垂直与弦的直径 (4)

6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到 弦AB所在的直线距离为2的点有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．0
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六.实际应用
1.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所 示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水 管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水 面的距离OC是3，则水面宽AB是（ ） A．8 B．5 C．4 D．3 3．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径， 于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量 了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你，请你算出大石 头的半径是（ ） A．40cm B．30cm C．20cm D．50cm
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前 的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4 m，CD=7.2 m，
1 1 AB 37 .4 18 .7 , m）, （ 2 2
AD
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
A E
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·
D B
O
活动四.习题演变
如图，直径CD ⊥AB于E点 （1）CD=10，AB=8，求OE，CE，DE （2）CD=10，OE=3，求AB，CE，DE （3）CD=10，DE=8，求AB，OE，CE （4）AB=8， CE=2, 求CD，OE，DE （5）AB=8， DE=8，求CD， OE，CE （6）CE=2, DE=8，求CD，OE， AB
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活动五.习题演变
1．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 2. 如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C．若OC=3，则AB的长为（ A．4 B．6 C．8 D．10
）
由此，我们得到下面的定理：
E
·
A D B
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题：
AB
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
在Rt△AOE中，
O
·
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AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方 形． 证明： OE AC OD AB AB AC
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．
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谢 谢 观 看
24.1.2 垂直于弦的直径
赵州桥的半径是多少？
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问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
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（1）圆是轴对称图形．直径CD所 在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
E 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， A
C
·
O
B
D 点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD 重合．
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C
AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
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可以发现：圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C A R O D B
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OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得R≈27.9.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
活动三
3 cm，求⊙O的半径． 解： OE AB
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
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3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB 上的动点，则线段OM长的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C， AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为（ ） A． B．3 C．4 D．5
5．如图：AB⊥CD，CD为⊙O直径，且AB=20， CE=4，那么⊙O的半径是（ ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15