EM算法详解.一种参数估计的方法-84994109
EM算法详解.一种参数估计的方法
EM算法种参数估计的方法一种参数估计的方法提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献高斯混合模型⏹混合模型(Mixed Model)：其中，满足即混合模型由K 个成分组成，每个成分即合模个成分成每个成分的权重为⏹若混合模型中每个成分为高斯分布，则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)()GMM 的例子⏹例1：一个班级每个学生的身高为假设男生和女生的身高分别服从高斯分布则其中为男生的比例，⏹问题：给定独立同分布(independent and identically (p ydistributed----IID)的数据，求参数),,,,,(222111σμασμα⏹混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用GMM的例子例2：分布的随机数的直方图n = 10000;z = zeros(1,n);pw1 = 0.6;)1,3,4.0,2,2,6.0(),,,,,(222111-=σμασμαu1 = -2;std1 = 2;pw2=04;pw2 = 0.4;u2 = 3;std2 = 1;y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1;y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2;z(1,1:floor(n*pw1)) =y1;z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献极大似然估计与EM 算法的关系⏹计算极大似然估计(maximum likelihood MLE)需要求似然函数的极值estimate ,MLE)，需要求似然函数的极值o解析法:如求正态分布均值和方差的MLEo值计算：如高斯混合模型EM 算法()极大似然估计(MLE)⏹独立同分布(IID)的数据),,,(21n X X X Λ=X 其概率密度函数为)|(θx f n似然函数定义为log 似然函数定义为∏==X =X i iX f f L 1)|()|()|(θθθ)|(log )|(X =X θθL l ^⏹的极大似然估计为θθθθ)|(max arg X =L θθ)|(max arg X =l完整数据⏹观测数据：观测到的随机变量的IID 样X 本),,,(21n X X X Λ=X ⏹缺失数据：未观测到的随机变量的值Y ),,,(21n Y Y Y Λ=Y 在GMM 中，若来自第k 个成分，则i X k Y i =⏹完整数据：包含观测到的随机变量和未观测到的随机变量的数据，X Y ),(Y X =Z ))),(,),,((11n n Y X Y X K =Z完整似然函数若隐含变量的值已知，得),,,(21n Y Y Y Λ=Y 到完整数据的log 似然函数为：log θθL l Y X =Y X )|,(log),|(g ),|(θniiY X f ∏=)|,(log 1θiink Y X f ∑==))|(),|(log(1θθiiini Y f Y X f ∑==1i =iEM—Expectation ⏹观测数据X 已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中缺失数据)tθ在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y 未知，完整log 似然函数对Y 求期望。
EM算法对不完全数据下指数分布的参数估计
EM算法对不完全数据下指数分布的参数预估一、引言EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的参数预估方法，它常用于具有隐变量或不完全数据的统计问题。
指数分布是概率密度函数形式简易而广泛应用的一种分布，它具有指数递减的特点，在各种领域都有重要的应用，如生物学、经济学、物理学等。
本文将介绍EM算法在不完全数据下预估指数分布的参数的过程及其应用。
二、EM算法概述EM算法是一个迭代的优化算法，它通过两个步骤交替进行，分别是E步和M步。
在E步，通过已知的观测数据和参数的初始值，计算隐变量的后验分布期望值。
在M步，通过最大化E 步计算得到的隐变量的期望值来更新参数的预估值。
如此迭代进行，直到收敛得到最优的参数预估值。
三、不完全数据下的指数分布不完全数据指的是在观测数据中存在着缺失值或隐变量。
在指数分布中，缺失值可能是由于试验数据采集的限制，或是由于缺失变量难以观测到所导致的。
在不完全数据下，我们无法直接使用观测数据进行参数预估，需要利用EM算法进行预估。
四、EM算法在指数分布中的应用假设我们的观测数据是来自指数分布的随机变量，但其中有一部分数据是缺失的。
我们想通过观测到的数据来预估指数分布的参数λ。
其中，λ是指数分布的一个参数，它代表了指数分布的一个特征，即指数递减的速度。
起首，我们初始化λ的初始值，在E步中，我们通过已知的观测数据计算出隐变量的后验分布期望值。
依据指数分布的概率密度函数，我们可以得到隐变量对应的完全数据的似然函数。
