分支限界法经典案例算法分析

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第6章分支限界法(1-例子)

5
6.3 装载问题
3. 算法的改进
// 检查右儿子结点 // 检查左儿子结点 Type wt = Ew + w[i]; if (wt <= c) { // 可行结点右儿子剪枝
if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); // 可能含最优解 Q.Delete(Ew);// 取下一扩展结点提前更新 bestw
5. 优先队列式分支限界法
解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存储活结点表。活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的路径所相应的载重量再加上剩余集装箱的重量之和。优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解。此时可终止算法。
while6.3 (true)装载问题 { // 检查左儿子结点 2. 队列式分支限界法 if (Ew + w[i] <= c) // x[i] = 1 EnQueue(Q, Ew + w[i], bestw, i, n); // 右儿子结点总是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 if (Ew == -1) { // 同层结点尾部 if (Q.IsEmpty()) return bestw; Q.Add(-1); // 同层结点尾部标志 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 i++; // 进入下一层 } }
if (wt > bestw) bestw = wt; // 加入活结点队列 if (i < n) Q.Add(wt); }

9——分支限界法

14

2 例9.1-限界
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
x2=0
x3=1 x3=0
x3=0 x3=1
x3=0 x3=1 x3=0
7
8

9
10
11 12
13
14
15
W={50,10,10},C1=60。在此例中，结点3所在分支的所有子树中，装载货物的最大可能是多少？ 20。
20
2 例9.1-算法2 FIFO分支限界
AddLiveNode(folat wt,int i, QNode *E, int ch) { Qnode *b; if (i=n) //叶子 { if (wt>bestw) //目前的最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch;} //bestx[n]取值为ch return; } b = new QNode; // 不是叶子, 添加到队列中 b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; add (Q,b) ; }
3 7 14 15

分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成E-结点所有分支，也就是所有的儿子结点。和回溯法一样，可以在生成的结点中，抛弃那些不满足约束条件的结点，其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点。选择下一个E-结点方式的不同导致几种分支搜索方式：
8
2 例9.1 装载问题
子集树
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6

第6章分支限界法

通常采用最大堆或最小堆来实现优先队列式分支限界法求解问题。
可以用如下方法求得最优解中的分量：1）对每个扩展结点保存
该结点到根结点的路径；2）在搜索过程中构建搜索经过的树结
构，在求得最优解时，从叶子结点不断回溯到根结点，以确定最
优202解0年中7月的19日各个分量。
21
提纲
一、分支限界法的基本思想二、单源最短路径问题三、装载问题四、0-1背包问题五、最大团问题六、旅行售货员问题
E 使总的路程最短。
23
F GH I J K 43 42 32
L MN O P Q
2020年7月19日
17
分支限界法解旅行售货员问题
FIFO队列：
活结点队列： {{F{CED}G,{,GH,FD{,E{IH,,J{,GHIJEK{F,IJK,,}KIHG,J},KJ},}KI,K}}}}
B
2
3
4
1 30 2
2020年7月19日
24
2.2单源最短路径问题算法思想
用一最小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
[G] N, 0 =>N(25), O(0)
不搜索以不可行结点为根的子树
优先队列式分支限法：
[A] B, C => B(45), C(0)

第7章--分支限界法NEW

& Analysis
Algorithm
USTB
例：0-1背包问题。假设有4个物品，其重量分别为(4, 7, 5, 3)，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量W=10。首先，将给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下：价值/重量价值重量 (v/w) 10 6 5 4
12
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法与回溯法的比较
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。（2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
16
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
用分支限界法求TSP
TSP是求排列的问题，不是仅找一条路径而已。因而需要对分支限界法的一般算法作些修改： (1)待扩展的结点如果在本路径上已经出现，则不再扩展，但若是在其他路径上出现过，则仍需要扩展。 (2) (2)新结点，无论其优劣，既不影响其它路径上的结点，也不受其它路径上的结点的影响。 (3)依据上界函数决定结点是否可以剪去。
17
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法求排列
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open; ⑵while (Open ≠Φ) { ⑶ 从Open中取出[p, f(p), L]; //L是路径已有结点 ⑷ 若f(p)≥U，则抛弃该路径； ⑸ 若p是目标，则考虑修改上界函数值；否则 p ⑹ {将[p, f(p), L]放入Closed; ⑺ 在该路径上扩展结点p；对每个后继d ⑻ {计算f(d)； ⑼ 若f(d)＜U, 则{L = L ∪{p}; 将[d, f(d),L]依序放入Open。} }}}

售货员问题的分支限界算法设计

售货员问题的分支限界算法设计售货员问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条最短的路径，让售货员访问每个城市一次并回到起始城市。

