第9章 渐近法(李廉锟结构力学)PPT课件
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结构力学李廉锟 第9章_渐近法
§9-1 引言
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩 分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩 的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转 为正号）。
§9-2 力矩分配法的基本原理 一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上 等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
B 28i
10 i SAB 28 i
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。 求SAB ,CAB。
A A l l CC l l BB AA
θθ ==1 1
a)
C C
B B
θθ l l
SAB S AB A
3i 3
iΔ /l=3 33i /l=3 i i C C
§9-2 力矩分配法的基本原理
3．传递系数
远端弯矩（传递弯矩） 1 M AB M BA C AB M BA 2
MB A B
B
C
M CB 0 CCB M BA
M BA C AB M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之 和∑μ(B) 应等于多少？
1
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
转动刚度
S AB 4i
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
§9-2 力矩分配法的基本原理
1
MAB =3i
结构力学-渐近法
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
M1 图
4
M 1Fj — —将不平衡力矩变号后, 按劲度系数大小的比例,
分配给各近端；
M 12 — —节点转动 Z 1 角产生的弯矩 分配弯矩 F M 12 — —固端弯矩
F M 14 M 14 M 14
F 同理： M 13 M 13 M 13
远端弯矩(传递弯矩)：
i1 l1
4P
1500
2500
C
B
5 P 3 E
2500
A
D
CB
BA 0.625, BC 0.375。 0.5, CD 0.5, DC 0.706, DE 0.294。
A
0.625 0.375 B
1500 -938 -562
0.5 0.5 C
-281 883 -301 -301 29 54 -42 -42
30kN/m B i=1
10m 0.5
160kN C
3m 0.5 +112.5
D i=1
5m
+250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传 B点二次分、传 0.0 C点二次分、传 B点三次分、传 0.0 C点第三次分配 最后弯矩 0.0
F
1
1
3 3
2 2
3i12 Z1=1 3i12 Z1=1 2i13 2i13 3
1
1 4i13
3
4i13
M1 图
4 4
i4i14 14
4i14
9 Eng 第九章 渐近法
Section 2 Basic concepts and principles of successive approximation methods
I. Sign convention（符号规定） Sign convention adopted in this chapter is the same as that adopted for the displacement method： clockwise member end moments are considered positive; counterclockwise member end moments are negative.
所谓力矩分配过程就是将结点固定时出现在结点处的不平衡力矩加反号相对于放松结点并按照汇交于该结点的各杆的分配系数分配
结构力学讲稿
Course of Structural Mechanics 第九章 渐近法 Chapter 9 Method of successive approximation method
Table 9.1 Bending stiffness 抗弯刚度
Fraend restraint conditions远端支撑条件
Models 模型图
Bending stiffness抗弯 刚度
The farend is fixed 远端为固定
S AB
S AB
EI 4 4i l
EI 3 3i l
2、 And at the same time the nearend moments will be carryovered to the farends of the members, the carryovered moment of the farends is named farend bending moment, which equals to the multiplication of the nearend moment and the carryover factor. This method of analysis is called moment distribution method. 同时近端弯矩将会传到远端，称为远端弯矩， 大小为近端弯矩乘以传递系数。这种方法称为 力矩分配法。
渐近法---李廉锟_结构力学共15页文档
对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
渐近法---李廉锟_结构力学
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
渐近法---李廉锟_结构力学
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
【经典】结构力学(李廉坤第五版)-下
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
各固端弯矩及计算过程如图b
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
r11Z1 R1P 0
M P、M 1 图如图b、c
F F F R1P M 12 M 13 M 14 M 1Fj
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩
解典型方程得
F R1P M 1 j Z1 r11 S1 j
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一半刚架的弯矩图如图d。
原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。
柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。
F F M EG 45kN m，M GE 55kN m
§9-4 无剪力分配法
计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。
§9-4 无剪力分配法
例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
lv_9渐进法及超静定结构影响线解析
结 构 力 学
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
结构力学课件12渐近法
材料力学
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
渐近法
第九章渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第9章 渐近法【圣才出品】
9.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、力矩分配法（见表9-1-1） ★★★★图9-1-1二、无剪力分配法（见表9-1-2） ★★表9-1-2 无剪力分配法表9-1-3 剪力分配法9.2 课后习题详解复习思考题1．什么是转动刚度？什么是分配系数？为什么一刚结点处各杆端的分配系数之和等于1？答：（1）转动刚度的定义杆端的转动刚度是指当杆件的近端转动单位角时，在该近端产生的弯矩。
（2）分配系数的定义分配系数是指结点某一杆端的劲度系数与该结点处所有杆端的劲度系数的比值。
（3）刚结点处各杆端的分配系数之和等于1的原因：因为分配系数的计算公式，在刚节点处各杆端分配系数之和应为1ijij n ijj S Sμ==∑111n ij j ij n ijj SSμ====∑∑2．单跨超静定梁的劲度系数和传递系数与杆件的线刚度有何关系？答：单跨超静定梁的劲度系数不仅与杆件线刚度i＝EI/l相关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承情况有关；传递系数与杆件的线刚度无关，只与远端支承形式有关。
3．图9-2-1所示三个单跨梁，仅B端约束不同。
它们的劲度系数S AB和传递系数C AB 是否相同，为什么？图9-2-1答：不考虑杆件轴向变形，（a）、（b）、（c）三个单跨梁的劲度系数均相同，即S AB＝4i，其中i为杆件的线刚度；（a）、（b）、（c）三个图的传递系数均相同，即C AB＝0.5。
因为虽然B端约束表面上形式各异，但在不考虑杆件轴向变形的条件下，（a）、（b）、（c）三个单跨梁在B端的最终约束效果上均可以当成固定端来处理。
若考虑杆件轴向变形，（a）、（c）的劲度系数相同，（b）远端可在水平向自由收缩，A端转到相同的转角需要的力更小，因此劲度系数略小于（a）、（c）。
4．什么是不平衡力矩？如何计算不平衡力矩？为什么要将它反号才能进行分配？答：（1）不平衡力矩的定义不平衡力矩是指在附加约束结点处各固端弯矩所不能平衡的差额。
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(渐近法)【圣才出品】
第9章 渐近法9.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】 一、力矩分配法 1．定义 （1）劲度系数当杆件AB （图9-1-1）的A 端（又称近端）转动单位角时，A 端的弯矩称为该杆端的劲度系数，用表示。
它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度，其值不仅与杆件的线刚度有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承情况有关。
（2）传递系数当A 端转动时，B 端也产生一定的弯矩，将B 端弯矩与A 端弯矩之比称为由A 端向B力矩分配法的相关定义 劲度系数渐进法的概述 传递系数 力矩分配法的基本原理及举例分析应用力矩分配法计算无侧移刚架和连续梁 适用的对象无剪力分配法的举例分析 无剪力分配法 无剪力分配法的定义 无剪力分配法解多层无侧移刚架无剪力分配法应用于有侧移刚架 适用对象剪力分配法的举例分析 剪力分配法 剪力分配法的定义 剪力分配法的其他情况 剪力分配法的实用举例渐进法端的传递系数，用来表示，即。
图9-1-1等截面直杆的劲度系数和传递系数见表9-1-1。
当B端为自由或为一根轴向支承链杆时，A端转动时杆件将毫无抵抗，其劲度系数为零。
表9-1-1 等截面直杆的劲度系数和传递系数2．应用（单个结点转角）力矩分配法其结点角位移、杆端力的符号规定均与位移法相同，非常适用于连续梁和无结点线位移刚架的计算。
（1）举例①原结构如图9-1-2（a）所示刚架。
②典型方程只有一个基本未知量即结点转角，其典型方程为：。
图9-1-2③绘出M p、M1图如图9-1-2（b）、（c）所示。
④求自由项a．求（9-1）式中，为结点固定时附加刚臂上的反力偶，可称为刚臂反力偶，它等于汇交于结点1的各杆端固端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不能平衡的差额，故又称结点上的不平衡力矩。
b．求（9-2）式中，为汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。
⑤解典型方程⑥最终弯矩图按叠加法计算各杆端的最后弯矩a．近端弯矩各杆汇交于结点1的一端为近端，另一端为远端。
结构力学完整：第九章《渐近法》ppt课件
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2
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
1
A
MAB =4i
EI
L SAB=MAB=4i
的弯矩按一定比例传到远端一样，
1
故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由
A
A端向B端的传递系数，用CAB表示。M=3AiB
即
CAB
M BA M AB
或 MBA=CABMAB
由右图或表(10—1)可得
1
A
MAB =i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=－1
然后可按叠加法 MMPM1Z1计算各杆端的最后弯
矩。
返回
.
7
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M
F 12
S 12 S1
j
(M1Fj )
M1F2
12 (M1Fj)
M13=M1F3SS113j (M1Fj) M 1F313 (M 1Fj)
M14=M1F4SS114j (M1Fj)M 1F414(M 1Fj)
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返回
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可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。
§9-2 力矩分配法的基本原理
令
BA
SB A S(B)
,
BC
SBC S(B)
μBA、μBC 分别称为各杆近端弯矩的分配系数。
近端弯矩
MB ASBA
MB S(B)
SS B(B A)MB
MB CSBC
MB S(B)
SS B(B C)MB
求SAB ,CAB。
a)
AA
CC
BB
AA
CC
BB
AA SS AAB B
3 3 i i Δ/ l = / 3l = i 3 i CC
E I =E ∞I = ∞
ll
ll
θ θ= =1 1
θ θ l l
33 i
BB
解: 当A 转角θ=1时，因为AC 刚性转动，C 点向下的位
移Δ=l×θ=l ，所以
Δ SAB3i l 3i
A
B
M B A= 0
B
M B A = -i
B B
§9-2 力矩分配法的基本原理
2．分配系数
MB
A
C
B B
MB
M BA
B
M BC
图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角θ B 。
杆端弯矩为
M B A SBAB4iB (a)
M B CSBCB3i B
取结点B为隔离体
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得 M BM B aM BC 0
例9-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求
SAB及CAB
E I= ∞ C
A
B
l
l
解: 当A端转角θ=1时，截面C
有竖向位移 Δ=l·θ=l及转角θ=1 。
CB段的杆端a ) 弯矩为
MCB10i E I =M ∞ BCC8i
梁AB弯矩图A 是直线变 化的B，按
直线比例可得c ) l
θ
l 2i
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和 ∑μ(B) 应等于多少？
§9-2 力矩分配法的基本原理
远端固定时:
1
2i
4i A i B C=1/2
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
远端定向时:
§9-1 引言
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分 配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正 负号规定，与位移法相同（顺时针旋转为正 号）。
§9-2 力矩分配法的基本原理
一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上 等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
1
M AB= 4i
A EI
B
M B A = 2i
转动刚度 SAB4i
l
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
§9-2 力矩分配法的基本原理
1
M A B =3i
A EI
转动刚度 SAB 3i
l
1
MAB = i
A EI
转动刚度 SAB i l
1
MAB =0
转动刚度 SAB 0
A EI
l
思考： SAB ?
当E I = θ∞ l
A
C ΔC
l
θ
6i
C θ =1
4i
当 θ l C
SAB
6i
6 il/l= 6 i 当
B
l
B
2i
B 6 il/l= 6 i
B
8i
SAB θ =M 1 ACB 2i8
B
CAB
8 28
24 i 7
10 i
28i
SAB 2 8 i
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。
第九章 渐近法
§9-1 引言 §9-2 力矩分配法的基本原理 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 力矩分配法与位移法联合应用 §9-5* 无剪力分配法
整体概述
结构力学
概况一
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概况二
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3i CAB 3i 1
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-4 图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚
度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ = 1
SAB
BΔ = θ l AEI/lF y来自= kBFyB
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产生
向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
EI SABFyBl l i
CAB
0 i
0
§9-2 力矩分配法的基本原理
4．不平衡力矩
q12kN/m B
C
固定状态:
A EI
B EI
固端弯矩---荷载引起
10m
10m
的单跨梁两端的杆 端弯矩，绕杆端顺
MB (MBAMBC)
(SBASBC)B
§9-2 力矩分配法的基本原理
转角为:
B
MB SBASBC
MB S(B)
∑ S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。
近端弯矩MBA、MBC为
MB ASBA
M B S(B)
SS B(B A)M B
MB CSBC
M B S(B)
SS B(B C )M B
1
iA i
C=-1
B
与远端支承 情况有关
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
(a)
B
(b)
CB
C
(b) B
EI
B
EI
A E I A E EI I
EI
A
EI
A θB
EI C
θB C
l
EI l
EI
EI
EI
D
D
D
D
l
ll
l
解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相
当于固定铰，故
SBA3El I,CBA0
C支座既阻止C 端的线位移，也可以阻止C 端转动，其作
用与固定端一样，因此
4EI
1
SBC l ,CBC2
D支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以
SBD 0,C BD 0
§9-2 力矩分配法的基本原理
概况三
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00:48
§9-1 引言
力矩分配法是基于位移法的逐步逼 近精确解的近似方法。
力矩分配法可以避免解联立方程组，其 计算精度可按要求来控制。在工程中曾 经广泛应用。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移 ）的结构。
可以写成
MBA MBC
BA MB BC MB
——称为分配 弯矩。
一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1。
§9-2 力矩分配法的基本原理
3．传递系数 A
远端弯矩（传递弯矩）
MAB1 2MBACAB MBA
MB C
B B
M CB 0CCM BBA
C AB
M BA M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。