对于缺失的数据，我们使用观测到的数据的似然函数的积分来近似计算。
这样，我们可以得到E步的值。
接下来，在M步中，我们通过最大化E步计算得到的隐变量的期望值来更新参数λ的预估值。
详尽地，我们求解似然函数对λ的偏导数，并令其等于0，从而得到λ的最优预估值。
然后，我们使用这个最优预估值作为新的λ值，继续进行下一轮的迭代。
我们不息地重复进行E步和M步，直到迭代收敛，表示已得到λ的最优预估值。
最大期望值EM算法
最大期望值EM算法最大期望值(Expectation-Maximization, EM)算法是一种统计学习方法，用于解决带有隐变量的概率模型参数估计问题。
EM算法的主要思想是通过迭代求解局部最优解，并且能够保证每次迭代过程中目标函数值不减。
EM算法广泛应用于数据挖掘、图像处理、自然语言处理等领域，在金融、医学和社会科学等领域也有许多实际应用。
本文将对EM算法的基本原理、迭代过程、理论基础和应用进行详细介绍。
一、基本原理EM算法是一种迭代算法，包含两个步骤：E步和M步。
其中，E步是求期望(expectation)的过程，用于更新隐变量对观测数据的条件概率分布；M步是求最大化(maximization)的过程，用于更新模型的参数。
通过不断交替进行E步和M步，直到收敛为止，即可得到最优的参数估计。
二、迭代过程1.初始化参数：随机给定模型参数的初始值。
2.E步：根据当前参数估计，计算隐变量对观测数据的条件概率分布。
3.M步：根据当前隐变量的条件概率分布，最大化观测数据的对数似然函数，更新模型的参数估计。
4.计算目标函数值：根据当前参数估计，计算目标函数的值。
5.判断是否满足停止条件：如果满足停止条件，则算法结束；否则，返回第2步。
三、理论基础EM算法基于两个基本定理：数据的似然函数下界和KL散度的非负性。
1.数据的似然函数下界：对于给定的观测数据，EM算法通过求解数据的似然函数的下界来进行参数估计。
这个下界是通过引入隐变量来扩展数据模型得到的，因此可以利用EM算法求解。
2.KL散度的非负性：KL散度是衡量两个概率分布之间的差异程度的指标。
在EM算法中，通过最大化观测数据的对数似然函数来更新模型的参数，相当于最小化KL散度。
四、应用领域EM算法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用实例：1.聚类分析：EM算法可以用于高斯混合模型的参数估计，从而实现聚类分析。
2.隐马尔可夫模型(HMM)：EM算法可以用于HMM模型参数的估计，应用于自然语言处理、语音识别等领域。
概率图模型网络参数学习—含隐变量的参数估计（EM算法）
概率图模型⽹络参数学习—含隐变量的参数估计（EM算法）概率图模型学习问题图模型的学习可以分为两部分：⼀是⽹络结构学习，即寻找最优的⽹络结构。
⽹络结构学习⼀般⽐较困难，⼀般是由领域专家来构建。
⼆是⽹络参数估计，即已知⽹络结构，估计每个条件概率分布的参数。
不含隐变量的参数估计如果图模型中不包含隐变量，即所有变量都是可观测的，那么⽹络参数⼀般可以直接通过最⼤似然来进⾏估计。
含隐变量的参数估计如果图模型中包含隐变量，即有部分变量是不可观测的，就需要⽤ EM算法进⾏参数估计。
带隐变量的贝叶斯⽹络。
图中的矩形表⽰其中的变量重复 N 次。
EM 算法EM 算法是含隐变量图模型的常⽤参数估计⽅法，通过迭代的⽅法来最⼤化边际似然。
EM算法具体分为两个步骤： E步和 M步。
这两步不断重复，直到收敛到某个局部最优解。
EM算法的应⽤例⼦：⾼斯混合模型。
⾼斯混合模型（Gaussian Mixture Model， GMM）是由多个⾼斯分布组成的模型，其密度函数为多个⾼斯密度函数的加权组合。
在⼀个包含隐变量的图模型中，令 X定义可观测变量集合，令 Z定义隐变量集合，⼀个样本 x的边际似然函数（marginal likelihood）为边际似然也称为证据（evidence）。
给定 N 个训练样本D = {x(i)}, 1 ≤ i ≤ N，其训练集的对数边际似然为通过最⼤化整个训练集的对数边际似然L(D|θ)，可以估计出最优的参数θ∗。
然⽽计算边际似然函数时涉及 p(x)的推断问题，需要在对数函数的内部进⾏求和（或积分）。
这样，当计算参数θ的梯度时，这个求和操作依然存在。
除⾮p(x, z|θ)的形式⾮常简单，否则这个求和难以直接计算。
因此，含有隐变量时，直接进⾏最⼤似然估计⾏不通（如何计算log p(x|θ)成为关键）。
为了计算log p(x|θ)，我们引⼊⼀个额外的变分函数 q(z)， q(z)为定义在隐变量 Z上的分布。
样本 x的对数边际似然函数改写为Jensen不等式：即对于凸函数 g，有g (E[X]) ≤ E [g(X)]。
统计学习中的EM算法
统计学习中的EM算法EM算法是一种常用的统计学习方法，它可以用于估计未知参数，特别是那些需要通过观察到的数据加以估计的复杂模型。
本文将介绍EM算法的基本原理、应用场景以及优缺点。
一、基本原理EM算法（Expectation Maximization）相当于是用一种迭代的方式，在“期望”（Expectation）和“最大化”（Maximization）之间进行交替，来求解模型参数的一种方法。
EM算法的基本思想是：在训练数据样本中，往往存在隐含变量，而且无法直接观测到。
我们需要发掘这些隐含变量的概率分布，从而求解最优的模型参数。
