垂直弦的直径(垂径定理)
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径------垂径定理【教学内容】垂径定理【教学目标】1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】一复习提问1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．二、实例导入，激疑引趣1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。
因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。
请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
（图1幻灯片放映）三、尝试诱导，发现定理（一）学生活动1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
垂直于弦的直径
第13课 垂径定理一、阅读教材P81-82 动手操作：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ； 第二步，作直径CD,使CD ⊥AB ，垂足为E ； 第三步，将⊙O 沿着直径折叠.你发现了哪些相等的线段和劣弧？如何证明？归纳：（1）圆是___ 对称图形，任何一条 都是圆的对称轴 . （2）圆是___ 对称图形，对称中心是 （3）相等的线段有 ，相等的劣弧有 。
二. 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 几何语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD ⊥AB____________,____________,_____________∴推论：____________________________________________________________． 几何语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），CD 与弦AB 相交于点E 且CE=EB____________,____________,_____________∴ 说明：1、应用垂径定理时应注意：① 这里的直径还可以是半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心” ② 平分弦所对的弧有两种情况，即平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧 ③ 定理中的弦为直径时，结论仍成立2、应用推论时应注意：弦一定是非直径的弦，否则命题不一定成立，当弦为直径时，不一定有垂直关系3、垂径定理可以推广为：一条直线若具备 ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分这条弦 ④平分这条弦所对的劣弧 ⑤平分这条弦所对的优弧， 中的任意两条性质，就具有其余三条性质例如由②③作为已知条件可得到：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，我们可以用这个来确定圆心及找弧的中点4、运用垂径定理解题时的模型如下：如图设⊙O 的半径是r ，圆心到弦的距离是d ，弦长是a ，则三者的关系式是222)2(a d r += 常用的辅助线：连半径，过圆心向弦作垂线段，构造直角三角形 5、运用垂径定理解题时的常用数学思想：方程思想 三：垂径定理的应用例1.如图1，⊙O 的直径为10，OM ⊥AB,垂足为M ，且OM=3，求弦AB 的长 解：∵⊙O 的直径为10 ∴AO=5 ∵OM ⊥AB, ∴∠AMO=90°∴在Rt △AOM 中，由勾股定理得222OM AO AM -==25-9=16 ∴AM=4 ∵OM 过圆心，且OM ⊥AB,∴AM= （垂直于弦的直径 ）∴AB=2AM=8例2.如图，CD 是⊙O 的直径, AB ⊥CD 于E ，，若AB=10,CE=1,求⊙O 的半径 解：（图1）（图2）练习：1．做基础小练习59-60 2.判断下列说法的正误（1）垂直于弦的直径平分这条弦 （2）平分弦的直线必垂直弦 （3）平分弦的直径垂直于这条弦 （4）弦的垂直平分线必过圆心3.圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB= cm ．4．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径为 cm ． 5. 如图1，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______． 6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16, 那么线段AE 的长为7、如图3在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是______． 图38.如图，已知弧AB ，请你利用尺规作图的方法作出弧AB 的中点以及弧所在圆的圆心。
垂径定理(2)
的同旁， （1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示 ） 、 在 的同旁 如右图所示: 作OE⊥AC,OF⊥AD ⊥ ⊥ C E A F ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ， ∴AE=CE=4,AF=FD=4 3 ,OA=8 1 O 在Rt△AOE中，AE= OA △ 中
，
的直径， 、 是 例3.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两 是 的直径 的两 已知AB=16，AC=8，AD=8 3 ， 弦，已知 ， ， 求∠DAC的度数 的度数
A O
C
B
解： 设OA=R，在Rt△AOC中， ， △ 中 M AC=30，CD=18 ， R2=302+（R-18)2 （
D E C（m） （ ） O 解得 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 连接 ， ， △ 中 342=162+（34-x)2 （ 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x ， 解得 1=4，x2=64（不合题意舍去） （不合题意舍去） 不需采取紧急措施． ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
如果一条直线来满足: 如果一条直线来满足 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ） ） （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 ）平分弦（ ） （5）平分弦所对的劣弧 ） 上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 r （3）一条直线平分弦（这条弦不是直 ）一条直线平分弦（ ），那么这 条直线垂直这条弦。 径），那么这 条直线垂直这条弦。 r A C O (1)B D A C •O (2)D B A C •O (3)D B