分支限界算法是一种常用于解决组合优化问题的方法之一，可以用于 TSP。

以下是一个简单的分支限界算法设计框架：问题定义：将售货员问题明确定义为一个具体的数学模型，包括城市之间的距离矩阵等。

状态空间树的构建：将问题表示为状态空间树，其中每个节点代表问题的一个可能状态，每个边代表状态之间的转移。

起始节点对应于售货员的起始城市。

界的计算：在每个节点上计算一个上界（可行解的上界）和一个下界（最优解的下界）。

这些界用于指导搜索。

搜索过程：使用深度优先搜索或广度优先搜索策略，通过分支和界的计算逐步构建状态空间树，直到找到最优解或搜索完整个状态空间。

分支操作：在每个节点上，生成所有可能的分支（城市的排列顺序），并计算每个分支的成本。

剪枝操作：对于某些分支，如果它们的成本已经超过已知的最优解，可以剪枝，减少搜索空间。

更新最优解：在搜索过程中，不断更新已知的最优解。

终止条件：当搜索到达树的叶子节点时，或者当已知的最优解不再被更新时，算法终止。

下面是一个简单的伪代码示例，演示了 TSP 的分支限界算法：function traveling_salesman(node, cost):if is_leaf(node):update_best_solution(cost)else:for each branch in generate_branches(node):if cost_of(branch) < current_best_solution_cost:traveling_salesman(branch, cost + cost_of(branch))在这个伪代码中，generate_branches 生成当前节点的所有可能分支，is_leaf 判断节点是否是叶子节点，cost_of(branch) 计算分支的成本。

C++用分支限界法求解最短布线问题

实验要求：用分支限界法解此最短布线问题。
分支限界法类似回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。但分支限界法只找出满足约束条件的一个最优解，并且以广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树T。树T是一棵子集树或排列树。在搜索时，每个结点只有一次机会成为扩展结点，并且一次性产生其所有儿子结点。从活结点表中选择下一扩展结点有两种方式：（1）队列式（FIFO）（2）优先队列式。分支限界法可广泛应用于单源最短路径问题，最大团问题，布线问题，电路板排列问题等。
{
q=q->next;
}
q->next=t;
return;
}
Position outq()
{
Position out;
out.row=team_l->x;
out.col=team_l->y;
team_l=team_l->next;
return out;
}
void Find_path()
{
Position offset[4];
{
cout<<"请输入占用点的坐标(x,y): ";
cin>>x>>y;
if(x<0 || x>m+1 || y<0 || y>n+1 || (x==start.row && y==start.col) || (x==end.row && y==end.col))
{
cout<<"输入错误,请重新输入!!!\n";
{
cout<<"\n没有结果!!!\n";

分支限界法实验(单源最短路径)

算法分析与设计实验报告第七次实验姓名学号班级时间12.26上午地点工训楼309实验名称分支限界法实验(单源最短路径)实验目的1.掌握并运用分支限界法的基本思想2.运用分支限界法实现单源最短路径问题实验原理问题描述：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。