具体来说，EM算法的步骤如下：首先，选择一个初始化的参数值；然后，使用这些参数值来计算隐含变量的概率分布；接下来，根据这些概率分布来重新估计参数的值；不断重复以上三个步骤，直到收敛，得到最优的模型参数值。
EM算法通过迭代来求解未知的参数值，对于一些需要最大化其似然函数的模型，EM算法可以找到使得似然函数最大的参数值。
最常见的应用场景是在高斯混合模型（GMM）以及隐马尔可夫模型（HMM）中。
二、应用场景1、高斯混合模型高斯混合模型是一种将多个高斯分布加权叠加的模型，它常被用于描述复杂数据的分布情况。
举个例子，在股票市场上，可以将不同的股票价格看成不同的高斯分布，然后用高斯混合模型来描述整个市场的波动情况。
在这种情况下，EM算法可以用来估计每个高斯分布的权重、均值和方差。
2、隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种包含隐含状态的动态变化模型。
它常被用于语音识别、自然语言处理、图像处理等领域。
在隐马尔可夫模型中，我们需要估计各个状态转移概率以及各个隐含状态下的观测值概率分布。
EM算法可以用来求解这些参数值。
三、优缺点1、优点EM算法可以用来处理包含隐含变量的模型，在实际应用中非常普遍。
EM算法可以求解似然函数的最大值或者后验概率的最大值。
这样，在目标函数为凸函数的情况下，EM算法可以获得全局最优解。
em算法
最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），或Dempster-Laird-Rubin算法，是一类通过迭代进行极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的优化算法，通常作为牛顿迭代法（Newton-Raphson method）的替代用于对包含隐变量（latent variable）或缺失数据（incomplete-data）的概率模型进行参数估计。
EM算法的标准计算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替组成，算法的收敛性可以确保迭代至少逼近局部极大值。
EM算法是MM算法（Minorize-Maximization algorithm）的特例之一，有多个改进版本，包括使用了贝叶斯推断的EM算法、EM梯度算法、广义EM算法等。
由于迭代规则容易实现并可以灵活考虑隐变量，EM算法被广泛应用于处理数据的缺测值，以及很多机器学习（machine learning）算法，包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）和隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的参数估计。
EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），所以算法被称为EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）。
EM算法受到缺失思想影响，最初是为了解决数据缺失情况下的参数估计问题，其算法基础和收敛有效性等问题在Dempster、Laird和Rubin三人于1977年所做的文章《Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm》中给出了详细的阐述。
其基本思想是：首先根据己经给出的观测数据，估计出模型参数的值；然后再依据上一步估计出的参数值估计缺失数据的值，再根据估计出的缺失数据加上之前己经观测到的数据重新再对参数值进行估计，然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。
EM算法
i i z i z i
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
Q i 表示隐含变量Z的某种分布，Qi 满足的条件是
z P x i , z i ; C
EM算法
i i z(i )
EM算法
(i ) (i ) (i ) ln p ( x ; ) ln p ( x , z ; ) i i 种分布，Qi 满足的条件是
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln Qi ( z ) (i ) ( i ) Q ( z ) i z i
根据数学期望的相关定 理：E[ f ( X )] f ( xi ) p( xi )
p ( x , z ; ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) (i ) Q ( z ) 是 ( z )的数学期望 i (i ) Qi Qi ( z ) z(i ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; )
(i ) (i ) (i )
i
ln(E[
i
Qi ( z )
(i )
])
(3)
EM算法
根据Jensen不等式：
f ( x) ln x是凹函数 f ( EX ) E f ( x)
lnE[ X ] Eln X
p( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln(E[ ]) (i ) Qi ( z ) i (3)