垂径定理(2)
A
1.5
OB
2
4.已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A （1,0），B（5,0），C（0,5）三点。
（1）求抛物线的函数关系式。
（2）若过点C的直
线y=kx+b与抛物线
y
相交于点E（4，m）， 请求出△BCE的面积 S的值。
C P1
P4
（3）在抛物线上找出
AB
x
所有使得△ABP为等
O
腰三角形的P点，一共 有几个P点。
P5P2PPP6E3
A
O
N
CD
M
B
2.在半径为1的⊙O中，弦AB,AC的长分别 为 3和 2 ，求∠BAC的度数。
A
C
O
C B
3.某条公路隧道的形状如 图，半圆拱的圆心离地 面2m，半径为1.5m，一 辆高3m，宽为2.3m的集 装箱卡车能顺利通过这 个隧道吗？如果要使高 度不超过4m，宽为2.3m 的大货车也能顺利通过 这个隧道，且不改变圆 心到地面的距离，半圆 拱的半径至少为多少米？
（3）圆中不与直径垂直的弦
（不是直径）必不被这条直径
平分.
（√ ）
（4）平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧（×）
（5）圆内两条非直径的弦不
能互相平分.
（√）
（6）平分弦的直径，平分这
条弦所对的弧。
（×）
（7）平分弦的直线，必定过
圆心。
（×）
（8）弦的垂直平分线一定是
圆的直径。
（ ×）
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE,
∴CD⊥AB
A
（等腰三角形三线合一） ∴A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
垂径定理
可推得
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
, ④ AC=BC
, ⑤ AD=BD源自判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
（2）圆也是中心对称图形
Ｃ
2.垂径定理
垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦 所对的两条弧.
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AE=BE,
可推得
Ｄ
④ , AC=BC ⑤
AD=BD
.
新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E O D B
C B
E
O D D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：OE AB
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
A
E
B
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
5.3垂径定理
5.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
例3 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
归纳总结 A
M
C
D
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距， 或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件.
符号语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
推论：
D
由
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒ AD=BD.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D, 已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则 两个同心圆的半径之比为( B ) A.3:2 B. 5 : 2 C. 5 :2 D.5:4
2.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦 CD=16,则A,B两点到CD的距离之和 等于( B ) A.24 B.12 C.16 D.6
O
这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦 AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接 ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于 D,AD+AB=10,求AD的长。
（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,
A
E
B D
C
作业:
C
M D O
1.已知:AB,CD是⊙O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
圆中垂径定理[1]
![圆中垂径定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b902ecb569dc5022aaea00f8.png)
DE
2 6 3
A
E
D
F
B
O
切线的判定及性质
1. 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆只有一个公共点叫直线与圆相切，这条直 线是圆的切线。 （2）圆心到直线的距离等于半径，这样的直线叫做圆的切线。 （3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2. 切线的性质： （1）到圆心的距离等于半径 （2）垂直于过切点的半径 3. 常见的证明切线的思路 （1）作垂直证半径 （2）连半径证垂直
③AM=BM,
可推得Βιβλιοθήκη ⌒ ⌒ ④AC=BC,推论：
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
例1、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过 点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
)
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB 的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
[例1] 如图AB为⊙O直径C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互 相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
