代数复习1(数的整除、实数)
数的整除知识点范文
数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。
一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。
用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。
整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。
2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。
3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。
4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。
二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。
2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。
（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。
三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。
两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。
2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
《中学数学》第1册 代数 第1章 数、数的运算— 知识重点
《中学数学》第1册代数第1章数、数的运算知识重点在“第1章数、数的运算”中，主要叙述了实数和复数2部分内容。
其中，实数部分的基本概念有：自然数、整数、有理数、无理数等。
虚数部分的基本概念有：“i”的性质、复数系、复数相等、复数的几何表示、共轭复数、模数和幅角、复数的2种表示形式、复数运算等。
一、实数⒈自然数自然数（正整数）指的就是正整数。
如：1、2、3、4、5、6、……。
任意的一个自然数，都可以用10的“幂的多项式”的形式，来表示的。
即：a0·10n + a1·10n-1 + a2·10n-2 + ……+ a n-1·101 + a n·100其中：a0、a1、a2、a n分别是“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”这10个数字中的1个。
①质数：在自然数中，除了“1”以外（不包括“1”），只能被“1”和这个数本身整除的数，叫做质数（或：素数）。
②合数：在自然数中，除了能被“1”和本身以外（不包括“1”和这个数本身）的数整除的数，叫做合数。
注意：“1”既不是质数。
“1”也不是合数。
③因数：如果数“A”，能被数“B”整除，则“B”叫做“A”的因数（或：因数）。
④质因数：如果“C”是“A”的因数，而且“C”是质数，则“C”叫做“A”的质因数。
⑤公约数：“几个数”所有公有的约数，叫做这“几个数”的公约数。
⑥最大公因数：在几个公约数中，最大的公约数，叫做最大公约数。
⑦互质数：如果“2个数”的最大公约数是“1”，就称这“2个数”是互质的数。
⑧倍数：如果数“A”能被数“B”整除，则“A”叫“B”的倍数。
⑨公倍数：“几个数”所有的倍数，叫做这个“几个数”的公倍数。
⑩最小公倍数：公倍数中，最小的1个，叫做最小公倍数。
⒉整数整数：是指正整数、0、负整数，总称为整数。
⑴关于整数的表示方法：①能被“2”整除的整数，叫做偶数。
可用“2n”（n是整数）来表示。
②不能被“2”整除的整数，叫做奇数。
代数复习1(数的整除、实数)-学生版
代数复习——数的整除、实数知识精要一、数的整除1、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，那么称a能被b整除，b能整除a。
2、在正整数范围内，如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
一个正整数的因数个数是有限的，其中最小的一个因数是1，最大的一个因数是它本身。
3、能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的数都能被5整除；能同时被2、5整除的数的特征：个位数字为0.4、能被2整除的正整数为偶数，不能被2整除的正整数为奇数。
5、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）；一个正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
6、正整数按照含因数的个数分类，可以分为素数、合数和1三类。
7、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
8、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。
9、若两个数的公因数只有1，则称这两个数互素。
10、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：无限不循环小数叫无理数．5.实数：有理数和无理数统称为实数．知识点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．知识点三、实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．知识点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a＞b＞0，a2＞b2a＞b；或利用倒数转化：如比较与.知识点五、实数的运算1.加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法：几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法：把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．热身练习1、最小的自然数是，最小的合数是，最小的正奇数是，20以内的所有素数是。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
代数概念总复习
代数概念的复习一．数的整除1. 数的整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。
整除的条件：1.除数，被除数都是整数；2. 被除数除以除数，商是整数而且余数为0.2. 因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3. 能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除4 .能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的整数都能被5整除。
5 奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。
6. 偶数：能被2整除的整数叫做偶数。
