有限元与comsol步骤

每个单元的横截面面积，由定义单元节点处横截面的 平均面积表示。
1
A1 l1
2
A2 l2
3
A3 l3
4
A4 l4
5
P
P
FEM 实例
为了研究典型的单元行为，考虑一个带有统一横截面A的 单元，单元长度为l，承受的外力为F，产生的形变是Δl。
ll
Δl
l F
F
FEM 实例
近似单元的平均应力：
= F
A
近似单元的平均应变：
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4 k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 k4u4 k4u5
R1 0 0 0 P
FEM 实例
k1 k1 0
0 0 u1 R1
k1
Leabharlann Baidu0

0
k1 k2 k2 0
k2 k2 k3 k3
k1(u2 u1 ) k1(u2 u1 ) k2 (u3 u2 ) k2 (u3 u2 ) k3 (u4 u3 ) k3 (u4 u3 )
k4 (u5 u4 ) k4 (u5 u4 )
FEM 实例
k1u1 k1u2 k1u1 k1u2 k2u2 k2u3
求解阶段：
6.求解线性或非线性微分方程组得到节点值，例如不同节点上 的位移或热传导问题中的温度。
后处理阶段：
7.得到其他更重要的信息，如每个单元上的应力和每个单元中
FEM 实例
求沿杆长度方向上不同点变 形的大小，在以下的分析中，
y
假设应用的载荷比杆的重量 要大得多，因此忽略杆的重 量。
w1
w2
P
FEM 实例



0 0 0

0 0
0 k4 k4 u5 p
[刚度矩阵][位移矩阵]=[载 荷矩阵]
FEM 实例
假定题目中E=10.4x106 lb/in2，w1=2 in, w2=1 in, t=0.125 in, L=10 in, P=1000 lb。 由上述方法计算结果如下：
COMSOL Multiphsics 初级教程
——有限元方法简介与COMSOL操作 入门
FEM 介绍
有限元方法是广泛用于解决应力分析，热传导，电磁学和流 体力学等工程问题的数值方法。
FEM 介绍
前处理阶段：
1.建立求解域，并将之离散化成有限个单元，即将问题分解成 节点和单元。 2.假定描述单元物理属性的形函数，即利用一个近似的连续函 数描述每个单元的解。 3.建立单元的刚度方程。 4.组装单元，构造总刚度矩阵。 5.应用边界条件和初始条件，并施加载荷。
http://yunpan.cn/QzR8MrmnHTAcF 初级教程PPT与COMSOL模型
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单元
21
单元
32
单元
43
单元
54
P
FEM 实例
节点的力平衡方程：
R1 k1(u2 u1) 0 k1(u2 u1) k 2(u3 u2 ) 0 k2 (u3 u2 ) k 3(u4 u3) 0 k3(u4 u3) k 4(u5 u4 ) 0 k4 (u5 u4 ) P 0
由于杆的上端是固定的，节点1的位移量是零，因此方程的第
一行应为u1＝0。所以应用边界条件将得到如下的矩阵方程：
1 0 0 0 0 u1 0
k1
0

0
k1 k2 k2 0
k2 k2 k3 k3
0 k3 k3 k4
0 0 k4

uu23 u4
方程 F＝kx 相比，其等
价刚度为
keq
x
F
FEM 实例
杆可以视为由四个弹簧串接起 来的模型：
u1
f
keq (ui+1 - ui )
Aavg l
E
(ui+1
-
ui
)

(Ai
1
Ai 2l
)E
(ui+1
-
ui
)
u2
u3
其中等价单元的刚度为：
u4
keq

(Ai1 Ai )E 2l
u5
1
0 k3 k3 k4
0

0
k4

uu23



u4


0 0 0

0 0
0 k4 k4 u5 p
R Ku F
[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩 阵]-[负荷矩阵]
FEM 实例
0 0.001026 u 0.002210 in 0.003608 0.005317
COMSOL操作步骤
阅读文献，思 考
公式推导，数学 抽象
构建几何模 型
完成参数设 定
N
结果正 确？
Y 得出正确结果
后处理
设置边界条 件
计算
网格化
COMSOL操作步骤
微分方程
边界条件
FEM
初始条件
自由变量的解
后处理
COMSOL操作步骤
计算 后处 理
构建集合 模型
网格 化
完成预设参数与 变量
完成参数设 定
设置边界 条件
参考书籍
COMSOL Multiphysics 4.2a 软件 安装包: http://yunpan.cn/QzSyqcmttIEIy COMSOL Multiphysics 4.4a 软件 安装包:
l
l
F ( AE)l l
根据胡克定律：
其中，A为受力单元的 横截面积，E为材料的 杨氏模量，l，Δl分布 为受力单元的长度和 形变。
E
FEM 实例
注意到合并方程与线性弹
簧的方程 F＝kx 相似，因
此一个中心点受力而且横 截面相等的实体可以视作 一个弹簧。 每个单元的弹性行为可以 由相应的线性弹簧模型描 述，合并方程与线性弹簧