证明：连结OC ∵ DC切⊙O于C ∴ OC⊥DC ∵ AD⊥CD ∴ AD//OC ∴ ∠1=∠3 ∵ OA=OC ∴ ∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 ∴ AC平分∠DAB
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧; 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等;2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r,点P 到圆心O 的距离为d,则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外;过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心; 直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点； 2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, 3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O 的半径为r,圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角; 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点;推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个; 切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即：∵PA 、PB 是两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等;即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,A∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; 即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如右图;即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦; 如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 圆的公切线1公切线的长：12Rt O O C ∆中,221AB CO == 2外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心; 圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种; 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交; 2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距; 3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+rR ≥r 两圆内切⇔d=R-rR>r 两圆内含⇔d<R-rR>r 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦; 圆内正多边形的计算1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；2.正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =： 3.正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =. 弧长和扇形面积1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长; 3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=•=221其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径; 内切圆及有关计算;1三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等; 2△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2cb a -+ ; 3S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径; 拱高问题1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米2.如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D 为垂足,OC 与AB相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C 是 的中点,CD 就是拱高．A B SlBAOA B A B。
垂径定理
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言表述为：如图，在中，若⊙O 直径CD ⊥AB ，则AE=BE ，弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 。
诠释：垂径定理可改述为：一条直线若满足：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD ⊥AB ）；则可推出：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（弧AC=弧BC ）；⑤平分弦所对的劣弧（弧AD=弧BD ）.事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备上述五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个。
