24.1.2垂直于弦的直径.ppt
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24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
A E B O
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.
【解析】根据题意得，
AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA.
B M A P
O
答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ • 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？ • 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，
• 1、必做 • 2、选作 p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO， AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
O
A
AO=BO=CO=DO，
C
AD ＝BC AC ＝BD
OO
D
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
AD＝BD. 为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 弧.
C O E D
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B
A
C
O
源自文库
D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
A C E F O D B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
A C O D B
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测
巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2 CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
O . D B
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
C
D
并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，
垂直平分弦并且平分弦所对的另
一条弧.
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
AE＝BF
E A
C
O
D
B
F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两
A E O B
条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
2 2 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
A E B O
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.
【解析】根据题意得，
AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA.
B M A P
O
答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ • 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？ • 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，
• 1、必做 • 2、选作 p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO， AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
O
A
AO=BO=CO=DO，
C
AD ＝BC AC ＝BD
OO
D
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
AD＝BD. 为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 弧.
C O E D
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B
A
C
O
源自文库
D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
A C E F O D B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
A C O D B
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测
巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2 CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
O . D B
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
C
D
并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，
垂直平分弦并且平分弦所对的另
一条弧.
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
AE＝BF
E A
C
O
D
B
F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两
A E O B
条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
2 2 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为