7. 素数: 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。
8. 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是素数，也不是合数。
正整数可以分为1，素数，合数三类。
9. 分解素因数：每个合数可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
（短除法）10. （最大）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数11. 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
12. （最小）公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
二．实数1．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根2. 开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数1⎧⎪⎨⎪⎩素数正整数合数 0⎧⎪⎨⎪⎩正整数整数负整数 ⎧⎪⎨⎪⎩正实数实数零负实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪→⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪→⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 三． 整式与分式1. 代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式2． 单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式3． 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数4. 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
(完整版)八年级上册数学数与代数专题期末复习讲义
期末复习复习（二）—代数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容整式的乘除，分式课型教学目标1.会运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算．2.通过对提公因式法和公式法的教学，让学生灵活地解决因式分解的题目/．3.掌握分式的基本运算，熟练解决分式的应用。
重、难点整式的乘法运算；因式分解；分式知识导图导学一整式的乘除知识点讲解 1：幂的运算例 1. 下列算式中：① (a3)3＝a6；②[(x2)2]3＝x12；③y·(y2)2＝y5；④[(－x)3]4＝－x12，其中正确的有．例 2. 计算：(1)－ab2(3a2b－abc－1) (2)(－5ab2x)·(－a2bx3y)例 3. 已知3x＋5y＝8，求8x·32y的值．我爱展示1. 计算：（1）（2）2. 已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式。
3. 当时，= .4. 已知,则的值为.5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22015，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22016将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1即1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．知识点讲解 2：乘法公式例 1. [单选题] 下列计算正确的是（）A． B.C. D.例 2. 计算：（1） (2)(3) (4)例 3. 化简求值：，其中.我爱展示1. [单选题] 计算的结果正确的是（）A． B. C. D.2. [单选题] 若，，则的值为（）A. B. C.1 D.23. [单选题] 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b4. ，则.5. [单选题] 已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝ ( )A.10B.6C.5D.36. 已知，则= ．7. 先化简，再求值：（1）其中.(2) ，其中.知识点讲解 3：因式分解例 1. [单选题] 下列因式分解正确的是（）A. B.C. D.例 2. [单选题] 把多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.例 3. 已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为（均为整数）,且满足,求的值.我爱展示1.若，，则代数式的值是．2.分解因式：（1）（2）(3) 3. 先化简，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．4. [单选题] 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.a(x－y)＝ax－ayB.x2－1＝(x＋1)(x－1)C.(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋15. [单选题] 可利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式的是 ( )A.x2－3x＋2B.3x2－2x＋1C.x2＋x＋1D.3x2＋5x＋7导学二分式知识点讲解 1：分式的基本概念例 1. [单选题] 分式的值等于0时，x的值为（）A．±2B．2 C．－2 D.我爱展示1.[单选题] 要使的值为0，则m的值为（）A．3 B．－3 C．±3D．不存在2.当时，分式有意义.3. [单选题] 下列式子：，，，，，b，其中是分式的个数有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个知识点讲解 2：分式的运算例 1. [单选题] 下列运算正确的是（）A. B. C. D.例 2. 计算：（1）（2）例 3. 计算：（1）我爱展示1. [单选题] 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．缩小为原来的D．不变2. 先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.3.先化简：÷(－ )，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．4.先化简，在求值：，其中.5.[单选题] 已知为实数，且，设，则M、N的大小关系是（）.A.M=NB.M>NC.M<ND.不确定知识点讲解 3：分式方程的解及解法例 1. [单选题] 把方程去分母正确的是( )A. B.C. D.例 2. [单选题] 解分式方程分以下四步，其中错误的一步是( )A. 方程两边分式的最简公分母是B. 方程两边都乘以，得整式方程C. 解这个整式方程，得D. 