譬如：（1）①② ⇒③④⑤（即是定理）；（2）①③ ⇒②④⑤.即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）②③ ⇒①④⑤.即：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （4）①④ ⇒②③⑤.即：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.通常把上面的（2）、（3）、（4）叫做垂径定理的推论. 聪明的读者朋友，相信你还能写出余下的结论.特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直.（2）垂径定理是根据圆是对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧 相等和一条弦是直径的重要依据. 【应用】例（福建福州）. 如图，⊙O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 解析：过圆心O 作OC AB ⊥于C ，（如图3）则4OC cm =又由垂径定理得12AC AB ==3cm ， 在Rt AOC 中，由勾股定理得：2222345OA AC OC =+=+=即⊙O 的半径长为5cm ，选C.点评：（1）解有关圆的问题时，时常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定规律，利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例）；（2）垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R 、圆心到弦的距离OB Ad 、弦长a 和弓形高h 等数量的计算.这些量之间的关系是222()2ar d =+，r d h =+.根据这些关系，在a 、r 、d 、h 四个量中，知道其中任何两个量，就可以求出其余的两个量.【练习】1、（江西无锡）如图1，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，若25cm AB =，1cm OC =，则⊙O 的半径长为cm ． 2、湖南怀化）圆的半径为13cm ，两弦AB CD ∥，24cm AB =，10cm CD =，则两弦AB CD ，的距离是（ ） Ａ．7cm Ｂ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm 或17cm .3、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块图14、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A.5 B.7 C.537 D. 737 5、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．6、如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 7、每位同学都看到过日出时美丽的景色.图6是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分图6 OD ABC图3 DBAO C图4OMN G图5图2二、垂径定理解题应用举例（一）利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系 【例1】 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 分析：本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。
人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解并掌握垂径定理，并能应用它解决一些简单的 计算、证明问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
1、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
A
E
C
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
M
D B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
课堂小结 人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
1.即 便 我 们 知 道了 制约宇 宙的有 关定律 ，我们 仍然不 能利用 它们去 预言遥 远的未 来。这 是因为 物理方 程的解 会呈现 出一种 称作混 沌的性 质。这 表明方 程可能 是不稳 定的： 在某一 时刻对 系统作 非常微 小的改 变，系 统的未 来行为 很快会 变得完 全不同 . 2.在 不 稳 定 或 混沌 的系统 中，一 般地存 在一个 时间尺 度，初 始状态 下的小 改变在 这个时 间尺度 将增长 到两倍 。在地 球大气 的情形 下，这 个时间 尺度是 五天的 数量级 ，大约 为空气 绕地球 吹一圈 的时间 。 3.人 们 可 以 在 五天 之内作 相当准 确的天 气预报 ，但是 要做更 长远得 多的天 气预报 ，就既 需要大 气现状 的准确 知识， 又需要 一种不 可逾越 的复杂 计算。 我们除 了给出 季度平 均值以 外，没 有办法 对六个 月以后 做具体 的天气 预报。 4.我 们 还 知 道 制约 化学和 生物的 基本定 律，这 样在原 则上， 我们应 能确定 大脑如 何工作 。但是 制约大 脑的方 程几乎 肯定具 有混沌 行为， 初始态 的非常 小的改 变会导 致非常 不同的 结果。 这样， 尽管我 们知道 制约人 类行为 的方程 ，但在 实际上 我们不 能预言 它。 5.宇 宙 的 其 他 地方 对于地 球上发 生的任 何事物 根本不 在乎。 绕着太 阳公转 的行星 的运动 似乎最 终会变 成混沌 ，尽管 其时间 尺度很 长。这 表明随 着时间 流逝， 任何预 言的误 差将越 来越大 。在一 段时间 之后， 就不可 能预言 运动的 细节。 6.太 阳 和 其 他 恒星 绕着银 河系的 运动， 以及银 河系绕 着其局 部星系 团的运 动也是 混沌的 。我们 观测到 ，其他 星系正 离开我 们运动 而去， 而且它 们离开 我们越 远，就 离开得 越快。 这意味 着我们 周围的 宇宙正 在膨胀 ：不同 星系间 的距离 随时间 而增加 。 7.中 国 这 块 大 地上 ，存在 过许多 民族。 这许多 民族， 不管是 共时态 存在还 是历时 态存在 ，均可 以寻到 某种内 在的关 系。族 与族之 间的关 系有两 种：一 为血缘 性；另 为社会 性。民 族之间 不只是 存在着 血缘性 的关系 ，也还 存在社 会性的 关系， 其中最 主要是 文化关 系。 8.目 前 ， 虽 然 “大 众创业 、万众 创新” 的热潮 已遍及 全国， 很多有 志青年 步入创 业大军 ，但大 学生创 业成功 率低仍 是一个 不争的 事实。 可以说 ，我国 大学生 创业还 处于起 步阶段 ，真正 实现大 学生从 入学到 毕业、 从毕业 到创业 ，仍需 要全方 位、多 角度、 系统化 的理念 和实践 支撑， 需要更 多的社 会力量 去思考 、探索 。因此 ，要想 创业成 功，仅 仅具有 迎难而 上的勇 气是不 够的。
九年级数学垂直于弦的直径
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
C E O B A
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
6、在直径为650毫米 的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图 所示。若油面宽AB＝ 600毫米，求油的最 大深度。
O A B
； / 交通违章查询
