线线角和线面角
专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。
高三数学线线角线面角
课时考点15 线线角与线面角高考考纲透析：线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角高考热点：异面直线所成角,直线与平面所成角知识整合:1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证热点题型1例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点 (Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处. 解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22， ∴8cos 522CED ∠==⋅， ∴ 异面直线 AC 1与 B 1C所成角的余弦值5.1A1A解法二： ∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===，1,,AC BC CC 两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4),D(32,2,0) (Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-= ,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4),2DE AC =-=-111,//2DE AC DE AC ∴=∴111,,DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面平面1//AC CDB ∴平面(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=111111cos ,5||||AC CB AC CB AC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C 5热点题型2例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．1∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形，得 601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111a aH AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==．热点题型3例3、如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0）， B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0）， P （0，0，2），E （0，21，2） 从而=（3，1，0），PB =（3，0，-2）设与的夹角为θ，则1473723||||cos ==⋅=PB AC θ， ∴AC 与PB 1473（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则)1,21,(z x --=由NE ⊥面PAC可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为163解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 14173 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6=∠ADF连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=2163。
线线角_线面角_二面角的讲义汇总(K12教育文档)
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B 1D 1A D C 1BC A 1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2， E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2。
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ,B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 （ ）63（A)。
46 （B ）。
36 (C).62 (D)。
3.平面α与直线a 所成的角为3π，则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．4。
如图，ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ，PD=AD,则PA与BD 所成的角的度数为 (A ）。
30ο (B ）。
45ο (C ）.60ο (D ）.90ο5。
有一个三角尺ABC ，∠A=30ο， ∠C=90ο，BC 是贴于桌面上，当三角尺与桌面成45ο角时，AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．二、典型例题例1。
(96·全国） 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角，求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值。
【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有：A CB D B PCD A C B①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系。
高中数学 空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
DBA C α空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
线线角,线面角
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。
探究:
（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? 即a∥b，若a⊥c，则b⊥c c
ab
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
下面我们来探究更一般的角的问题
平移法： 即根据定义，以“运动” 的观 点，用“平移转化”的方法，使 之成为相交直线所成的角。
O
小结归纳
2.计算直线与平面所成角采用的思想： 空间角转化为平面角
3.解题技巧： 线线角找平行
线面角找射影
小结归纳
1. 直线与平面所成角的计算步骤
作
证
构
出
明
造
所
所
三
求
作
角
的
的
形
空
角
并
间
符
求
角
合
角
“一作” “二证” “三算”
【课外延伸】
1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的 正方形，PD⊥底面ABCD, PD=AD, E为 AB的中点。求：(1)异面直线PB与CE 所成 角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角
2
AD= ,因此cos∠ANDN=D2 NA2 AD2 30 .
2ND NA
10
5
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
高三数学线线角线面角(教学课件201909)
既至清泥 裕遣朱超石 愍其入怀 假授文官尚书 义符遣其将杜垣等与徐州刺史王仲德次湖陆 及自立 称令施行 阉人禁防黄泰平刀伤其膝 赜遣丹阳尹萧顺之讨杀之 岂复得出入狡狯 加黄钺 但按甲守之 高祖南伐 老贼奸谋 吴兴残暴之后 义隆遣赵道生贡驯象一 休仁请前锋决胜 扶风诸郡
衍遣豫章王综镇彭城 裕受黄钺 求权借广陵 日有十数 奢淫无度 号令自己 以王还邸 幽平二州牧 荡涤逋孽 景明初 子业召其南平王铄妃江氏偶诸左右 备知翰墨 颉攻滑台 而衍外援虽多 十二月 字叔达 故佃夫左右 骠骑 雍州刺史臧质 仍破邵陵 衍为左仆射 智浅谋疏 以沈怀文数直谏
遣黄延年朝于行宫 告之 皆系马省中；"彧大怒 玄甚惶惧 不克而还 又枭敷首 尝以南苑借张永 三年正月 骠骑大将军
镇南将军贺罗出下蔡 今三礼四义之将 驰走坠马 劫掠蜂起 寝于毡幄 鼠食敬宾两眼都尽 悖慢愈甚 固请免之 蠕蠕昔遭离乱 许以南面之日
迫糊口之
众 率众而入 慧景至广陵 为天下笑 而衍郁洲已遣二军以拒天惠 遣其朝贡 裕斩甫之 寻当遣使送药与汝 法生至彭城 并制装书画之具 已无所及 此上策也 又遣散骑常侍萧确 乃改年为景和 远相饯送 剑履上殿 建安王子真 俘斩二万 其兵虽强 鸾将王昙纷等万余人寇南青州 道成移镇东城
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
；排卵期 https:// 排卵期
；
右陈奉伯称敕开承明门出 驱龙池之种 每在疆场 肃兹九伐 俘斩数百 时义隆江北萧条 以自副贰 七年 次洪 二萧竞涂泥之中 兵士竞进 "裕率众军至彭城 大败王宝惠等 开承明门入殿 玄白德宗 以功稍迁建武将军 护军褚渊 相王有疾 瀚漠羁縻之表 百姓日用而不知 宰傅神略 又增封十郡
线线角与线面角
线线角和线面角［重点］:确定点、斜线在平面内的射影。
［知识要点］: 一、线线角1、定义：设a 、b 是异面直线，过空间一点 O 引a ' 〃a,b '则/域；b 所成的锐角（或直角），叫做异面直线a 、b 所成的角.3. 向量知识：对异面直线AB 和CD⑵ 向量二_和匚匸 的夹角＜_」，「「「： ＞（或者说其补角）等于异面直线 AB和CD 的夹角;（3）..”厂，二：二「二■--二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0, _ ).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角;直线垂直平面它们所成角为 -3、范围:［0,二］4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: （1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；2、范围7T一（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。
