垂直于弦的直径公开
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。
2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。
垂直于弦的直径市公开课课件
02 垂直于弦的直径定理
CHAPTER
定理内容
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相 等的部分。
详细描述
在圆中，如果有一条直径垂直于 弦，那么这条直径会将弦分为两 段相等的部分。这是几何学中一 个基础而重要的定理。
定理证明
总结词
通过构造辅助线和利用全等三角形进行证明。
详细描述
为了证明这个定理，我们可以作一条过圆心的线段与弦平行，这条线段与直径 和弦分别交于两点。由于线段过圆心，所以它平分弦，从而证明了直径将弦分 为两段相等的部分。
垂直于弦的直径市公开课课件
目录
CONTENTS
• 课程介绍 • 垂直于弦的直径定理 • 弦与直径的几何关系 • 弦与直径的应用 • 习题与解答
01 课程介绍
CHAPTER
课程背景
垂直于弦的直径是几何学中的重 要概念，对于理解几何形状和解
决实际问题具有重要意义。
随着数学教育的普及和深入，越 来越多的人开始关注几何学的学 习，尤其是与日常生活相关的几
题目二
已知一个圆的周长为37.7，求该圆的直径。
答案
该圆弧所对应的弦长为20。
答案
该圆的直径为12。
谢谢
THANKS
任何弦的长度都不可能超过或 等于直径。
在同圆或等圆中，最长的弦是 直径，最短的弦是无数条过圆 心的弦中的一条。
04 弦与直径的应用
CHAPTER
弦与直径在几何图形中的应用
弦与直径在圆中的应用
在圆中，弦与直径都是重要的元素，它们在圆的性质和定理中起着关键作用。例 如，通过弦的中垂线必经过圆心，垂直于弦的直径平分弦等。
弦与直径在椭圆和抛物线中的应用
在椭圆和抛物线中，弦和直径也有重要的应用。例如，在椭圆中，通过焦点的弦 被另一焦点平分；在抛物线中，平行于对称轴的弦中点在对称轴上。
人教初中数学九上《垂直于弦的直径》教案 (公开课获奖)
24.1.2 垂直于弦的直径教学时间课题24．1．2 垂直于弦的直径课型新授课教学目标知识和能力探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．过程和方法在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．情感态度价值观使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA 、OB ，得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OA M 与△OB M 都是直角三角形，又O M 为公共边，所以两个直角三角形全等，则A M ＝B M ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合．因此AM =B M ，AC =BC ，同理得到AD BD =．教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 活动3：如图3，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若CD =4 m ，弦AB =16 m ，求此圆的半径．图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程． 教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为R ，由条件得到OD =R －4，AD =8， 在R t △ADO 中222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R ＝10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．活动4：如图4，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．BA图4师生活动设计：图7 图8师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．〔解答〕如图8所示，连接OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE =21AB = 30 cm ．令⊙O 的半径为R ，则OA =R ，OE ＝OF -EF ＝R -10．在R t △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10)2． 解得R =50 cm ．修理人员应准备内径为100 cm 的管道． 小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性． 作业 设计 必做 习题24．1 第1题，第8题，第9题． 选做教 学 反 思15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）．D CA B所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°D CABDC A B2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．EDCABPD C A B∴∠P=∠ACD．又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解 （教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(a a a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab - （3）3五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
人教版《垂直于弦的直径》数学公开课PPT1
∴AE=BE, (3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——
. O 设
，则
，
∴ 四边形ADOE为正方形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.
AC =BC, AD =BD. 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
8.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6， OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长
3
5
4
5
3
4
随堂训练：1.填空
(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为—2—cm.