就算是咯咯壹桩事情。难不成非要拖到有咯壹男半女の时候才能给名分？别又闹得跟那家似の，非要等小格格格生出来咯才认命。唉，不过话说 回来，那各丫环の肚皮也实在是不争气，都这么长时间咯，怎么也不见有啥啊动静。”排字琦先是莫名其妙，再壹听德妃如此说来，简直就是五 雷轰顶！天啊！爷与年家那各玉盈仆役好上咯？除咯她也没有别人啊！总不可能是看上吟雪那丫头吧，那也就只剩下这各以丫环身份随行の年家 大仆役咯！震惊不已、怒火中烧の排字琦回到府里。这年家大仆役竟然敢在她の眼皮子底下与爷存咯私情，枉她那么好心好意地帮衬着她，甚至 还曾经操心过她の婚事，想过哪家の小格、公子配得上她。原来，原来，她耗成咯壹各嫁不出去の老姑娘，竟是惦记上自家爷咯！痛恨不已の排 字琦借着德妃娘娘催问她办婚事の由头，毫不掩饰地向王爷发难：“爷，妾身今天进宫里跟娘娘请安，额娘催问媳妇啥啊时候把那各年家大仆役 娶进府里来？”王爷被排字琦の这番话气得脸色铁青！此时の他，正被玉盈那各“谁也不嫁”の话伤心不已，本来就窝着壹口气，现在又听排字 琦说起这件事情，简直就是往他の伤口上撒盐。本来就邪火没处撒の他，正好遇到排字琦撞到咯枪口上，结果壹肚子の怒气全都壹股脑地发泄到 咯她の头上：“这种恶语中伤の事情你也做得出来？额娘不清楚情况，你也跟着不辨是非、人云亦云？人家是未出阁の姑娘，怎么就要凭白地被 你毁咯名节？”第壹卷 第331章 除疑被王爷劈头盖脑、不分青红皂白地壹顿训斥，排字琦简直就是委屈至极！她分明就是两面不讨好嘛。娘娘 那里指责她肚量小，不积极操持张罗爷の婚事；而在爷这里居然训斥她是毁咯年仆役名节の罪魁祸首，她排字琦还有没有活路咯？受咯夹板气の 排字琦从爷那里讨不来说法，只好派小柱子留意侧福晋以及侧福晋娘家姐姐の情况。她の想法是：既然德妃娘娘提出来咯，壹定不是捕风捉影の 事情，但是爷不但矢口否认，还倒打壹耙。那她只有凭自己の本事咯，谁让她不管是德妃娘娘还是爷都不敢得罪呢！排字琦最想知道の是，到底 是娘娘说の真，还是爷在欺骗她？或者是说，爷在塞外の时候跟那各年仆役好上咯，回到京城又后悔咯？这各应该是最有可能。爷根本就看不上 天仙妹妹，这出门在外大半年の时间，谁负责侍寝？只可惜，这年仆役是打错咯如意算盘，做错咯白日梦，赔咯身子也没换来啥啊好结果！虽然 分派咯小柱子，排字琦自己也格外地留意和观察起天仙妹妹の神色、情绪，企图寻找出来蛛丝马迹。结果不管是她自己观察の年妹妹，还是小柱 子上报来の侧福晋，都让她不得不相信咯王爷の说辞。先说水清妹妹这里。每日里她依然是早来早走，不跟其它の姐姐们有啥啊过多の来往，但 是排字琦还真是看不出她の脸上有壹丝の哀伤、怨气、不满、或是妒忌の神色。相反，不但壹如既往、克尽礼数地对待她，平淡如水地对待其它 の姐姐们，而且偶尔地，居然还会有些许の满足、些许の欣喜，洋溢在她の小脸上。水清那时候不高兴才怪呢！王爷の心思和时间先是被两各新 降生の小小格分去咯许多，继而又被二废太子之后新增の夺储大业占据咯全部，早就完全地将她忘到咯脑后。假如不是偶尔の家宴，以及压抑不 住の对玉盈の思念，他早就将她彻底地遗忘。因此这两年来，由于没有咯爷の“关注”，水清再也不会无缘无故地被爷寻咯短处，也不会无缘无 故地被爷安上“莫须有”の罪名，她开始充分地享受着无忧无虑、随性自然、幸福快乐の生活，这让她怎么能不面露喜色？再说小柱子那里。报 上来の情况壹如排字琦猜测の壹样，每日里不是读书写字儿做女红，就是晒晒太阳种花草，小日子过得有滋有味、怡然自得，不但根本看不出来 她是壹各被爷冷落至极の人，而且也根本看不出来她是壹各被自己の姐姐夺咯夫君の人。“此外，侧福晋与吟雪和月影她们聊天の时候，奴才也 注意到她们经常提到年家那各大姑奶奶，相互之间还经常送衣物、书信啥啊の。大概情况就是这些，不知道福晋还想咯解年家大仆役の啥啊事 情。”“噢，没啥啊咯，你精心当差，少不咯你好处の。”“多谢福晋。”第壹卷 第332章 入宫三月十八日当天，时隔三年，水清再壹次踏入 皇宫の大门。在永和宫，她再次见到咯两年多不见の德妃娘娘和塔娜。此次三小格弘时也随淑清壹同进宫参加皇玛法の寿宴。平时在府里弘时就 格外地不喜欢这各年姨娘。年姨娘没有进府之前，额娘只需要向福晋额娘行礼，现在额娘不但要向这各黄毛丫头行礼，而且自打她进咯府以后， 他又多出来咯两各小弟弟，他不再是王府里の独苗。以前全府所有の主子奴才对他全都是众星捧月，除咯阿玛，就是这各年姨娘，跟别人不壹样。 阿玛不用说咯，从来没有对他笑过，除咯吓人唬啦地查他功课，就是罚他抄书甚至跪地反省。年姨娘倒是壹直对他都是笑吟吟地，但是她从来不 会像其它人那样千方百计、强颜欢笑地讨好他，年姨娘永远都是端庄大方、彬彬有礼，既不会刻意地亲近他，但也绝对不会刻意地冷落他。凭啥 啊！小爷可是这王府里最年长の小格，将来皇玛法封咯小爷作世子，不管将来再有好些各弟弟，小爷也不怕！待小爷当咯世子爷，不信你年姨娘 不上赶着来巴结、讨好小爷。等到咯那各时候，小爷反倒是要好好地考虑考虑，理不理会你呢！嗯，还是理你吧。就罚你每天都要
垂直于弦的直径
垂直弦的直径一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE=BE, = , = .推 论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE=BE.∴ CD ⊥AB ， = , = .弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）考点分析：垂径定理及推论的应用，证明.典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念例1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 例2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >例3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ，则半径OA 的长为（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4例4. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.例5. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于________cm ，OM 的长为________cm类型2. 垂径定理分类讨论 例1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<< 图2－1例2. 已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 之间的距离.例3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度例1. 如图3－1，在圆O 中，直径AB 垂直于弦CD ，并且交CD 于E ，直径MN 交CD 于F ，且OE FD FO 2==，求COD ∠.图3－1例2. 如图3－2，AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥弦CD 于E ，CD ＝16，AE ＝4，求OE 的长.图3－2例3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C=900，AC=5cm ，BC=12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.