垂直与弦的直径 (4)
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九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
24.1.2垂直于弦的直径
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
拓展练习
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8， P是弦AB上一个动点， 求OP的取值范围.
O A P B
3≤OP≤5
拓展练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
O
A C E D B
.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
你能有一句话概括一下吗？
例3、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
⌒ ⌒
M
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，
求圆的半径。
B
4 2
A
x
D
C
x-2
O
2、 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入 一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
O A E D
650 OB ( mm ) 2 600 EB (mm ) 2
B OE OB EB
2 2
(2) E
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
拓展练习
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8， P是弦AB上一个动点， 求OP的取值范围.
O A P B
3≤OP≤5
拓展练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
O
A C E D B
.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
你能有一句话概括一下吗？
例3、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
⌒ ⌒
M
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，
求圆的半径。
B
4 2
A
x
D
C
x-2
O
2、 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入 一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
O A E D
650 OB ( mm ) 2 600 EB (mm ) 2
B OE OB EB
2 2
(2) E
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
垂径定理及其推论
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝16cm ∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm
∴⊙O的半径为10cm．
.
26
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的.直线经过圆心，并且垂直平分弦．22
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦
的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理
创造条件．
.
23
随堂练习
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
.D
1
垂径定理 C
O
E
A
B
排列CD这组是五合直条，径进会，行出AB是弦， D 现多CD少⊥个A命B题？
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
24.1.2垂直于弦的直径教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径什么是垂直于弦的直径？在圆的几何学中，直径是两个在圆周上相对点之间的线段，并且经过圆心。
而垂直于弦的直径是指与给定弦垂直的直径。
换句话说，如果一个直径与某条弦垂直相交，那么它就是垂直于弦的直径。
特性和性质1.垂直于弦的直径的性质之一是它们互相垂直。
这意味着，如果两条直径都是垂直于同一条弦，那么这两条直径相互垂直。
2.对于一个给定的圆和一条弦，只有一个垂直于该弦的直径。
这是因为直径经过圆心，且圆心位于弦的垂直平分线上。
3.垂直于弦的直径被称为弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径通过弦的中点，并将弦一分为二。
4.对于一个给定的圆，以及圆心处的一点，存在唯一的垂直于通过该点的弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径经过圆心。
如何证明一条直径垂直于弦？要证明一条直径垂直于弦，可以使用以下步骤：1.假设有一个圆，以及一条弦和它的中点。
我们需要证明通过该中点的直径是垂直于弦。
2.通过指定的弦的两个端点和圆心绘制弧。
3.连接弧的两个端点与圆心，形成两条半径。
4.根据性质，半径与圆周相切于弦的端点。
5.通过弦的中点绘制一条水平线段，并通过圆心绘制一条垂直线段。
6.证明水平线段与垂直线段相交于直径的一点。
7.由于水平线段与弦平行，且垂直线段与弧相切于弦的端点，因此直径与弦垂直相交。
8.因此，通过弦的中点的直径是垂直于弦的。
垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的概念在几何学和数学中具有广泛的应用。
以下是几个具体的应用场景：1.圆锥与割线问题：当我们考虑一个锥体与平面相交时，垂直于割线的直径对于计算截面的半径和圆锥的体积非常有用。
2.弦截矩关系：根据垂直于弦的直径的性质，我们可以推导出弦的截矩公式。
截矩是描述截面形状的一个参数，它对于材料的强度和性能分析非常重要。
3.三角函数与圆：在三角函数中，正弦值、余弦值和正切值等与圆相关的概念经常涉及到垂直于弦的直径。
这些概念为我们理解三角函数的图像、计算角度和边长提供了基础。
垂直于弦的直径
活动4
归纳小结、布置作业.
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性.
作业：第88页练习，习题24.1 第1题，第8 题，第9题.
24.1.2 垂直于弦的直径
活动1
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直 径对折，重复做几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？(课件：探究圆的 性质)
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴.
活动2
按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿 圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部 分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作 CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两 条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另 一点B.
活动5
解决下列问题 ： 1.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥 下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离 水面的高度2.4米. 现在有一艘宽3米，船舱 顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这 里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？ 说明理由.