原方程的解为例 3. [单选题] 若关于x的分式方程－1＝无解，则m的值为（）A．－B．1 C．－或2 D．－或－例 4. 已知关于x的分式方程＝1的解为负数，求a的取值范围．我爱展示1.[单选题] 关于x的方程的解为,则a的值为（）A.1B.3C.-1D.-32.[单选题] 若关于x的分式方程＝2－的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，33.已知关于x的分式方程－＝0无解，求a的值．4.若有增根，则增根是，k= .5.若分式无意义，当时，则m= .知识点讲解 4：分式方程的实际应用例 1. 某文化用品商店用2000元购进一批小学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果第二批用了2600元.若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？例 2. 王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?我爱展示1.[单选题] 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x满足的方程是（）A. B. C. D.2.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3.[单选题] 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时4.一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是．5.甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．导学三专题培优知识点讲解 1：乘法公式的灵活运用例 1. 用简便方法计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1.例 2. 如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．例 3. 已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值例 4. 对于任意一个正整数n，整式A=（4n+1）（4n-1）-（n+1）（n-1）能被15整除吗？请说明理由.我爱展示1. 计算：（1）(a＋b)3 （2）(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)2. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值.3.已知求的值.4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的和与差的乘积，那么我们就称这个正整数为“和谐数”，如4=（2+0）（2-0），12=（4+2）（4-2），20=（6+4）（6-4），因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）当28=（m+n）(m-n)时，m+n= ；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？知识点讲解 2：因式分解的应用例 1. [单选题] 计算：.例 2. △ABC的三边长分别为，且，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由.例 3. 如果是整数，且,求的值.我爱展示1.已知可因式分解成,其中均为整数，求的值.2.不解方程组，求的值.3.已知为△ABC的三角边的长，试判断代数式的值的符号，并说明理由4.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中阴影部分的面积为；(2)观察图2，请你写出式子(m＋n) 2，(m－n) 2，mn之间的等量关系：； (3)若x＋y＝－6，xy＝2.75，则x－y＝； (4)实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示，如图3，它表示等式：．5.某商业大楼共有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，若，则这座商业大楼共有商品多少种？知识点讲解 3：分式的条件求值例 1. 已知＋＝3，求的值．【学有所获】归一代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值．例 2. 已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值．【学有所获】整体代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．例 3. 已知＝＝，求的值．【学有所获】设辅助元代入法：在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k，往往立即可解．例 4. 已知m2＋＝4，求m＋和m－的值．【学有所获】构造互倒式代入法：构造x2＋＝(x± )2∓2迅速求解，收到事半功倍之效．例 5. 已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求的值．【学有所获】主元法：若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁．例 6. 已知x＋＝3，求的值．【学有所获】倒数法：已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷．我爱展示1.已知－＝5，求的值．2. 已知a＋b＋c＝0，求c( ＋ )＋b( ＋ )＋a( ＋ )的值．3. 已知＝＝≠0，则的值为.4. 已知三个数x、y、z满足＝－2，＝，＝－ .求的值．5. 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0(xyz≠0)，求代数式的值．6. 已知，求式子的值.6.已知，求的值.限时考场模拟______ 分钟完成1. [单选题] 若9x2－kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值（）A．6 B．±6C．12 D．±122.在横线填上“+”或“－”，使等式成立:（1）(y－x)2= (x－y)2; （2）(1－x)(2－x)= (x－1)(x－2)3.[单选题] 下列关于x的方程中,是分式方程的是( )A. B. C. D.3x-2y=14. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是．5.[单选题] 每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，则这种杂拌糖每千克的价格为（） A．元B．元C．元D．元6.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，试判断△ABC的形状，并说明理由。
初中奥数-专题一(实数)