至与此 t 对应的L t 的值相等。
只有当此时的下界等于 当前的对数似然函数时， 我才能保证当我优化这 个下界的时候，才真正 优化了目标函数。
EM解析
EM 算法解析EM 算法为一种无监督的参数估计的方法，此方法能够从未知样本的类别号的情况下估计出模型的参数类别。
一般我们估计样本集的模型参数需要首先知道样本集中样本的标签类别，即知道哪个样本属于哪种模型，首先从有监督的参数估计入手，其中由于最大似然估计简单有效，因此我们从最大似然函数入手，还有一个原因就是EM 算法最后也会用到最大似然估计。
先假设有样本集X ，其中X 中的样本只由一种随机变量的统计模型产生，设样本集X 种的样本都独立，且其设概率密度函数为p(x)，则最大似然估计就是求下面的最大值1()()Nj j L p x θ==∏对上式转换到对数函数中，则有1ln(())ln(())Nj j L p x θ==∑求解最大就是令导数为0，即1ln(())ln(())0N jj p x L θθθ=∂∂==∂∂∑即这里知道j x 都是为一种符合同分布的随机变量。
对于X 集中每一个样本来至两种分布的随机变量问题，如果每一个样本x 都知道了标签类型，那么可以将相同类别的样本从X 集中选择出来，然后各个类进行单独参数估计。
但实际情况是：很多时候我们不知道样本的类别号，这样的话该怎么办呢？当然，我们可以随机选择数据了，即将X 集合随机分成两部分12X X X =⋃，其中用X1来估算模型1的参数，用X2来估计模型2的参数。
这样做是不是不可思议，是的，这造成估计出来的参数十分的不可靠。
那么下面来看一下EM 算法是怎么做的：假设样本集X 和模型数量J ，问题为样本集中的样本是由J 个随机变量分布模型产生的，但是哪个样本由哪种分布模型产生是未知的。
即每一个样本由如下混合的模型产生 1()(|;)()Jk k k p x p x w P w θ==∑ 其中(|;)k p x w θ为x 在模型类别k w 下的概率密度函数，()k P w 为类别k w 的先验概率。
在这个问题中我们只能假设(|;)k p x w θ模型类型（即高斯模型或均匀分布模型等），这个可以已知，但是我们要解决的还有参数θ及()k P w 。
混合正态分布参数极大似然估计的em算法
混合正态分布参数极大似然估计的em算法混合正态分布的参数极大似然估计可以使用EM算法进行求解。
EM算法是一种迭代算法，用于在参数不确定的概率模型中进行最大似然估计。
在混合正态分布中，假设有k个分组，每个分组都是一个正态分布。
则混合正态分布的密度函数可以表示为：$f(x) = \sum_{i=1}^k w_i \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\exp(-\frac{(x-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})$其中$w_i$表示第$i$个分组的权重，$\mu_i$表示第$i$个分组的均值，$\sigma_i$表示第$i$个分组的标准差。
EM算法的步骤如下：（1）初始化参数$w_i$，$\mu_i$和$\sigma_i$；（2）E步：计算样本属于每个分组的后验概率，即$\gamma_{ij} = \frac{w_i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\exp(-\frac{(x_j-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})}{\sum_{l=1}^k w_l \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_l^2}}\exp(-\frac{(x_j-\mu_l)^2}{2\sigma_l^2})}$，其中$x_j$表示第$j$个样本；（3）M步：根据$\gamma_{ij}$重新估计参数$w_i$，$\mu_i$和$\sigma_i$，即：$w_i = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}$$\mu_i = \frac{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}x_j}{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}}$$\sigma_i^2 = \frac{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x_j-\mu_i)^2}{\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}}$（4）计算似然函数的值$L(\theta)$，如果收敛则停止，否则返回步骤（2）继续迭代。
em算法
em算法是指期望最大化算法（期望最大化算法，也翻译为期望最大化算法），是一种迭代算法，用于包含潜在变量概率估计的概率参数模型的最大似然估计或最大后验。
在统计计算中，最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)。
最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类(Data Clustering)领域。
