初等数学研究(八)轨迹

P 2； 3 4 l，
l ， AC 3＝ P 3；
取 B 3 C 3 的中点为
A
B3 · P3 B2
顺 次 连 接 P1、P2、P3、 P1′，可以看到它们大致在 一条直线上，故可猜测：轨 迹的图形可能是以P1、P1′ 为端点的线段。［证明可参 看赵振威本P144例2，请大家 自行完成］
·· P1 · ·· P1′ C P P2 · 2 B
如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。
解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类
形式，故称为轨迹问题。
似：①探求轨迹图形的形状、和位置；②证明；③讨
论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的一 种类型。
11
四、轨迹命题举例(一)

第一类型
例3. 一底边固定而其邻边 为定长的平行四边形的对角线的 交点的轨迹，为以固定底边的中 点为圆心，以定长为直径的圆。
3.描迹法
请大家留意 关于描迹法的注 意点！
29
例12．三角形有一内角固定，夹此角的两边的和
为定值，求第三边中点的轨迹。
题设：在△ABC中，
A
角A的位置固定，
AB＋AC＝l(定长)，
P为BC的中点。
求：点P的轨迹。
·
B
P
C
30
先寻求轨迹中的一些特殊
点。当C点移动到A点处，则P 在P1位置：AP1＝
第八讲 轨迹及探求
1

一、轨迹的意义
1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，
称为符合条件C的点的轨迹。
2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点 轨迹，必须从以下两方面去证明： (1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性) (2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性)
2

1 2wk.baidu.coml
探求：
AC
B B
；当B点
移动到A点处，则P在P1′位置， AP1′＝
l 。因此，P1与P1′为轨 2 1
C C C C
P1 · · P B B1
C · 1′ P
迹的临界点，因而轨迹可能是 线段或圆弧。
C1
31
令 AB 2＝
1 3
l ， AC 2＝
2 3
l，
继续探求：
取 B 2 C 2 的中点为 令 AB 3＝ 1 4
轨迹命题的一般形式是“具有××性质的
点的轨迹是××图形”。其中命题的题设部分 就是轨迹的条件C，结论部分就是轨迹的图形F。
由于对轨迹的图形F的叙述的方式不同，轨迹命
题通常分为三种类型。
7
1.第一类型
命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形 状、大小(如果有大小可言)和位置。

如：平面内到两个定点距离相等的点的轨 迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。
O
B
·
C
及∠OCT的平分线CP，从圆
心O作这条角平分线的垂线， 求定垂足P的轨迹。
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过 O 作 直 径 AB 的 垂 半 径
探求：
OD，则已知图形关于OD对称；
由于条件也关于OD对称，故轨
DN
迹应关于OD对称。当点C趋近
于B时，所论角平分线趋近于
H A
FT
P
· M · ·G
O E E B C
BD，动点P趋近于BD的中点G，
·
·
O
B
·
A D
给定的半圆及条件皆关于
OM 对 称 ， 所 以 轨 迹 也 应 以 OM为对称轴。
C P M
·
·
O
B
设P是满足条件的任意点，连PM，
则 ∵CD＝OP，OC＝OM， A
·
D
∠OCD＝∠MOP，有
△OCD≌△MOP，∴∠OPM＝ ∠CDO＝90°
故可预测所求轨迹应 为以OM为直径的圆。
12
已知：AB为定线段，另一
定长为 l (如图)，ABCD是以线 段AB为一边、邻边 AD=l 的一 平行四边形，⊙O是以AB中点
l
D A
P
C B
· .O
l 为圆心， 2 为半径的圆。
求证：这样的平行四边形的
对角线交点的轨迹就是⊙O.
13
证明：(1)完备性
l 设P为平行四边形 ABCD的对角线AC、 BD的交点，连OP，则 因O是AB的中点，P是 BD的中点，知OP是 A D

4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是 和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线;

5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是
以已知点为圆心,以定长线段为半径的圆;

6.对一条线段所张的角等于定角的点的轨迹,是 以这条线段为弦,所含的圆周角等于这定角的两个弧.
6
三、轨迹命题的三种类型

因而点G及和G关于OD对称的
点H(AD的中点)为轨迹的两个
端点。
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2.找特殊点法
探求轨迹时可以使其 动点移动到一些特殊的位 置上，从而求轨迹上相应 的特殊点，然后再根据这 些特殊点的位置来判断所 求的图形，这种方法称为 特殊点法。这种方法常同 性质预测法一起使用。
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例8.AB是定半圆 所在圆的直径，O是圆 心，C是半圆上一个动 点，CD⊥AB，D是垂 足，在半径OC上截取 OP使OP＝CD，求P点 的轨迹。(如图)
A
.
P′
B C′
由于O、P′分别是AB、BD′的中点，因而AD′=2OP′，而P′在 ⊙O上，OP′=
1 2 l
。
1 2 l
因此，AD′=2OP′=2×
=l。
即⊙O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长l为
邻边的平行四边形的对角线交点。
综合 (1)、(2)命题得证。
15
关于轨迹上的特殊点

16
第二类型
解决这类命题
与第一类命题比较， 需增加探求过程，
即通过合理的猜测
或预测确定轨迹图 形的大小(有大小可 言)和位置，再如同 第一类命题进行证
明、讨论。
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例4. 和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是一个 已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使 PA︰PB=m(常
圆周，称为阿氏圆。 数) (m≠1)
E · F
B
·
CG ·
BC、CA引垂线所得的垂
足，并且E、F、G三点共 线。

·
P
求：P点的轨迹。
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小结： 前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题 常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还 应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限， 否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周 密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴
B1
·
C
·3 C
C1
32
4．间接求迹法

(1)直接求迹法

(2)间接求迹法
通过类比、比较由熟知命题或 熟知图形推测轨迹图形的方法，称 为间接求迹法。
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例3．一个动点向定三角形的三边引垂线，并且三
个垂足是共线的，求这个动点的轨迹。 A

题设：△ABC为定三角形， P为动 点 ， E、F、G分 别 是从P向△ABC的三边AB、
为命题中并未告知图 形的形状、大小和位
置，均需由解题者探
求、预测。
21
常用的五种探求方法

1.性质预测法.