专题一 实数第一讲 数的整除（一）一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y例2己知五位数x 1234能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除知识点总结总结就是对一个时期的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的回顾和分析的书面材料，它可以有效锻炼我们的语言组织能力，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编精心整理的数的整除知识点总结，欢迎阅读与收藏。
数的整除知识点总结1一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
数的整除知识点总结21.把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
数的整除知识总复习课件
质数与合数的整除性质
质数性质
质数是大于1的自然数，只能被1和它本身整除，不能被其他数整除。质数的个 数是无限的。
合数性质
合数是大于1的自然数，除了能被1和它本身整除外，还能被其他数整除。最小 的合数是4。
完全数与缺数
完全数性质
完全数是等于它所有因子之和的自然数。例如，6的因子有1、2、3和6，这些因 子之和正好等于6，因此6是完全数。
关的知识和应用，拓展自己的视野。
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应用领域
中国剩余定理在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
同余方程
同余方程定义
同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a 、b、m是整数，x是未知数。
同余方程解法
求解同余方程的方法主要有模逆元法和欧拉准则 法等。
同余方程的应用
同余方程在密码学、数论等领域有着广泛的应用 。
05
通过整除，我们可以将大 问题分解为小问题来解决 ，提高计算速度和准确率 。
整除的意义3
在日常生活中，整除也具 有广泛的应用，例如时间 计算、货币交易等。
02
数的整除性质研究
奇数与偶数的整除性质
奇数性质
奇数可被2整除余1，因此奇数可以 表示为2n+1的形式，其中n为整数 。
偶数性质
偶数可被2整除，因此偶数可以表示为 2n的形式，其中n为整数。
缺数性质
缺数是大于2的偶数，不能表示为两个质数之和的自然数。例如，8不能表示为两 个质数3和5的和，因此8是缺数。
03
数的整除应用
最大公约数的求法
定义
最大公约数是指两个或多个整数 共有约数中最大的一个。
算法描述
数的整除与倍数知识点总结
数的整除与倍数知识点总结整数运算是我们数学学习的基础，其中数的整除与倍数是重要的概念。
理解和掌握数的整除与倍数的概念和运算规律，对于解决数学问题和提高计算能力具有重要意义。
本文将重点总结数的整除和倍数的相关知识点，帮助读者加深对这一概念的理解。
一、数的整除1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得a = b × q，则称a能整除b，记作a|b。
其中，a称为除数，b称为被除数，q称为商。
2. 零的情况：任何非零整数a都能整除零，即a|0。
3. 一的情况：任何整数a都能整除1，即a|1。
4. 整除的性质：a) 如果a|b且b|c，则a|c（传递性）。
b) a|b且a|c，则a|(b ± c)。
c) a|b且a|c，则a|(mb ± nc)，其中m、n为任意整数。
5. 整除的判定定理：a) 末位数字法：一个整数能被2整除，当且仅当它的个位数是0、2、4、6、8。
b) 各位数字之和法：一个整数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。
c) 末位为0或5法：一个整数能被5整除，当且仅当它的个位数是0或5。
d) 末位为0且前两位数能被4整除法：一个整数能被4整除，当且仅当它的末位和十位组成的两位数能被4整除。
e) 末位为0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除：一个整数能被11整除，当且仅当它的个位数是0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除。
二、数的倍数1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得b = a × q，则称b 是a的倍数，a称为因数。
2. 特殊倍数：a) 正整数a的倍数都是正整数。
b) 零是任何整数的倍数。
c) 一个整数是自身的倍数。
3. 最小公倍数：最小公倍数是指某两个数同时是另一个数的倍数的最小值。
4. 求最小公倍数的方法：a) 分解质因数法：将两个数分解质因数，取每个因数的最高次幂相乘即为最小公倍数。
b) 列表法：列出两个数的倍数，找出它们的公共倍数中最小的一个即为最小公倍数。
《数整除复习》课件
下一步学习计划
深入学习数论中的其 他概念和定理，如质 数、合数、最大公约 数等。
尝试解决一些复杂的 数学问题，以提高自 己的数学素养和解题 能力。
通过阅读相关书籍和 论文，了解整除在数 学和其他领域的应用 。
2023-2026
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REPORTING
综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题 目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个 数b得到的结果是整数， 那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决 一些与图形和空间有关的问题。例如， 当我们需要计算一个图形的周长或面积 时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成 若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需 要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精 确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当 我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的 方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。 例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。
数的整除整理和复习
数的整除整理和复习数的整除，是小学数学的一项重要知识点。
本文将对整除的相关概念进行探讨和复习，并介绍整除在实际生活中的应用。
一、整除的基本概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当两个数相除后没有余数时，则称这两个数满足整除关系。
符号表示为：a|b，即a能够整除b。
例如，2能够整除8，即2|8。
在整除的定义中，需要注意两个概念：除数和被除数。
其中，除数是指用来除的数，被除数是被除的数。