最大期望算法经过两个步骤交替进行计算:第一步是计算期望(E)，利用概率模型参数的现有估计值，计算隐藏变量的期望;第二步是最大化(M)，利用E 步上求得的隐藏变量的期望，对参数模型进行最大似然估计。
M 步上找到的参数估计值被用于下一个E 步计算中，这个过程不断交替进行。
总体来说，EM的算法流程如下:1.初始化分布参数2.重复直到收敛:E步骤:估计未知参数的期望值，给出当前的参数估计。
M步骤:重新估计分布参数，以使得数据的似然性最大，给出未知变量的期望估计。
迭代使用EM步骤，直至收敛。
可以有一些比较形象的比喻说法把这个算法讲清楚。
比如说食堂的大师傅炒了一份菜，要等分成两份给两个人吃，显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量，最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是否一样多，把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中，这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止。
EM算法就是这样，假设我们估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。
可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。
EM 算法是Dempster，Laind，Rubin 于1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。
EM算法原理总结
EM算法原理总结EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代优化算法，用于估计含有隐变量的概率模型参数。
它能够在缺失数据情况下对概率模型进行参数估计，并可以通过迭代的方式逐步逼近模型的最大似然估计。
EM算法的原理可以总结为以下几个步骤：1.初始化模型参数：首先需要对模型的参数进行初始化。
通常可以采用随机初始化或者根据经验设定的初始值。
2. E步：在E步中，算法会根据当前的参数估计值来计算隐变量在每个数据样本上的期望值（expectation）。
这个计算过程通常使用条件概率的形式，即根据当前参数计算隐变量的后验概率。
3.M步：在M步中，算法会根据E步中计算得到的隐变量的期望值，来最大化似然函数。
这个最大化的过程通常使用最大似然估计的方法，通过对似然函数求偏导数，并使其等于零来求解参数。
4.更新参数：在M步中得到的参数估计值将作为下一轮迭代的初始值。
如此循环迭代，直到模型参数收敛，或者达到预设的迭代次数。
EM算法的优势在于它对于含有隐变量的概率模型的参数估计更加稳定。
由于EM算法使用期望值来替代隐变量，对于缺失数据的情况下也能进行有效的估计。
此外，EM算法的计算过程也相对简单而清晰，容易实现。
然而，EM算法也存在一些不足之处。
首先，EM算法只能够得到概率模型的局部最大似然估计，不能保证找到全局最大似然估计。
其次，EM算法对初始参数的选择非常敏感，有时候可能会陷入局部最优解。
另外，EM算法的收敛速度可能较慢，需要进行多次迭代才能达到理想的结果。
为了解决这些问题，可以采用一些改进的EM算法，如加速的EM算法（accelerated EM algorithm）、剪枝的EM算法（pruning-based EM algorithm）等。
这些改进的算法在EM算法的基础上对其进行了一些改进和优化，提高了算法的收敛速度和估计精度。
总结来说，EM算法是一种用于估计含有隐变量的概率模型参数的优化算法。
EM算法及其应用
EM算法及其应用EM算法作为一种常用的统计方法，被广泛应用于各种领域，如计算机视觉、自然语言处理、生物信息学等。
在本文中，我们将详细探讨EM算法及其应用。
一、EM算法概述EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于概率模型参数估计的迭代算法，由Arthur Dempster等人于1977年提出。
它可以用于处理带有隐变量的模型参数估计，也可以被看做一种极大化带有隐变量的数据似然函数的方法。
EM算法的核心思想是将似然函数分解为两部分，一部分是观测数据，另一部分是隐变量。
在每次迭代中，EM算法首先根据当前参数的值计算出对隐变量的期望，即E步。
然后，它通过极大化在E步中计算出的隐变量的期望下的似然函数来更新参数，即M步。
这个过程不断迭代，直到收敛为止。
二、EM算法应用案例1. 高斯混合模型高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种用来描述多个高斯分布的模型。
在计算机视觉中，GMM被广泛应用于图像分割和姿态估计等领域。
由于图像中的像素值往往服从高斯分布，因此使用GMM进行图像分割时，可以将像素分为多个高斯分布。
使用EM算法进行GMM参数估计的步骤如下：1) 初始化高斯分布的个数和参数；2) E步：计算每个样本属于每个高斯分布的概率，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新高斯分布的均值和方差。
