1B . AC⊥平面A1B1BAC . CC1与B1E是异面直线D . A1C1∥平面AB1E3. （2分）一人在打靶时，连续射击两次，事件“至少中靶一次”的对立事件是A . 至多有一次中靶B . 两次都中靶C . 两次都不中靶D . 只有一次中靶4. （2分） (2017高一下·福州期中) 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A . k＞4？B . k＞5？C . k＞6？D . k＞7？5. （2分）(2017·山东模拟) 若x1 ， x2 ，…，x2017的平均数为4，标准差为3，且yi=﹣3（xi﹣2），i=1，2，…，2017，则新数据y1 ， y2 ，…，y2017的平均数和标准差分别为（）A . ﹣6 9B . ﹣6 27C . ﹣12 9D . ﹣12 276. （2分）(2017·潮州模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A . 24+8 +8B . 20+8 +4C . 20+8 +4D . 20+4 +47. （2分）(2020·日照模拟) 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·宝清模拟) 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A . 96种B . 124种C . 130种D . 150种9. （2分） (2017高三上·韶关期末) 设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A . ±B . ±C . ±D . ±10. （2分） (2017高一下·河北期末) 设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A . （1，）B . （，+∞）C . （1，3）D . （3，+∞）11. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 已知x，y的取值如下表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·泸县期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一下·万全期中) 过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是________14. （1分）(2017·鞍山模拟) 已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为________．15. （1分） (2017高三上·珠海期末) 若展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a的值是________．16. （1分） (2018高一下·桂林期中) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则取值范围为________三、解答题： (共6题；共45分)17. （10分） (2019高一上·郏县期中) 近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？18. （5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，且ab=，求证：sinA=sinB．19. （5分）(2017·衡阳模拟) 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．优秀人数非优秀人数总计甲班乙班30总计60（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+dP（K2＞k0）0.1000.0500.0250.0100.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87920. （5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C﹣BED的体积．21. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高二下·吉林月考) 己知圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7、答案：略8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14、答案：略15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、17-2、18、答案：略19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2021-2022学年温州市高二上学期期末数学复习卷(含答案解析)
2021-2022学年温州市高二上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与直线x =−1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为( )A. √15B. √172C. √17D. √152 2. 与直线3x −4y +5=0关于坐标原点对称的直线方程为( )A. 3x +4y −5=0B. 3x +4y +5=0C. 3x −4y +5=0D. 3x −4y −5=0 3. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为x 2+y 2−6x −8y +24=0，点A ，B 是圆C 上不同两点，|AB|=65，点M 为AB 的中点，则|OM|的取值范围为( ) A. [4,285]B. [215,295]C. [4,6]D. [5,315] 4. 一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A. 96B. 136C. 152D. 1925. 下列命题：①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ； ②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n =An 2+Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件； ③在△ABC 中，A =B 是sin A =sin B 的充分必要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2=b 1b 2=c1c 2是P =Q 的充分必要条件，其中正确的命题是( ) A. ①④B. ①②③C. ②③④D. ①③ 6. 已知直线平面，直线平面，有下列命题： ①; ②;③; ④其中正确的是( )A. ①与②B. ③与④C. ①与③D. ②与④7.已知点A(0,0)，B(0,3)，若点P满足|PA||PB|=12，则△PAB面积的最大值是()A. 2B. 3C. 4D. 68.点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为()A. 95B. 85C. 65D. 459.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点P，P不同于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为−34，则椭圆的离心率为()A. 34B. 14C. 12D. 1310.已知平面内一点p∈{(x,y)|(x−2cosθ)2+(y−2sinθ) 2=16，θ∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是()A. 8πB. 16πC. 24πD. 32π二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知甲、乙，丙、丁四名毕业生被安排去北京、上海、广州，南京中的某一城市实习，他们分别有以下要求：甲：我不去北京和上海；乙：我不去北京和南京；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不去上海，我就不去北京．已知每个城市都必须有毕业生去实习，且四个人的要求都满足，那么去广州实习的是______．12.在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则(1)球心到平面ABC的距离为___________;(2)过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为____________．13.抛物线x2=14y的焦点坐标是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.直线y=√3x+4在y轴上的截距为(1).斜率(2)15.在空间直角坐标系中，点M(1,−2,3)关于xOy平面及z轴对称的点的坐标分别为，．16. 