C
A
B
活动5
解决下列问题 ： 2.银川市某居民区一处圆形下水管道破 裂，修理人员准备更换一段新管道．如下左 图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管 道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内 径多大的管道?
AB 如图， 所在圆的圆心是点O， 过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦 AB=16 m，求此圆的半径.
活动3
活动4
AB 如图，已知 ，请你利用尺规作图的方法 作出 的中点，说出你的作法. AB
A
B活动4AFra bibliotekB1.连接AB；
AB 2.作AB的中垂线，交 于点C， 点C就是所求的点.
垂直于弦的直径(课件)九年级数学上册(人教版)
解：如图，用⌒AB表示主桥拱，设⌒AB所在圆的圆
心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与A⌒B
相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中 点，C是A⌒B的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=1AB=1×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
少？
解：过O点作OC ⊥ AB于点C，并延长CO交⊙ O于点 D，如图， 则由题意得OA = OD = 5cm ∴ OC = CD − OD = 3cm 又∵ OC ⊥ AB， ∴ AC = BC， 在Rt△ OAC中，AC = OA2 − OC2 = 4cm ∴ AB = 2AC = 8cm
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm， 求AB和CD之间的距离． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心 异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
没有垂直
没有过圆心
➢垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
①CD是直径 ②CD⊥AB，垂足为E ③AE=BE ④A⌒C=⌒BC 举例证明其中一种组合方法 已知:__①___③____;求证:_②___④___⑤__.
在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又∵AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因 此圆⊙的O关对于称直性线：C圆D对是称轴.对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
24.2.3 垂直于弦的直径性质
知3－讲
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
CD是直径
AD BD
CD AB ⇒ AE＝BE AC BC
知3－讲
例6 下列说法正确的是( C ) A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线一定经过圆心 C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过 圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
知3－练
2. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，
AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( A．8 cm C．6 cm B. 91 cm D．2 cm )
知3－练
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB 上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是( A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 )
半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；
(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦 心距； (3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过 圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所 对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
(2)①利用图形即可得出点的坐标；②利用勾股
定理即可求出半径．
知2－讲
总 结
确定圆心的方法：取任意两条不平行的弦，分别作
两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为 圆心．
知2－讲
例5 赵州桥（图24 - 22)建于1 400年前的隋朝，是我国 石拱 桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧 所对的弦长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2 m， 求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0. 1 m)
如图，在⊙O中，CD是直径
垂径定理及其推论
圆部份知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可归纳为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，若是两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都别离相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆一、不在同一直线上的三个点确信一个圆。
二、通过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做那个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
若是⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
九年级数学垂直于弦的直径
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
C E O B A
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