4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
2. K均值聚类K均值聚类是一种无监督学习的算法，它将n个样本划分为k 个簇，使得每个样本都属于距离它最近的簇。
这种算法被广泛应用于图像分割和文本聚类等领域。
使用EM算法进行K均值聚类的步骤如下：1) 随机初始化k个簇的中心点；2) E步：将每个样本分配到距离它最近的簇中，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新每个簇的中心点；4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
EM(最大期望算法)极大似然估计PPT课件
• 思想：已知某个参数能使这个样本出现的概率最 大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本， 所以干脆就把这个参数作为估计的真实值
极大似然估计
设总体X是离散型随机变量，其分布中含有未知 参数θ，设x （x1，x2.....xn）是取自总体X的一 个样本，（x1，x2.....xn）是其观察值。则取到 这组样本观察值的概率是：
的概率分别为
令z1和y1-z1分别表示落入这两部分的次数；再假设第
三种结果分成两部分，其发生的概率分别为
令z2和y3-z2分别表示落
入这两部分的次数。显然z1,z2是我们认为引入的，它是不可观测的，数据
（y , z）为完全数据，而观测到的数据称之为不完全数据，此时完全数据
的似然函数为：
EM算法
Expectation-maximization algorithm
定义似然函数为：
这里x1，x2.....xn是观测值，且独立同分布，L(θ) 看做参数θ的函数，它可作为θ已多大可能性产 生样本值X1，X2，....Xn的一种度量
极大似然估计
最大似然估计法就是使用L（θ）达到最大值的 去 估计θ
称 为θ的最大似然估计值。而相应的统计量θ（X1， X2，....Xn）称为θ的最大似然估计量。 同理，设总体X是连续型随机变量，密度函数为f(x;θ), 其中θ为未知参数，则定义似然函数为：
极大似然估计
上式，其中x1，x2.....xn是样本观察值，
称 为θ的最大似然估计值。而相 应的统计量θ（X1，X2，....Xn）称 为θ的最大似然估计量。
em算法原理
em算法原理EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，用于求解含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。
EM算法的基本思想是通过迭代的方式寻找概率模型的最大似然解。
在实际应用中，有时候概率模型中的一些变量是无法直接观测到的，这些变量称为隐变量。
如何利用观测变量来估计隐变量和模型参数就是EM算法所要解决的问题。
假设我们有一个包含观测变量X和隐变量Z的概率模型，其中X表示观测数据，Z表示对应的隐变量。
我们的目标是通过已知的观测数据X来估计模型的参数θ。
由于无法直接观测到隐变量Z，所以不能直接用最大似然估计的方法来估计参数θ。
EM算法的基本思想是通过引入一个辅助函数Q函数来进行估计。
具体地，EM算法将参数估计问题分为两步进行迭代。
首先，E步（Expectation）：在E步，根据当前的参数估计值θ(t)计算Q函数的期望值。
这里的Q函数是关于隐变量Z和模型参数θ的函数。
在计算Q函数的期望值时，需要使用当前的参数估计值θ(t)来代替真实的参数θ。
通过计算Q函数的期望值，可以得到对应的隐变量的概率分布。
然后，M步（Maximization）：在M步，根据E步得到的隐变量的概率分布，计算使得Q函数取得最大值时的模型参数估计值θ(t+1)。
这一步相当于求解一个参数最优化问题，可以使用极大似然估计或其他优化方法来进行求解。
通过不断地迭代E步和M步，直到收敛，就可以得到概率模型的最大似然解，即参数的估计值。
EM算法的优点在于可以处理含有隐变量的复杂概率模型，且收敛到全局最优解的可能性较大。
然而，EM算法也存在一些问题，比如可能陷入局部最优解，对初始值敏感等。
总之，EM算法是一种迭代求解含有隐变量的概率模型参数估计问题的方法，通过迭代的方式不断提高参数估计值的精度，从而得到对应的模型参数的估计值。
对EM算法的原理应用的总结
对EM算法的原理应用的总结1. 引言EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一种常用的统计模型参数估计方法，广泛应用于机器学习、数据挖掘和模式识别等领域。
它通过迭代的方式，在存在隐变量的概率模型中估计参数。
本文将对EM算法的原理及其在实际应用中的一些常见场景进行总结和探讨。
2. EM算法的原理EM算法是一种迭代的优化算法，它基于以下两个关键步骤：E步骤（Expectation step）和M步骤（Maximization step）。
2.1 E步骤在E步骤中，根据当前的参数估计值，计算隐变量的后验概率期望值。
这个步骤利用了当前的参数估计值，通过贝叶斯公式计算后验概率，并将其作为隐变量的“伪”观测值。
2.2 M步骤在M步骤中，利用E步骤得到的“伪”观测值，通过极大似然估计或最大后验概率估计，更新模型的参数估计值。
