2018年高考数学—导数专题

导数

(选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x

x在x＝

π

2处的切线方程为()

A.y＝0

B.y＝2π

C.y＝－

4

π2

x＋

4

π

D.y＝

4

π2

x

解析∵y′＝x cos x－sin x

x2，∴y′|x＝

π

2＝－

4

π2

，

当x＝π

2时，y＝

2

π

，

∴切线方程为y－2

π

＝－

4

π2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x－

π

2

，即y＝－

4

π2

x＋

4

π

.

(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.

解析因为f(x)＝(2x＋1)e x，

所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x，

所以f′(0)＝3e0＝3.

(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.

解析y′＝a－

1

x＋1

，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，

所以a＝3.

(2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()

A.x＋y－1＝0

B.x－y－1＝0

C.x＋y＋1＝0

D.x－y＋1＝0

解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).

又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，

y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，

解得x 0＝1，y 0＝0.

∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.

(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1

x ，y ′|x ＝1＝2.

∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2

＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.

由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.

设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).

∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.

答案 8

(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P

点的坐标为( ) A.(1，3)

B.(－1，3)

C.(1，3)和(－1，3)

D.(1，－3)

解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. (2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________.

解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.

(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________.

解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1

x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0

(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1

x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.

解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1)

(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值；