2.找特殊点法.
3.初等变换法.


4.描迹法.
5.间接求迹法.
22
1.性质预测法
主要是根据轨迹的对 称性和范围来探求轨迹。
T
P
例7.
从已知半圆直径AB延
A
长 线 上取一 点 C， 作 切 线 CT
P
C B
· .O .O
△ABD的中位线，从
而 OP
1 2 AD 1 2 l ，即
点P在⊙o上
14
(2)纯粹性
设P′是⊙O上的任一点，连AP′并延
长至C′点，使P′C′=AP′,连BP′并延长 到D′点，使P′D′= BP′，则ABC′D′是 一个平行四边形，对角线交点为P′。
l D P .O D′ C
完备性、纯粹性的等价命题 (1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C； (2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。 也就是说(1) (1′)，(2) (2′)，
所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)；(1′)(2′)四种 不同的形式(其实质相同) 一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。
26
C
·
A D
P
·
O
B
探求：由已知条件看出，动
点P随C点的移动而移动。当C点移 动 到 A 点 的 位 置 时 ， OP＝CD＝0， 即点P与圆心O重合，故而O是轨迹 上一个特殊点。当C点移动到AB弧 的中点M的位置时，OP＝CD＝OM， 即P点与M点重合，因此M是轨迹上 的又一特殊点。
27
M C P
19
证明：(1)完备性
由探求可知，凡符合条件的 点都在以CD为直径的圆上。
P
.
B
E
. ·. .
A C
·
.
D
F
(2)纯粹性
设P是以CD 为直径的圆周上任一点，
由于AC︰CB=AD︰DB=m；
连PA、PB 、PC、PD，过
点C作直线平行于PD，分 别交PA、PB于E、F两点。
所以AC︰AD=CB︰BD(交换内项)；
这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)题或其 他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证明。
5

1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是 连结这两点的线段的垂直平分线;

2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是 平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线;

3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是
和这两条直线平行并且距离相等的一条直线;
则EC︰PD=CF︰PD；于是 EC=CF. 又 PC⊥PD，EF∥PD .∴PC⊥EF .
则EC︰PD=AC︰AD，
CF︰PD=CB︰BD .
从而PC平分∠APB，
因此PA︰PB=AC︰CB=m; 即点P符合条件，命题得证。
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第三类型
轨迹命题的第三 类型解决起来比第二 类型更复杂一些，主
要体现在探求上，因
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法 。
件 来 确 定 轨 迹 。 这 种 方 法 称 为 描 迹
和 位 置 ， 然 后 按 照 定 形 、 定 位 的 条
来 ， 初 步 得 到 所 求 轨 迹 的 大 致 形 状
用 光 滑 的 曲 线 直 线 把 它 们 连 接 起 ) (
按 照 题 设 条 件 作 出 轨 迹 若 干 点 ， 再
3
例题选讲

例1.求证：
对定线段AB张的
角等于定角α的点P的
P P′. P
· α
α α
· ·
m
P
轨 迹 ， 是 以 AB 为 弦 ，
所含的圆周角等于α 的两个弧：弧AmB和弧 Am′B。
A
B
· P·
P
·
· m′
P
4
P
二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理

中学几何课本中的六个基本轨迹定理：
1、2、3、4、5、6
探求：倘若P点合乎条
件，易知P点关于直线AB的
P
.
.
B
对称点也合乎条件，即所
求圆周应以AB为对称轴，
.
A
那么圆周直径就在直线 AB
上了。
18
在线段AB及延长线上分别取 C、D，并使AC︰CB=AD︰
P
.
DB=m,则C、D合乎条件，故轨
迹可能是以CD为直径的圆周。
. .
A C
.
B
.
D
连PC、PD，则PC、PD分别为 △PAB中∠APB的内、外角平分线，因 而PC⊥PD，可见P确为以CD为直径的 圆周上一点。
解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探
知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的
方法步骤大致为： ①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定； ②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］
③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。
(有些特殊的点、线问题)
10
3.第三类型

命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题
这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即 可。证明步骤是：
①证完备性；②证纯粹性；③下结论。
8
2.第二类型

命题的结论中给出了轨迹图形的形状，
而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不 完全，或没有涉及。 如：平面内到两个定点距离相等的点的
轨迹，是一条直线。
9

这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是 临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置 有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应 指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
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含着的多种情况。
35
日
今
作
作 业：
业
1．在RtΔABC的斜边BC上取一点D，在BC的
延长线上取点E，使D为BE的中点，C为DE的中点， E与E′关于AC对称，BE′交AC于F，求证：AD=E′F。 2．给定两点A、B，l为通过A的动直线，则点B 关于直线l的对称点P的轨迹，是一个以A为中心，
以AB为半径的圆。