图3－3例4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.图3－4例5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB=2CD=4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明例1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCN OBN ∠=∠．A图4－1例2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D. 求证：.21BF AD =图4－2例3．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3例4．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE ⊥．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图4－4类型5. 垂径定理的综合应用例1. 一水平放臵的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm. 图5－1例2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2例3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？例1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.例2. 如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB=∠DPB. 求证：PC=PD.例3. 已知：如图6－3，A,B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是 中点.P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD=4cm ，求AP+PB 的最小值.例4. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE=DF ；OE=OF.图6－4变式题1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－5变式题2：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE=DF ；OE=OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
部编数学九年级上册24.3垂直于弦的直径垂径定理(知识讲解)(人教版)含答案
专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，点M 在O e 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O e 的直径；（2）若M D Ð=Ð，求D Ð的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数．解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴222(4)8r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是20．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M DÐ=Ð，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：e中，弦AB长50mm．求：【变式1】如图，在半径为50mm的OÐ的度数；（1）AOB（2）点O到AB的距离．【答案】（1）60°；（2）【分析】V是等边三角形，从而可得结论；（1）证明AOBAC BC再利用勾股定理可（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解,,得答案.解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又∵AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝12AB ＝25mm ，在Rt △OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，∴OC mm ），即点O 到AB 的距离是．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，AB 是O e 的直径，E 为O e 上一点，EF AB ^于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ^于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．【答案】6【分析】设OE =x ，根据勾股定理求出x ，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD =OF =3，根据垂径定理得到答案．解：设OE =x ，则OF =x -2，由勾股定理得，OE 2=OF 2+EF 2，即x 2=（x -2）2+42，解得，x =5，∴OF =3，∵AC ∥OE ，OD ⊥AC ，∴OD ⊥OE ，∠A =∠EOF ，∵OA =OE ，EF ⊥AB ，∴△ADO ≌△OFE ，∴AD =OF =3，∵OD ⊥AC ，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析【分析】（1）根据AC^AB，OD^AB，OE^AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA，由勾股定理可得．(1)证明：∵AC^AB，OD^AB，OE^AC，∴四边形ADOE是矩形，12AD AB=，12AE AC=，又∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，∴112OE AE AC===cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：OA==，即⊙O cm．【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF【分析】根据垂径定理进行解答即可．解：∵E为AB中点，MN过圆心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD．【分析】过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得到AE=BE ，同理得到CE=DE ，又因为AE-CE=BE-DE ，进而求证出AC=BD ．解：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE=DE ，AE=BE ，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦3．如图，∠AOB 按以下步骤作图：①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆弧PQ ，交射线OB 于点D ；②连接CD ，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交圆弧PQ 于点M 、N ；③连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA 垂直平分MD .(2)若30AOB Ð=°，求∠MON 的度数.(3)若20AOB Ð=°，6OC =，求MN 的长度．【答案】(1)证明见分析；(2)90MON Ð=°；(3)6MN =．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，得出60MON Ð=°，根据等边三角形得判定可得OMN n 为等边三角形，即可得出结果．(1)证明：如图所示，连接MD ，由作图可知，CM CD =，∴»ºCM C D =，∵OA 是经过圆心的直线，∴OA 垂直平分MD ；(2)解：如图所示，连接ON ，∵CM CD DN ==，∴»º»CM C D D N ==，∴30COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴90MON COM COD DON Ð=Ð+Ð+Ð=°，即90MON Ð=°；(3)解：由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴60MON Ð=°，∵OM ON =，∴OMN n 为等边三角形，∴6MN OM OC ===．【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．举一反三：【变式1】 如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，OAE COD AEO ODC OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图所示，直线=y x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x 轴于D ，交△ABO 的外接圆⊙M 于C ，已知∠COD ＝∠OBC ．（1）求证：MC ⊥OA ；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）见分析；（2）y=【分析】（1）利用弧弦角转化得¼¼OC AC=，由垂径定理即可得MC⊥OA；（2）由直线=y x与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，∴¼¼OC AC=，∵点M是圆心，∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；（2）解：∵MC⊥OA，∴OG＝GA＝12OA，∵点M是圆心，∴BM＝AM，∴GM是△AOB的中位线，∴GM，∵=y x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y y＝0时，x＝3，∴B（0，A（3，0）∴OB OA＝3，∴MG OG＝32，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝∴GC=∵点C 在第三象限，∴C （32，）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，∴32k b =+解得：k b ìïíïî，直线BC的解析式为：y =【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．类型四、利用垂径定理推论求进行证明4．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且»»CFCB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【分析】证法一：连接CB ，可证»»CFGB =，从而可证明CE ＝BE ；证法二：作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ，证明△ONE ≌△ODE ，可得NE ＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．解：证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴»»CB GB=,∵»»CF BC=，∴»»CF GB=，∴∠C＝∠CBE，∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴»»CB BG=，∵»»CB CF=，∴»»»CF BC BG==，∴BF＝CG，ON＝OD，∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE（HL），∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵»»=，CF BC∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∴»»=，BG BC∴»»»==，CF BG BC=，∴»»BF CG=，ON OD∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD，又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．解：设AB，CD交于点P,连接OP，假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，∴OP⊥AB，OP⊥C D，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，所以AB与CD不能互相平分【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．【变式2】如图，已知在⊙O中，»»»＝＝，OC与AD相交于点E．求证：AB BC CD（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据»»=得到BC=CD，从而证明菱形．BC CD解：（1）连接BD，∵»»»==，AB BC CD∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠CBF ，∵»»BCCD =，∴BC =CD ，∴BF =DF ，又∠DFE =∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE =BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．类型五、垂径定理及推论解决其他问题5．如图，AB 为O e 的一条弦，连接OA 、OB ，请在O e 上作点C 使得ABC V 为以AB 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，交O e 于点C ，则问题可求解．