已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0，圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0，则两圆的位置关系为 (1) (填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为 (2) ．17. 已知直线l 1：4x −3y +11=0和直线l 2：x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 (1) ，此时点P 的坐标为 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 将圆C 1：x 2+y 2=4上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的√5倍得到曲线C 2．(1)写出C 2的参数方程；(2)已知F(−4,0)，直线l 的参数方程为{x =−4+√2t y =√2t(t 为参数)，直线l 交曲线C 2于A ，B 两点，求|AF|+|BF|．19. 如图，四棱锥P—ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC =60°的菱形，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：PC ⊥AD ；(Ⅱ)求V D−MAC ．20. 已知椭圆C 1的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为为椭圆上一动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2面积的最大值为． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆短轴的上端点为A 、M 为动点，且成等差数列，求动点M 的轨迹C 2的方程；(3)过点M 作C 2的切线l 交于C 1与Q 、R 两点，求证：．21. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC1D处，E，F分别为边AB，C1D的中点．(Ⅰ)求证：EF//平面BCC1；(Ⅱ)若异面直线EF，BC1所成的角为30°，求直线C1D与平面ABCD所成角的正弦值．22. 已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，椭圆C过点(−√3,1)且与抛物线y2=−8x有一个公共的焦点．(1)求椭圆C方程；(2)斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；(3)P为直线x=3上的一点，在第(2)题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．参考答案及解析1.答案：C解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，求出双曲线的渐近线方程，求解x =−1时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．解：将x =−1代入y =±b a x 中，解得y =±b a ，故12⋅2b a ⋅1=4，故b a=4， 故双曲线C 的离心率e =c a =√1+b2a 2=√17． 故选：C ．2.答案：D解析：解：设直线3x −4y +5=0点Q(x 1,y 1)关于点M(0,0)对称的直线上的点P(x,y)， ∵所求直线关于点M(0,0)的对称直线为3x −4y +5=0，∴由中点坐标公式得x+x 12=0，y+y 12=0；解得x 1=−x ，y 1=−y 代入直线3x −4y +5=0，得3(−x)−4(−y)+5=0，整理得：3x −4y −5=0，即所求直线方程为：3x −4y −5=0．故选：D ．首先根据中点坐标公式，可将对称直线上的点表示成已知直线上的点，然后代入已知直线，即可求出对称直线方程．本题解法类似于求轨迹方程，找到突破口，即为对称点，利用中点坐标表示出两个点即可求出答案！ 3.答案：B解析：解：化圆C 的一般方程为标准方程，得(x −3)2+(y −4)2=1，∵|AB|=65，∴|CM|=√1−(35)2=45， 可得点M 的轨迹是以C 为圆心，45为半径的圆，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省温州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线221916x y -=的实轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由题求出a=3,即得实轴的长. 【详解】 由题得a=3, 所以实轴长为6. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的方程和实轴的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A ．2310x y ++= B ．2310x y +-= C ．3210x y -+= D ．3210x y ++=【答案】B【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，把(,)M x y '-的坐标代入直线l 的方程即得解. 【详解】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，所以23+10,x y -+=即2310x y +-=.与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为2310x y +-=. 故选：B 【点睛】本题主要考查关于直线对称的直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．若直线0x y -=与圆()()2211x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]1,2C ．()0,2D ．()1,2【答案】C>即得解.【详解】由题得圆心到直线的距离为d =>，所以2m <， 因为m ＞0， 所以0＜m ＜2. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．6B ．2C ．12D ．3【答案】A【解析】直接利用三视图的还原图求出几何体的体积． 【详解】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：故该几何体的体积为1(12)2262V =+=g g ．故选：A ．【点睛】本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ） A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B ．各个面都是正三角形 C ．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【答案】A【解析】利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解.【详解】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形ABC,其重心为O,过点O作平面ABC的垂线OV，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查正三棱锥的定义，考查充要条件的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP 就是所作的平面，再求截面的周长. 【详解】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP ,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP ,AC||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D【点睛】本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221x y += B ．()2211x y -+=C ．()2210x y x +=≠D ．()()22110x y x -+=≠【答案】D【解析】联立两直线方程消去k 得到()2211x y -+=，再求x 的范围即得解.【详解】由题得,,22y kx y x x ky x y =⎧∴=⎨-+=-+⎩所以()2211x y -+=. 由题得222220,(1)21x k x k x x k+-=∴+=∴=+，，所以0x >. 所以点P 的轨迹方程为()()22110x y x -+=≠. 故选：D 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，求出0AB x k y =，再检验每一个选项得解. 