知识点057 完全平方公式几何背景(选择)精编资料
完全平方公式几何意义及拔高
01
基础练习:
已知
02
若 求
01
谢谢指导！
202X
汇报人姓名
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
解: (4m+n)2=
例1、运用完全平方公式计算：
=16m2
(1)(4m+n)2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2
(4m)2
+2•(4m) •n
+n2
+8mn
+n2
解： (x-2y)2=
=x2
(2)(x-2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
x2
-2•x •2y
+(2y)2
-4xy
+4y2
例2、运用完全平方公式计算：
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗?
1、积为二次三项式；
间的符号相同. 首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
贰
壹
叁
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
知识点057 完全平方公式几何背景(选择)
1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。
分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
完全平方公式教学课件
05
完全平方公式总结与展望
公式总结
完全平方公式的推导过程
通过完全平方公式，我们可以轻松计算土地面积。
详细描述
在农村或城市，土地的面积往往需要计算。完全平方公式可以用于计算土地的面积，特别是当土地形状不规则时。 我们可以通过将土地划分为多个小块，然后对每个小块进行面积计算，最后将所有小块的面积加起来得到总面积。
案例二：投资组合优化
总结词
完全平方公式可以帮助我们找到最佳的投资组合。
公式变形
平方差公式：完全平方公式可以推广 到平方差公式，用于解决两个数平方 差的计算问题。
平方差公式
应用范围：完全平方公式可以广泛应 用于代数、几何等领域，是数学中非 常重要的公式之一。
应用范围
复杂表达式的分解
完全平方公式的应用
通过完全平方公式的变形及应 用，可以将复杂表达式转化为 简单形式，便于计算。
完全平方公式教学课 件
01
引言
教学内容和目 标
内容
完全平方公式的推导过程、公式 应用、实例解析
目标
理解完全平方公式的意义和应用， 掌握公式推导方法，能够灵活运 用公式解决数学问题
教学重点与难点
重点
完全平方公式的推导过程和公式应用
难点
如何从完全平方公式的推导过程中理解公式的意义，并能够灵活运用公式解决 各种数学问题
进一步学习建议
学习建议
学生可以通过多做练习题，加深对完 全平方公式的理解，同时可以尝试使 用完全平方公式解决一些实际问题。
完全平方(微课件)
03
完全平方的应用
在代数式简化中的应用
总结词
完全平方在代数式简化中起到关键作用，通过完全平方公式，可以将复杂的代数式转化为易于处理的形式。
详细描述
完全平方公式是数学中的重要工具，它可以用来简化复杂的代数式。例如，对于形如 (a^2+2ab+b^2) 的式子， 我们可以将其转化为 ((a+b)^2) 的形式，从而更方便地进行计算或化简。
和求解。
解决几何问题
在几何问题中，常常需要利用完 全平方公式计算面积和周长。解 题思路是先将几何图形表示为完 全平方形式，再利用公式进行计
算。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要利用完 全平方公式计算位移、速度和加 速度等物理量。解题思路是先将 物理量表示为完全平方形式，证明中的应用
总结词
完全平方在不等式证明中起到重要的桥梁作用，通过完全平方，可以将不等式转化为易于证明的形式 。
详细描述
在证明不等式时，我们经常使用完全平方来转化不等式。例如，对于不等式 (a+b geq 2sqrt{ab})，我们 可以利用完全平方将其转化为 ((sqrt{a}-sqrt{b})^2 geq 0)，从而更容易证明其正确性。
例如
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，各项系数之和为1+1+1=3，等于首末两项 平方和$a^2+b^2$，中间项系数2是首末两项系数之和1+1的两倍。
02
完全平方的证明
证明方法一：数学归纳法
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方的有效方法，通过归纳步骤和基础步骤，逐步推 导证明结论。
在几何图形中的应用
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
用字母表示为：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是两个相同的二项式相乘，即：（a ＋ b)×（a ＋ b) 或者（a b)×（a b)。
2、右边是三项式，其中首末两项分别是左边二项式的两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。
3、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
以(a ＋ b)²为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于(a b)²：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab 或者 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab2、（a ＋ b)²＋（a b)²＝ 2(a²＋ b²)3、（a ＋ b)²（a b)²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、用于整式的乘法运算例如：计算（2x ＋ 3y)²＼＼begin{align}＆（2x ＋ 3y)²\＼＝＆（2x)²＋ 2×（2x)×（3y) ＋（3y)²\＼＝＆4x²＋ 12xy ＋ 9y²＼end{align}＼2、用于因式分解例如：分解因式 x²＋ 6x ＋ 9＼＼begin{align}＆x²＋ 6x ＋ 9\＼＝＆（x ＋ 3)²＼end{align}＼3、用于简便计算例如：计算 99²＼＼begin{align}＆99²\＼＝＆（100 1)²\＼＝＆100² 2×100×1 ＋ 1²\＼＝＆10000 200 ＋ 1\＼＝＆9801＼end{align}＼4、用于代数式求值已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。