要求图G的从源顶点s 到目标顶点t之间的最短路径。

基本思想：下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。

其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。

为了加速搜索的进程，应采用有效地方式选择活结点进行扩展。

按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。

catch (int){break;}if(H.currentsize==0) //优先队列空{break;}}}上述有向图的结果：测试结果附录：完整代码（分支限界法）Shorest_path.cpp//单源最短路径问题分支限界法求解#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>#include"MinHeap2.h"using namespace std;template<class Type>class Graph //定义图类{friend int main();public:void shortest_path(int); private:int n, //图的顶点数*prev; //前驱顶点数组Type **c, //图的邻接矩阵*dist; //最短距离数组};template<class Type>class MinHeapNode //最小堆中的元素类型为MinHeapNode{friend Graph<Type>;public:operator int() const{return length;}private:int i; //顶点编号Type length; //当前路长};//单源最短路径问题的优先队列式分支限界法template<class Type>void Graph<Type>::shortest_path(int v){MinHeap<MinHeapNode<Type>> H(1000);//定义最小堆的容量为1000//定义源为初始扩展结点MinHeapNode<Type> E;//初始化源结点E.i=v;E.length=0;dist[v]=0;while(true)//搜索问题的解空间{for(int j=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]!=0)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//顶点i到顶点j可达，且满足控制约束//顶点i和j之间有边，且此路径小于原先从源点i到j的路径长度dist[j]=E.length+c[E.i][j];//更新dist数组prev[j]=E.i;//加入活结点优先队列MinHeapNode<Type> N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);//插入到最小堆中}try{H.DeleteMin(E); // 取下一扩展结点}catch (int){break;}if(H.currentsize==0)//优先队列空{break;}}}int main(){int n=11;int prev[12]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//初始化前驱顶点数组intdist[12]={1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000 };//初始化最短距离数组cout<<"单源图的邻接矩阵如下："<<endl;int **c=new int*[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) //输入图的邻接矩阵{c[i]=new int[n+1];for(int j=1;j<=n;j++){cin>>c[i][j];}}int v=1; //源结点为1Graph<int> G;G.n=n;G.c=c;G.dist=dist;G.prev=prev;clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();G.shortest_path(v);//调用图的最短路径查找算法//输出从源结点到目的结点的最短路径cout<<"从S到T的最短路长是："<<dist[11]<<endl;for(int i=2;i<=n;i++)//输出每个结点的前驱结点{cout<<"prev("<<i<<")="<<prev[i]<<" "<<endl;}for(int i=2;i<=n;i++) //输出从源结点到其他结点的最短路径长度{cout<<"从1到"<<i<<"的最短路长是："<<dist[i]<<endl;}for(int i=1;i<=n;i++) //删除动态分配时的内存{delete[] c[i];}delete[] c;c=0;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间cout<<endl;system("pause");return 0;}MinHeap.h#include<iostream>template<class Type>class Graph;template<class T>class MinHeap //最小堆类{template<class Type>friend class Graph;public:MinHeap(int maxheapsize=10); //构造函数，堆的大小是10~MinHeap(){delete[] heap;} //最小堆的析构函数int Size() const{return currentsize;} //Size()返回最小堆的个数T Max(){if(currentsize) return heap[1];} //第一个元素出堆MinHeap<T>& Insert(const T& x); //最小堆的插入函数MinHeap<T>& DeleteMin(T& x); //最小堆的删除函数void Initialize(T x[],int size,int ArraySize); //堆的初始化void Deactivate();void output(T a[],int n);private:int currentsize,maxsize;T *heap;};template<class T>void MinHeap<T>::output(T a[],int n) //输出函数，输出a[]数组的元素{for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;}template<class T>MinHeap<T>::MinHeap(int maxheapsize){maxsize=maxheapsize;heap=new T[maxsize+1]; //创建堆currentsize=0;}template<class T>MinHeap<T>& MinHeap<T>::Insert(const T& x){if(currentsize==maxsize) //如果堆中的元素已经等于堆的最大大小return *this; //那么不能在加入元素进入堆中int i= ++currentsize;while(i!=1 && x<heap[i/2]){heap[i]=heap[i/2];i/=2;}heap[i]=x;return *this;}template<class T>MinHeap<T>& MinHeap<T>::DeleteMin(T& x) //删除堆顶元素{if(currentsize==0){cout<<"Empty heap!"<<endl;return *this;}x=heap[1];T y=heap[currentsize--];int i=1,ci=2;while(ci<=currentsize){if(ci<currentsize && heap[ci]>heap[ci+1])ci++;if(y<=heap[ci])break;heap[i]=heap[ci];i=ci;ci*=2;}heap[i]=y;return *this;}template<class T>void MinHeap<T>::Initialize(T x[],int size,int ArraySize) //堆的初始化{delete[] heap;heap=x;currentsize=size;maxsize=ArraySize;for(int i=currentsize/2;i>=1;i--){T y=heap[i];int c=2*i;while(c<=currentsize){if(c<currentsize && heap[c]>heap[c+1])c++;if(y<=heap[c])break;heap[c/2]=heap[c];c*=2;}heap[c/2]=y;}}template<class T>void MinHeap<T>::Deactivate(){heap=0; }。

算法设计与分析：第7章分支限界算法

7.3.1 0/1背包问题
问题描述
• ! "$ &# $%&"# &%& # %'
– $ – $ &
%$ &!
$ "# (
算法思想
• !!3 '$6;
• 2)&!";+0#
&&E) *
.2D,<
最小代价(LC)分支限界法
代价函数!(·)
• % "!(%) %
• % "! %( % )
– %
• !(%) = ∞#
– %
• ! % =
相对代价估计函数"!($)
• "!(')((')&! • & '
• '$% &' • "!(')" *
)' )#"!(*) ≤ "!(') (
代价估计函数"!($)
• "!(') "! ' = ) ' + ,+(')
//X进队列
if(x是一个答案结点&&cost(x)<U)
//X为答案结点时修正U
if(u(x)+e < cost(x)) U=u(x)+e ;
else{ U=cost(x); ans=x;} else if(u(x)+e < U) U=u(x)+e ; //X为非答案结点时修正U
}
E.@56
_ N8!O/4/\/2i"1#9)K<iK<'- 4i ?I 40iFMZ>I 40+(104)]6=76i"/2)%PT\/3i"1#19)K<i 6iK<'- ?IY 0iFMZ>I 10]6=60i"/3)%PT\

