高考达标检测(五十六) 证明4方法——综合法、分析法、反证法、数学归纳法

高考达标检测（五十六） 证明4方法

——综合法、分析法、反证法、数学归纳法

一、选择题

1．设x ＝2，y ＝7－3，z ＝6－2，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x >y >z B ．z >x >y C ．y >z >x

D ．x >z >y

解析：选D 由题意知x ，y ，z 都是正数，

又x 2－z 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴x >z . ∵z y ＝6－27－3＝7＋36＋2

>1，∴z >y ，∴x >z >y . 2．对于定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对任意正实数ξ，∃x 0∈D ，使得0<|f (x 0)－c |<ξ恒成立，则称函数y ＝f (x )为“敛c 函数”．现给出如下函数：

①f (x )＝x (x ∈Z)；②f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x ＋1(x ∈Z)； ③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝x －1x . 其中为“敛1函数”的有( ) A ．①② B ．③④ C ．②③④

D ．①②③

解析：选C 由题意知，函数f (x )为“敛1函数”等价于存在x 0属于f (x )的定义域，使得f (x 0)无限接近于1.对于①，f (x )＝x (x ∈Z)，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ≠1时，|f (x )－1|≥1，故①中函数不是“敛1函数”；对于②③④中函数，作出函数图象，结合“敛1函数”的定义易知它们都是“敛1函数”．故选C.

3．(2018·大连一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若 x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒为负值

B ．恒等于零

C ．恒为正值

D ．无法确定正负

解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，

由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)

则f (x 1)＋f (x 2)<0.

4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

解析：选A 因为a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋b

，

又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .

5．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小关系是( ) A.n ＋4－n ＋3>n ＋2－n ＋1 B.n ＋4－n ＋3

解析：选B 由题意知，(n ＋4－

n ＋3)－(

n ＋2－

n ＋1)＝(

n ＋4＋

n ＋1)－

(

n ＋3＋n ＋2)， 因为(n ＋4＋

n ＋1)2－(

n ＋3＋

n ＋2)2

＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0， 所以

n ＋4－

n ＋3<

n ＋2－

n ＋1.

6．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a 三个数( ) A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6

D ．至少有一个不小于6

解析：选D 设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a 都小于6， 则a ＋4

b ＋b ＋9

c ＋c ＋16

a ＜18, 利用基本不等式，

可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16

a ≥2

a ·

16a ＋2

b ·4b ＋2

c ·

9c ＝8＋4＋6＝18，

这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，

所以a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a 三个数至少有一个不小于6. 二、填空题

7．(2018·太原模拟)用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．

解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． 答案：x ≠－1且x ≠1

8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．

解析：法一：(补集法)

令⎩

⎪⎨⎪⎧

f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32

，

故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎫－3，3

2. 法二：(直接法)

依题意有f (－1)>0或f (1)>0， 即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0， 得－12

2

，

故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，3

2 . 答案：⎝

⎛⎭⎫－3，3

2 9．(2018·德州一模)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．

解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．