不等式培优专题

于
，此时 a =
．
9.（2018 秋•浙江期中）若正数 a ，b 满足 2a + 1 = 1，则 2 + b 的最小值为 (
)
b
a
A． 4 2
B． 8 2
C．8
D．9
10..（2017 秋•西湖区校级期末）已知实数若 x ， y 满足 x y 0 且 x + y = 2 ，
则 4 + 1 的最小值是 ． x +3y x − y
不等式专题
基本不等式（一）
常规配凑法与基本不等式
1. （2018 届温州 9 月模拟 15）已知 2a + 4b = 2(a,b R) ，则 a + 2b 的最大值
为
．
2. 3.．（2018 春•湖州期末）已知不等式 (x + my)(1 + 1 ) 9 对任意正实数 x ， y 恒成
xy
立，则正实数 m 的最小值是 ( )
值是（ ）
A． 33 28
B． 7 6
C． 3 + 2 2 5
D． 6 5
15（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知 log2 (a − 2) + log2 (b −1) 1 ，则 2a + b 取到
最小值时 ab = （ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
16．（2018 秋•温州期中）已知实数 x ，y 满足 2x y 0 ，且 1 + 1 = 1 ， 2x − y x + 2y
A．33
B．26
C．25
D．21
21.若正数 x, y 满足 1 + 1 = 1, 则 4x + 9 y 的最小值为
．
xy
x −1 y −1
22．（2017 秋•嘉兴期末）已知实数 x ， y 满足 4x + 9y =1 ，则 2x+1 + 3y+1 的取值范
围是 ．
23．（2018•上海二模）若实数 x 、 y 满足 4x + 4y = 2x+1 + 2y+1 ，则 S = 2x + 2y 的取值
b+c
的最大值为
．
68（2017 秋•浙江期末）已知 a ，b ，c R 且 a + b + c = 0 ，a b c ，则 b a2 + c2
的取值范围是 ( )
A ． (− 5 , 5 ) 55
B ． (− 1 , 1) 55
11．（2017 学年金华十校高一下期末 9）记 maxx, y, z 表示 x ， y ， z 中的最大数，若
a

0
，
b

0
，则
max
a,
b,
1 a
+
3 b

的最小值为（
）
A． 2
B． 3
C．2
D． 3
12.
13. 基本不等式（三）换元法+ 基本不等式
（针对多元分母进行换元）
14.（2019 届超级全能生 2 月模拟 7）已知正数 x, y 满足 x + y = 1，则 1 + 1 的最小 1+ x 1+ 2y
的最小值为
．
32．（2016 秋•宁波期末）若正实数 a ， b 满足 (2a + b)2 =1+ 6ab ，则 ab 的 2a + b +1
最大值为 ．
基本不等式（四）轮换对称与万能K法（判别式法）
33.（2019 届嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足： x2 + xy + 4y2 = 1，则 x + 2y 的最
大值是
．
34.(2016 暨阳联谊 8).已知正实数 x,y 满足 2x+y=2，则 x + x2 + y2 的最小值为 （ ）
A. 8
B. 4
C.2
D. 2 + 2 2
5
5
3
35.
36.
37.（2017 学年杭二高三下开学考 17）若 9x2 + 4y2 + 6xy =1， x, y R ，则 9x + 6y 的最大值
是
；
1 a2
+
2 b2
的最小值是
．
40.（2019 届金华一中 5 月模拟 9）已知正实数 a ， b 满足： a + b =1，则 2a + b 的最 a2 +b a + b2
大值是（ ）
A． 2
B．1+ 2
C．1 + 2 3 3
D．1 + 3 2 2
41．（2017•西湖区校级模拟）已知正实数 a ，b 满足 a2 − b + 4 0 ，则 u = 2a + 3b ( a+b
A．2
B．3
C．4
44.
设 a 2b 0 ，则 (a − b)2
+
b
(a
9 −
2b)
的最小值为
D．5
45.（2017 天津）若 a,b R , ab 0 ，则 a4 + 4b4 + 1 的最小值为 ab
46
若
x,
y
是正数，则