分支限界法求布线问题

布线问题：如图1所示，印刷电路板将布线区域划分成n*m个方格。

精确的电路布线问题要求确定连接方格a的中点到b的中点的最短布线方案。

在布线时，电路只能沿直线或直角布线，如图1所示。

为了避免线路相交，已经布线的方格做了封锁标记（如图1中阴影部分），其他线路不允许穿过被封锁的方格。

3 问题的算法选择题目的要求是找到最短的布线方案，从图1的情况看，可以用贪婪算法解决问题，也就是从a开始朝着b的方向垂直布线即可。

实际上，再看一下图2，就知道贪婪算法策略是行不通的。

因为已布线的放个没有规律的所以直观上说只能用搜索方法去找问题的解。

根据布线方法的要求，除边界或已布线处，每个E-结点分支扩充的方向有4个：上、下、左、右，也就是说，一个E-结点扩充后最多产生4个活结点。

以图2的情况为例，图的搜索过程如图3所示。

搜索以a为第一个E-结点，以后不断扩充新的活结点，直到b结束（当然反之也可以）。

反过来从b到a，按序号8-7-6-5-4-3-2-1就可以找到最短的布线方案。

从图3中也可以发现最短的布线方案是不唯一的。

且由此可以看出，此问题适合用分支限界搜索。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Position{int row;int col;}Position;typedef struct team{int x;int y;struct team *next;}team,*TEAM;Position start,end,path[100];TEAM team_l=NULL;int a[100][100];int m,n,path_len;void output(){int i,j;printf("\n|-------------------布线区域图-------------------|\n");for(i=0;i<m+2;i++){for(j=0;j<n+2;j++){printf("%5d",a[i][j]);}printf("\n");}printf("|------------------------------------------------|\n");return;}void input_data(){char yes;int x,y;printf("创建布线区域...\n\n");printf("请输入区域大小(行列的个数): ");scanf("%d,%d",&m,&n);printf("请输入开始点坐标(x,y): ");scanf("%d,%d",&start.row,&start.col);printf("请输入结束点坐标(x,y): ");scanf("%d,%d",&end.row,&end.col);printf("区域内是否有被占用点? (y/n) ");fflush(stdin);scanf("%c",&yes);fflush(stdin);while(yes=='y'){printf("请输入占用点的坐标(x,y): ");scanf("%d,%d",&x,&y);fflush(stdin);if(x<0 || x>m+1 || y<0 || y>n+1 || (x==start.row && y==start.col) || (x==end.row && y==end.col)){printf("输入错误,请重新输入\n");continue;}else{a[x][y]=-1;}printf("是否还有被占用点? (y/n) ");scanf("%c",&yes);fflush(stdin);}for(x=0;x<m+2;x++){a[0][x]=-1;a[m+1][x]=-1;}for(x=0;x<n+2;x++){a[x][0]=-1;a[x][n+1]=-1;}return;}void inq(Position p){TEAM t,q;q=team_l;t=(TEAM)malloc(sizeof(TEAM));t->x=p.row;t->y=p.col;t->next=NULL;if(team_l==NULL){team_l=t;return ;}while(q->next!=NULL){q=q->next;}q->next=t;return;}Position outq(){Position out;out.row=team_l->x;out.col=team_l->y;team_l=team_l->next;return out;}void find_path(){Position offset[4];Position here={start.row,start.col};Position nbr={0,0};int num_of_nbrs=4;int i,j;offset[0].row=0;offset[0].col=1; //右offset[1].row=1;offset[1].col=0; //下offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上printf("\n开始搜索路径...\n");if((start.row == end.row)&&(start.col == end.col)){ path_len = 0;return;}while(1){for(i=0;i<num_of_nbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(a[nbr.row][nbr.col]==0){a[nbr.row][nbr.col]=a[here.row][here.col] + 1;if((nbr.row == end.row) && (nbr.col == end.col)) break;inq(nbr); //nbr入队}}//是否到达目标位置finishif((nbr.row == end.row) && (nbr.col == end.col)) break;//或节点队列是否为空if(team_l==NULL){printf("\n没有结果\n");return ;}here=outq();}path_len=a[end.row][end.col];here=end;for(j=path_len-1;j>=0;j--){path[j] = here;for(i = 0;i < num_of_nbrs;i++){nbr.row = here.row + offset[i].row;nbr.col = here.col + offset[i].col;if(a[nbr.row][nbr.col] == j) //+ 2)break;}here=nbr;}return;}void out_path(){int i;printf("\n路径为:\n");printf("(%d,%d) ",start.row,start.col);for(i=0;i<path_len;i++){printf("(%d,%d) ",path[i].row,path[i].col);}printf("\n");return;}void main(){input_data();output();find_path();out_path();output(); }。

9第九章分支限界法

2 3
1
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 1617
4
例9.1 4-皇后问题
2 3
1
分支-限界法生成31个结点
4 5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
15 16 17 B
B
B
B
B
B
18 19 20 21 B B B B 30