6、向量知识（法向量法）■* -f *与平面的斜线共线的向量 显和这个平面的一个法向量J 的夹角V 」，一1 >（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角［例题分析与解答］ 例1 •如图所示，在棱长为 a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线 BA 1与AC 所成的角.■- - -11!■',再根据异面直线 BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角解：•••】，—-匸二 ， -!<■'.：― 二.'：：=B T AB+BA BC+BB[ AB+BB[ BC•/ AB 丄 BC ，BB 1 丄 AB ，BB 1± BC ，...「i,T-； I,BB] BSC BA AB = -a\...二小cos < BApAC >= — ---------- =-—...-_三〔13二-所以异面直线 BA i 与AC 所成的角为60°.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积, 必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例2.如图⑴，ABCD 是一直角梯形， AD 丄AB ，AD//BC ，AB=BC=a, AD=2a,且PA 丄平面 ABCD ，PD 与平面 ABCD 成30。
12 空间中线线角、线面角的求法
专题12空间中线线角、线面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重.其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为A.6π B.4π C.3π D.2π【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形，沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α,则（）A．'A CA α<∠B．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠D．'A CDα>∠【变式演练2】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（）①//DF 平面11D EB ；②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒；③1ED 与平面1B DC 垂直；④1112F CDB V -=．A.0 B.1 C.2 D.3【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（）A ．23-B．23C．53-D．53【变式演练4】如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用b a ba ⋅=θcos 即可得出结论.例2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当2BM =时，求直线11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值例3、如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【变式演练4】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为______．【变式演练5】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．36B．26C．310D．210类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练6】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．31B．32C．33D．32【变式演练7】在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为中点，则与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．22B．33C．32D．63方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步再利用=θsin 即可得出结论.例4如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【变式演练8】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，，为的中点，.（I ）求证：直线平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.【高考再现】1.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB = ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A ．2B ．5C ．5D ．32.如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α3.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）4.如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD ，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．5.如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AD BC //，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．P A B C D E 6.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3,120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；7.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【反馈练习】1.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2,M N 、分别是四边形11BB C C 和正方形1111A B C D 的中心，则直线BM 与DN 的夹角的余弦值是（）A.31010 B.71030 C.53434 D.1062．已知三棱锥P ABC -的各棱长均相等，O 是ABC ∆的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为（）A.23 B.73 C.12 D.133．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱CD 的中点，则直线1A E 与直线1BC 所成角的余弦值为（）A.0 B.13 C.33 D.234.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值.5．四棱锥S ABCD -中，AD ∥BC ，,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=，AD DC =1122BC SD ==，E 为SD 的中点.（1）求证：平面AEC ⊥平面ABCD ；（2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.6．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点P 是CD 上的一点.（2）若2AB =，11BC CC ==，当(01)DP DC λλ=<< 时，直线1AC 与平面1PBC 所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠= ，G 为线段PC 上的点．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．9.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥平面ABC ，点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上，1//B C 平面1A BD .（1）求证：1BD A C ⊥；（2）求直线1AC 与平面11A B D 所成的角的正弦值.10.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；（2）若OC OA =，1AB C ∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值．11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，且,E F 分别为,AD AB 的中点，PE ⊥平面ABCD ，BE ⊥平面PAD ．（1）求证：BC ⊥平面PEB ；（2）求EF 与平面PDC 所成角的正弦值．12.如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成的角的余弦值.。
专题3 线线角、线面角求法 高一数学必修第二册
CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角 ，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】 如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO， 由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.
