垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
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垂直于弦的直径时课件
02
垂直于弦的直径的性质证明
证明方法
01
02
03
三角形类似证明法
通过构造与垂直于弦的直 径相关的两个三角形，并 证明这两个三角形类似， 从而得出直径的性质。
圆周角定理证明法
利用圆周角定理，推导出 与垂直于弦的直径相关的 角的关系，从而证明直径 的性质。
反证法
假设与垂直于弦的直径相 关的性质不成立，通过推 理得出矛盾，从而证明直 径的性质成立。
总结词
在椭圆中，垂直于弦的直径同样具有平分弦和弧的特性。
详细描述
在椭圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径也会平分这条弦，即弦被分 成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的弧，即该弧被分为两个相等的部分。 这个性质在椭圆中同样适用，是几何学中的一个基本定理。
实例三：抛物线中的垂直于弦的直径
总结词
实例一：圆中的垂直于弦的直径
总结词
在圆中，垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的弧。
详细描述
在圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径会平分这 条弦，即弦被分成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的 弧，即该弧被分为两个相等的部分。这是圆的基本性质之一 ，也是几何学中的一个基本定理。
实例二：椭圆中的垂于弦的直径
03
垂直于弦的直径的应用
在几何图形中的应用
垂直于弦的直径是几何图形中 重要的概念，它有助于理解图 形的形状、大小和性质。
在圆中，垂直于弦的直径将弦 分为两段相等的部分，这是等 腰三角形的一个重要性质。
垂直于弦的直径还可以用于确 定圆心角和圆周角的关系，以 及解决与圆相关的几何问题。
在物理中的应用
05
垂直于弦的直径的练习题及答案
练习题一及答案
垂直于弦的直径ppt课件
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
A
进一步，我们还可以得到结论：
B
E
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧。
•即：如果CD过圆心，且AE=BE
则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
7
C
O
垂径定理：
A
M
B 由
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
推论：
O
由 ① CD是直径 可推得
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。 9
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
是
不是
是
D
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
17
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作
课件《垂直于弦的直径》优秀课件完整版_人教版1
∴⊙O的半径为5厘米。
解决求赵州桥拱半径的问题
AB
如图，用A⌒B表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是A⌒B 的中点， C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米
C
A
D
B
R
O
三、
A⌒D=⌒BD
Ｄ
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5 ∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM=1 AB，
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
●相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
解 : 如 图 ,用 AB表 示 桥 拱 , AB 所 在 圆 的 圆 心 为O,半 径为 R m, 6．下列经说法过错圆误的心是O( 作) 弦 A B 的 垂 线 O D, D 为 垂 足 , 与AB 相 交 于 点 C . 根
㎝，
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
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人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
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合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2
B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
人教版数学《垂直于弦的直径》实用PPT
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
巩固训练 3.一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径为
7cm，则弓形的高为＿5＿c＿m＿.
A
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
C
D
B
O
C
O
A
D
B
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
试一试吧
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
D
任意知道两个量，可根据 勾股定理 定理求出第三个量.
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OE C
B
人教版数学《垂直于弦的直径》实用P PT1
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过 哪些轴对称图形？
如果一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 常见的轴对称图形有：角、线段、等腰三角形、矩 形等.
ห้องสมุดไป่ตู้
2、圆是不是轴对称图形呢？
.
圆是轴对称图形，经
过圆心的每一条直线都是
它们的对称轴
剪一个圆形图片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能 得到什么结论？你能证明你的结论吗？
∴OD =OC-DC
又∵AC 10cm
A
O D
B
且
AC 2 DC 2 OA2 OD2
C
即
AC 2 （OC-OD）2 OC 2 OD2
垂直与弦的直径 ppt课件
解:连接OC.
ppt课件
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
F
●
O
R 2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
B
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
M
A
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 , AC= 4 ,OA= 13
ON C
17
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
ppt课件
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
18
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
ppt课件
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
8
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
ppt课件
9
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
ppt课件
●O
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
D
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 3
垂直于弦的直径ppt课件
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形 .
感悟新知
知2－练
3-1. [模拟·鼓楼区] 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，
垂足为H，BC⊥AB， 交AD延长线于点C.
感悟新知
(1)求证：D是AC的中点；
⌒
⌒
⌒
⌒
直于 AB，并且AC = CB， AD = DB .
可用几何语言表述为：
⊥ ，
是直径
=⌒，
= ⇒ ⌒
⌒
=⌒ .
不是直径
感悟新知
拓宽视野
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件
中的任意两个，那么一定具备其他三个：
(1)过圆心；
(2)垂直于弦；
么可用几何语言表述为：
= ，
是直径， ⇒ ⌒
=⌒，
⊥ ，
⌒
=⌒ .
感悟新知
知2－练
例2 如图24.1－9，弦CD垂直于⊙ O的直径AB，垂足
为点H，且 CD=2 ， BD= ，则 AB 的长为
(
A. 2
)
B. 3
C. 4
D. 5
思路导引：
感悟新知
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中 的“直径”，其实质是：
过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对 的劣弧和优弧或两个半圆.
感悟新知
知1－讲
2.示例
如图 24.1－8， CD ⊥ AB 于点 E， CD 是⊙ O 的直径，那
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形 .
感悟新知
知2－练
3-1. [模拟·鼓楼区] 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，
垂足为H，BC⊥AB， 交AD延长线于点C.
