知识点057完全平方公式几何背景(选择)
完全平方公式
完全平方公式（1）教案背景：本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
关键信息：1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。
首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。
通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。
教学课题：完全平方公式（1）教材分析：知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下坚实的基础。
数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
教学方法：1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生的结论和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程数学是一门非常有趣的科目，不过有些朋友对于数学这门课程不太感兴趣，想要学习好数学?其实也是比较简单的，只要记住好一些计算公式口诀就可以了，今天就让来给大家分享一下关于完全平方公式基本知识。
完全平方公式完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b;我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)=(a+b)x(a+b)=(a+b)。
同理，a-2ab+b=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)=(a-b)x(a-b)=(a-b)。
完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积：那么，大正方形的面积=a+ab+ab+b(a+b)=a+2ab+b，同样，我们再来证明(a-b)=a-2ab+b。
大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)。
①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
一起分别计算下②③④的面积吧。
大正方形的面积为a，小正方形①的面积=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb 即，(a-b)=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb展开后，得(a-b)=a-2ab+b完全平方式又常常写成：(a±b)=a±2ab+b。
完全平方公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是:首平方，尾平方，积的二倍放中央。
完全平方公式是什么?以上就是给大家解答的相关的疑问，大家平时不妨现在熟悉一下这个完全平方公式的口诀，只要记熟了完全平方公式口诀就可以轻松的计算出完全平方算式。
知识点057 完全平方公式几何背景(选择)
1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。
分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 完全平方公式的几何背景(两大类型)(原卷版)
完全平方公式的几何背景（两大类型）【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方法②；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（）A．10B．1 1C．12D．13【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）A．mn B．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2【典例2】（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x ﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【变式2】（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x ﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．1．（2022春•盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（）A．4B．6C．7D．82．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则长方形ABCD 的面积为（）A．10B．20C．40D．803．（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（）A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b24．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．5．（2022秋•上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；（2）利用你发现的结论，解决下列问题：①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．6．（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b 米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：.方法②：.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：．（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．7．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，则x﹣y＝．（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求的值．8．（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．9．（2022•平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．10．（2022春•江都区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图①，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）（i）由图②，可得等式：；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝；（2）如图③，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积；（3）图④中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．（i）请用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图①②画出拼法并标注a、b；（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b2．11．（2022秋•高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．。
七年级数学下册 专题4 乘法公式一完全平方公式重点、考点知识总结及练习
专题4 乘法公式一完全平方公式----⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式利用公式进行数的运算乘法公式完全平方公式利用公式进行整式的运算完全平方公式几何背景知识点1 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】1.x 2﹣4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A. 2 B . ﹣2 C. 2和﹣2 D. 4【答案】C.【解析】解：∵x 2﹣4x+m 2=x 2﹣2×2×x +m 2， ∴m 2=22，解得m=2或﹣2． 故选：C【方法总结】满足222a ab b ++的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．【随堂练习】1．（2018春•灌云县期末）已知（a+b ）2=17，（a ﹣b ）2=13，求a 2+b 2与ab 的值． 【解答】解：由（a+b ）2=17可得：a 2+2ab+b 2=17①， 由（a ﹣b ）2=13可得：a 2﹣2ab+b 2=13②， ①+②得：a 2+b 2=15，①﹣②得：ab=1．2．（2018春•高新区校级期中）已知a+b=5，ab=﹣14，求：①（a﹣b）2②a2+b2；【解答】解：①∵a+b=5，ab=﹣14，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=52﹣4×（﹣14）=25+56=81；②∵a+b=5，ab=﹣14，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=52﹣2×（﹣14）=25+28=53．知识点2 利用完全平方公式进行数的运算利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b-=-+的掌握情况.()2()2a b a ab b+=++；222【典例】1.利用完全平方公式计算1012+992得（）A. 2002B. 2×1002C. 2×1002十1D. 2×1002+2【答案】D.【解析】解：1012+992=（100+1）2+（100﹣1）2=1002+200+1+1002﹣200+1=2×1002+2．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际应用.222a b a ab b()2-=-+，()2+=++；222a b a ab b即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.【随堂练习】1．（2017•福州模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=100，则（x﹣2016）2= _____．【解答】解：设x﹣2016=a，则（a+1）2+（a﹣1）2=100，则2a2+2=100，解得：a2=49，故（x﹣2016）2=49．故答案为：49．2．（2017春•宝丰县月考）利用乘法公式计算：1012+992=_____．【解答】解：原式=（101+99）2﹣2×101×99=2002﹣2×（100+1）×（100﹣1）=40000﹣2×9999=40000﹣19998=20002， 故答案为：200023．（2015秋•丛台区期末）计算：1022﹣2×102×104+1042的结果为____． 【解答】解：原式=（102﹣104）2=（﹣2）2=4， 故答案为：4知识点3 利用完全平方公式进行整式的运算利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+的掌握情况.【典例】1.已知a ﹣=2，则a 2+的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D.【解析】解：把a ﹣=2，两边平方得：（a ﹣）2=a 2+﹣2=4，则a 2+=6．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的运用. 当题干中出现“a+”（或者a -），问题中出现“a 2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a ﹣）2= a 2+ - 2、（a+）2= a 2+ + 2，从而得到a 2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？【解析】解：题干是对一个三项式进行平方，可以先对3x+4y﹣6做一个简单的分组，分为3x+4y和-6，这样式子就变成（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2，然后再按照完全平方公式进行计算，计算如下：（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）×6+62=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，常数项为36.【方法总结】完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.【随堂练习】1．（2017秋•河口区期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为___．【解答】解：∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，∴k=±12，故答案为：±122．（2018春•玄武区期末）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m=___．【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，∴﹣mxy=±2×2x×3y，∴m=±12．3．（2018春•成都期中）若多项式a2+2ka+1是一个完全平方式，则k的值是___．【解答】解：∵a2+2ka+1是一个完全平方式，∴2ka=±2a•1，解得：k=±1，故答案是：±1．知识点4 完全平方公式的应用【典例】1.设一个正方形的边长为acm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（）A. 9cm2B. 6acm2C. （6a+9）cm2D. 无法确定【答案】C.【解析】解：根据题意得：（a+3）2﹣a2=a2+32+6a﹣a2=6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，故选：C【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果.对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（）A. 15B. 5C. 12D. 10【答案】B.【解析】解：∵2a2+4ab+2b2 =18∴a2+2ab+b2=9∵（a+b）2= a2+2ab+b2∴原式=a2+2ab+b2﹣4，=9﹣4，=5．故选：B【方法总结】问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（）A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【答案】C.【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积等于4个小图形的面积和等于a2+b2+ab+ab，∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C【方法总结】这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A. 2mB. （m+n）2C. （m﹣n）2D. m2﹣n2【答案】C.【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．故选：C【方法总结】此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.【随堂练习】1．（2018春•叶县期中）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为_____（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：____方法二：______（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）方法一：∵图2中阴影部分为正方形边长为：m﹣n∴图2中阴影部分的面积是：（m﹣n）2方法二：图2中阴影部分的面积=边长为（m+n）的正方形的面积﹣4个小长方形的面积和即：（m﹣n）2﹣4mn（3）关系为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）∵（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；∴有（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab又∵a+b=7，ab=5∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=72﹣4×5=49﹣20=29．2．（2017春•杭州期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中间的小正方形（即阴影部分）面积可表示为_____．（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系式：________．（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_____．（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（m+n）（m+2n）=m2+3mn+2n2．【解答】解：（1）图②中阴影部分的边长都等于小长方形的长减去小长方形的宽，即m﹣n，由图可知，阴影部分的四个角都是直角，故阴影部分是正方形，其边长为m﹣n，则其面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）大正方形的面积边长的平方，即（m+n）2，或小正方形面积加4个小长方形的面积，即4mn+（m﹣n）2，故可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）由（2）知（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=36﹣4×2.75=25，∴x﹣y=±5，故答案为：±5；（4）如图所示：综合运用1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______【答案】7或﹣1【解析】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3=±4，解得：m=7或﹣1，2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=．【答案】0【解析】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a﹣2007+a）2=（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________【答案】2a+2【解析】解：依题意得剩余部分面积为：（a+2）2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4，∵拼成的矩形一边长为2，∴另一边长是（4a+4）÷2=2a+2．4.利用完全平方公式计算：（1）982（2）10032．【解析】解：（1）982=（100﹣2）2，=10000﹣400+4，=9604；（2）10032=（1000+3）2，=1000000+6000+9，=1006009．5.运用完全平方公式计算（1）（a+b+c）2；（2）（a+2b﹣1）2；【解析】解：（1）（a+b+c）2=（a+b）2+2c（a+b）+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；（2）（a+2b﹣1）2=（a+2b）2﹣2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1；6.已知，，求x2+的值．【解析】解：将x+=9两边平方得：（x+）2=81，整理得：x2++2=81，则x2+=79．。
完全平方公式
个性化教学辅导教案学科：数学年级：七年级任课教师：授课时间：教学课题完全平方公式教学目标1、了解完全平方公式的几何背景推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2、会运用完全平方公式进行一些数的简便运算教学重难点重点:会用完全平方公式进行运算，运用完全平方公式进行一些数的简便运算难点:理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算，灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算教学过程【温故知新】（1）(32)(32)a b a b-+=（2）(32)(32)a b a b--=（3）2(1)(1)(1)p p p+=++=（4）2(2)m+=（5）2(1)(1)(1)p p p-=--=（6）2(2)m-=（7）2()a b+=（8）2()a b-=探索学习观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而且用多项式乘以多项式后，中间有：2p= 2*p*1 ，4m=2*m*2 ，恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．因此我们得到完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的倍．公式表示为：2()a b+=2()a b-=口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）例1．应用完全平方公式计算：（1）2(4)m n+（2）21()2y-（3）2()a b--（4）2(2)x y-+K]【针对训练】1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）22(21)221a a a-=-+（2）22(21)41a a+=+（3）22(1)21a a a--=---2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算，把它计算出来（1）()()xyyx+-+（2）()()abba--（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同：222()2a b a ab b±=±+22()()a b a b a b +-=-结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算：（1）2(12)x -- （2）2(21)x -+（3）()()n m n m +--22 （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131例2.计算：（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)321()321(b a b a +-；（3）)432)(432(-++-y x y x .方法小结（1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是数学中一个用于求解一元二次方程的重要公式。
通过完全平方公式，我们可以直接求解任意形式的一元二次方程，而无需进行因式分解或使用其他方法。
一元二次方程的一般形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，其一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知的实数系数，且a不等于0。
我们的目标是求解方程中的未知数x的值。
完全平方公式的表达给定一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在完全平方公式中，± 表示两个不同的解，√代表求平方根。
完全平方公式的推导过程完全平方公式可以通过配方法进行推导，具体过程如下：首先，将一元二次方程ax^2 + bx + c = 0移项得到ax^2 + bx = -c。
然后，我们通过添加一个常数项，使得方程成为一个完全平方。
我们的目标是创建一个二次多项式，其可以被表示为一个完全平方。
为了实现这一点，我们需要将方程右侧的常数项进行调整。
如果需要使方程成为一个完全平方，则我们需要添加一个数使得bx可以写成一个平方项的形式。
考虑到一元二次方程的一般形式，我们可以选择b/2的平方，即(b/2)^2 = b^2/4。
将这个平方项添加到方程右侧，我们可以得到(ax^2 + bx + b^2/4) = -c + b^2/4。
通过移项，我们将该方程转化为(ax + b/2)^2 = b^2 - 4ac/4。
接下来，我们对上式的两边取平方根，得到ax + b/2 = ± √(b^2 - 4ac)/2。
最后，将方程重新整理，我们可以得到完全平方公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)完全平方公式的应用举例通过完全平方公式，我们可以解决任意一元二次方程的问题。
下面是一些应用举例：例子1给定方程2x^2 + 5x - 3 = 0，我们可以通过完全平方公式求解x的值。
《完全平方公式》参考(完整版)教案
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .1.8 完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程,进一步开展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后到达合理、熟练地应用.●教具准备投影片四张第|一张：试验田的改造,记作(§1.8.1 A)第二张：想一想,记作(§ B)第三张：例题,记作(§ C)第四张：补充练习,记作(§ D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景,引入新课［师］去年,一位老农在一次"科技下乡〞活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次"科技下乡〞活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种.同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢?(同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗?［生］可以.如图1－25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗?［生］改造后的试验田变成了边长为(a +b)的大正方形,因此,试验田的总面积应为(a +b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab +b2.［师］很好!同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么?［生］可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即(a +b)2=a2+2ab +b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式- -完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a +b)2=a2 +2ab +b2.其实,据有关资料说明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中|国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢?(出示投影片§1.8.1 A)想一想：(1)(a +b)2等于什么?你能用多项式乘法法那么说明理由吗?(2)(a－b)2等于什么?你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a +b)2=(a +b)(a +b) =a(a +b) +b(a +b)=a2+ab +ab +b2=a2+2ab +b2所以(a +b)2=a2+2ab +b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊?［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释(a +b)2=a2+2ab +b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,a,b可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么,那么(a－b)2=(a－b)(a－b) =a2－ab－ba +b2=a2－2ab +b2.［生］我是这样想的,因(a +b)2=a2+2ab +b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用"－b〞代替公式中的"b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a +(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a +(－b)］2=a2+2·a·(－b) +(－b)2↓↓↓↓ ↓ ↓(a +b)2=a2+2·a ·b + b2=a2－2ab +b2.于是,我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab +b2(2) ［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗?［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§ B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x +5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算,第|一步先选择公式；第二步,准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x +2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x +y－z)2;(4)(x +y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x +3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式,(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x +y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x +y)－z］2(或［x +(y－z)］2、［(x－z) +y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x +2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy +x2；方法二：(－x +2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy +4y2.(2)(－x－y)2=［－(x +y)］2=(x +y)2=x2+2xy +y2.(3)(x +y－z)2=［(x +y)－z］2=(x +y)2－2(x +y)·z +z2=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.(4)方法一：(x +y)2－(x－y)2=(x2+2xy +y2)－(x2－2xy +y2)=4xy.方法二：(x +y)2－(x－y)2=［(x +y) +(x －y)］［(x +y)－(x －y)］ =4xy.(5)(2x －3y)2(2x +3y)2=［(2x －3y)(2x +3y)］2=［4x 2－9y 2］2=16x 4－72x 2y 2 +81y 4.Ⅲ.随堂练习课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy +51x)2; (3)(n +1)2－n 2.解：(1)(21x －2y)2 =(21x)2－2·21x·2y +(2y)2 =41x 2－2xy +4y 2 (2)(2xy +51x)2 =(2xy)2 +2·2xy·51x +(51x)2 =4x 2y 2 +54x 2y +251x 2(3)方法一：(n +1)2－n 2 =n 2 +2n +1－n 2 =2n +1.方法二：(n +1)2－n 2 =［(n +1) +n ］［(n +1)－n ］ =2n +1.Ⅳ.课后作业1.课本习题的第1、2、3题.2.阅读 "读一读〞 ,并答复文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n 头牛 ,而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元 ,再由乙拿10元 ,如此轮流 ,拿到最||后剩下缺乏十元 ,轮到乙拿去 ,为了平均分配 ,甲应该补给乙多少元钱 ?［过程］因牛n 头 ,每头卖n 元 ,故共卖得n 2元.令a 表示n 的十位以前的数字 ,b 表示n 的个位数字.即n =10a +b,于是n 2 =(10a +b)2 =100a 2 +20ab +b 2 =10×2a(5a +b) +b 2.因甲先取10元 ,而乙最||后一次取钱时缺乏10元 ,所以n 2中含有奇数个10元 ,以及最||后剩下缺乏10元.但10×2a(5a +b)中含有偶数个10元 ,因此b 2中必含有奇数个10元 ,且b<10 ,所以b 2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81 ,而这九个数中 ,只有16和36含有奇数个10 ,因此b2只可能是16或36 ,但这两个数的个位数都是6 ,这就是说,乙最||后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).［结果］甲比乙多拿了4元,为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计1.8. 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab +b2②(a +b)2比照得：(a +b)2=a2+2ab +b2二、代数推导(a +b)2=(a +b)(a +b)=a2+2ab +b2(a－b)2=［a +(－b)］2=a2－2ab +b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x +5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉,中|国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有<详解九章算法>十二卷(1261年)、<日用算法>二卷(1262年)、<乘除通变本末>三卷(1274年)、<田亩比类乘除算法>二卷(1275年)、<续古摘奇算法>二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面 ,他对筹算乘除捷算法进行总结和开展 ,有的还编成了歌诀 ,如九归口诀 .他在<续古摘奇算法>中介绍了各种形式的 "纵横图〞及有关的构造方法 ,同时 "垛积术〞是杨辉继沈括 "隙积术〞后 ,关于高阶等差级||数的研究.杨辉在 "纂类〞中 ,将<九章算术>246个题目按解题方法由浅入深的顺序 ,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和开展 ,在<算法通变本末>中 ,杨辉为初学者制订的 "习算纲目〞是中|国数学教育史上的重要文献.二、参考练习1.填空题(1)(－3x +4y)2 = .(2)(－2a －b)2 = .(3)x 2－4xy + =(x －2y)2.(4)a 2 +b 2 =(a +b)2 + . (5)41a 2 + +9b 2 =(21a +3b)2. (6)(a －2b)2 +(a +2b)2 = .2.选择题(1)以下计算正确的选项是( )A.(m －1)2 =m 2－1B.(x +1)(x +1) =x 2 +x +1C.(21x －y)2 =41x 2－xy －y 2 D.(x +y)(x －y)(x 2－y 2) =x 4－y 4(2)如果x 2 +mx +4是一个完全平方式 ,那么m 的值是( )B.－4C.±4D.±8(3)将正方形的边长由a cm 增加6 cm,那么正方形的面积增加了( )A.36 cm 2B.12a cm 2C.(36 +12a)cm 2D.以上都不对 3.用乘法公式计算 (1)(21x －31y)2 (2)(x 2－2y 2)2－(x 2 +2y 2)2(3)29×31×(302 +1)(4)9992答案：1.(1)9x 2－24xy +16y 2(2)4a 2 +4ab +b 2 (3)4y 2 (4)－2ab(5)3ab (6)2a 2 +8b 22.(1)D (2)C (3)C3.(1)41x 2－31xy +91y 2 (2)－8x 2y 2 (3)809999 (4)998001以下为赠送内容别想一下造出大海 ,必须先由小河川开始 .成功不是只有将来才有 ,而是从决定做的那一刻起 ,持续积累而成 !人假设软弱就是自己最||大的敌人 ,人假设勇敢就是自己最||好的朋友 . 成功就是每天进步一点点 !如果要挖井 ,就要挖到水出为止 .即使爬到最||高的山上 ,一次也只能脚踏实地地迈一步 .今天拼搏努力 ,他日谁与争锋 .在你不害怕的时候去斗牛 ,这不算什么；在你害怕的时候不去斗牛 ,这没什么了不起；只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起 .行动不一定带来快乐,但无行动决无快乐 .只有一条路不能选择- -那就是放弃之路；只有一条路不能拒绝|| - -那就是成长之路 .坚韧是成功的一大要素,只要在门上敲得够久够大声,终会把人唤醒的 .只要我努力过,尽力过,哪怕我失败了,我也能拍着胸膛说："我问心无愧 ."用今天的泪播种,收获明天的微笑 .人生重要的不是所站的位置,而是所朝的方向 .弱者只有千难万难,而勇者那么能披荆斩棘；愚者只有声声哀叹,智者却有千路万路 .坚持不懈,直到成功!最||淡的墨水也胜过最||强的记忆 .凑合凑合,自己负责 .有志者自有千计万计,无志者只感千难万难 .我中|考,我自信!我尽力我无悔!听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从,三思而行的是智者 .相信自己能突破重围 .努力造就实力,态度决定高度 .把自己当傻瓜,不懂就问,你会学的更多 .人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而渺小 .安乐给人予舒适,却又给人予早逝；劳作给人予磨砺,却能给人予长久 .眉毛上的汗水和眉毛下的泪水,你必须选择一样!假设不给自己设限,那么人生中就没有限制你发挥的藩篱 .相信自己我能行!任何业绩的质变都来自于量变的积累 .公众号：惟微小筑明天的希望,让我们忘了今天的痛苦 .世|界上最||重要的事情,不在于我们身在何处,而在于我们朝着什么方向走 . 爱拼才会赢努力拼搏,青春无悔!。
完全平方公式课件（收藏8篇）
完全平方公式课件（收藏8篇）教案课件是教师在课堂上必不可少的重要工具，而且教案课件中所包含的内容一定要十分完备和精细。
在设计教案时，需要着重注重学生人文素养的培养。
特别为大家整理了这份“完全平方公式课件”，供大家借鉴使用，同时也希望大家能够共享。
完全平方公式课件(篇1)课题教案：完全平方公式学科：数学年级：七年级1内容本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
1.1以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。
使学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
1.2用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。
2教学目标2.1知识目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。
2.2技能目标：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下坚实的基础。
2.3情感与态度目标：通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
3教学重点完全平方公式的准确应用。
4教学难点掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算。
5教育理念和教学方式5.1教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。
教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生的结论和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择。
学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。
知识卡片-完全平方公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
能量储备
●完全平方公式的推导：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
●完全平方公式的几何背景：
图中表示的等式为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，其中(a＋b)2表示边长为(a＋b)的大正方形的面积，而a2和b2分别表示边长为a，b的小正方形的面积，2ab表示两个完全一样的长方形面积的和．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：几何中通常从面积的角度来解释完全平方公式
例：如图163所示，一块边长为a m的正方形试验田，因需要将其边长增加b m，形成四块试验田，以种植不同的新品种．
则第1块试验田的面积为________m2；第2块试验田的面积
为________m2；
第3块试验田的面积为________m2；第4块试验田的面积为
________m2；
这四块试验田的总面积为________m2.
若将这四块试验田看成一个大正方形，则其边长为_____m，面积为________m2.
可得结论：______________________．
答案：ab，b2，a2，ab，(a2＋2ab＋b2)，(a＋b)，(a＋b)2，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
蓄势待发
考前攻略
速记口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方．
考查完全平方公式的几何应用，这是中考的常考点，难度适中，题型以填空题或选择题为主．
完胜关卡。
完全平方公式ppt课件
推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式 的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推 导过程，包括展开、整理、简化 等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式， 强调公式中的重要部分，如中间项系 数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平 方公式进行计算，帮助学生理解公式 的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方 公式，其中$a$和$b$是常数，表示一 个二次多项式和一个一次多项式相加 或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加 或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
完全平方公式
口答填空
师生共同分析题目特点,指名订正。
回答：题中的哪个式子对应公式中的a，b
练习本完成集体订正。
讨论方法
练习本上完成。
出题互测
归纳本节知识。
口诀加深公式理解，激发学生学习数学的兴趣。
注重套公式的过程，注意符号系数，指数等，巩固公式。
让学生掌握展开式有三项，应用时不能丢项。
此组训练意在避免公式应用中容易出现的错误，提高应变能力。
教具
自制长方形、正方形卡片。
教学过程：
主要环节
教师活动学生活动Biblioteka 预期目的一、引入课题
二、讲授新知
问题1：
前面我们学习了整式的乘法，你能说出其中的多项式乘法法则吗?
我们用多项式乘法知识学习了乘法公式中的平方差公式。今天我们再来探讨一个新的乘法公式。
某公园有一块边长为a米的正方形草坪，现为扩大绿化面积，把原边长增加b米，求增加后的草坪面积。
课题
完全平方公式
课型
新授
教学目标
1、引导学生进行完全平方公式的推导，了解公式的几何背景，应用公式进行简单计算，并探索出中间项的符号规律。
2、理解完全平方公式，运用它进行整式的乘法运算。
3、培养学生运算能力，提高观察、比较、分析与概括的思维能力，渗透由特殊到一般的数学思想，初步懂得数形结合的思想和方法。培养学生勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。
二、例题：
1、用公式计算：
1）、(5+3p)2,
2）、（4a2-b2)2
2、用简便方法计算：
1）、５０１2
2）、９９.９2
回答问题7：
学生E：
（a–b）2可以看作[a+(–b)]2也就是[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2.
完全平方公式的几何背景
完全平方公式的几何背景1．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）第20题第21题A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy2．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．11C．19D．213．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，m n之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，x y＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？4.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为自然数）展开式的项数及各项系数的有关规律．（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ......（1）根据这个规律，猜测（a +b ）5的结果是 ；（2）小明同学仔细观察下列各式中系数的规律，发现（a +b ）1＝a +b 各项系数之和1+1＝2＝21；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2各项系数之和1+2+1＝4＝22；（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23；请写出（a +b ）10各项系数之和： ；5．回答下列问题（1）填空：x 2+21x ＝（x +x 1）2﹣ ＝（x ﹣x 1）2+ （2）若a +a 1＝5，则a 2+21a ＝ ； （3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+21a 的值．6．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y 的正方形，丙种纸片是长为y ，宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a 2+b 2＝20，a +b ＝6，求ab 的值；②已知（2021﹣c ）（c ﹣2019）＝1，求：（2021﹣c ）2+（c ﹣2019）2的值。
整理知识点057完全平方公式几何背景(选择)
完全平方公式完全平方公式一、判断:下列等式是否成立,对的打“∨”,错的打“×”号1.(x-y)2=x2-y2( );2.a2-b2=(a-b)2+2ab-2b2( )3.a2+b2=(a-b)2+2ab( );4.a2-b2=(a+b)2-2ab( )5.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y2( );6.(a+1)(-a-1)=a2-1( )二、填空题:7. =x2+6xy+25y2;8.5022=(______+______)2=____________________=___________.9.若a2+2a=1则(a+1)2=________.10.(______+b2)=9a2+_______+_________.11.若(x-3)2=x2+kx+9,则k=_________.12.若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.13.x2+y2=(x-y)2+_______=(x+y)2-_______.14.(_____-2)2=_____-x+________.三、选择题:15.乘法公式中a、b可表示( )A.数B.多项式C.单项式D.以上都可以16.下列各式计算正确的是( )A.(a-b)2=a2-b2;B.(2x-y)2=4x2-2xy+y2C.(a2+2b)2=a4+4b2;D.(x+3)2x2+3x+917.下列各式中,计算结果是2mn-m2-n2的是( )A.(m-n)2B.-(m-n)2;C.-(m+n)2D.(m+n)218.若x2+ax=(x+)2+b,则a、b的值是( )A.a=1,b=B.a=1,b=-;C.a=0,b=-D.a=2,b=19.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2;C.8b2-8a2D.8a2-8b220.下列各式中,形如a2±2ab+b2的形式的多项式有( )①a2-a+,②x2+xy+y2,③m2+m+1,④x2-xy+y2,⑤m2+4n2+2mn,⑥a4b2-a2b+1.A.2个B.3个C.4个D.5个四、解答题21.化简:(9-a2)2-(3-a)(3+a)(9+a2);22.化简并求值:(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x3-2)2,其中x=.23.已知A=1234567×1234569,B=12345682,试比较A、B的大小.探究题1.给出下列算式:32-12=8=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4=32,…(1)观察上面一系列式子,你能发现什么规律?用含n的式子表示出来:_____________________( n为正整数)(2)根据你发现的规律:计算:20052-20032=________________,这时,n=______.2.观察下面各式规律:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2,22+(2×3)2+32=(2×3+1)2,32+ (3×4)2+42=(3×4+1)2,…(1)写出第2001行式子:_____________________________________;(2)写出第n行式子:____________________________________________,并说明你的结论为什么是正确的.答案:一、1.× 2.∨ 3.∨ 4.× 5.∨ 6.×二、7.5y 8.500;2;250000+2000+4;252004.9.2 10.3a;6ab;b2 11.- 6 12.4 13.2xy;2xy 14..三、15.D 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B四、21.解:原式=81-18a2+a4-(9-a2)(9+a2)=81-18a2+a4-(81-a4)=81-18a2+a4-81+a4=2a4-18a222.解:原式=x6+4x3+4-2(x2-4)(x2+4)-(x6-4x3+4)=x6+4x3+4-2(x4-16)-x6+4x3-4=8x3-2x4+32当x=-时,原式=23.解:设m=1234568,则1234567=m-1,1234569=m+1,则A=(m-1)(m+1)=m2-1,B=m2.显然m2-1<m2,所以A<B.探究题：1.(1)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(2)8016,10022.(1)20012+(2001×2002)2+20022=(2001×2002+1)2(2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2∵左边=n2+n2(n+1)2+(n+1)2=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1又∵右边=[n(n+1)+1]2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1因为左边=右边,所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2是正确的.整理丨尼克本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。
知识点057完全平方公式几何背景(解答)
1、（Ⅰ）请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2．（Ⅱ）如图②（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图②（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图②（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程．考点：完全平方公式的几何背景。
专题：常规题型。
分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图②（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解．解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2．推导如下：中间小正方形的边长为（b﹣a），∴大正方形的面积可表示为：c2=4×ab+（b﹣a）2，整理得，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，即c2=a2+b2．点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长．考点：完全平方公式的几何背景。