6、在直径为650毫米 的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图 所示。若油面宽AB＝ 600毫米，求油的最 大深度。
O A B
； / 交通违章查询
就算是咯咯壹桩事情。难不成非要拖到有咯壹男半女の时候才能给名分？别又闹得跟那家似の，非要等小格格格生出来咯才认命。唉，不过话说 回来，那各丫环の肚皮也实在是不争气，都这么长时间咯，怎么也不见有啥啊动静。”排字琦先是莫名其妙，再壹听德妃如此说来，简直就是五 雷轰顶！天啊！爷与年家那各玉盈仆役好上咯？除咯她也没有别人啊！总不可能是看上吟雪那丫头吧，那也就只剩下这各以丫环身份随行の年家 大仆役咯！震惊不已、怒火中烧の排字琦回到府里。这年家大仆役竟然敢在她の眼皮子底下与爷存咯私情，枉她那么好心好意地帮衬着她，甚至 还曾经操心过她の婚事，想过哪家の小格、公子配得上她。原来，原来，她耗成咯壹各嫁不出去の老姑娘，竟是惦记上自家爷咯！痛恨不已の排 字琦借着德妃娘娘催问她办婚事の由头，毫不掩饰地向王爷发难：“爷，妾身今天进宫里跟娘娘请安，额娘催问媳妇啥啊时候把那各年家大仆役 娶进府里来？”王爷被排字琦の这番话气得脸色铁青！此时の他，正被玉盈那各“谁也不嫁”の话伤心不已，本来就窝着壹口气，现在又听排字 琦说起这件事情，简直就是往他の伤口上撒盐。本来就邪火没处撒の他，正好遇到排字琦撞到咯枪口上，结果壹肚子の怒气全都壹股脑地发泄到 咯她の头上：“这种恶语中伤の事情你也做得出来？额娘不清楚情况，你也跟着不辨是非、人云亦云？人家是未出阁の姑娘，怎么就要凭白地被 你毁咯名节？”第壹卷 第331章 除疑被王爷劈头盖脑、不分青红皂白地壹顿训斥，排字琦简直就是委屈至极！她分明就是两面不讨好嘛。娘娘 那里指责她肚量小，不积极操持张罗爷の婚事；而在爷这里居然训斥她是毁咯年仆役名节の罪魁祸首，她排字琦还有没有活路咯？受咯夹板气の 排字琦从爷那里讨不来说法，只好派小柱子留意侧福晋以及侧福晋娘家姐姐の情况。她の想法是：既然德妃娘娘提出来咯，壹定不是捕风捉影の 事情，但是爷不但矢口否认，还倒打壹耙。那她只有凭自己の本事咯，谁让她不管是德妃娘娘还是爷都不敢得罪呢！排字琦最想知道の是，到底 是娘娘说の真，还是爷在欺骗她？或者是说，爷在塞外の时候跟那各年仆役好上咯，回到京城又后悔咯？这各应该是最有可能。爷根本就看不上 天仙妹妹，这出门在外大半年の时间，谁负责侍寝？只可惜，这年仆役是打错咯如意算盘，做错咯白日梦，赔咯身子也没换来啥啊好结果！虽然 分派咯小柱子，排字琦自己也格外地留意和观察起天仙妹妹の神色、情绪，企图寻找出来蛛丝马迹。结果不管是她自己观察の年妹妹，还是小柱 子上报来の侧福晋，都让她不得不相信咯王爷の说辞。先说水清妹妹这里。每日里她依然是早来早走，不跟其它の姐姐们有啥啊过多の来往，但 是排字琦还真是看不出她の脸上有壹丝の哀伤、怨气、不满、或是妒忌の神色。相反，不但壹如既往、克尽礼数地对待她，平淡如水地对待其它 の姐姐们，而且偶尔地，居然还会有些许の满足、些许の欣喜，洋溢在她の小脸上。水清那时候不高兴才怪呢！王爷の心思和时间先是被两各新 降生の小小格分去咯许多，继而又被二废太子之后新增の夺储大业占据咯全部，早就完全地将她忘到咯脑后。假如不是偶尔の家宴，以及压抑不 住の对玉盈の思念，他早就将她彻底地遗忘。因此这两年来，由于没有咯爷の“关注”，水清再也不会无缘无故地被爷寻咯短处，也不会无缘无 故地被爷安上“莫须有”の罪名，她开始充分地享受着无忧无虑、随性自然、幸福快乐の生活，这让她怎么能不面露喜色？再说小柱子那里。报 上来の情况壹如排字琦猜测の壹样，每日里不是读书写字儿做女红，就是晒晒太阳种花草，小日子过得有滋有味、怡然自得，不但根本看不出来 她是壹各被爷冷落至极の人，而且也根本看不出来她是壹各被自己の姐姐夺咯夫君の人。“此外，侧福晋与吟雪和月影她们聊天の时候，奴才也 注意到她们经常提到年家那各大姑奶奶，相互之间还经常送衣物、书信啥啊の。大概情况就是这些，不知道福晋还想咯解年家大仆役の啥啊事 情。”“噢，没啥啊咯，你精心当差，少不咯你好处の。”“多谢福晋。”第壹卷 第332章 入宫三月十八日当天，时隔三年，水清再壹次踏入 皇宫の大门。在永和宫，她再次见到咯两年多不见の德妃娘娘和塔娜。此次三小格弘时也随淑清壹同进宫参加皇玛法の寿宴。平时在府里弘时就 格外地不喜欢这各年姨娘。年姨娘没有进府之前，额娘只需要向福晋额娘行礼，现在额娘不但要向这各黄毛丫头行礼，而且自打她进咯府以后， 他又多出来咯两各小弟弟，他不再是王府里の独苗。以前全府所有の主子奴才对他全都是众星捧月，除咯阿玛，就是这各年姨娘，跟别人不壹样。 阿玛不用说咯，从来没有对他笑过，除咯吓人唬啦地查他功课，就是罚他抄书甚至跪地反省。年姨娘倒是壹直对他都是笑吟吟地，但是她从来不 会像其它人那样千方百计、强颜欢笑地讨好他，年姨娘永远都是端庄大方、彬彬有礼，既不会刻意地亲近他，但也绝对不会刻意地冷落他。凭啥 啊！小爷可是这王府里最年长の小格，将来皇玛法封咯小爷作世子，不管将来再有好些各弟弟，小爷也不怕！待小爷当咯世子爷，不信你年姨娘 不上赶着来巴结、讨好小爷。等到咯那各时候，小爷反倒是要好好地考虑考虑，理不理会你呢！嗯，还是理你吧。就罚你每天都要
24.1.2垂直于弦的直径
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37 .4 18 .7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
d +( ) =R2
截面圆心O到水面的距离OC=6， 求水面宽AB。
若弦心距为 a d，半 2 2 径为R，弦长为a, 2 则这三者之间有怎 样的关系？
拓展附加
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E， AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
D B E A O
解：过点O作OH⊥CD，垂足为H， C 连接OD. ∵AE=2，EB=6， ∴OA=OB=4,OE=2, ∵∠DEB=30°，∴OH=1，HD= 42 12 15 ∴CD=. 2 15
那么，由五个条件中的任意两个就可以推出另外三个
“知二退三”
3 . 如图，已知在⊙O中， （1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距 离为3厘米，求⊙O的半径 （2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘 米，求圆心O到AB的距离 （3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的 距离为6厘米，求弦AB的长
O
A
E
B
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： C ∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB ∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90° 1 1 AE AC，AD AB 2 2 ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
垂径定理最新版
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
