垂直与弦直径

B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
解:连接OC.
垂直与弦直径
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m. OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
F
●
R2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545.
O
这段弯路的半径约为545m.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂 足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
垂直与弦直径
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平
①③④ 分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ①②④ ,并且平分弦所对的另一条弧.
垂直与弦直径
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂直与弦直径
D
垂直与弦直径
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直
线来说，如果具备：
C
① 经过圆心
A M└
B ② 垂直于弦
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
垂直与弦直径
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
垂直与弦直径
。 O
C
D
B
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
Байду номын сангаас
B
垂直与弦直径
问题2
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
垂直与弦直径
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
垂直与弦直径
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
●O
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
D
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
C
垂径定理及推论
A M└
B
条件 结论
●O
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
AD 1 AB 1 7.2 3.6, 2
2
2
垂直与弦直径
O DO CDCR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6. D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂直与弦直径
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定得理A ,D是 AB 7 B.的2 ,中C 点, D C2 是.4 ,AH B 的 中N 1 点M ,CD就 1 N 是.5 拱.高.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
垂直与弦直径
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥
拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
垂直与弦直径
A
·D B O
练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
垂直与弦直径
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长.
垂直与弦直径
A4H 6 G
D
M
2
BE
·N
F
C
0
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
垂直与弦直径
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是____2_______cm，AB=___4______cm.
A
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）
AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其