知识回顾：垂径定理的内容是什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE为=B直E径，，A⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD是直源自,应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
O
A
E
（公开课）24.1.2 垂直于弦的直径 （19张PPT）教案说课稿教学反思
《垂直于弦的直径》教学反思湖北省宜昌市秭归县归州中学向晓琳本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。
本节课的主要内容一是圆的对称性，二是垂径定理及其推论。
本节课我将垂径定理及推论融合到一起，统一叫做垂径定理。
开始让学生带着问题进行学习。
数学来源于生活，又服务于生活，在实际生活中，数、形结合随处可见，无处不在。
好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近。
在数学教学中，一些结论的表述是很重要的。
我在这节课上打破教材原有的顺序和内容，将自己平时教学中积累的经验融入到教学中，将垂经定理及推论融为一体，感觉思路更加顺畅，学生也容易接受。
这些表述确实很精炼，也极具条理性，而且我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词也恰到好处。
今后我将在这方面还要下工夫,在去听其他数学老师的课时,更要注意其他老师在知识点之间的过渡语句.在教学设计方面,设计的内容确实花了不少心思,就是在时间上把握得不够准确。
在内容上，设问导读的问题有点多，学生完成、核对完答案的时间有点长，我在时间把握上不够到位，还是我讲的有点多，浪费了时间，导致学生的练习时间少。
还有其他很多问题: 例题的讲解不够详细,深刻. 给学生思考的时间不够……通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解很到位，能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）（在课堂检测中可以发现）。
对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。
不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。
在今后的学习中,我会更加努力,改正自己的缺点,努力钻研教材。
(公开课)24.1.2 垂直于弦的直径 课件(19张PPT) 教案 说课稿 教学反思(1)
船能过拱桥吗?
2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7 . 2 , CD 2 . 4 , HN MN 1 . 5 . 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 R 2 . 4 . OD OC DC
2 2 2 OA AD OD , 2 2 2 即 R 3 . 6 ( R 2 . 4 ) .
O D F
③平分弦. B ④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的劣弧
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为 条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否 成立？ E 如果一条直线 ①经过圆心. ③平分弦. 那么这条直线一定 A ②垂直于弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧
通过刚才的画法可以得到： 如果一条直线满足： ①经过圆心. ②垂直于弦. 那么这条直线一定 A ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧.
E
符号语言：
O D F
∵EF经过圆心 EF⊥AB B ∴ AD=BD,
AE =BE, AF =BF.
⌒ ⌒
⌒
⌒
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为 条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否 成立？ E 如果一条直线 ①经过圆心. ②垂直于弦. 那么这条直线一定 A ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ①经过圆心. ②垂直于弦.
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课说课稿
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节的内容，是在学生已经掌握了垂径定理和圆周角定理的基础上进行教学的。
本节课主要让学生了解并证明圆中垂直于弦的直径的性质，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一性质在解决圆的相关问题中有着重要的作用。
教材通过引导学生观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的相关知识有一定的了解。
但是，对于证明圆中垂直于弦的直径的性质，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，采取适当的教学策略，引导学生克服困难，掌握这一性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆中垂直于弦的直径的性质，能够运用这一性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆中垂直于弦的直径的性质。
2.教学难点：证明圆中垂直于弦的直径的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、圆规、直尺等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习垂径定理和圆周角定理，引出本节课的内容——圆中垂直于弦的直径的性质。
2.探究新知：引导学生观察、思考、探索，发现垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.证明性质：分组讨论，每组选择一种证明方法，证明圆中垂直于弦的直径的性质。
4.应用拓展：出示相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5.课堂小结：回顾本节课所学内容，总结垂直于弦的直径的性质及证明方法。
6.布置作业：布置适量作业，巩固所学知识。
人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》公开课PPT
∵⊙O关于直径CD对称,
●O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合, AD和BD重合.
D
∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条 离为3厘米，求⊙O的半径。
C
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 可推得
③ AM=BM
D
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC, ⌒⌒
⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
证明: 连接OA,OB,
则OA=OB.
在△OAM和△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└
B ∴CD⊥AB
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任 何一条直径所在直线都是它的对 称轴，它有无数条对称轴．
看一看
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称 轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?
C
A M└ ●O
B 由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理
证明: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
《垂直于弦的直径》_公开课PPT1
复习检测
1.如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全互相重合，那么这 个图形叫做 ______对称图形,这条直线 叫做它的________ .