.O
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所D对
的两条弧 已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB。求证：CD是直径，
（2）弦的垂直平分线的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
N 证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥⌒MA＝BB。⌒M∵，ACB⌒M∥＝CDD⌒M， （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
C
.O
E
B
D
叠 合 法
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
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．
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谢 谢 观 看
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
A E
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·
D B
O
活动四.习题演变
如图，直径CD ⊥AB于E点 （1）CD=10，AB=8，求OE，CE，DE （2）CD=10，OE=3，求AB，CE，DE （3）CD=10，DE=8，求AB，OE，CE （4）AB=8， CE=2, 求CD，OE，DE （5）AB=8， DE=8，求CD， OE，CE （6）CE=2, DE=8，求CD，OE， AB
C A R O D B
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OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得R≈27.9.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
活动三
3 cm，求⊙O的半径． 解： OE AB
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为AEB
1 1 AE AB 8 4 2 2
24.1.2 垂直于弦的直径
赵州桥的半径是多少？
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问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前 的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4 m，CD=7.2 m，
1 1 AB 37 .4 18 .7 , m）, （ 2 2
AD
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
由此，我们得到下面的定理：
E
·
A D B
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题：
AB
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
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活动五.习题演变
1．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 2. 如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C．若OC=3，则AB的长为（ A．4 B．6 C．8 D．10
）
在Rt△AOE中，
O
·
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AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方 形． 证明： OE AC OD AB AB AC
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3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB 上的动点，则线段OM长的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C， AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为（ ） A． B．3 C．4 D．5
5．如图：AB⊥CD，CD为⊙O直径，且AB=20， CE=4，那么⊙O的半径是（ ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
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可以发现：圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到 弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．0
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六.实际应用
1.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所 示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水 管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水 面的距离OC是3，则水面宽AB是（ ） A．8 B．5 C．4 D．3 3．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径， 于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量 了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你，请你算出大石 头的半径是（ ） A．40cm B．30cm C．20cm D．50cm
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（1）圆是轴对称图形．直径CD所 在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
E 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， A
C
·
O
B
D 点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD 重合．
C
AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB