数字电路实验报告3

数字信号处理实验

第三次实验

验证取样定理

学号：高超

姓名：12081311

指导老师：黄怡、杨萌

选课时间：周一3-5节

实验时间：2014年11月10日

一．实验目的

验证奈奎斯特取样定理。加深对时域取样后信号频谱变化的认识。

二．基本原理

麦奎斯特取样定理指出：为了使实信号取样后能够不失真还原，取样频率必须大于信号最高频率的两倍。

若x a(t)为有限带宽的连续信号，其频谱为X a（jΩ），以T为取样间隔对x a(t)理想采样，得到理想取样信号x â(t)。x â(t)的频谱为

X â(jΩ)=1

T

∑X a(jΩ−jm

2π

T

)∞

m=−∞

也就是说，一个连续信号经过理想取样后，它的频谱将沿着频率轴，从Ω=0开始，每隔一个取样频率Ωs=2π

T

重复出现一次，即频谱产生周期延拓。

三．实验内容及实验结果

1.实验内容

（1）进入：示例→取样定理示例。阅读“定理内容”和“定理说明”；改变取样频率F s，观察图中取样后信号频谱波形的变化情况；F s的取值为30kHz，40kHz和60kHz时，分别记录取样后信号频

谱波形图，指明频谱的混叠情况并分析原因。

（2）进入：示例→傅里叶变换示例。观察周期信号、非周期信号、周期序列以及非周期序列的傅里叶变换波形图，思考图中四种信号的傅里叶变换的关系，记录图中波形。

（3）进入：示例→信号混叠演示。阅读界面中的文字说明，理解信号混叠的原因；点击”应用“按钮，观察图中波形的变化情况，分析原因。

（4）进入：取样→连续有限信号取样。任意选择几种不同的信号，改变取样频率f s，观察图中“取样后信号频谱”的变化情况；针对“单边余弦信号”截取两个信号周期，即：信号终止点去40s，

当取样频率f s分别取5Hz和0.5Hz时记录对应的波形图，并分析“取样后信号频谱”波形的失真

情况。

（5）进入：取样→连续无限信号取样。任意选择几种不同的信号，改变取样频率f s，观察图中“取样后信号频谱”的变化情况；针对“周期半波余弦信号”，当取样角频率ωs分别取2ω0和8ω0时，

记录对应的波形图，并分析取样角频率ωs对“取样后信号频谱”波形的影响。

2.实验结果

（1）进入：示例→取样定理示例。阅读“定理内容”和“定理说明”；改变取样频率F s，观察图中取样后信号频谱波形的变化情况；F s的取值为30kHz，40kHz和60kHz时，分别记录取样后信号频谱波形图，指明频谱的混叠情况并分析原因。实验结果如图3 - 1，3 - 2，3 - 3所示

图3 - 1 采样频率Fs=30kHz时的混叠频谱图3 - 2 采样频率Fs=40kHz时的混叠频谱

图3 - 3 采样频率Fs=60kHz时的混叠频谱

实验结果分析：被采样信号的最高频率Fh=20kHz，根据采样定理可知，当采样信号频率Fs≥40kHz时，采样之后的信号通过一个低通滤波器，可以不失真的被恢复出来。对于图3 - 1，采样频率Fs=30kHz<2Fh，出现了频谱混叠情况，从而使得取样后的信号出现了严重失真。

（2）进入：示例→傅里叶变换示例。观察周期信号、非周期信号、周期序列以及非周期序列的傅里叶变换波形图，思考图中四种信号的傅里叶变换的关系，记录图中波形。实验结果如图3 - 4所示

图3 - 4 傅里叶变换示例

实验结果分析：从实验结果图中可以得到

①一个非周期实连续时间信号x a(t)的傅里叶变换，其频谱X a(jΩ)也是一个连续的非周期函数。

②一个周期性连续时间信号x p(t)，其周期为T p，该信号可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X̂p(k)，即x p(t)的傅里叶变换或者频谱X p(jkΩ)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频率函数，x p(t)和X p(jkΩ)的示意图见图3-4第二组图所示。其中，离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=⁄。

2πF=2πT p

③一个非周期连续时间信号经过等间隔采样的信号（x(nT)），即离散时间信号——序列x(n)其傅里叶变换X(e jω)是以2π为周期的连续函数，振幅特性如图3-4中第三组图所示。

④一个离散周期序列的傅里叶变换，其频谱即是周期的也是离散的。

综合以上四点可以得出：一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。

表3 - 1 四种傅里叶变换形式的归纳

时间函数频率函数

连续和非周期非周期和连续

连续和周期非周期和离散

离散和非周期周期和连续

离散和周期周期和离散

（3）进入：示例→信号混叠演示。阅读界面中的文字说明，理解信号混叠的原因；点击”应用“按钮，观察图中波形的变化情况，分析原因。实验结果如图3-5，3-6，3-7，3-8所示

图3-5 未发生混叠

图3-6 1#发生混

图3-7 1#，2#发生混叠

图3-8 1#，2#，3#发生混叠

实验分析：

实验总结信号进行采样时，如果信号的频率f大于采样频率Fs的一半时，在采样结果中该信号就表现为一个低于F s2⁄的频率成分，而产生不容易被发现的错误，这就造成了采样中的混叠现象。由图3 – 5和图3 – 6的比较可以看到：对于一通道，当1#信号的频率到达2000Hz时，1#信号开始出现混叠现象，2#，3#信号先后达到2000Hz，先后出现了混叠现象。对于二通道，由于在采样前信号还经过了0-2000Hz的低通抗混叠滤波器，使得原信号中高于2000Hz的频率分量都被滤除，信号再被采样时就不会出现混叠现象。

（4）进入：取样→连续有限信号取样。针对“单边余弦信号”截取两个信号周期，即：信号终止点去40s，当取样频率f s分别取5Hz和0.5Hz时记录对应的波形图，并分析“取样后信号频谱”波形的失真情况。实验结果如图3 – 9和图3 – 10所示

图3-9 取样频率为5Hz时图3-10 取样频率为0.5Hz时