垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

B
三 垂径定理的有关计算
例3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD A
O
.
C
E
D
B
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弓形中重要数量关系 A
O · C C h A r d D O B B
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： d+h=r
a r2 d 2 2
2
四 垂径定理的推论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO 又AE=BE，OE=OE
C
∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
A E
·
B
D
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
3.如图， ⊙O的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是________.
O A
.
M B
4.已知⊙O的半径是 10 cm，弦AB∥CD， AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距 离是_______________.
5.如图，在⊙O中，AB,AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD ⊥ AB,OE⊥AC垂足分别为D,E. 求证：四边形ADOE是正方形
一 圆是轴对称图形
探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
二 垂径定理
在你做的⊙O中画一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
特别说明：
A
O ·
圆的两条直径是互相平分的.
B D
试一试 • 判断：
挑战自我
• ⑴垂直于弦的直径平分这条弦．（√ ） • ⑵平分弦的直径垂直于这条弦. （× )
C E A
O
D
B
推论 垂径定理 辅助线
基本图形及 变 式 图 形
当堂达标
1.在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心 O 到 AB 的 距离为  ( ) A. 5 B.10 C.12 D.13 B
A
. O
B
C
M
D
.O
A
2.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦 CD 于点 M， AM=18，BM=8，则 CD 的长为 ( ) A. 12 B. 18 C. 20 D. 24
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中 OA² =AD² +OD²
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=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
课堂小结
有你哪些收获？还有哪些疑惑？
内 容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径） ; ④平分弦所对的优弧 ; ⑤平分弦所对的劣弧 . 满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”） 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
C
.
A
O E B
D
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
叠 合 法
归纳
垂径定理
题设 结论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. C 应用格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ⌒ =BC ⌒, ⌒ ⌒ ∴ AE=BE, AC AD =BD. A O · E D B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
O ·
设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
∴ AE OA2 OE 2
· O
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
线段: AE=BE
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
C
O
·
B
你能证明吗？
A
E D
说理
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O 的对称轴。 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A点和B点重合， AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。
24.1.2垂直于弦的直径
定州启明中学
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解
决一些简单的计算、证明问题.
3.在研究过程中，进一步体验“实验-归纳-猜想-证 明”的方法 重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一 些实际问题．