12
9.2.1 LC-检索的基本思想
因此：不仅考虑结点X到一个答案结点的估计成本值ĝ(.)，还应考虑由根结点到结点X的成本h(X) 即：ĉ(X)=f(h(X))+ ĝ(X) f(.)是一个非降函数，使f(.)不等于0，可以减少算法作偏向于纵深检查的可能性，使算法优先检索更靠近答案结点且又离根较近的结点。
1 3 4 15 5 12 6 11 14 9 10 13 7 8 1 3 2 6 9 4 5 15 12
16
相当庞大
2 7 8
11 14 10 13
9.2.2 15-谜问题
LESS (1)=0 LESS (4)=1 LESS (12)=6 在具体求解问题之前判定：目标状态是否在这个初始状态的状态空间中。

8
9.1 一般方法(FIFO和LIFO分支限界)
9.2 LC-分支限界检索
9.2.1 LC检索的基本思想 9.2.2 LC检索例：15-谜 9.2.3 LC-检索的抽象化控制 9.2.4 LC-检索的特性
9.3 分支-限界算法
9

算法——分支限界法（装载问题）

算法——分⽀限界法（装载问题）对⽐回溯法回溯法的求解⽬标是找出解空间中满⾜约束条件的所有解，想必之下，分⽀限界法的求解⽬标则是找出满⾜约束条件的⼀个解，或是满⾜约束条件的解中找出使某⼀⽬标函数值达到极⼤或极⼩的解，即在某种意义下的最优解。

另外还有⼀个⾮常⼤的不同点就是，回溯法以深度优先的⽅式搜索解空间，⽽分⽀界限法则以⼴度优先的⽅式或以最⼩耗费优先的⽅式搜索解空间。

分⽀限界法的搜索策略在当前节点（扩展节点）处，先⽣成其所有的⼉⼦节点（分⽀），然后再从当前的活节点（当前节点的⼦节点）表中选择下⼀个扩展节点。

为了有效地选择下⼀个扩展节点，加速搜索的进程，在每⼀个活节点处，计算⼀个函数值（限界），并根据函数值，从当前活节点表中选择⼀个最有利的节点作为扩展节点，使搜索朝着解空间上有最优解的分⽀推进，以便尽快地找出⼀个最优解。

分⽀限界法解决了⼤量离散最优化的问题。

选择⽅法1.队列式（FIFO）分⽀限界法队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个队列，并将队列的先进先出原则选取下⼀个节点为当前扩展节点。

2.优先队列式分⽀限界法优先队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个优先队列，并将优先队列中规定的节点优先级选取优先级最⾼的下⼀个节点成为当前扩展节点。

如果选择这种选择⽅式，往往将数据排成最⼤堆或者最⼩堆来实现。

例⼦：装载问题有⼀批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1，c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。

可证明，采⽤如下策略可以得到⼀个最优装载⽅案：先尽可能的将第⼀艘船装满，其次将剩余的集装箱装到第⼆艘船上。

代码如下：//分⽀限界法解装载问题//⼦函数，将当前活节点加⼊队列template<class Type>void EnQueue(Queue<Type> &Q, Type wt, Type &bestw, int i, int n){if(i == n) //可⾏叶结点{if(wt>bestw) bestw = wt ;}else Q.Add(wt) ; //⾮叶结点}//装载问题先尽量将第⼀艘船装满//队列式分⽀限界法，返回最优载重量template<class Type>Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n){//初始化数据Queue<Type> Q; //保存活节点的队列Q.Add(-1); //-1的标志是标识分层int i=1; //i表⽰当前扩展节点所在的层数Type Ew=0; //Ew表⽰当前扩展节点的重量Type bestw=0; //bestw表⽰当前最优载重量//搜索⼦集空间树while(true){if(Ew+w[i]<=c) //检查左⼉⼦EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n); //将左⼉⼦添加到队列//将右⼉⼦添加到队列即表⽰不将当前货物装载在第⼀艘船EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);Q.Delete(Ew); //取下⼀个节点为扩展节点并将重量保存在Ewif(Ew==-1) //检查是否到了同层结束{if(Q.IsEmpty()) return bestw; //遍历完毕，返回最优值Q.Add(-1); //添加分层标志Q.Delete(Ew); //删除分层标志，进⼊下⼀层i++;}}}算法MaxLoading的计算时间和空间复杂度为O(2^n).上述算法可以改进，设r为剩余集装箱的重量，当Ew+r<=bestw的时候，可以将右⼦树剪去。

分支限界法经典案例算法分析

3. 算法的改进
6.3 装载问题
// 检查左儿子结点 Type wt = Ew + w[i]; // 左儿子结点的重量 if (wt <= c) { // 可行结点提前更新 if (wt > bestw) bestw = wt; bestw // 加入活结点队列 if (i < n) Q.Add(wt); } 右儿子剪枝 // 检查右儿子结点 if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); // 可能含最优解 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点
6.3 装载问题
1. 问题描述
有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且 n
w
i 1
i
c1 c2
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满； (2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
定义移动方向的相对位移
设置边界的围墙 for (int i = 0; i <= m+1; i++) grid[0][i] = grid[n+1][i] = 1; // 顶部和底部 for (int i = 0; i <= n+1; i++) grid[i][0] = grid[i][m+1] = 1; // 左翼和右翼
6.3 装载问题
将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知，装载问题等价于以下特殊的 0-1背包问题。例如：