以2|8为例，2是除数，8是被除数。
除数和被除数都是整数，如果除数为0，则除数和被除数均为0才能满足整除。
因为任何数除以0，结果都无法确定。
二、整除的性质整除有以下性质：1.整数是自己的约数，即任何一个整数都能被1和自身整除。
2.如果a能够整除b，b能够整除c，则a一定能够整除c。
即，如果a|b，b|c，那么a|c。
3.如果a能够整除b，a能够整除c，则a也能够整除b+c。
即，如果a|b，a|c，那么a|(b+c)。
4.如果a能够整除b，那么a的倍数都能够整除b。
即，如果a|b，那么ka|b，其中k是任意整数。
5.如果a能够整除b且a能够整除c，那么a能够整除它们的最大公约数。
即，如果a|b，a|c，那么a|(b,c)，其中(b,c)表示b和c的最大公约数。
三、整除的规律在整除的运算过程中，还存在着一些规律。
1.奇数整除偶数，结果为偶数。
例如，3|6，结果为2。
2.偶数整除奇数，结果为奇数。
例如，6|3，结果为2。
3.能够被5整除的数，其末位数字必须是0或5。
4.能够被2和5同时整除的数，其末位数字必须是0。
5.能够被3和9同时整除的数，其各个数字的和也能够被3和9整除。
例如，63能够被3和9整除，因为6+3=9能够被3和9整除。
四、整除的应用整除在实际生活中有很多应用。
以下是其中一些例子：1.商场促销活动：商场在进行促销活动时，通常会给顾客发放优惠券。
例如，发放10元优惠券的条件为满100元减10元。
此时，如果顾客买了200元的商品，应该给顾客发放多少张优惠券呢？计算方法是：200÷100=2，即2张优惠券。
《数的整除总复习》课件
整除与分治策略在数学中有着广泛的应用。例如，在求解最大公约数和最小公倍数时，常常采用分治 策略，将问题分解为更小的部分，分别求解后再合并结果。这种方法能够简化问题，提高解题效率。
整除与数论的关系
总结词
数论是研究整数的性质和结构的数学分 支，整除是数论中的一个基本概念。
VS
详细描述
整除是数论中的一个核心概念，它是整数 的一个基本性质。通过研究整除的性质和 规律，可以深入了解整数的结构，进一步 探索数论中的其他问题。同时，整除也为 密码学、计算机科学等领域提供了重要的 理论基础和应用价值。
05
数的整除拓展
整除与同余式
总结词
同余式是整除的一种扩展，它描述了整数在模运算下的等价关系。
详细描述
同余式是数论中的一个重要概念，它表示两个或多个整数在模运算下具有相同 的余数。整除是同余式的一个特例，即当模数为1时，如果一个数a能被另一个 数b整除，则a与b模1同余。
整除与分治策略
总结词
分治策略是将复杂问题分解为若干个简单子问题，通过解决子问题来达到解决原问题的目的。
逻辑推理
03
利用整除性质进行逻辑推理是解决一些数学竞赛问题的重要方
法。
在日常生活中的应用
购物优惠
商家经常使用整除点来设置商品价格，以提供优 惠或促销活动。
时间计算
在日程安排和时间管理中，整除常用于计算时间 间隔或确定特定时间点。
金融计算
在投资和理财方面，整除在计算复利、评估风险 和制定预算时非常有用。
整除的唯一分解定理
总结词
整除的唯一分解定理是指，一个正整数可以表示为若干个质数的乘积，并且这种 表示方法是唯一的。
详细描述
这是整除的一个重要定理，它告诉我们一个正整数可以分解为若干个质数的乘积 ，而且这种分解方式是唯一的。这个定理在数学中有着广泛的应用，因为它可以 帮助我们更好地理解整数的结构，并解决与整数有关的数学问题。
中考专题3材料阅读题
中考专题3:材料阅读题类型一：代数1（整除类）1. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n ba=，即bn a =。
例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a=3，即n a 3=。
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。
例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。
请你证明任意一个四位数都满足上述规律。
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
2. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除； （3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？4. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b=，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得11an =，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”. ①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。
本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。
即b能够整除a。
例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。
因此，3是9的因数，9是3的倍数。
需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。
二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。
2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。
唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。
例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。
20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。
唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。
这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。
3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。
最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。
求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。
这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。
例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。
三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。
余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。
数的整除知识总复习
公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍 数.