解：如图所示：【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 ．【答案】（1）见分析；（2）90°【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD 的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由（1）可知D 点坐标为（2，0），A 点坐标为（0，4）∴OD =2，OA =4，AD ==∴圆D 的半径为∵点（6，﹣2）到圆心D =∴点（6，﹣2）到圆心D 的距离等于半径的长，∴点（6，﹣2）在⊙D 上．∵D （2，0），C （6，2），A （0，4），∴CD ==，AC ==，∴222CD AD AC +=，∴∠ADC =90°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．【变式2】如图，O e 中，P 是»AB 的中点，C 、D 是PA 、PB 的中点，过C 、D 的直线交O e 于E 、F ．求证：EC FD =．【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是»AB的中点，可得¼¼AP BP=，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是PA、PB的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．解：连结OC，OD，OP交EF于G，∵P是»AB的中点，∴¼¼AP BP=，∴AP=BP，∵C、D是PA、PB的中点，∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，∴OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线，∴CG=DG，∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，∴EG=FG，∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．∴EC= DF．【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．类型六、利用垂径定理及推论的实际应用6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O e 的半径．【答案】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，根据垂径定理，可得132AE AB ==，由折叠得： 12OE OA =，然后在Rt AEO V 中，利用勾股定理即可求得结果．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，∴132AE AB ==，由折叠得：12OE OA =，设=2OE x OA x =，则，∴在Rt AEO V 中，由勾股定理得：222=OE AE OA +，即：2223=4x x +解得： x 1x 2＝∴2x答：O e 的半径为【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键．举一反三：【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；AB=，水面最深地方的高度（即»AB的中点(2)若这个输水管道有水部分的水面宽16cm到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析(2)10cm【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，AB＝8 cm，点C为AB n的中点，则AD＝12进而，CD＝4 cm．设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4）cm．在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，解得r＝10．即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，AB＝15（m），∴AM＝12在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取紧急措施．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂直弦的直径（垂径定理）
一、复习与思考： 1．如下图，弦AB 对应的弧为为 ；此图是不是轴对称图形？如果是，求你画出它的一条对称轴.
二、新课学习
垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言：∵________________，
∴________________；________________ ；________________.
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________，
∴________________；________________；________________.
练习：
2．如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，则下列结论：①EA ＝EB ②EO ＝ED ③DA DB =④
CA CB =.一定成立的有
3．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．OE ＝2 B ．EC ＝2 C ．AB 垂直平分OC D ．OC 垂直平分AB
E
D
C
B
A
O
第2题 第3题 第4题 第5题 4．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，AB ＝8，OE ＝3，则⊙O 半径为 及ED 的长为 ．
5．如图，⊙O 半径为5，OC ＝3，OC ⊥AB ，求AC 的长为 及AB 的长为 ．
6．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥AB ，AB ＝6，ED ＝1，求⊙O 半径．
C B
A
O
7．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，拱高CD =9米，求圆的半径．
小结：“垂径三角形五线段，知二求三”
k l
2AB=l
h d r C D B
A
O
8．如图，AB 是⊙O 的弦，点C ，D 是直线AB 上的点，且OC ＝OD .求证AC ＝BD .
9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为
，则点P 的坐标为 ．
10．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 与CD 的中点.试猜想：△OBD 是什么特殊三角形？四边形OCBD 是什么特殊四边形？并证明你的猜想.
D
B
A
O。