x
+

2
1
2
y

+

y
+
1 2x
2

的最小值是
( ) a2 + b2 + c2
2
+5
47 已知 a, b, c (0, +) ，则
的最小值为
2bc + ac
48．（2018•天津一模）已知 a b 0 ，则 2a + 3 + 2 的最小值为
．
a+b a−b
49.(2016 台州期末 7).已知正实数 a,b ，满足 a2 − b + 4 0, 则 u = 2a + 3b a+b
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4.．（2017•浙江模拟）已知 a ，b R ，且 a −1，则| a + b | + | 1 − b | 的最小值 a +1
是．
5.．（2018•江苏一模）已知 a 0 ，b 0 ，且 2 + 3 = ab ，则 ab 的最小值是
．
ab
6.、（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知 a b 0, a + b = 1, 则 4 + 1 的最小 a − b 2b
( ) ( ) ( ) 61（2017 学年杭二高三第三次月考 8）已知T = min
2
x+ y ,
2
z+ y ,
x+ z 2 ，
且 x + y + z = 2 ，则T 的最大值是（ ）
A． 8 3
B．8
C． 4 3
D． 2 3
62.
63 64.
基本不等式（九）
多元变量求最值
65（2019 届浙江名校联盟第一次联考 9）已知正实数 a，b，c，d 满足 a + b =1，c + d =1，
52.（2019 届绍兴一中 4 月模拟 7）已知 x 0 ， y 0 ， x + 2y = 3 ，则 x2 + 3y 的最小值为 xy
（）
A． 3 − 2 2 B． 2 2 +1 C． 2 −1 D． 2 +1
53．（2018•浙江模拟）已知 a 0 ， b 0 ，则 6ab + 2ab 的最大值是 ． 9b2 + a2 b2 + a2
为
．
基本不等式（五） 消元法（必要构造函数求导）
38.（2016 十二校联考 13）若存在正实数 y ，使得 xy = 1 ，则实数 x 的最大值为 y − x 5x + 4y
__________．
39. （ 2019 届 镇 海 中 学 5 月 模 拟 13 ） 已 知 a,b R+ 且 a + 2b = 3 ， 则 1 + 2 的 最 小 值 ab
的取值范围是 ( )
A ． (− ， 4]
B ．[−4 ， 4]
C ．[−2 ， 4]
D ．[−1， 4]
59 、 已 知
且
为
．
，则
的最大值
60. （ 2016 大 联 考 ） 15. 设 x ， y，z, w R, 且 满 足 x2 + y2 + z2 + w2 = 1 ， 则
P = xy + 2yz + zw 的最大值是______．
范围是
．
基本不等式（四）和积平方和三量三变二、二变一
24.（2019 届台州 4 月模拟 13）设实数 a ， b 满足 a + b = 4 ，则 ab 的最大值为
，
(a2 + 1)(b2 + 1) 的最小值为
．
25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x 0 ， y 0 ， xy ( x + y) = 4 ，则 xy 的最大值
则 1 + 1 的最小值是（ ） abc d
A． 10
B．9
C． 4 2
D． 3 3
66（2019
届杭四仿真考
17）已知实数
x,
y,
z
满足
xy

x
2
+ +
2z y2
=1 + z2
=
5
，则
xyz
的最小值
为
；此时 z =
．
67（2019 届慈溪中学 5 月模拟 17）若正实数 a ， b ， c 满足 a(a + b + c) = bc ，则 a
值是
．
19．（2018•河北区二模）若正数 a ，b 满足 1 + 1 = 1， 1 + 9 的最小值为 ( ) a b a −1 b −1
A． 1
B．6
C．9
D ． 16
20、（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟）已知实数 x ， y 满足 xy − 3=x + y ，且 x 1 ，则
y(x + 8) 的最小值是
若 4x2 − xy + y2 = 25, 则 3x2 + y2 的取值范围为
54.（2016 新高考研究联盟二模 14）实数 x,y 满足 x2 − 2xy + 2y2 = 2 ，则 x2 + 2 y2 的最小
值是
基本不等式（八） 待定与技巧性强的配凑
55.（2016 大联考 14）若正数 x, y, z 满足 3x + 4y + 5z = 6 ，则 1 + 4 y + 2z 的最小值 2y+ z x+ z
为
.
56.(2016 杭二最后卷 14)正实数 x, y 满足： 1 + 1 =1 ，则 x2 + y2 −10xy 的最小值 xy
来自百度文库
为
.
57.（2016 宁波二模）已知正数 x, y 满足 xy 1, 则 M = 1 + 1 的最小值为 1+ x 1+ 2y
58．（2016•浙江模拟）已知实数 a ，b ，c 满足 1 a2 + 1 b2 + c2 = 1 ，则 ab + 2bc + 2ca 44
为
， 2x + y 的最小值为
．
26．（2018 春•台州期末）已知 a ， b R ， a + b = 2 ． 则 1 + 1 的最大值 a2 +1 b2 +1
为( )
A． 1
B ．6 5
C ． 2 +1 2
D．2
27（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 + 4 y2 + x + 2 y = 1，则 xy 的最大值为
)
A ．有最大值为 14 5
C ．没有最小值
B ．有最小值为 14 5
D ．有最大值为 3
42．（2018 春•湖州期末）已知 a ， b 都为正实数，且 1 + 1 = 3 ，则 ab 的最小值 ab
是 ， 1+ b 的最大值是 ． ab
基本不等式（六） 不等式算两次
43.设 a b 0 ，那么 a2 + 1 的最小值为（ ） b(a − b)
的最小值为 ， 7(x + 2 y) + 2xy 的最大值为 ．
30．（2018
春•南京期中）若
x
，
y
(0, +)
，
x
+
1 2
y
+
xy
=
4
，则
x2
y2
xy +1 + 2xy
+ 17
的取值范围是 ．
31．（2017•武进区模拟）已知正实数 x ， y 满足 xy + 2x + 3y = 42 ，则 xy + 5x + 4y
则 x + y 的最小值为 ( )
A．3+2 3 5
B．4+2 3 5
C．2+4 3 5
D．3+4 3 5
17．（2018 春•杭州期末）若正数 a ， b 满足 a + b =1，则 a + b 的最大值 a +1 b+1
是．
18．（2017 春•湖州期末）若正实数 x ， y 满足 2x + y = 2 ，则 4x2 + y2 的最小 y +1 2x + 2
（）
A.有最大值为 14 5
B. 有最小值为 14 5
C. 没有最小值 D. 有最大值为 3
50.
基本不等式（七）
齐次化
51.（2019 届杭高高三下开学考 17）若不等式 x2 − 2y2 cx( y − x) 对满足 x y 0 的任意实
数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
．
28．（2017 秋•诸暨市校级期中）已知实数 x ，y 满足 x + 4 y = 1 − 2 ，则 2xy
y x xy
x + 2y −1
的最大值为 ( )
A ．2 3 3
B． 3 2
C ． 2 3 +1 3
D ． 3 +1 2
29．（2018•台州一模）若非负实数 x ，y 满足 x2 + 4y2 + 4xy + 4x2 y2 = 32，则 x + 2y
值等于
.
7.．【2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考】已知实数 a 0 ， b 0 ，
1 + 1 = 1，则 a + 2b 的最小值是（ ） a +1 b +1
A. 3 2
B. 2 2
C. 3
D. 2 [来源:学
基本不等式（二）
“1”的代换与基本不等式
8（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a , b 满足 a + b =1，则 b + 1 的最小值等 ab