基本不等式培优专题(学生版)

2
，则
ac b

c ab

c 2

c
5 2
的最小值是
培优点八 齐次化
51．（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 x2 2 y2 d cx( y x) 对满足 x ! y ! 0 的任
意实数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x ! 0, y ! 0, x 2 y 3，则 x2 3y 的最小值为（
4.
则
x2
y2
xy 1 2xy
17
的取值范围
31.（2017 武进区模拟）已知正实数 x 、 y 满足 xy 2x 3y 42, 则 xy 5x 4 y 的最小值
为
4
基本不等式培优专题学生版
32．（2017 宁波期末）若正实数 a,b 满足 (2a b)2
1

6ab
，且
2 a
+
3 b
=
ab ，则 ab 的最小值是
6．（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知 a ! b ! 0 ， a b
1，则
a
4
b

1 2b
的最小
值等于
7．（2018
届浙江省部分市学校高三上学期
9+1
联考）已知实数
a
!
0
，b
!
0
，
a
1
1

b
1
1
1，
则 a 2b 的最小值是
1 ，则
2a a2 b

b a b2
的
最大值是
（）
A.2
B.1 2
C.1 2 3
D.1 3 2
3
2
41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数 a, b 满足 a2 b 4 d 0 ,则 u
2a 3b ab
（
）
14 A.有最大值为 5
B. 有最小值为 14 C. 没有最小值 D.有最大值为 3 5
）
xy
A.3 2 2
B.2 2 1
C. 2 1
D. 2 1
6
基本不等式培优专题学生版
53．（2018·浙江模拟）已知 a
! 0,b
!
0
，则
6ab 9b2 a
2

2ab b2 a2
的最大值为
，
若 4x2 xy y2 25 则 3x2 y2 的取值范围是
54.(2016 新高考研究联盟二模)实数 x, y 满足 x2 2xy 2 y2 2 ，则 x2 2 y2 的最小值
；又若 a b c 0 ，
则 c 的最大值是
7
基本不等式培优专题学生版
培优点十 多元变量的不等式最值问题
65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数 a, b, c, d 满足 a b 1, c d 1 ，则
1 1 的最小值是 abc d
2bc ac
48．（2018
天津一模）已知
a
!
b
!
0
，则
2a

a
3
b

a
2
b
的最小值为
49.（2016 台州期末）已知正实数 a, b ，满足 a2 b 4 d 0 ，则 u
2a 3b ab
（
）
14
A.有最大值为
5
14
B.有最小值为
5
C.，没有最小值 D.有最大值为 3
50.已知 a ! 0,b ! 0, c ! 0 且 a b
3
基本不等式培优专题学生版
20．（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟） 已知实数 x, y 满足 xy 3 x y ，且 x ! 1 则 y(x 8)
的最小值是
（）
A.33
B.26
C.25
D.21
21．若正数 x, y 满足 1 1 xy
1 ，则
4x x 1

9y y 1

b
2

b
a
9
2b
的最小值为
45.（2017 天津）若 a,b R ， ab ! 0 ，则 a4 4b4 1 的最小值为 ab
46.若
x,
y
是正数，则
§ ¨©
x

1 2y
·2 ¸¹

§ ¨©
y

1 2x
·2 ¸¹
的最小值是
47.已知 a,b,c 0, f ，则
a2 b2 c2 2 5 的最小值为
60．（2016 大联考）设 x, y, z, w R ，且满足 x2 y2 z2 w2 1,则 P xy 2yz zw 的最大
值是
^ ` 61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知 T min
x
2
y,
z
2
y,
x
2
z
，且
x y z 2 ，则 T 的最大值是
的最大值为
（
）
A. 1
B. 6 5
C. 2 1 2
D. 2
27.（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 4 y2 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为
28.（2018
届诸暨市期中）已知实数
x,
y
满足
x y

4y x
1 xy

2
，则
x
2xy 2y
1
的最大值为（
）
；
(a2 1)(b2 1) 的最小值为
25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x ! 0, y ! 0, xy x y 4 ，则 xy 的最大值为
，
2x y 的最小值为
26.（2018 春• 台州期末）已知 a,b R, a b
2
，则
1 a2 1

1 b2
1
5
基本不等式培优专题学生版
42．（2018 湖州期末）已知 a,b 都为正实数，且 1 1 3 ，则 ab 的最小值是
，
ab
1 b
的最大值是
ab
培优点七 不等式算两次
43．设
a
!
b
!
0
,那么
a2

1 b(a
b)
的最小值为
A. 2
B. 3
C. 4
（） D. 5
44.设
a
!
2b
!
0
，则
a
基本不等式培优专题学生版
目录
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
02
培优点二 “1”的代换
02
培优点三 换元法
03
培优点四 和、积、平方和三量减元
04
培优点五 轮换对称与万能 K 法
05
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
05
培优点七 不等式算两次
06
培优点八 齐次化
06
培优点九 待定与技巧性强的配凑
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
38．（2016 十二校联考
13）
若存在正实数 y ，使得
xy yx
5x
1
4y
，则实数
x
的最大值
为
39．（2019 届镇海中学 5 月模拟 13）已知 a,b R 且 a 2b 3 ，则 1 2 的最小值是
，
ab
1 a2