例:(12,24,36 …)都是4和6的公倍数,(12 )是4和6的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
你能举些 例子吗?
能被5整除的数的特征: 个位上是0或5
能被3整除的数的特征:各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0
能同时被2,3,5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的 数字的和能被3整除.
注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来, 这是大家在约分中容),a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.
约数
一个数的约数的个数是有 限的,其中最小的约数是1, 最大的约数是它本身.
倍数
一个数的倍数的个数是无 限的,其中最小的倍数是它 本身,没有最大的倍数.
约数和 倍数是 相互依 存的
3. 能被整除的数的特征
能被2整除的数的特征: 个位上是0,2,4,6,8,
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
30=2×3×5
把30分解质因数正确的做法是( C ) A.30=1×2 ×3 ×5 1不是质数 B.2 ×3 ×5=30 书写格式不符
C.30=2×3×5
7. 最大公约数和最小公倍数
公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
1. 整除与除尽
整除: 整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数, 我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.
第1课 实数及数的整除
中考第一轮复习第1课数的整除、实数的有关概念及计算【知识点梳理】考点一：数的整除1．整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
用式子表示:如果 a÷b=c(其中a、b，c都为整数)称a能被b整除或b能整除a。
（区分两种表述）12÷3=4，那么能被整除；能整除2. 整数a被整数b整除,a叫b的倍数,b叫a的因数 (也称为约数)因数和倍数是相互依存的。
一个正整数的因数的个数是的(填:无限或有限)，其中最小的因数是，最大的因数是。
★3.能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是04. 能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫奇数★5.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数。
1既不是素数也不是合数6.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
★把一个合数用几个素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
(短除法)7.几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
★求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数★8.两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
9.几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
★求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数是1。
两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
初中代数知识点整理赵雨莲
代数知识点整理一、数的整除①整除：整数a除以b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a②因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）③能被2、5整除的数：个位上是0，2，4，6，8，的整数都能被2整除个位上是0或5的整数都能被5整除④奇数：…-7，-5，-3，-1，1，3，5，7…偶数：…-6，-4，-2，0，-2，4，6，…素数（也叫质数）：只有1和它本身两个因数的数。
例如：2，3，5，7，11，13⑤正整数 1：既不是素数也不是合数合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数.例如：4，6，8，9，10，12⑥素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素⑦公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做他们的最小公倍数二、实数（有理数和无理数的统称）正整数自然数整数零有理数负整数实数分数无理数-----------无限不循环小数叫做无理数(如 ，5，0.1010010001…)有理数都可以写成ab（a、b是整数，且b≠0）的形式无理数不能写成分数ab（a、b是整数，且b≠0）的形式①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把较大的绝对值减去较小的绝对值有理数的加减法③一个数与零相加，仍得这个数④加法交换律：a+b=b+a⑤加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）⑥减去一个数，等于加上这个数的相反数①两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）②除以一个数等于乘以这个数的倒数③任何数与零相乘，都得零 有理数的乘除法 ④零除以任何一个不等于零的数，都得零⑤乘法交换律：ab=ba⑥乘法结合律：（ab ）c=a （bc ）⑦乘法分配律：a （b+c ）=ab+ac有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。
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1、整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数，余数为0，那么称a 能被b 整除，b 能整除a 。
2、在正整数范围内，如果数a 能被数b 整除，那么a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数。
一个正整数的因数个数是有限的，其中最小的一个因数是1，最大的一个因数是它本身。
3、能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、
4、6、8的数都能被2整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的数都能被5整除；能同时被2、5整除的数的特征：个位数字为0.
4、能被2整除的正整数为偶数，不能被2整除的正整数为奇数。
5、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）；一个正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
6、正整数按照含因数的个数分类，可以分为素数、合数和1三类。
7、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
8、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。
9、若两个数的公因数只有1，则称这两个数互素。
10、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
11、分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或除以一个不为零的数，所得的分数与原分数相等。
即)0,0,0(≠≠≠÷÷==n k b n
b n a bk ak b a 。