垂直与弦直径
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径时课件
02
垂直于弦的直径的性质证明
证明方法
01
02
03
三角形类似证明法
通过构造与垂直于弦的直 径相关的两个三角形，并 证明这两个三角形类似， 从而得出直径的性质。
圆周角定理证明法
利用圆周角定理，推导出 与垂直于弦的直径相关的 角的关系，从而证明直径 的性质。
反证法
假设与垂直于弦的直径相 关的性质不成立，通过推 理得出矛盾，从而证明直 径的性质成立。
总结词
在椭圆中，垂直于弦的直径同样具有平分弦和弧的特性。
详细描述
在椭圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径也会平分这条弦，即弦被分 成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的弧，即该弧被分为两个相等的部分。 这个性质在椭圆中同样适用，是几何学中的一个基本定理。
实例三：抛物线中的垂直于弦的直径
总结词
实例一：圆中的垂直于弦的直径
总结词
在圆中，垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的弧。
详细描述
在圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径会平分这 条弦，即弦被分成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的 弧，即该弧被分为两个相等的部分。这是圆的基本性质之一 ，也是几何学中的一个基本定理。
实例二：椭圆中的垂于弦的直径
03
垂直于弦的直径的应用
在几何图形中的应用
垂直于弦的直径是几何图形中 重要的概念，它有助于理解图 形的形状、大小和性质。
在圆中，垂直于弦的直径将弦 分为两段相等的部分，这是等 腰三角形的一个重要性质。
垂直于弦的直径还可以用于确 定圆心角和圆周角的关系，以 及解决与圆相关的几何问题。
在物理中的应用
05
垂直于弦的直径的练习题及答案
练习题一及答案
24.1.2垂直于弦的直径
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
拓展练习
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8， P是弦AB上一个动点， 求OP的取值范围.
O A P B
3≤OP≤5
拓展练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
O
A C E D B
.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
你能有一句话概括一下吗？
例3、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
⌒ ⌒
M
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，
求圆的半径。
B
4 2
A
x
D
C
x-2
O
2、 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入 一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
O A E D
650 OB ( mm ) 2 600 EB (mm ) 2
B OE OB EB
2 2
(2) E
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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垂直于弦的直径ppt课件
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
A
进一步，我们还可以得到结论：
B
E
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧。
•即：如果CD过圆心，且AE=BE
则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
7
C
O
垂径定理：
A
M
B 由
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
推论：
O
由 ① CD是直径 可推得
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。 9
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
是
不是
是
D
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
17
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
课件《垂直于弦的直径》优秀课件完整版_人教版1
∴⊙O的半径为5厘米。
解决求赵州桥拱半径的问题
AB
如图，用A⌒B表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是A⌒B 的中点， C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米
C
A
D
B
R
O
三、
A⌒D=⌒BD
Ｄ
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5 ∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM=1 AB，
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
●相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
解 : 如 图 ,用 AB表 示 桥 拱 , AB 所 在 圆 的 圆 心 为O,半 径为 R m, 6．下列经说法过错圆误的心是O( 作) 弦 A B 的 垂 线 O D, D 为 垂 足 , 与AB 相 交 于 点 C . 根
㎝，
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
垂直于弦的直径-教案
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径什么是垂直于弦的直径？在圆的几何学中，直径是两个在圆周上相对点之间的线段，并且经过圆心。
而垂直于弦的直径是指与给定弦垂直的直径。
换句话说，如果一个直径与某条弦垂直相交，那么它就是垂直于弦的直径。
特性和性质1.垂直于弦的直径的性质之一是它们互相垂直。
这意味着，如果两条直径都是垂直于同一条弦，那么这两条直径相互垂直。
2.对于一个给定的圆和一条弦，只有一个垂直于该弦的直径。
这是因为直径经过圆心，且圆心位于弦的垂直平分线上。
3.垂直于弦的直径被称为弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径通过弦的中点，并将弦一分为二。
4.对于一个给定的圆，以及圆心处的一点，存在唯一的垂直于通过该点的弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径经过圆心。
如何证明一条直径垂直于弦？要证明一条直径垂直于弦，可以使用以下步骤：1.假设有一个圆，以及一条弦和它的中点。
我们需要证明通过该中点的直径是垂直于弦。
2.通过指定的弦的两个端点和圆心绘制弧。
3.连接弧的两个端点与圆心，形成两条半径。
4.根据性质，半径与圆周相切于弦的端点。
5.通过弦的中点绘制一条水平线段，并通过圆心绘制一条垂直线段。
6.证明水平线段与垂直线段相交于直径的一点。
7.由于水平线段与弦平行，且垂直线段与弧相切于弦的端点，因此直径与弦垂直相交。
8.因此，通过弦的中点的直径是垂直于弦的。
垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的概念在几何学和数学中具有广泛的应用。
以下是几个具体的应用场景：1.圆锥与割线问题：当我们考虑一个锥体与平面相交时，垂直于割线的直径对于计算截面的半径和圆锥的体积非常有用。
2.弦截矩关系：根据垂直于弦的直径的性质，我们可以推导出弦的截矩公式。
截矩是描述截面形状的一个参数，它对于材料的强度和性能分析非常重要。
3.三角函数与圆：在三角函数中，正弦值、余弦值和正切值等与圆相关的概念经常涉及到垂直于弦的直径。
这些概念为我们理解三角函数的图像、计算角度和边长提供了基础。
垂直于弦的直径 教案