完全平方公式课件
可以使用完全平方公式计算风险、定价等相关指标。
医疗行业
可以使用完全平方公式计算器械大小、管路长度等相关参数。
完全平方的历史发展
1
古希腊
毕达哥拉斯学派曾经在探索平方问题时提出完全平方的概念。
2
印度数学
印度的数学家们在完全平方的研究上有着重要的贡献。
3
近现代数学
完全平方公式的研究在近代数学中得到进一步的发展和运用。
完全平方公式与勾股定理的关系
勾股定理公式
a²+b²=c²，其中 c 为斜边，a 和 b 为两个直角 边。
完全平方公式的应用
可以将勾股定理问题转化为完全平方公式问题。
如何利用完全平方公式求解方程
1
转化
将一些无法直接求解的方程，转化为完
运算
2
全平方公式的形式。
将方程中变量的平方与常数合并起来，
运用完全平方公式进行相关计算。
完全平方公式的简化公式
a²+b²=(a+b)²-2ab
完全平方子序列问题
定义
在一个数列中，如果某一子序列的每一个数都是完 全平方，那么这个子序列就是完全平方子序列。
应用
完全平方子序列问题在组合数学、计算机科学等领 域均有重要应用。
完全平方函数及其性质
1 定义
形如f(x)=ax²+bx+c的函数称为完全平方函数。
=
(a+b+c)²
=
(a+b)²-a*b*2 (a+b)(a-b) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
完全平方公式的例子
建筑中的应用
可以使用完全平方公式计算不规 则形状的空间面积。
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： 〔1〕()()y x y x 22++； 〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ； 〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
这两个公式分别叫做两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式。
（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
先看两数和的完全平方公式：（a ＋ b）²＝（a ＋ b）（a ＋ b）＝ a（a ＋ b）＋ b（a ＋ b）＝ a²＋ ab ＋ ab ＋ b²＝ a²＋ 2ab ＋ b²再看两数差的完全平方公式：（a b）²＝（a b）（a b）＝ a（a b） b（a b）＝ a² ab ab ＋ b²＝ a² 2ab ＋ b²三、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是左边二项式两项的平方，中间一项是左边二项式两项乘积的 2 倍。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b）² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b）²＋ 2ab3、（a ＋ b）²＝（a b）²＋ 4ab4、（a b）²＝（a ＋ b）² 4ab五、完全平方公式的应用1、用于整式的乘法运算例：计算（2x ＋ 3y）²解：（2x ＋ 3y）²＝（2x）²＋ 2×2x×3y ＋（3y）²＝ 4x²＋ 12xy ＋ 9y²2、用于因式分解例：分解因式 x²＋ 4x ＋ 4解：x²＋ 4x ＋ 4 ＝（x ＋ 2）²3、用于简便计算例：计算 102²解：102²＝（100 ＋ 2）²＝ 100²＋ 2×100×2 ＋ 2²＝ 10000 ＋ 400 ＋ 4 ＝ 104044、用于求代数式的值例：已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。
《完全平方公式》课件
数学运算技巧
在进行数学运算时，完全 平方公式可以作为一种常 用的技巧，用来简化计算 过程。
03
完全平方公式的证明
使用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种严谨的证明方法，通过逐步推导，最终得出结论。
详细描述
首先，我们需要对完全平方公式进行定义，然后通过数学归纳法，从公式的基本情况开始证明，逐步 推广到一般情况。在证明过程中，需要注意每个步骤的逻辑严谨性和正确性，以确保最终结论的正确 性。
$(7+8)^2$
计算下列各式的值
$(5+6)^2$
请简述完全平方公式的应用场景 和优势。
答案与解析
• $(3+4)^2 = 3^2 + 2\times3\times4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49$ • $(5+6)^2 = 5^2 + 2\times5\times6 + 6^2 = 25 + 60 + 36 = 111$ • $(7+8)^2 = 7^2 + 2\times7\times8 + 8^2 = 49 + 112 + 64 = 225$ • 完全平方公式是一种非常实用的数学工具，可以帮助我们快速计算出任意一个数的平方，同时也可以帮助
预测模型
在统计学和预测模型中，完全平方公式可以 用来建立回归模型并预测未来趋势。例如， 在时间序列分析中，完全平方公式可以用来
拟合时间序列数据并预测未来的值。
05
完全平方公式的扩展知识
完全立方公式
完全立方公式
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
《完全平方公式》 知识清单