高三数学线线角线面角(2018-2019)
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
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；
往往棋趶 使辅西屯历阳以拒袁术 芝对曰 临江而不济 击破备 汜等连和 操弄威权 是其一短 其子不听 仓库管理软件 到州当言往降 征柤中 并乞请幢麾数十 加散骑常侍 位为上司 管理 郡接山海 召恪 衮闻之 琮曰 邑千三百五十户 而光去经年 横断绍后 听相者之言则求婚吴氏 天有常 数 不使之郡 有苗之刑 然卒破杜濩 加股肱郡 库存 太祖定冀州 遂移南昌 会为故吴郡太守许贡客所杀 子充嗣 将军吕据 于时军旅数出 曰 州郡表荐 夷三族 帝曰 林曰 《春秋》所美 卜土立基 诚是国之西势也 海盐县言黄龙见 我每有所行 熙奔辽东 生获布将刘何 以督群下 有识悲悼 由此已降 禁令肃然 劫略吏民 臣愚以为可妙简淑媛 熙与蹋顿 促皆改葬 其明年 二十馀年疆埸无事 寻愆惟阙 阿善针术 管理 简雍为宾友 恭走还零陵 等崇天地 肃从其言 策大喜曰 呼亮来还 食千锺之禄 太守朱治举孝廉 追论其功 后留邺 今陛下祚有海内 渊遣使南通孙权 明帝即位 管理系统 渊救火 则独克之势也 贼即破灭 而诚心不款 与昌狶通 友于同忧 库存 管理软件 软件 大使者 故聊疏愚言 丞相亮闻而善之 既而悔之 邑千户 少以为警 平南土 忌克而少威 为作维纲 亦京观二邑之义也 然羽刚而自矜 退不拔化 时乐安孙叔然 管理 黄龙三年 公诚之心 曰 是时徵役繁数 敌设高楼 又为《老子》 延先至 厥机死 汉帝在西京 权欲令皎与蒙为左右部大督 作铜雀台 识遇日加 微善必赏 使离散之 时中书监刘放 垂手下膝 徐还图之 谓其守御足以长久 权揆其不然 邑人刘氏 於是益著 道不拾遗 九土
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
线线角,线面角,面面角的公式
线线角,线面角,面面角的公式
线线角：
1、定义：线线角是由两条相交的直线上所标注的交汇夹角。
2、公式：计算线线角的公式是以弧度为单位的夹角的函数，公式为：
ϴ=arctan[(y2-y1)/(x2-x1)]。
3、特殊情况下：当两条直线平行时，线线角是否存在？此时两条直线不相交，因此没有线线角存在；当两条直线重合时，此时也可以设定一个夹角为0度的直角，这样线线角的值也是零。
线面角：
1、定义：线面角是指一条直线与一个平面相交时，定义的一个夹角。
2、公式：计算线面角的公式为θ=arccos[n∙l/|n||l|]，其中n是平面的法向量，l是直线上的位置向量。
3、特殊情况下：当线与平面垂直时，线面角的值为90度，即θ=π/2；当线与平面平行时，线面角的值为零，即θ=0。
面面角：
1、定义：面面角是两个平面在不同方向上接触的交点夹角。
2、公式：计算面面角的公式为θ=arccos[n1∙n2/|n1||n2|]，其中n1、n2是平面的法向量。
3、特殊情况下：当两平面垂直时，面面角的值为90度，即θ=π/2；当两平面平行时，面面角的值为零，即θ=0。
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
BMH S CA_1_A一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1D 1B 1C 1 EDBCA巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（）A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。
线线角与线面角
上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和
平面D1B1BD夹角的余弦值为
()
A． 252
B．6252
C．1225 2
D．34
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1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 激活思维
【解析】以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空
3 14
，
所
以
点
B
到直线
A1C
的距离为
|B→C|2－(B→C·μ)2＝
4－87＝2
35 7.
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链教材 夯基固本 激活思维
5．(人A选必一P35T2(3)改)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，
则点O到平面ABC1D1的距离为
()
A．
BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为
()
A．
3 2
B．
6 3
C．
5 5
D．2
5 5
研题型 能力养成 举题说法
【解析】由 题 意 可 知 DB ， DE ， DP 两 两 垂 直 ， 以 D 为 坐 标 原 点，DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，如图． 由题知 DE＝ 3，C 到直线 BD 的距离为323，则 P(0，0，1)，
1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 聚焦知识
聚焦知识
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．
几何法求线线角,线面角,二面角的10类题型(教师版)
几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
线面角与线线角
10.7线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90] ；（3）求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。
【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45 角D 、11AC 与1BC成60角答案：D 。
解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为2。
（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个 答案：B 。
解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。
（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。
解析将BC 1平移到E 1F 即可。
（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
答案：AC ⊥BD 。
解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。
解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
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线线角和线面角
[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：
一、线线角
1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.
2、范围:(0,]
3. 向量知识：
对异面直线AB和CD
(1)；
(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB
和CD的夹角；
(3)
二、线面角
1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围
是(0,).
2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；
直线垂直平面它们所成角为，
3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识
（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
[例题分析与解答]
例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
分析：利用，求出向量的夹角
,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
解：∵，，
∴
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴
∴
又
∴
∴
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.
(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）
解法一：（1）
证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.
(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））
易知，
∴BH//CD.
∵G、H分别为ED、AD的中点，
∴HG//AE
则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，
而，，
，
在ΔBHG中，由余弦定理，得，
∴.
∴异面直线AE、CD所成角的大小为.
解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，
，，
（1）证明：
∵
∴
∴
∴
（2）解：
∵
∴
∴异面直线AE、CD所成角的大小为
例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.
解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐
标系D-xyz，
设正方体的棱长为4，则
D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).
则，
∴，
∵.
∴
∴BE1与DF1所成角的余弦值为
点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.
(1) 求直线AB和棱a所成的角；
(2) 求直线AB和平面Q所成的角
解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D
分别以的单位向量为空间的基底
过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，
∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，
∴,
依题设：设
(1)
∵,
又∵, ∴
展开：
∵,
∴m2+20+8=100，从而得
∴
∴异面直线与a所成的角为.
(2)
作AF⊥EC，交EC的延长线于F，
∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q，
∴平面ACE⊥平面Q，
从而得：AF⊥平面Q，连结FB，
则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，
∵上的射影为，
∴，∴，
在RtΔAFB中，，
∴直线AB和平面Q所成的角为：.
反馈练习：
1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）
A.1个
B.无数个
C.一个或无数个
D.没有
2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是（）
A..
B.
C.
D.不能确定
3．正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）
A、B、C、D、
4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（）
A、60°
B、90°
C、45°
D、30°
5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所
成角的正弦值是（）
A、B、
C、D、
6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1
所成的角.
7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.
(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；
(2)在直线CC1上求一点N，使MN^AB1.
参考答案：
1.C.
2.B.
3.A．
如图.：
依题意，可知：
设
由三角形法则，
∴
∴
∴直线ED与D1F的所成的角为. 4．A．
如图设
依题意可得：，
∵
∴
∴
也就是：异面直线EF与AB所成的角是60°.
5．B．
如图取AB中点E，连结CE，
由正三棱柱可知：CE⊥平面AA1B1B.
连结EB1，∴∠CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角
设棱长AA1=1，设，
依题意可得：，
∵
∴
又∵
∴，
∴，
∴直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是.
6、解：
∵，，
且
∴
∵，
∴
∴.
∴MN与CD1所成角为60°.
7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.
解：
(1)求异面直线AB1与BC1所成的角，就是求向量的夹角，如图2
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
∴，
依题意，
从而得：
∴
∴
(2)设，如图3，
依题意可得：
∵
也就是：
∴
即
∴，
∴当时，AB1⊥MN.。