感悟新知
(1)求证：D是AC的中点；
⌒
⌒
⌒
⌒
直于 AB，并且AC = CB， AD = DB .
可用几何语言表述为：
⊥ ，
是直径
=⌒，
= ⇒ ⌒
⌒
=⌒ .
不是直径
感悟新知
拓宽视野
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件
中的任意两个，那么一定具备其他三个：
(1)过圆心；
(2)垂直于弦；
么可用几何语言表述为：
= ，
是直径， ⇒ ⌒
=⌒，
⊥ ，
⌒
=⌒ .
感悟新知
知2－练
例2 如图24.1－9，弦CD垂直于⊙ O的直径AB，垂足
为点H，且 CD=2 ， BD= ，则 AB 的长为
(
A. 2
)
B. 3
C. 4
D. 5
思路导引：
感悟新知
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中 的“直径”，其实质是：
过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对 的劣弧和优弧或两个半圆.
感悟新知
知1－讲
2.示例
如图 24.1－8， CD ⊥ AB 于点 E， CD 是⊙ O 的直径，那
《垂直于弦的直径》ppt
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
AD=BD
O · A
E D
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
C
·O AE B
D
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂 足为E（如图）。 ︵ ︵ ︵ ︵ 求证：AE=BE ， AC = BC , AD = BD.
证明：（学生自己试着说出证明）
C
O
A
E
B
D
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条
件？如果不是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
复习：
什么是轴对称图形？我们在平面图形中学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个 图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形。
我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
拿出课前准备圆形纸片，沿着它的任意 一条直径对折，重复几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？（小组交流）
解：OE AB
AE 1 AB 1 8 4
2
2
在Rt △ AOE 中
A
E
B
·
O
OA2 OE 2 AE2 OA OE 2 AE2 32 52 4
答：⊙O的半径为5cm.
小组合作：
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, A
E
B
OE=6cm,则AB= cm.
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为
是
不是，因为CD
没有垂直
没有过圆心
问题与思考
C
如果将垂径定理条件中的
AB ⊥CD与结论中的
.O
AE=BE交换，即
在⊙O中，CD是直径， A
垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
③ 注意 ② ①
④
⑤
C
几何语言表述： ∵ CD是直径，CD平分AB ∴ CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
O
A
E
B
D
1. 观察下列图形C，哪些C能使用垂径定理？C
C
O E A
D
（1）
O
E┒ BA
D
（2）
BA
O
E┒
A D
BA
（5）
O
┒
Eபைடு நூலகம்
BA
（6）
O
E┒ D
（3）
C
A B
C
O ┒ E
（7）
BA
∴ AE＝BE， A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝⌒BD
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①
②③
④
⑤
我们已经知道①② 可以推出③④⑤ ，那么由②③可以得
到①④⑤ 吗？
题设
结论
②过圆心 ③ 平分弦
① 垂直于弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O (E)
垂径定理的推论
平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
新人教版九年级上册
观察探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形. 任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
垂径定理 直探究线新经知过圆心
在这垂你样直的 我圆 们于形 就弦纸 得的片 到上了直任一径作条平一垂条直分弦于弦A弦B，A，B并过的圆直且心径平O，作垂分A足弦B为的所E垂. 对线，的交两圆条于C弧、．D两点
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
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C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
∴ AE OA2 OE 2
· O
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
（1）CD⊥AB吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO 又AE=BE，OE=OE
C
∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
A E
·
B
D
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中 OA² =AD² +OD²
=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
课堂小结
有你哪些收获？还有哪些疑惑？
内 容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径） ; ④平分弦所对的优弧 ; ⑤平分弦所对的劣弧 . 满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”） 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程.
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弓形中重要数量关系 A
O · C C h A r d D O B B
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： d+h=r
a r2 d 2 2
2
四 垂径定理的推论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
C
.
A
O E B
D
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
叠 合 法
归纳
垂径定理
题设 结论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. C 应用格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ⌒ =BC ⌒, ⌒ ⌒ ∴ AE=BE, AC AD =BD. A O · E D B
线段: AE=BE
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
C
O
·
B
你能证明吗？
A
E D
说理
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O 的对称轴。 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A点和B点重合， AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。
一 圆是轴对称图形
探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
二 垂径定理
在你做的⊙O中画一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
3.如图， ⊙O的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是________.
O A
.
M B
4.已知⊙O的半径是 10 cm，弦AB∥CD， AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距 离是_______________.
5.如图，在⊙O中，AB,AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD ⊥ AB,OE⊥AC垂足分别为D,E. 求证：四边形ADOE是正方形
24.1.2垂直于弦的直径
定州启明中学
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解
决一些简单的计算、证明问题.
3.在研究过程中，进一步体验“实验-归纳-猜想-证 明”的方法 重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一 些实际问题．
B
三 垂径定理的有关计算
例3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD A
O
.
C
E
D
B
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
特别说明：
A
O ·
圆的两条直径是互相平分的.
B D
试一试 • 判断：
挑战自我
• ⑴垂直于弦的直径平分这条弦．（√ ） • ⑵平分弦的直径垂直于这条弦. （× )
推论 垂径定理 辅助线
基本图形及 变 式 图 形
当堂达标
1.在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心 O 到 AB 的 距离为 ( ) A. 5 B.10 C.12 D.13 B
A
. O
B
C
M
D
.O
A
2.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦 CD 于点 M， AM=18，BM=8，则 CD 的长为 ( ) A. 12 B. 18 C. 20 D. 24