分支限界法完课件

03
当前研究
目前，分支限界法已成为解决优化问题的主流算法之一，在各个领域都
有广泛的应用和研究。同时，随着人工智能和机器学习的快速发展，分
支限界法在这些问题中的应用也日益增多。
02
分支限界法的基本原理
搜索策略
01
02
03
深度优先搜索
按照深度优先的顺序搜索分支，尽可能深地搜索分支，直到达到目标状态或无法再深入。
结合人工智能技术，分支限界法可以处理更复杂的问题，例如组合优化问题、约束满足问题等，提高求解效率和精度。
分支限界法在机器学习中的应用
01
分支限界法可以应用于机器学习中的分类、回归和聚类等问题，通过优化搜索过程，提高模型的精度和泛化能力。
02
分支限界法可以结合深度学习技术，例如神经网络和强化学习等，为机器学习提供更高效、可靠的求解策略。
详细描述
生产调度问题是工业生产中常见的问题，旨在合理安排生产计划和资源分配，以提高生产效率和降低成本。分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并逐个求解子问题的候选解，能够处理大规模、高维度的生产调度问题，并给出近似最优解。
06
分支限界法的未来展望
人工智能与分支限界法的结合
人工智能技术为分支限界法提供了更高效、智能的求解策略，例如使用遗传算法、模拟退火算法等启发式搜索方法优化分支限界法的搜索过程。
组合优化
在组合优化问题中，如旅行商问题、背包问题、图着色问题等，分支限界法能够找到最优解或近似最优解。
分支限界法的历史与发展
01起源Biblioteka 分支限界法的思想起源于20世纪50年代，最早由贝尔实验室的科学家
提出。
02

《分支限界法》课件

《分支限界法》PPT课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题分支限界法的基本概念分支限界法的核心算法分支限界法的实现细节分支限界法的优化策略分支限界法的应用案例分析
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分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的算法
在求解过程中，分支限界法会不断地扩展问题的解空间，直到找到最优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
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分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题：使用分支限界法求解旅行商问题的最优解
背包问题：使用分支限界法求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使用分支限界法求解调度问题
的最优解
排班问题：使用分支限界法求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题无法处理多约束条件对问题的规模有限制无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪枝技术可以降低算法的复杂度
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空间复杂度：分支限界法需要存储问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解一些组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等

0034算法笔记——【分支限界法】最优装载问题

0034算法笔记——【分⽀限界法】最优装载问题问题描述有⼀批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且装载问题要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这个集装箱装上这2艘轮船。

如果有，找出⼀种装载⽅案。

容易证明：如果⼀个给定装载问题有解，则采⽤下⾯的策略可得到最优装载⽅案。

(1)⾸先将第⼀艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第⼆艘轮船。

1、队列式分⽀限界法求解在算法的循环体中，⾸先检测当前扩展结点的左⼉⼦结点是否为可⾏结点。

如果是则将其加⼊到活结点队列中。

然后将其右⼉⼦结点加⼊到活结点队列中(右⼉⼦结点⼀定是可⾏结点)。

2个⼉⼦结点都产⽣后，当前扩展结点被舍弃。

活结点队列中的队⾸元素被取出作为当前扩展结点，由于队列中每⼀层结点之后都有⼀个尾部标记-1，故在取队⾸元素时，活结点队列⼀定不空。

当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。

如果队列⾮空，则将尾部标记-1加⼊活结点队列，算法开始处理下⼀层的活结点。

节点的左⼦树表⽰将此集装箱装上船，右⼦树表⽰不将此集装箱装上船。

设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。

则当ew+r为了在算法结束后能⽅便地构造出与最优值相应的最优解，算法必须存储相应⼦集树中从活结点到根结点的路径。

为此⽬的，可在每个结点处设置指向其⽗结点的指针，并设置左、右⼉⼦标志。

找到最优值后，可以根据parent回溯到根节点，找到最优解。

算法具体代码实现如下：1、Queue.h[cpp]view plain copy1.#include/doc/951702836.htmling namespace std;3.4.template5.class Queue6.{7.public:8. Queue(int MaxQueueSize=50);9. ~Queue(){delete [] queue;}10.bool IsEmpty()const{return front==rear;}11.bool IsFull(){return ( ( (rear+1) %MaxSize==front )?1:0);}12. T Top() const;13. T Last() const;14. Queue& Add(const T& x);15. Queue& AddLeft(const T& x);16. Queue& Delete(T &x);17.void Output(ostream& out)const;18.int Length(){return (rear-front);}19.private:20.int front;21.int rear;22.int MaxSize;23. T *queue;24.};25.26.template27.Queue::Queue(int MaxQueueSize)28.{29. MaxSize=MaxQueueSize+1;30. queue=new T[MaxSize];31. front=rear=0;32.}33.34.template35.T Queue::Top()const36.{37.if(IsEmpty())38. {39. cout<<"queue:no element,no!"<40.return 0;41. }42.else return queue[(front+1) % MaxSize];43.}44.45.template46.T Queue ::Last()const47.{48.if(IsEmpty())49. {50. cout<<"queue:no element"<51.return 0;52. }53.else return queue[rear];54.}55.56.template57.Queue& Queue::Add(const T& x)58.{59.if(IsFull())cout<<"queue:no memory"<60.else61. {62. rear=(rear+1)% MaxSize;63. queue[rear]=x;64. }65.return *this;66.}67.68.template69.Queue& Queue::AddLeft(const T& x)70.{71.if(IsFull())cout<<"queue:no memory"<72.else73. {74. front=(front+MaxSize-1)% MaxSize;75. queue[(front+1)% MaxSize]=x;76. }77.return *this;78.}79.80.template81.Queue& Queue ::Delete(T & x)82.{83.if(IsEmpty())cout<<"queue:no element(delete)"<84.else85. {86. front=(front+1) % MaxSize;87. x=queue[front];88. }89.return *this;90.}91.92.93.template94.void Queue ::Output(ostream& out)const95.{96.for(int i=rear%MaxSize;i>=(front+1)%MaxSize;i--)97. out<98.}99.100.template101.ostream& operator << (ostream& out,const Queue& x) 102.{x.Output(out);return out;} 2、6d3-1.cpp[cpp]view plain copy1.//装载问题队列式分⽀限界法求解2.#include "stdafx.h"3.#include "Queue.h"4.#include/doc/951702836.htmling namespace std;6.7.const int N = 4;8.9.template10.class QNode11.{12.template13.friend void EnQueue(Queue*>&Q,Type wt,int i,int n,Type bestw,QNode*E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch);14.15.template16.friend Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[]);17.18.private:19. QNode *parent; //指向⽗节点的指针20.bool LChild; //左⼉⼦标识21. Type weight; //节点所相应的载重量22.};23.24.template25.void EnQueue(Queue*>&Q,Type wt,int i,int n,Type bestw,QNode >*E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch);26.27.template28.Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[]);29.30.int main()31.{32.float c = 70;33.float w[] = {0,20,10,26,15};//下标从1开始34.int x[N+1];35.float bestw;36.37. cout<<"轮船载重为："<38. cout<<"待装物品的重量分别为："<39.for(int i=1; i<=N; i++)40. {41. cout<42. }43. cout<44. bestw = MaxLoading(w,c,N,x);45.46. cout<<"分⽀限界选择结果为:"<47.for(int i=1; i<=4; i++)48. {49. cout<50. }51. cout<52. cout<<"最优装载重量为："<53.54.return 0;55.}56.57.//将活节点加⼊到活节点队列Q中58.template59.void EnQueue(Queue*>&Q,Type wt,int i,int n,Type bestw,QNode >*E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch)60.{61.if(i == n)//可⾏叶节点62. {63.if(wt == bestw)64. {65.//当前最优装载重量66. bestE = E;67. bestx[n] = ch;68. }69.return;70. }71.//⾮叶节点72. QNode *b;73. b = new QNode;74. b->weight = wt;75. b->parent = E;76. b->LChild = ch;77. Q.Add(b);78.}79.80.template81.Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[])82.{//队列式分⽀限界法，返回最优装载重量，bestx返回最优解83.//初始化84. Queue*> Q; //活节点队列85. Q.Add(0); //同层节点尾部标识86.int i = 1; //当前扩展节点所处的层87. Type Ew = 0, //扩展节点所相应的载重量88. bestw = 0, //当前最优装载重量89. r = 0; //剩余集装箱重量90.91.for(int j=2; j<=n; j++)92. {93. r += w[j];94. }95.96. QNode *E = 0, //当前扩展节点97. *bestE; //当前最优扩展节点98.99.//搜索⼦集空间树100.while(true)101. {102.//检查左⼉⼦节点103. Type wt = Ew + w[i];104.if(wt <= c)//可⾏节点105. {106.if(wt>bestw)107. {108. bestw = wt;109. }110. EnQueue(Q,wt,i,n,bestw,E,bestE,bestx,true); 111. } 112.113.//检查右⼉⼦节点114.if(Ew+r>bestw)115. {116. EnQueue(Q,Ew,i,n,bestw,E,bestE,bestx,false); 117. } 118. Q.Delete(E);//取下⼀扩展节点119.120.if(!E)//同层节点尾部121. {122.if(Q.IsEmpty())123. {124.break;125. }126. Q.Add(0); //同层节点尾部标识127. Q.Delete(E); //取下⼀扩展节点128. i++; //进⼊下⼀层129. r-=w[i]; //剩余集装箱重量130. }131. Ew =E->weight; //新扩展节点所对应的载重量132. }133.134.//构造当前最优解135.for(int j=n-1; j>0; j--)136. {137. bestx[j] = bestE->LChild;138. bestE = bestE->parent;139. }140.return bestw;141.}程序运⾏结果如图：2、优先队列式分⽀限界法求解解装载问题的优先队列式分⽀限界法⽤最⼤优先队列存储活结点表。