2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称 轴是______________________.
实践探究1
把一个圆沿着它的任意一条直径对
折，重复几次，你发现了什么？由此你 ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于
点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。 请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
OA2＝OE2+AE2
则OE＝3cm，∵ ⊥ ， ∴AE =BE= AB
∴ AE-CE=BE-DE
B.
② CD⊥AB 垂直于弦的直径平分这条弦 ，且平分弦所对的劣弧。
例2 已知如图①：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
③平分弦AB（AE=BE)
C
课堂小结
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课 你有哪些收获？有何体会？
① 垂径定理的内容是
。
② 在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅
助线是
。
作业设置
1．如图，在⊙O中，弦AB的 A
② 在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅助线是
弧？为什么？
C
（1）是轴对称图形．直径
CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
弧： AC=BC，AD=BD A
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
①CD是直径， AB是弦
③②平C分D弦⊥AB （AE=BE)
③②平C分D弦⊥AABB（AE=BE)
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
2 垂直于弦的直径 公开课精品课件
知3－练
2 已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为弧AB 的中点，
OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半 径OA.
C
A
D
B
O
通过本课时的学习，需要我们： 1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步
应用垂径定理进行计算和证明； 2.掌握垂径定理的推论，明确理解“知二得三”的意
知识点 1 圆的对称性
知1－导
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？
问 题（二）
知1－导
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此 你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
归纳
知1－导
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD， ∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆 上都有关于直线CD的对称点A′，因此 ⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形， 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. （来自教材）
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知2－练
1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的 距离为3 cm.求⊙O的半径.
（来自教材）
知2－练
2 (广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则
下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE C. B⌒C＝B⌒D
知1－练
1 下列说法中不正确的是( ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
垂直于弦的直径公开课版课件
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它 过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根 据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证 明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线 段，这是垂直于弦的直径的基本性质之 一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为 两段相等的线段。这是基于几何学的基本 定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段 都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段 。这个性质在解决几何问题时非常有用， 因为它可以帮助我们快速找到弦的中点， 从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用
垂径定理公开课优秀教案
24.1.2垂直于弦的直径课垂直于弦的直径（第一课时）备课时 2015-11-25题间课新授课授课教刘春芳型师教知识 1. 研究圆的对称性 , 掌握垂径定理 .学与技 2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题。
目能标过程经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，与方学习证明的方法。
法情感在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，态度创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
价值观教垂径定理及应用。
学重点教垂径定理的证明。
学难点教圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件具问题与情境师生行为备注与教修改学创你知道赵州桥吗 ?它是 1300 多年前我国两个问题作为问题情过设隋代建造的石拱桥 , 是我国古代人民勤境，激发学生学习兴趣，程情劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形 ,引导学生进一步的学境它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4m,习。
导拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.2m，赵入洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学新完本节课后就可以解决这个问题了。
课合 1.圆的对称性圆的对称性由学生发现垂径定作（探究）不借助任何工具，你能找到圆并总结，教师进行板书。
理的内交形纸片的圆心吗 ?教师循序渐进地将一个容比较流由此你能得到圆的什么特性？个的问题抛出，引导学多，且为探 2.垂径定理生一步步地进行思考和考察重究（思考）如图：AB是⊙ O的一条弦，作总结，师生一起总结垂点，非一知① 这个图形是对称图形吗学生小组讨论，发现垂能解决，② 你能发现图中有哪些相等的线段和径定理的证明方法，并所以此弧？请说明理由。
由学生代表发言。
内容最③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂学生尝试将文字转变为少需两径定理：垂直于弦的直径平分弦，并符号语言，用几何符号课时来且平分弦所对的两条弧。
表达定理的逻辑关系。
探究。
④ 你能用几何方法证明这些结论吗？教师更正并板书。
本节课⑤ 你能用符号语言表达这个结论吗？教师明确定理中的条件主要探和结论，讨垂径定理。