这个步骤通过最大化观测数据的对数似然函数或后验概率，找到新的参数估计值。
2.3 迭代过程EM算法通过反复执行E步和M步，不断更新参数估计值，直到参数收敛或达到预定的停止条件。
3. EM算法在实际应用中的场景EM算法在很多实际应用中都能发挥重要作用，下面将介绍几个常见的场景。
3.1 高斯混合模型高斯混合模型是一种常用的概率密度模型，它由多个高斯分布组成。
EM算法可以用于估计高斯混合模型的参数，包括每个高斯分布的均值、方差和权重。
EM算法通过迭代的方式，不断更新这些参数，最终得到最优的参数估计。
3.2 隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是一种常用的动态统计模型，用于建模具有隐藏状态的序列数据。
EM算法可以用于估计HMM的参数，包括状态转移概率矩阵、观测概率矩阵和初始状态概率向量。
通过迭代的方式，EM算法可以对HMM进行参数优化。
3.3 缺失数据问题在很多实际应用中，观测数据中可能存在缺失值。
EM算法可以用于处理缺失数据问题。
EM算法的原理与应用
EM算法的原理与应用EM算法是一种常用的统计学估计方法，其原理与应用十分广泛。
本文将介绍EM算法的原理及其在实际问题中的应用。
一、EM算法的原理EM算法（Expectation Maximization algorithm）是一种用于解决含有隐变量（或混合变量）的概率模型参数估计问题的迭代优化算法。
其基本思想是通过迭代寻找模型参数的极大似然估计。
1.1 E步（Expectation Step）在E步中，首先对给定的模型参数估计值，计算每个样本属于每个隐变量的后验概率。
这相当于计算样本的“期望”。
具体而言，对于每个样本，计算其属于每个隐变量的后验概率。
1.2 M步（Maximization Step）在M步中，利用E步中计算得到的后验概率，重新估计模型参数，使得似然函数达到极大值。
具体而言，对于每个隐变量，根据样本的“期望”重新估计其模型参数。
1.3 迭代更新将E步和M步反复迭代执行，直到模型参数收敛或达到预设的迭代次数。
通过这种迭代更新的方式，逐步优化模型参数的估计值。
二、EM算法的应用EM算法被广泛应用于各个领域，例如机器学习、计算机视觉、自然语言处理等。
以下将介绍EM算法在几个具体问题中的应用。
2.1 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）高斯混合模型是一种常用的概率模型，广泛应用于模式识别和聚类等任务。
其中，每个样本可以由多个高斯分布组成，但是样本的真实类别信息是未知的。
利用EM算法可以对高斯混合模型的参数进行估计，从而实现对样本的聚类。
在E步中，计算每个样本属于每个高斯分布的后验概率；在M步中，根据后验概率重新估计高斯混合模型的参数。
通过迭代更新，最终可以得到高斯混合模型的估计参数，从而完成聚类任务。
2.2 隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）隐马尔可夫模型是一种广泛应用于序列数据建模的统计模型，被应用于语音识别、自然语言处理等领域。
EM算法(期望最大化算法)理论概述
EM算法（期望最大化算法）理论概述EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于参数估计的迭代算法，经常在概率统计和机器学习领域中被使用。
EM算法的基本思想是通过迭代地执行两个步骤：E步骤（Expectation Step）和M步骤（Maximization Step），以达到最大似然估计或最大后验概率估计。
EM算法的核心思想是通过隐变量的引入，将含有隐变量的模型转化为一个不含隐变量的模型，并通过迭代的方法估计模型的参数。
在介绍EM算法之前，首先需要了解一些概念。
对于一个统计模型，通常会包含两种变量，观测变量（O）和隐变量（Z）。
观测变量是可见的，而隐变量是不可见的，它们的具体取值需要通过推断来确定。
假设我们有一组观测数据X={x1,x2,...,xn}，以及对应的隐变量Z={z1,z2,...,zn}。
我们的目标是通过观测数据X的分布来估计模型的参数。
然而在实际的场景下，往往只能观测到观测变量X，隐变量Z是未知的。
此时，我们可以引入一个完全数据集Y={X,Z}，其中Z为隐变量。
EM算法就是通过观测数据和完全数据的两个步骤迭代地估计模型参数。
EM算法的E步骤即Expectation步骤，用于计算在给定当前模型参数下，隐变量的后验概率分布。
在E步骤中，我们需要计算完全数据集的似然函数，即p(Y，θ)，其中θ表示模型的参数。
由于我们无法直接计算p(Z，X,θ)，因此通过贝叶斯公式可以得到p(Z，X,θ) = p(Z,X，θ) / p(X，θ) = p(Z,X，θ) / Σp(Z,X，θ)。
在实际操作中，我们可以先猜测模型的参数值，然后根据猜测的参数值计算p(Z，X,θ)，再根据这个后验概率分布，对完全数据集进行加权统计，得到完全数据集的似然函数。
EM算法的M步骤即Maximization步骤，用于最大化完全数据集的似然函数，即在给定隐变量的后验概率分布的情况下，找到最大化完全数据集似然函数的参数值。
使用EM算法进行参数估计方法介绍
使用EM算法进行参数估计方法介绍EM算法是一种常用的参数估计方法，它在统计学和机器学习领域中被广泛应用。
本文将介绍EM算法的基本原理、应用场景以及算法步骤。