实验七分支限界法

实验七分支限界法（2学时）一、实验目的与要求1、掌握旅行商售货员问题的分支限界算法；2、区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。

二、实验题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。

他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。

三、实验提示旅行商问题的解空间是一个排列树。

有两种实现的方法。

第一种是只使用一个优先队列，队列中的每个元素中都包含到达根的路径。

另一种是保留一个部分解空间树和一个优先队列，优先队列中的元素并不包含到达根的路径。

以下为第一种方法。

由于我们要寻找的是最小耗费的旅行路径，因此可以使用最小耗费分枝定界法。

在实现过程中，使用一个最小优先队列来记录活节点，队列中每个节点的类型为MinHeapNode。

每个节点包括如下区域： x（从1到n的整数排列，其中x[0] = 1 ），s（一个整数，使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [s + 1 : n - 1 ]），cc（旅行路径前缀，即解空间树中从根节点到当前节点的耗费），lcost（该节点子树中任意叶节点中的最小耗费）， rcost（从顶点x[s : n - 1]出发的所有边的最小耗费之和）。

当类型为MinHeapNode( T )的数据被转换成为类型T时，其结果即为lcost的值。

分枝定界算法的代码见程序程序首先生成一个容量为100的最小堆，用来表示活节点的最小优先队列。

活节点按lcost 值从最小堆中取出。

接下来，计算有向图中从每个顶点出发的边中耗费最小的边所具有的耗费MinOut。

如果某些顶点没有出边，则有向图中没有旅行路径，搜索终止。

如果所有的顶点都有出边，则可以启动最小耗费分枝定界搜索。

根的孩子B作为第一个E-节点，在此节点上，所生成的旅行路径前缀只有一个顶点1，因此s=0, x[0]=1, x[1:n-1]是剩余的顶点（即顶点2 ， 3 ，.， n ）。

《分支限界法》课件

分支限界法
目录
• 分支限界法概述 • 分支限界法的算法流程 • 分支限界法的实现细节 • 分支限界法的优化策略 • 分支限界法的应用案例 • 分支限界法的总结与展望
01
分支限界法概述
定义与特点
定义
分支限界法是一种用于解决约束满足问题的算法，它将问题空间进行分支，并在每条分支上设置限界，通过搜索满足约束条件的解来找到最优解。
02
分支限界法的算法流程
初始化
设定求解目标
明确问题的求解目标，如寻找最小化或最大化的解。
设定节点优先级
根据问题的特性，设定节点优先级，优先级高的节点将优先被扩展。
设定界函数
根据问题的特性，设定界函数以评估节点的界限，即当前节点的解的优劣。
扩展节点
01
选择当前优先级最高的节点进行扩展。
02
问题依赖性强
分支限界法的效率和效果很大程度上依赖于问题的特性，对于某些问题可能效果不佳。
参数调整困难
该方法涉及多个参数设置，如分支宽度、限界深度等，调整不当会影响算法性能。
需要经验积累
分支限界法的应用需要一定的经验积累，对于新手来说可能存在一定的学习门槛。
分支限界法的研究方向
算法优化
针对不同类型的问题，研究如何优化分支限界法，提高算法效率和求解质量。
生产调度问题
要点一
总结词
分支限界法在生产调度问题中能够处理多种约束和优化目标。
要点二
详细描述
生产调度问题是一个复杂的优化问题，旨在安排生产计划以满足市场需求和资源限制。分支限界法通过将问题分解为多个子问题来处理多种约束和优化目标，通过设置优先级和界限来控制搜索过程，从而在可接受的计算时间内得到最优解或近似最优解。

分支限界法经典案例算法分析

第6章 分支限界法(1-例子)

9——分支限界法

第6章 分支限界法

第7章--分支限界法NEW

售货员问题的分支限界算法设计

C++用分支限界法求解最短布线问题

分支限界法实验(单源最短路径)

算法设计与分析：第7章 分支限界算法

分支限界法求布线问题

9第九章分支限界法

算法——分支限界法（装载问题）

分支限界法经典案例算法分析

分支限界法完课件

《分支限界法》课件

0034算法笔记——【分支限界法】最优装载问题

实验七 分支限界法

《分支限界法》课件

第6章分支限界法(1-例子)

第6章分支限界法

算法设计与分析：第7章分支限界算法

实验七分支限界法