垂直于弦的直径教案教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会运用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径定理的应用。
教学难点：1. 理解并证明垂直于弦的直径定理。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形和工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的知识，如弦的定义、直径的定义等。
2. 提问：你们认为垂直于弦的直径有什么特殊的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂直于弦的直径的定义：垂直于弦的直径是指在圆中，经过圆心的直径与弦垂直相交。
2. 讲解垂直于弦的直径定理：在圆中，垂直于弦的直径将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。
3. 通过几何图形和实例，解释并证明垂直于弦的直径定理。
三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生运用垂直于弦的直径定理解决问题。
2. 引导学生步骤清晰、逻辑严密地解答例题。
四、课堂练习（10分钟）1. 设计一些练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
2. 提供解答过程和答案，让学生自我检查。
五、总结与展望（5分钟）1. 总结本节课所学的主要内容和垂直于弦的直径的应用。
2. 展望下一节课将要学习的内容，激发学生的学习兴趣。
教学反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握垂直于弦的直径的概念和定理，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励学生提问和思考，提高课堂互动性。
布置适量的课后作业，巩固所学知识。
六、课堂拓展（10分钟）1. 引导学生思考：垂直于弦的直径定理在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明垂直于弦的直径定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
七、小组讨论（15分钟）1. 将学生分成小组，每组选择一个与垂直于弦的直径相关的问题进行讨论。
2. 鼓励学生发表自己的观点，互相交流，共同解决问题。
垂直于弦的直径
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 学会运用垂径定理及其推论解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
2. 垂径定理的推论：垂直于弦的直径平分弦所对的优弧，也平分弦所对的劣弧。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂径定理及其推论。
2. 教学难点：如何运用垂径定理及其推论解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点。
3. 运用案例分析法，让学生通过实际例子体会垂径定理及其推论的应用。
五、教学过程1. 导入新课：复习相关知识点，如垂径定理和圆的性质。
3. 案例分析：运用垂径定理及其推论解决实际问题，如圆中的面积计算、线段长度关系等。
4. 巩固练习：设计相关练习题，让学生运用垂径定理及其推论解决问题。
六、教学评价1. 评价目标：学生能理解并熟练掌握垂径定理及其推论。
学生能够运用垂径定理及其推论解决几何问题。
学生能够通过几何画板等工具验证垂径定理。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂径定理的理解和应用能力。
练习题：评估学生运用垂径定理解决实际问题的能力。
小组讨论：观察学生在团队合作中的表现和思维过程。
七、教学拓展1. 探讨垂径定理在更一般情况下的应用，例如在非圆几何中的适用性。
2. 介绍垂径定理的历史背景和相关的数学故事，激发学生的兴趣。
3. 引导学生思考如何将垂径定理应用到其他数学领域，如三角函数、坐标几何等。
八、教学资源1. 几何画板软件：用于动态展示垂直于弦的直径的性质。
2. 练习题库：提供多种类型的练习题，供学生巩固所学知识。
3. 数学故事书籍：介绍垂径定理的相关历史背景和故事。
九、教学反思1. 反思教学内容：确保垂径定理的教学内容全面，难易适度，适合学生的学习水平。
2. 反思教学方法：考虑是否有效地运用了问题驱动法和案例分析法，以及学生的参与度。
《垂直于弦的直径》的说课稿
《垂直于弦的直径》的说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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垂直于弦的直径的数学教案
垂直于弦的直径的数学教案教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径性质定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径解决问题。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径性质定理的应用。
教学难点：1. 理解并证明垂直于弦的直径的性质定理。
第一章：垂直于弦的直径的概念1.1 引入垂直于弦的直径的概念使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，是否存在一条直径与给定弦垂直相交？1.2 定义垂直于弦的直径给出垂直于弦的直径的定义：在一个圆中，如果一条直径与某条弦垂直相交，这条直径被称为垂直于该弦的直径。
1.3 垂直于弦的直径的性质引导学生观察和讨论：垂直于弦的直径具有哪些特殊的性质？总结出垂直于弦的直径的两个性质：1) 垂直于弦的直径将弦平分。
2) 垂直于弦的直径将弦所对的圆周角平分。
第二章：垂直于弦的直径性质定理2.1 引入垂直于弦的直径性质定理使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何判断一条直径是否垂直于给定弦？2.2 证明垂直于弦的直径性质定理给出垂直于弦的直径性质定理的证明：定理：在一个圆中，如果一条直径垂直平分一条弦，这条直径垂直于该弦。
证明步骤：1) 画出圆和一条弦，以及垂直平分该弦的直径。
2) 标记出直径的两个端点和弦的两个端点。
3) 利用圆的性质，证明直径所对的圆周角是直角。
4) 利用直角的性质，得出直径垂直于弦的结论。
2.3 应用垂直于弦的直径性质定理给出几个应用例子，让学生练习使用垂直于弦的直径性质定理解决问题。
第三章：垂直于弦的直径的应用3.1 引入垂直于弦的直径的应用使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何找到一条垂直于给定弦的直径？3.2 找到垂直于弦的直径的方法给出找到垂直于弦的直径的方法：方法：在一个圆中，要找到一条垂直于某条弦的直径，可以先找到该弦的中点，通过该中点画出一条与弦垂直的线段，该线段即为所求的直径。
垂直于弦的直径
垂直弦的直径一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE=BE, = , = .推 论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE=BE.∴ CD ⊥AB ， = , = .弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）考点分析：垂径定理及推论的应用，证明.典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念例1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 例2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >例3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ，则半径OA 的长为（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4例4. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.例5. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于________cm ，OM 的长为________cm类型2. 