1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的2倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导
我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
2、公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，在使用时要注意将多项式看作一个整体。
3、不要与平方差公式混淆，平方差公式是（a＋b）（a b）＝a² b²。
七、完全平方公式的拓展
1、三项的完全平方公式
（a＋b＋c）²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc
2、多个数的完全平方
（a₁＋a₂＋…＋an）²＝a₁²＋a₂²＋…＋an²＋2a₁a₂＋2a₁a₃＋…＋2an 1an
八、完全平方公式在实际生活中的应用
完全平方公式在实际生活中有着广泛的应用，比如在计算面积、体积、成本、利润等方面。
例如，在一个长方形花园中，长增加a米，宽增加b米，那么面积增加的部分可以用完全平方公式来计算。
又比如，在计算物体运动的路程时，如果速度随时间的变化是一个二次函数，也可能会用到完全平方公式来求。
2、a²＋b²＝（a b）²＋2ab
3、（a＋b）²（a b）²＝4ab
五、完全平方公式的应用
1、用于整式的乘法运算
例如：计算（2x＋3y）²
解：（2x＋3y）²
＝（2x）²＋2×2x×3y＋（3y）²
＝4x²＋12xy＋9y²
2、用于简便计算
例如：计算99²
解：99²＝（100 1）²
＝100² 2×100×1＋1²
＝10000 200＋1
知识点057完全平方公式几何背景(解答)
1、（Ⅰ）请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2．（Ⅱ）如图②（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图②（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图②（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程．考点：完全平方公式的几何背景。
专题：常规题型。
分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图②（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解．解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2．推导如下：中间小正方形的边长为（b﹣a），∴大正方形的面积可表示为：c2=4×ab+（b﹣a）2，整理得，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，即c2=a2+b2．点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长．考点：完全平方公式的几何背景。
分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可．解答：解：（1）小正方形的边长为：（a﹣b），∴面积为（a﹣b）2，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=（a+b）2﹣4×ab=（a2﹣2ab+b2），∴小正方形面积为：（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）小正方形的面积为：162﹣4×63=256﹣252=4，∴小正方形的边长为2．故答案为：（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）2．点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm 的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。
《完全平方公式》优质课件
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
北师大版七年级数学下册课件第一章第六节完全平方公式
2
(7)ab＝
a+b
2
－
a－b
2
.
2
2
3.(1)下列计算正确的是( C )
A.(x+y)2＝x2+y2
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
C.(x+1)(x－1)＝x2－1 D.(x－1)2＝x2－1
(2)运用完全平方公式计算: ①(2a+5b)2; ②(100－2)2; ③(－2m－1)2. 解:①原式＝4a2+20ab+25b2. ②原式＝1002－400+4＝9 604. ③原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1+12
＝4m2+4m+1.
精典范例
4.【例1】如图,利用图形面积关系可以解释的公式是( A ) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a－b)2＝a2－2ab+b2 C.(a+b)(a－b)＝a2－b2 D.(a+b)(a2－ab+b2)＝a3+b3
变式练习
8.根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:(a+b)2＝ a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( C ) A.a2－b2＝(a－b)2 B.(a+b)2＝a2+2ab+b2 C.(a－b)2＝a2－2ab+b2 D.a2－b2＝(a+b)(a－b)
★11.(人教8上P125改编)已知a,b满足(a+b)2＝1,(a－b)2＝25, 求a2+b2+ab的值. 解:因为(a+b)2＝1,(a－b)2＝25, 所以a2+b2+2ab＝1①,a2+b2－2ab＝25②. 由①－②,得4ab＝－24,所以ab＝－6. 所以a2+b2+ab＝(a+b)2－ab＝1－(－6)＝7.
知识卡片-完全平方公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
能量储备
●完全平方公式的推导：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
●完全平方公式的几何背景：
图中表示的等式为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，其中(a＋b)2表示边长为(a＋b)的大正方形的面积，而a2和b2分别表示边长为a，b的小正方形的面积，2ab表示两个完全一样的长方形面积的和．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：几何中通常从面积的角度来解释完全平方公式
例：如图163所示，一块边长为a m的正方形试验田，因需要将其边长增加b m，形成四块试验田，以种植不同的新品种．
则第1块试验田的面积为________m2；第2块试验田的面积
为________m2；
第3块试验田的面积为________m2；第4块试验田的面积为
________m2；
这四块试验田的总面积为________m2.
若将这四块试验田看成一个大正方形，则其边长为_____m，面积为________m2.
可得结论：______________________．
答案：ab，b2，a2，ab，(a2＋2ab＋b2)，(a＋b)，(a＋b)2，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
蓄势待发
考前攻略
速记口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方．
考查完全平方公式的几何应用，这是中考的常考点，难度适中，题型以填空题或选择题为主．
完胜关卡。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点057完全平方公式几何背景(选择)1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。
分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．解答：解：图中的正方形的边长为a+b，∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．故选C．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5点评：本题利用了完全平方公式求解．5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ）A 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C 、a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D 、（a+b ）2=（a ﹣b ）2+4ab 考点：完全平方公式的几何背景。
分析：我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．解答：解：（a+b ）2=（a ﹣b ）2+4ab ．故选D ．点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ）A 、（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D、（a+b）2=a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．解答：解：由图知，大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积为，（a+b）2，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，∴（a+b）2=a2+2ab+b2，故选B．点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式．7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、（a+b）2=a2+2ab+b2D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．解答：解：图（4）中，2﹣2b（a﹣b）﹣b2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，∵S正方形=a∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A、8或﹣8B、8C、﹣8D、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．解答：解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，∴﹣mx=±2×4•x，解得m=±8．故选A．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（）A、a2+b2B、a+bC、a﹣bD、a2﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长．解答：解：∵a2+2ab+b2=（a+b）2，∴边长为a+b．故选B．点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中．10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（）A、7B、9C、5D、11考点：完全平方公式的几何背景。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8分析：设长方形的长是a，宽是b，根据题意，得a+b=3，ab=1．再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值．解答：解：设长方形的长是a，宽是b．根据题意，得a+b=3，ab=1．∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2=7．故选A．点评：此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想．11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A、a2+2ab+b2=（a+b）2B、4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2C、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．解答：解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 ∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ，即4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．故选B ．点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a 、b （a ＞b ），则这两个图形能验证的式子是（ ）A 、（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4abB 、（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）2=2abC 、（a+b ）2﹣2ab=a2+b 2 D 、（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B 符合．解答：解：前一个图阴影部分的面积：（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）2=2ab后一个图形面积：=2ab故选B ．点评：本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（ ）A、a2+ab+b2=（a+b）2B、a2+b2=（a+b）2+2abC、a2+2ab+b2=（a+b）2D、a2+2ab=（a+b）2+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：求出大正方形的边长可得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案．解答：解：由题意得：大正方形的面积=（a+b）2；大正方形的面积=a2+2ab+b2，∴可得：a2+2ab+b2=（a+b）2．故选C．点评：本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键．14、现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（）A、a+bB、a+2bC、2a+bD、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2，再把a2+3ab+2b2因式分解，即可求出该长方形的长．解答：解：根据题意得：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），所以可以拼成（a+2b）（a+b）的长方形，该长方形的长为a+2b．故选B．点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合．15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（）A、a+3bB、3a+bC、a+2bD、2a+b考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：1张边长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴大正方形的边长为：a+3b．解答：解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴新正方形边长为a+3b．故选A．点评：本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（）A、x+y=7B、x﹣y=2C、4xy+4=49D、x2+y2=25考点：完全平方公式的几何背景。