24.1.2垂直于弦的直径.ppt
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垂径定理优秀课件
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦 AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2 垂直于弦的直径(2)课件
②⑤ ③④
③⑤ ④⑤
①③④ ①②⑤
①②④ ①②③
思考
⌒ 你能确定AB的圆心吗？
C
作法： 1． 连接AB． 2． 作AB的垂直 A ⌒ 平分线 ，交AB 于点C． 3． 作AC的垂直 平分线． 4． 两条垂直平分 线交于一点O．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交 于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
这五条拿出任意两条作为题设， 其余三条作为结论，会出现多 少个命题？ 这些命题都是真命 题吗？
探究
C
命题1 垂径定理的推论1
① 直径 ③ 平分弦
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
E
A
O B
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
B
2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为
O
P E C
D
O
M
A
O B N
D
探究
命题2 垂径定理的推论2 ① 直径 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒
⌒ ⌒ ⌒
C
② 垂直于弦 ③ 平分弦 O B
已知：AB、CD是弦，CD⊥AB，CD平分AB 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
E A
D
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧．
பைடு நூலகம்
_人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ③ AM=BM,
② CD⊥AB,
④A⌒C=⌒BC, ⑤⌒AD=⌒BD.
只要具备其中任何两个条件, 就可推出其余三个结论吗？
C
A
B
M
●O
D
证明猜想
已知： ① CD是直径, ③ AM=BM,
求证： ② CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论
24.1.2 垂直于弦的直径
C
A
M
B
·O
D
学习目标（1分钟）
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理； 3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计 算相关问题.
自学指导一（3分钟）
阅读课本P81-P82，解决下列问题:
1、圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
图中有哪些等量关系？
EF=1cm 或7cm
5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
N
（
）
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
O.
∴ AE－CE＝BE－DE
A CED B
即 AC＝BD.
常用辅助线的添法：解决有关弦的问题，有事没事垂一垂！
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 PPT课件
A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
练习巩固，综合应用
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分 线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径．
再见
2
∴r=2 3．
故⊙O的半径长是2 3 ．
练习巩固，综合应用
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水 面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问 修理人员应准备内径多大的管道?
练习巩固，综合应用
解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
D
A
B
R
O
练习巩固，综合应用
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
24.1.2垂直于弦的直径 课件人教版数学九年级上册
(1)证明：∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径.ppt(共21张PPT)
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
AD＝BC AC【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE， AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
AD＝BC AC【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE， AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
垂直于弦的直径ppt课件
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主
桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有
以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
C
d+h=r
h
a
A
B 数量关系
D
2
r d
O
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
课堂练习
1. 如图 a、b，一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的
半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
2 或 12
问题2：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？
由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
●O
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
问题3：如何证明圆是轴对称图形？
圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称
点也在圆上.
同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并
写出已知和证明：
基本图形及
变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理
计算或建立方程.
OC ＝2，则☉ O 的半径长为
.
3. （2023·宜昌中考）如图， OA ， OB ， OC 都是☉
O 的半径， AC ， OB 交于点 D . 若 AD ＝ CD ＝8，
OD ＝6，则 BD 的长为 4 .
《垂直于弦的直径》圆PPT精品课件
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C
OE
A
B
D
（4）
没有垂直
AB、CD都 不是直径
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
C
O AE B
D
（1）
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C A OE B
DD
（4）
垂径定理： 过圆心
垂径定理的推论：
①③→②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧弧, , ⑤平分弦所对的劣弧.
还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
合作探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？
①圆是轴对称图形，
O
②任何一条直径所在的直线
都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以 外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
A
D
R
由题设可知：AB37，CD7.23，
B ∴AD 1 AB 1 3718.5，
22 ODOCCDR7.23，
O
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
垂径定理课件
第二十四章24.1.2
垂直于弦的直径
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 可利用什么样方法解决上述问题？
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
垂径定理
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
A D O C
B
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ⑸弦的垂直平分线一定平分这Leabharlann 弦所对的弧. （） ）
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
●
B O
你能发现图中有哪些等量关系?通过你准 备好的圆，探究一下
D
垂径定理
连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
C
●
A
┗
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
垂直于弦的直径
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 可利用什么样方法解决上述问题？
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
垂径定理
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
A D O C
B
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ⑸弦的垂直平分线一定平分这Leabharlann 弦所对的弧. （） ）
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
●
B O
你能发现图中有哪些等量关系?通过你准 备好的圆，探究一下
D
垂径定理
连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
C
●
A
┗
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
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• 1、必做 • 2、选作 p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
O
A
AO=BO=CO=DO，
C
AD ＝BC AC ＝BD
OO
D
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
AD＝BD. 为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 弧.
C O ，能否使用垂径定理？
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO， AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA.
B M A P
O
答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
C
D
并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，
垂直平分弦并且平分弦所对的另
一条弧.
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
AE＝BF
E A
C
O
D
B
F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
A E B O
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.
【解析】根据题意得，
AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测
巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2 CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
O . D B
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两
A E O B
条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
2 2 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ • 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？ • 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B
A
C
O
D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
A C E F O D B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
A C O D B
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
O
A
AO=BO=CO=DO，
C
AD ＝BC AC ＝BD
OO
D
B
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
AD＝BD. 为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 弧.
C O ，能否使用垂径定理？
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO， AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA.
B M A P
O
答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
C
D
并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，
垂直平分弦并且平分弦所对的另
一条弧.
【推论2】
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能
得到什么结论？
AE＝BF
E A
C
O
D
B
F
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
A E B O
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.
【解析】根据题意得，
AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测
巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2 CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
O . D B
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两
A E O B
条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
2 2 32 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ • 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？ • 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B
A
C
O
D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
A C E F O D B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
A C O D B
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.