垂径定理分类讨论 例1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<< 图2－1例2. 已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 之间的距离.例3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度例1. 如图3－1，在圆O 中，直径AB 垂直于弦CD ，并且交CD 于E ，直径MN 交CD 于F ，且OE FD FO 2==，求COD ∠.图3－1例2. 如图3－2，AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥弦CD 于E ，CD ＝16，AE ＝4，求OE 的长.图3－2例3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C=900，AC=5cm ，BC=12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.图3－3例4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.图3－4例5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB=2CD=4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明例1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCN OBN ∠=∠．A图4－1例2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D. 求证：.21BF AD =图4－2例3．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3例4．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE ⊥．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图4－4类型5. 垂径定理的综合应用例1. 一水平放臵的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm. 图5－1例2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2例3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？例1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.例2. 如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB=∠DPB. 求证：PC=PD.例3. 已知：如图6－3，A,B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是 中点.P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD=4cm ，求AP+PB 的最小值.例4. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE=DF ；OE=OF.图6－4变式题1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－5变式题2：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE=DF ；OE=OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
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④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
垂直与弦直径
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥
拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
垂直与弦直径
A
·D B O
练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
垂直与弦直径
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
垂直与弦直径
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
AD 1 AB 1 7.2 3.6, 2
2
2
垂直与弦直径
O DO CDCR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6. D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）ALeabharlann A、3 B、2 C、1 D、0
垂直与弦直径
。 O
C
D
B
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
垂直与弦直径
问题2
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
垂直与弦直径
解:连接OC.
垂直与弦直径
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m. OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
F
●
R2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545.
O
这段弯路的半径约为545m.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂 足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
垂直与弦直径
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平
①③④ 分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ①②④ ,并且平分弦所对的另一条弧.
垂直与弦直径
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是____2_______cm，AB=___4______cm.
A
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）
AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
垂直与弦直径
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
垂直与弦直径
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂直与弦直径
D
垂直与弦直径
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直
线来说，如果具备：
C
① 经过圆心
A M└
B ② 垂直于弦
●O
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
D
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
C
垂径定理及推论
A M└
B
条件 结论
●O
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
垂直与弦直径
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定得理A ,D是 AB 7 B.的2 ,中C 点, D C2 是.4 ,AH B 的 中N 1 点M ,CD就 1 N 是.5 拱.高.
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长.
垂直与弦直径
A4H 6 G
D
M
2
BE
·N
F
C
0
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？