一、EM算法的基本原理EM算法是一种迭代的最大似然估计方法，用于在观测数据不完全或存在隐变量的情况下，估计模型的参数。
它的基本思想是通过迭代的方式，通过两个步骤不断优化参数的估计值，直至收敛。
EM算法的全称是Expectation-Maximization，其中Expectation（E）步骤是根据当前的参数估计值，计算隐变量的期望值；Maximization（M）步骤是根据隐变量的期望值，重新估计参数。
通过交替进行E步骤和M步骤，可以逐步提高参数的估计精度。
二、EM算法的应用场景EM算法在许多领域中都有广泛的应用，特别是在混合模型、聚类分析和隐马尔可夫模型等领域。
在混合模型中，EM算法可以用于估计每个分量的权重、均值和协方差矩阵。
通过迭代优化这些参数，可以得到对数据分布的更准确的估计。
在聚类分析中，EM算法可以用于估计高斯混合模型，从而实现对数据的聚类。
通过迭代计算每个样本属于每个聚类的概率，可以得到对数据的更准确的聚类结果。
在隐马尔可夫模型中，EM算法可以用于估计模型的初始状态概率、转移概率和观测概率。
通过迭代计算隐变量的期望值和重新估计参数，可以得到对隐马尔可夫模型的更准确的估计。
三、EM算法的步骤EM算法的步骤可以总结为以下几个关键步骤：1. 初始化参数：根据实际情况，初始化模型的参数估计值。
2. E步骤：根据当前的参数估计值，计算隐变量的期望值。
这个步骤通常使用期望值来代替隐变量的实际观测值。
3. M步骤：根据隐变量的期望值，重新估计参数。
这个步骤通常是通过最大化似然函数来得到参数的最优估计。
4. 判断收敛：判断参数的估计值是否收敛，如果没有达到预设的收敛条件，则返回第2步继续迭代。
5. 输出结果：当参数的估计值收敛后，输出最终的参数估计结果。
EM算法简介
(4) (5) (6) (7)
EM算法
定义函数 H (φ ' | φ ) = E (log(k ( x | y, φ ' )) | y, φ ) 则有(4),(5),(7)式可得 Q(φ ' | φ ) = L(φ ' ) + H (φ ' | φ )
(8) (9)
10
EM算法
目的： 计算后验分布 g ( y | φ ) 的众数.
17
GEM算法性质
推论2.对于一些 ∈ , 那么对于GEM算法有
φ
φ ∈ , L(φ ) ≥ L(φ ) ，其中 φ ≠ φ ，
M (φ ) = φ .
定理2.假设 φ , p = 0,1,2,... 是GEM算法的一个迭代序列，并且满足 ( p) a) 在 闭包中φ 收敛到 φ ， b) D10Q (φ ( p +1) | φ ( p ) ) = 0 ， c) D 20Q (φ ( p +1) | φ ( p ) ) 负定的，并且特征值都远离0. 那么
11
EM例子
有公式(1)(3)以及贝叶斯公式可得 p ( Z | Y , , Σ, π ) ∝
[π k N ( yn | k , Σ k )]znk ∏∏
n =1 k =1 N K
其中N表示观察样本数. 公式中 z nk 是未知的，需要求出它的期望
12
Z nk 的期望估计
E ( z nk | yn ) = ∑ z nk p( z nk | yn )
根据(12)式 (13) Jamshidian和Jenrish（1993）指出Aitken方法等价于运用Newton-Raph son方法来找 δ (θ ) = M (θ ) θ 的根.
em算法参数估计
em算法参数估计EM算法参数估计EM算法，全称Expectation-Maximization算法，是一种常用的参数估计方法，广泛应用于数据分析和机器学习领域。
它适用于存在隐变量和缺失数据的统计模型，通过迭代的方式逐步优化参数的估计结果。
本文将介绍EM算法的基本原理、步骤和应用，并分析其优缺点。
一、EM算法原理EM算法是一种迭代优化算法，通过交替进行E步（Expectation）和M步（Maximization）来估计参数。
其核心思想是，在每次迭代中，通过已知的观测数据和当前参数估计，计算隐变量的期望（E 步），然后利用这个期望更新参数估计（M步）。
这样不断迭代，直到参数估计收敛为止。
二、EM算法步骤1. 初始化参数：首先，需要对模型的参数进行初始化，可以使用随机值或根据经验设定初始值。
2. E步：在E步中，根据当前的参数估计，计算隐变量的期望。
这一步通常利用概率论中的条件概率公式进行计算。
3. M步：在M步中，利用E步计算得到的隐变量的期望，更新参数的估计值。
这一步通常使用最大似然估计法或梯度下降法来进行参数的优化。
4. 迭代更新：重复进行E步和M步，直到参数估计收敛或达到预定的迭代次数。
三、EM算法应用EM算法在实际应用中具有广泛的应用价值，以下列举几个常见的应用场景：1. 高斯混合模型：EM算法可以用于对高斯混合模型中的参数进行估计，从而实现对数据的聚类分析。
2. 隐马尔可夫模型：EM算法可以用于对隐马尔可夫模型中的参数进行估计，从而实现对序列数据的建模和预测。
3. 缺失数据处理：当数据中存在缺失值时，EM算法可以通过对缺失数据的估计，来完成对完整数据的分析。
4. 图像处理：EM算法可以用于图像分割、图像去噪等任务，通过对图像的概率模型进行参数估计，从而实现对图像的处理和分析。
四、EM算法优缺点EM算法具有以下优点：1. 简单易用：EM算法的原理简单、易于理解和实现，适用于多种模型和数据类型。