分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可．解答：解：（1）小正方形的边长为：（a﹣b），∴面积为（a﹣b）2，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=（a+b）2﹣4×ab=（a2﹣2ab+b2），∴小正方形面积为：（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）小正方形的面积为：162﹣4×63=256﹣252=4，∴小正方形的边长为2．故答案为：（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）2．点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm 的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。
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1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。
分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．解答：解：图中的正方形的边长为a+b，∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．故选C．点评：本题利用了完全平方公式求解．5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（）A、（a+b）2=a2+2ab+b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D、（a+b）2=（a﹣b）2+4ab考点：完全平方公式的几何背景。
分析：我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．解答：解：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．故选D．点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a+b）2=a2+2ab+b2C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D、（a+b）2=a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．解答：解：由图知，大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积为，（a+b）2，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，∴（a+b）2=a2+2ab+b2，故选B．点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式．7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、（a+b）2=a2+2ab+b2D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．解答：解：图（4）中，∵S正方形=a2﹣2b（a﹣b）﹣b2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A、8或﹣8B、8C、﹣8D、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．解答：解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，∴﹣mx=±2×4•x，解得m=±8．故选A．点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（）A、a2+b2B、a+bC、a﹣bD、a2﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长．解答：解：∵a2+2ab+b2=（a+b）2，∴边长为a+b．故选B．点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中．10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（）A、7B、9C、5D、11考点：完全平方公式的几何背景。
分析：设长方形的长是a，宽是b，根据题意，得a+b=3，ab=1．再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值．解答：解：设长方形的长是a，宽是b．根据题意，得a+b=3，ab=1．∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2=7．故选A．点评：此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想．11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A、a2+2ab+b2=（a+b）2B、4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2C、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．解答：解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选B．点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（）A、（a+b）2﹣（a﹣b）2=4abB、（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2abC、（a+b）2﹣2ab=a2+b2D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合．解答：解：前一个图阴影部分的面积：（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab后一个图形面积：=2ab故选B．点评：本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（）A、a2+ab+b2=（a+b）2B、a2+b2=（a+b）2+2abC、a2+2ab+b2=（a+b）2D、a2+2ab=（a+b）2+b2考点：完全平方公式的几何背景。
分析：求出大正方形的边长可得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案．解答：解：由题意得：大正方形的面积=（a+b）2；大正方形的面积=a2+2ab+b2，∴可得：a2+2ab+b2=（a+b）2．故选C．点评：本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键．14、现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（）A、a+bB、a+2bC、2a+bD、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。
分析：此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2，再把a2+3ab+2b2因式分解，即可求出该长方形的长．解答：解：根据题意得：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），所以可以拼成（a+2b）（a+b）的长方形，该长方形的长为a+2b．故选B．点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合．15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（）A、a+3bB、3a+bC、a+2bD、2a+b考点：完全平方公式的几何背景。
专题：计算题。
分析：1张边长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴大正方形的边长为：a+3b．解答：解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴新正方形边长为a+3b．故选A．点评：本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（）A、x+y=7B、x﹣y=2C、4xy+4=49D、x2+y2=25考点：完全平方公式的几何背景。