知识讲解_直线的一般式方程及综合_基础
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直线的一般式方程及综合
编稿:丁会敏审稿:王静伟
【学习目标】
1.掌握直线的一般式方程;
2.能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处;
3.能利用直线的一般式方程解决有关问题.
【要点梳理】
要点一:直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.
要点诠释:
1.A、B不全为零才能表示一条直线,若A、B全为零则不能表示一条直线.
当B≠0时,方程可变形为
A C
y x
B B
=--,它表示过点0,
C
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
,斜率为
A
B
-的直线.
当B=0,A≠0时,方程可变形为Ax+C=0,即
C
x
A
=-,它表示一条与x轴垂直的直线.
由上可知,关于x、y的二元一次方程,它都表示一条直线.
2.在平面直角坐标系中,一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程(如斜率为2,在y轴上的截距为1的直线,其方程可以是2x―y+1=0,
也可以是
11
22
x y
-+=,还可以是4x―2y+2=0等.)
要点二:直线方程的不同形式间的关系
要点诠释:
在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率,两点式是点斜式的特例,其限制条件更多(x1≠x2,y1≠y2),应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式,即可消除局限性.截距式是两点式的特例,在使用截距式时,首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的方程也不同.
要点三:直线方程的综合应用
1.已知所求曲线是直线时,用待定系数法求.
2.根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程.
对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同. (1)从斜截式考虑
已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,
12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠; 1212121122
1
tan cot 12
l l k k k k π
αααα⊥⇒-=
⇒=-⇒=-
⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+;垂直的直线可以设为21
y x b k
=-+. (2)从一般式考虑:
11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 1212120l l A A B B ⊥⇔+=
121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠,记忆式(
111
222
A B C A B C =≠) 1l 与2l 重合,12210A B A B -=,12210A C A C -=,12210B C B C -=
于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=;垂直的直线可以设为
0Bx Ay D -+=.
【典型例题】
类型一:直线的一般式方程
例1.根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式: (1
A (5,3);
(2)过点B (―3,0),且垂直于x 轴;
(3)斜率为4,在y 轴上的截距为―2; (4)在y 轴上的截距为3,且平行于x 轴; (5)经过C (―1,5),D (2,―1)两点; (6)在x ,y 轴上的截距分别是―3,―1.
【答案】(1
30y -+-=(2)x+3=0(3)4x ―y ―2=0(4)4x ―y ―2=0 (5)2x+y ―3=0(6)x+3y+3=0 【解析】 (1
)由点斜式方程得35)y x -=-
30y -+-=.
(2)x=―3,即x+3=0.
(3)y=4x ―2,即4x ―y ―2=0. (4)y=3,即y ―3=0. (5)由两点式方程得
5(1)
152(1)
y x ---=----,整理得2x+y ―3=0. (6)由截距式方程得
131
x y +=--,整理得x+3y+3=0.
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x 的系数为正,x ,y 的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式. 举一反三:
【变式1】已知直线l 经过点A (―5,6)和点B (―4,8),求直线的一般式方程和截距式方程,并画图. 【答案】2x -y+16=0
1816
x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x -y+16=0,截距式方程为1816
x y
+=-.图形如右图所示.
【高清课堂:直线的一般式 381507 例4】
例2.ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --,B ∠、C ∠的平分线在直线10y +=和
10x y ++=上,求直线BC 的方程.
【答案】230x y +-=
【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ,所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上,B 点关于C ∠的平分线 的对称点'B 也在BC 上.写出直线''A B 的方程,即为直线BC 的方程.
例3.已知直线1:310l ax y ++=,2:(2)0l x a y a +-+=,求满足下列条件的a 的值.(1)12//l l ;(2)
12l l ⊥.
【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。 【答案】(1)a=3(2)3
2
a = 【解析】
(1)当12//l l 时,
1221(2)130
3(2)10A B A B a a a a -=--⨯=⎧⎨
--⨯≠⎩
, 即2230220
a a a ⎧--=⎨+≠⎩,解得a=3. 所以,当a=3时,12//l l .
(2)当12l l ⊥时,A 1A 2+B 1B 2=a ×1+3×(a ―2)=0,即4a ―6=0,解得32
a =
.