数学分析数列极限定义

极限的直观理解
例1：证明调和数列极限为0. 证：因为此数列在其变化过程中，和0的
差距越来越小，可以想象在无穷的时间 之后，此数列最终会稳定到0，所以其 极限为0.
例2：证明1，-1交替的数列极限不存在 证明：自行编写。
极限的定义
在很长的历史时期，人类对于极限的理 解大致也就是如上的水平。
即便在牛顿发明了微积分的一百多年之 中，极限的定义(无穷小)还是存在一些 问题。
数学分析
第三讲 数列极限定义
复习
1. 复习了基本的符号、集合的知识。
2. 复习了函数、反函数、复合函数的定 义。
3. 复习了函数的几个性质：单调性、奇 偶性、周期性、有界性。
数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
给定一数列，要想知道其极限是否存在 ，存在的话等于多少，这是做不到的。
an
n i 1
1 ln n i
但是，由定义，可以验证一个数列的极
限是不是给出的特定的数。
数列极限
由定义证明数列极限的思路：
思 路 ： 验 证 定 义 ； 关 键是N存 在 性 ！
分 析 ：
（构造出来）
方法：倒推法；为保证an a , n取多大？
人类真正弄清楚这些事情是在Cauchy 、 Weierstrass完善了极限理论之后。
极限的定义
基本理念：极限是一个变化过程。 1. 无穷小(极限为0)就是在过程中“要多
小有多小” 要多小有多小：无论给出多小的数，在
此变化过程中，终究会比这个给出的 数小。
2. 正无穷大就是在过程中“要多大有多 大”
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
极限概念的历史
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
一天截下的杖长为
X1
1; 2
二天截下的杖长总和为 X2
1 2
1 22
;
n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
极限概念的历史
2
，当n
N时，有
(
n
1 1)2
0
lim an a 的叙述方法
n
都成立 否 0不成立 （否定所有找一个） N成立 否 N都不成立 （否定一个找所有）
“ 所有人都没吃饭”否“甲吃了”或“至少一人吃了” “ 至少一个人吃饭了”否“所有人都没吃”
0,N,n N, an a 成立.
否
0 0,N, n0 N , 使 an0 a .
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
极限的定义
注: (重要)
lim
n
an
lim
n
an
lim
n
an
这三种情况是极限不存在，也就是发散
的特殊情况。
N只要存在即可，与 有关(可以视为函数关系)
lim
n
xn
a
0, N ( ) 0,n N ( ),满足 xn a .
数列极限
方法：由定义验证极限的存在。
n lg ，
lg q
取N
lg
lg q
证：
0, N
ln
ln
|
q
|
1，n
N
|
qn
||
q
| |
ln ln|q|
1
q
ln
|ln|q|
(q 0)
数列极限
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , nlg q lg ,
极限的定义
lim
n
an
0
0, N,n (或 )N，| an |
无论给出多小的数，在此变化过程中，
终究会比这个给出的数小。
lim
n
an
M ( 0), N,n N，an M
lim
n
an
M , N ,n N，|an | M
极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正整数 N ,使得对于 n N 时的 一切 xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a 是数列{ xn }的极限,或者称数列 { xn }收敛 于a ,记为
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
2,4,8, ,2n , ;
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
{2n } 1
{2n }
极限概念的历史
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
极限概念的历史
正六边形的面积 A1
古希腊, 欧多克斯(公元前408 - 355), 穷竭法, 先驱.
古希腊，阿基米德(公元前287 - 212), " 穷竭法求抛物线弓形的面积".
极限的直观理解
定义1(?)：极限就是事物在无限变化之后 最终表示的一种稳定的状态的值。
注：极限表示的一种变化趋势，并且就 是这种变化趋势最终稳定的状态。
n lg ,
lg q
取N [lg ],
lg q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
数列极限(放缩法)
因为只需要证明存在N，不用找最小的N
lim
n
(n
1 1)2
0
欲使 an
0
1 (n 1)2
n2
1 2n 1
1 2n
只要n
1 ，取
2
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1
2
即可.
证：
0，N
1
数列极限
即便证明一个数列的极限不等于某数。 不代表此数列极限不存在。
由定义可知，若要证明一个数列的极限 不存在，必须证明任意的实数都不是此 数列的极限。
数列极限
例：an (1)n
b R, 0.5,N 0,总有下两式至少一个成立
| aN1 b | 0.5,| aN2 b | 0.5 否则： | aN 1 aN 2 || aN 1 b | | aN 2 b | 1, 矛盾 所以原数列发散。
例：设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0, N 1,n N,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
数列极限
证明 lim qn 0,其中q 1. n
0， 若q 0，结论成立。 qn 0
当0 q 1， 欲使qn 0 q n
只要：nlg q lg , (lg q 0)
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
极限的定义
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,