【详解】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，， 所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+. 把1322y x =+代入双曲线方程得>0∆. 对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足>0∆. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查弦的中点问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，且124PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A ．35B ．45C ．14D ．34【答案】A【解析】设P 00(,)x y ,由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-根据124PF PF =得035ax a e=≤即得解. 【详解】 设P 00(,)x y由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-因为124PF PF =所以0003344,,55a a ex a ex x a e e +=-∴=≤∴≥, 所以此椭圆的离心率e 的最小值为35.故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和离心率的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，()0,2B ，圆()22:1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得2212MA MB +=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1,1⎡+⎣D ．1⎡+⎣【答案】B【解析】先求出动点M 的轨迹是圆D,再根据圆D 和圆C 相交或相切，得到a 的取值范围. 【详解】设(,)M x y ，则2222(2)(2)12x y x y -+++-=， 所以22(1)(1)4x y -+-=， 所以点M 的轨迹是一个圆D, 由题得圆C 和圆D 相交或相切，所以13≤≤， 所以11a -≤≤+故选：B 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题11．已知直线()2:1210l m x y +-+=（m 为常数），若直线l 的斜率为12，则m =__________，若1m =-，直线l 的倾斜角为__________．【答案】0 45︒【解析】（1）解方程21122m +-=-即得m 的值；（2）求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【详解】（1）由题得211,022m m +-=∴=-；（2）若1m =-，则直线的斜率21,2k =-=-所以直线的倾斜角为45︒. 故答案为：(1). 0 (2). 45︒ 【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴的对称点为()1,2A '--，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B -关于x 轴的对称点B '坐标为__________，若点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '，则B C ''=__________．【答案】()1,2,3---【解析】（1）根据空间对称点的位置关系特点写出点B '坐标；（2）先求出点C '坐标，再求出B C ''的值. 【详解】（1）由题得()1,2,3B -关于x 轴的对称轴点B '坐标为()1,2,3---；（2）点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '（1,-1，-2），所以B C ''==.故答案为：(1). ()1,2,3--- (2).【点睛】本题主要考查空间对称点的求法，考查空间两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．【答案】4 5【解析】（1|1|r =+即得解；（2）先求出22001y x =-，代入220004x y x +-化简解答最大值.【详解】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，， 所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1). 4 (2). 5 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________． 【答案】1x =-12【解析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，再求出抛物线的准线方程；（2）联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，代入韦达定理化简即得p 的值.【详解】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x=-1.（2）联立221y px y x ⎧=⎨=-⎩得2(22)10x p x -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121222,1x x p x x +=+⋅=，因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，所以1212()210x x x x -++⋅+=， 所以12230,2p p --+=∴=. 故答案为：(1). 1x =- (2).12 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆()222210x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．【答案】243a b π 【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为221()23a b a b ππ-⨯，计算即得解. 【详解】由祖暅原理得椭球体的体积为22214()233a b a b a b πππ-⨯=. 故答案为：243a b π 【点睛】本题主要考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点.沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE △内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是__________．【答案】10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先证明BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ.当090θ>时，不存在这样的点Q;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，分析得到251cos cos 22y θθ=≤，解不等式即得解.【详解】如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以AE BE AE EC ⊥⊥，.折叠之后，AE BE AE EC ⊥⊥，.所以BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ. 当090θ>时，不存在这样的点Q;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则E(0,0,0),B (sin ,cos ,0)θθ，533),(0,,22A P .设Q 在平面ABE 内，(tan ,y,z)Q y θ.所以EB =u u u r (sin ,cos ,0)θθ,EA =u u u r .5(tan ,,22PQ y y z θ=--u u u r ,由题得0,PQ EA z z ⋅==∴=u u u r u u u r .所以点Q 在△ABE 的中位线GH 上，所以点Q 的纵坐标1cos 2y θ≤. 由题得25sin 5sin tan ()cos ()cos 02cos 2PQ EB y y y y θθθθθθ⋅=+-=+-=u u u r u u u r ， 所以25cos 2y θ=. 所以251cos cos 22y θθ=≤，所以1cos 5θ≤. 所以此时10cos 5θ<≤. 综上所述，10cos 5θ≤≤. 故答案为：10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查空间二面角的范围的计算，考查空间位置关系的转化，考查立体几何的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________．