知识点057 完全平方公式几何背景(选择)

1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）

A、2张

B、4张

C、6张

D、8张

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，

∴它的边长为a，b，b．

∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：

（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，

∴还需面积为b2的正方形纸片4张．

故选B．

点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．

2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②

的形状，由图①和图②能验证的式子是（）

A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn

B、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn

C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2

D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2

考点：完全平方公式的几何背景。

专题：计算题。

分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．

解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．

故选B．

点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）

A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、a（a+b）=a2+ab

D、a（a﹣b）=a2﹣ab

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．

解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，

还可以表示为a2﹣2ab+b2，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

故选B．

点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．

4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）

A、a2

B、a2+b2

C、a2+2ab+b2

D、a2+ab+b2

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．解答：解：图中的正方形的边长为a+b，

∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．

故选C．

点评：本题利用了完全平方公式求解．

5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（）

A、（a+b）2=a2+2ab+b2

B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

D、（a+b）2=（a﹣b）2+4ab

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．

解答：解：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．

故选D．

点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉

的公式，这个公式是（）

A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

B、（a+b）2=a2+2ab+b2

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

D、（a+b）2=a2+ab+b2

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．

解答：解：由图知，大正方形的边长为a+b，

∴大正方形的面积为，（a+b）2，

根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，

两个长为b，宽为a的长方形，

∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，

∴（a+b）2=a2+2ab+b2，

故选B．

点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式．

7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）

A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、（a+b）2=a2+2ab+b2

D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2

考点：完全平方公式的几何背景。

分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．

解答：解：图（4）中，

∵S正方形=a2﹣2b（a﹣b）﹣b2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

故选B．

点评：关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．

8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）

A、8或﹣8

B、8

C、﹣8

D、无法确定

考点：完全平方公式的几何背景。