2 b2
的最小值是
40．（2019 届金华一中 5 月模拟 9） 已知正实数 a，b 满足． a b

2xy x2 y2
的最大值是
培优点三 换元法
14.（2019 届超级全能生 2 月）已知正数 x, y 满足 x y
1
，则
1
1
x

1
1 2
y
的最小值是（
）
A.
33 28
B.
7 6
C.
3

2 5
2
D.
6 5
15．（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知 log2 a 2 log2 b 1 t1 ，则 2a b 取到最
07
培优点十 多元变量的不等式最值问题
08
培优点十一 不等式综合应用
09
1
基本不等式培优专题学生版
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
1．（2018 届温州 9 月模拟） 已知 2a + 4b = 2 （ a ， b Î R ），则 a + 2b 的最大值为
2．已知实数 x ， y 满足 x2 + y2 = 1 ，则 x 2 + y2 的最大值是 16
的最小值为
22. （2018 届嘉兴期末）已知实数 x , y满足 4x 9y 1 ，则 2x1 3y1 的取值范围是
23.（2018 上海二模）若实数 x , y满足 4x 4y 2x1 2y 1 ，则 S 2x 2y 的取值范围是
培优点四 和、积、平方和三量减元
24. (2019 届台州 4 月模拟)设实数 a , b满足 a b 4 ，则 ab 的最大值为
3．（2018
春湖州期末）已知不等式
(x
+
my)(
1 x
+
1) y
³
9
对任意正实数
x
，
y
恒成立，则正实数
m
的最小值是
A. 2
B. 4
C. 6
（） D. 8
4．（2017
浙江模拟）已知 a ， b Î R
，且 a ¹1 ，则
a+b
+
1 -b a +1
的最小值是
5．（2018
江苏一模）已知
a
>
0
，
b
>
0
1
，则
a
a
1

b
b
1
的最大值是
18．（2017 湖州期末）若正实数 x, y 满足 2x y
2 ，则 4x2 y2 的最小值是 y 1 2x 2
19．（2018 河北区二模） 若正数 a, b 满足 1 1
ab
1,
a
1
1

b
9
1
的最小值为
（
）
A.1
B. 6
C. 9
D. 16
35． 已知正实数 a, b 满足 9a2 b2
1
，则
ab 3a
b
的最大值为
36．已知实数 a,b, c 满足 a b c 0,a 2 b2 c2 1 ，则 a 的最大值为
37.（2018 届杭二高三下开学）若 9x2 4 y2 6xy 1, x, y R ，则 9x 6y 的最大值为
B. 8 2
C. 8
D. 9
， ）
2
基本不等式培优专题学生版
10．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足 x ! y ! 0 ，且 x y
2
，则
x
4 3y

x
1
y
的最小值是
.
11.（18 届金华十校高一下期末）记 max{x, y, z} 表示 x ， y ， z 中的最大数，若 a ! 0 ， b ! 0 ，
则
max{a,
b,
1 a

b3}
的最小值为
（）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
12.已知 a,b 为正实数，且 a b
2
，则
a2
a
2

b2 b
1

2
的最小值为
13.已知正实数
a,
b
满足
(2a
1
b)
b

(2b
2
a)a
1 ，则 ab 的最大值为
（补充题）已知 x, y
!0
，则
6xy x2 9y2
（）
A. 3 2
B. 2 2
C. 3
D. 2
培优点二 “1”的代换
8．（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a ，b 满足 a b 1，则 b 1 的最小值等于 ab
此时 a =
9．（2018 浙江期中）若正数 a ， b 满足 2a 1 1，则 2 b 的最小值为
（
b
a
A. 4 2
是
培优点九 待定与技巧性强的配凑
55.(2016 大联考)若正数 x, y, z 满足 3x 4 y 5z
6
，则
2
1 y
z

4y x

2z z
的最小值为
56.(2016
杭二最后一卷)若正数
x,
y
满足
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x

1 y
1，则 x2 10xy y2 的最小值为
57.（2016 宁波二模）已知正数 x ， y 满足 xy d 1 ，则 M
小值时 ab
（）
A．3
B．4
C．6
D．9
16．（2018
温州期中）已知实数
x,
y
满足
2x
!
y
!
0
，且
1 2x
y

x
1 2y
1，
则 x y 的最小值为
（）
A． 3 2 3 5
B． 4 2 3 5
C． 2 4 3 5
D． 3 4 3 5
17．（2018 杭州期末）若正数 a,b 满足 a b
，则
2a
ab b

1
的最大值为
培优点五 轮换对称与万能 K 法
33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足 x2 xy 4 y2 1，则 x 2 y 的最大值
为
34．（2016 暨阳联谊）已知正实数 x, y 满足 2x y 2 ，则 x x2 y2 的最小值为
A. 2 3 3
B. 3 2
C. 2 3 1 3
D. 3 1 2
29. (2018 台 州 一 模 ) 非 负 实 数 x 、 y 满 足 x2 4y2 4xy 4x2 y2 32, 则 x 2y 的 最 小
值
, 7(x 2 y) 2xy的最大值
30.（2018 春南京）若 x、y 0,f , x y xy 2
（）
A. 8
B. 8
C. 4
D. 2
3
3
3
62．已知
a, b,
c

R
+
,则
a2 ab
b2 c2 2bc
的最小值是
63．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 5ab 2bc 的最大值是
64．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 ac bc 的最大值是
1 1
x

1 1 2