【答案】()()0,11,9U【解析】设()24,4N t t ，由FNM ∠是锐角得到()4286202m t m t +-+>对任意t R ∈恒成立.令20x t =≥，则()()286202m f x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立,再通过分类讨论求出m 的取值范围.【详解】设()24,4N t t ，可知()0,1F ，0m >且1m ≠，所以()24,14NF t t =--u u u r ，()24,4NM t m t =--u u u u r ，因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM ⋅>u u u r u u u u r ，即()()222161440t tm t +-->， 整理得()42161240t m t m +-+>， 等价于()4286202m t m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =≥，则()()286202m f x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38m x -=-，故分类讨论如下： （1）308m --≤，即03m <≤时， ()()min 002m f x f ==>， 所以03m <≤；（2）308m -->，即3m >时， 应有()2624802m m ∆=--⨯⨯<， 得39m <<；综上所述：()()0,11,9m ∈U .【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题18．已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点()1,2A -和()3,2B -，且过点()3,1P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点,M N .（1）求圆C 的标准方程；（2）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.【答案】（1）()2218x y -+=（2）3x =或34130x y --=【解析】（1）先求出圆心C 的坐标为()1,0，再求半径CA =，即得圆C 的标准方程；（2）先求出圆心C 到直线l 的距离为2，再对直线l 的斜率分两种情况讨论求出直线l 的方程.【详解】（1）Q 易求得AB 的中点为()1,0，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --=由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩， 得圆心C 的坐标为()1,0，∴半径CA =，故圆C 的标准方程为：()2218x y -+= （2）当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2，若直线l 的斜率存在，设直线():13l y k x +=-，即310kx y k ---=∴圆心()1,0C 到直线l的距离2d ==， 解得34k =， ∴直线l 的方程为34130x y --=若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意，综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，AB CD ∥.（1）求证：CD EF P ；（2）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE △是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积. 【答案】（1）见解析（21225 【解析】（1）先证明AB||EF,再证明CD EF P ；（2）求出三棱柱的底面积和高，即得三棱柱ACE BDF -的体积.【详解】（1）AB CD AB CD αα⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭P AB α⇒P又AB γ⊂，EF αγ=IAB EF ∴P ，又AB CD Q ∥，CD EF ∴P（2）由题得122sin 6032ACE S =⋅⋅⋅︒=△ 又棱柱高21215h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2426655=4365V Sh ∴==1225= 【点睛】 本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知点,A B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM的斜率与直线AM 的斜率的差是2.（1）求点M 的轨迹方程C ；（2）若直线:0l x y -=与曲线C 交于,P Q 两点，求APQ ∆的面积.【答案】（1）21y x =-(0y ≠或1x ≠±)；（2）APQ S =△ 【解析】（1）设(),M x y ，则211y y x x -=-+，化简即得轨迹方程；（2）先求出弦长|PQ|,再求出A 到直线的距离，即得APQ ∆的面积.【详解】（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21y x =-(0y ≠或1x ≠±)； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y 联立方程210y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=， 所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以PQ == A到直线的距离为d ==所以122APQ S d PQ =⋅⋅=△． 【点睛】 本题主要考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点.（1）求证：AD BC ⊥；（2）在直线CH 上确定一点F ，使得AF P 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角.【答案】（1）见解析（2）45︒【解析】（1）证明AD ⊥平面BCD ，AD BC ⊥即得证；（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,先证明AFD ∠即为AF 与面BCD 所成线面角，再求出AF 与面BCD 所成线面角为45︒.【详解】（1）易知CH BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCDCH ∴⊥面ABDCH AD ∴⊥又AD CD ⊥，AD CH ⊥，⋂=CD CH C ，,CD CH ⊆平面BCD ,AD ∴⊥平面BCDAD BC ∴⊥（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,则四边形BCDF 为平行四边形 又EH AF P ，EH ⊂面BDE ，AF ⊄面BDEAF ∴P 面BDE又AD ⊥面BCDAFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角又DF BC AD ==45AFD ∴∠=︒，即AF 与面BCD 所成线面角为45︒【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析 【解析】（1）解方程22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即得椭圆的标准方程；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >， 联立直线和椭圆方程得到122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再求出直线1A M 与直线2A N 的方程和它们的交点P 的横坐标，再把韦达定理代入P 的横坐标化简即得解.【详解】（1）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，第 21 页 共 21 页所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=； （2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()2234690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 可得()111:22A M y l y x x =++， ()222:22A N y l y x x =--， 所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++，又因为()121223my y y y =+，所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的定直线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。