河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷

2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．复数的共轭复数为（）A．﹣i B．﹣C．1﹣2i D．1+2i2．已知一个线性回归方程为=1.5x+45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则=（）A．58.5 B．46.5 C．60 D．753．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，1），且P（1≤x≤3）=a，则P（x＞3）=（）A．B．1﹣C．1﹣a D．4．某中学初一年级540人，初二年级440人，初三年级420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则初一、初二、初三三个年级分别抽取（）A．28人，24人，18人B．25人，24人，21人C．26人，24人，20人D．27人，22人，21人5．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．96．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过（）；④在一个2×2列联中，由计算得K2=13.079则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表：P（K2≥k）0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828A．0 B． 1 C． 2 D． 37．（2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）n的展开式中，常数项为（）A．﹣120 B．120 C．﹣60 D．608．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．9．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．10．已知四棱锥P﹣ABCD，现要在四棱锥的各个面上涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的面不同色，则不同的涂色方法有（）种．A．60 B．120 C．48 D．7211．甲、乙两人独立地从四门选修课程中任选两门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ=（）A．1 B．C．2 D．12．已知定义域为R的奇函数f（x）的导数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=ln f（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．某篮球运动员在三分线处投球的命中率是，若他在此处投球3次，则恰好投进2个球的概率是．14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）．15．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为．16．已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，若点A（﹣2，0），则的最大值是．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）（2015春•石家庄校级月考）已知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x2+mx+1＞0．如果任意的x∈R，r与s有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）（2014•赫山区校级模拟）学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．20．（12分）（2010•宁夏）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k）0.0 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82821．（12分）（2012•黑龙江）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．22．（12分）（2015•河西区三模）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．复数的共轭复数为（）A．﹣i B．﹣C．1﹣2i D．1+2i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：先整理复数，在分子和分母上同时乘以分母的共轭复数，分母上变为实数，分子上进行乘法运算，得到最简形式，根据共轭复数的定义，写出本题的共轭复数．解答：解：∵复数===1﹣2i，∴复数的共轭复数是1+2i，故选D．点评：本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是一个基础题，解题的关键是在进行乘除运算时，不要在简单数字运算上出错．2．已知一个线性回归方程为=1.5x+45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则=（）A．58.5 B．46.5 C．60 D．75考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：根据所给的x的值，求出x的平均数，根据样本中心点在线性回归直线上，把所求的平均数代入线性回归方程，求出y的平均数．解答：解：∵x∈{1，7，5，13，19}，∴==9，∴=1.5×9+45=58.5．故选：A．点评：本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是知道样本中心点在线性回归方程上．3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，1），且P（1≤x≤3）=a，则P（x＞3）=（）A．B．1﹣C．1﹣a D．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（2，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P （1≤x≤3）=a，可求P（x＞3）．解答：解：已知随机变量服从正态分布N（2，1），如图．∵P（1≤x≤3）=a，∴P（x＞3）=（1﹣a）．故选：D．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．4．某中学初一年级540人，初二年级440人，初三年级420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则初一、初二、初三三个年级分别抽取（）A．28人，24人，18人B．25人，24人，21人C．26人，24人，20人D．27人，22人，21人考点：分层抽样方法．分析：先求出各年级学生数的比例，再根据比例确定各年级应抽取的学生数．解答：解：各年级学生数的比例为540：440：420=27：22：21，故各年级应抽取学生数为27人，22人，21人故选D点评：本题考查基本的分层抽样，属基本题．5．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9考点：选择结构．专题：计算题；图表型．分析：由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值解答：解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．点评：本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过（）；④在一个2×2列联中，由计算得K2=13.079则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表：P（K2≥k）0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：线性回归方程；独立性检验的基本思想．专题：计算题．分析：整组数据整体做相同的变化，方差不变，得到①正确，根据回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减小5个单位，得到②不正确．根据根据线性回归直线一定过样本中心点，得到③正确，根据13.079＞10.828得到④不正确解答：解：∵方差反应的是一组数据的波动的大小，整组数据整体做相同的变化，方差不变，故①正确，∵回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减小5个单位，∴②不正确，根据线性回归直线一定过样本中心点，故③正确，∵K2=13.079＞10.828则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④不正确，总上可知有两个命题是不正确，故选C．点评：本题考查方差的变化特点，考查线性回归方程的意义，考查独立性检验中临界值和观测值之间的关系，考查线性回归直线一定过样本中心点，本题是一个概念辨析问题．7．（2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）n的展开式中，常数项为（）A．﹣120 B．120 C．﹣60 D．60考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：由题意可得2n=64，求得n=6，故（2x﹣）n展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•（2）6﹣r x6﹣\frac{3}{2}r，令6﹣r=0，求得r=4，得展开式的常数项为=60，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．9．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据a2＞λ＞b2，将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．解答：解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0）∴该双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：B点评：本题给出双曲线含有参数λ的方程形式，求双曲线的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．10．已知四棱锥P﹣ABCD，现要在四棱锥的各个面上涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的面不同色，则不同的涂色方法有（）种．A．60 B．120 C．48 D．72考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A、B面；给C 面，分C与A相同色、C与A不同色，利用乘法原理可得结论．解答：解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有4×3×2×（2+1）=72．故选：D点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键．11．甲、乙两人独立地从四门选修课程中任选两门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ=（）A．1 B．C．2 D．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由已知得ξ=0，1，2分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．解答：解：由已知得ξ=0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．故选：A．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．12．已知定义域为R的奇函数f（x）的导数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=ln f（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c考点：导数的运算；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小解答：解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln2）=﹣h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞﹣c＞a．∴b＞a＞c．故选：D．点评：本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．某篮球运动员在三分线处投球的命中率是，若他在此处投球3次，则恰好投进2个球的概率是．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得结果．解答：解：由题意可得他在此处投球3次，则恰好投进2个球的概率是••=，故答案为：．点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于基础题．14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，首先将5人分成3组，由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种，故答案为90．点评：本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为．考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：求出正方形OABC的面积，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为（﹣x）dx=（）=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，若点A（﹣2，0），则的最大值是．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得=，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．解答：解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，∵抛物线y2=8x的焦点为F（﹣2，0），点A（﹣2，0）∴=，设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，∴△=（4k2﹣8））2﹣16k4=0，∴k=±1∴∈[1，]．故答案为：．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）（2015春•石家庄校级月考）已知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x2+mx+1＞0．如果任意的x∈R，r与s有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：若命题p是真命题：则∀x∈R，m＜sin（x+），可得m＜﹣．若命题q是真命题：则∀x∈R，△＜0，解得m．如果对∀x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．即可得出．解答：解：若命题p是真命题：则∀x∈R，m＜sin（x+），可得m＜﹣，若命题q是真命题：则∀x∈R，x2+mx+1＞0．△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．如果对∀x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．∴或，解得m≤﹣2或﹣≤m＜2．则实数m的取值范围是m≤﹣2或﹣≤m＜2．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、三角函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，难度中档．18．（12分）（2014•赫山区校级模拟）学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：（1）由已知条件得，由此能求出走公路②堵车的概率．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）由已知条件得，即3p=1，则p=，答：走公路②堵车的概率为．（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=．ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3所以=答：数学期望为．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A 1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，．设平面OCB1的法向量为，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴．则=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．20．（12分）（2010•宁夏）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k）0.0 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828考点：简单随机抽样；独立性检验．专题：计算题．分析：（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．解答：解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．点评：本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．21．（12分）（2012•黑龙江）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．考点：圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．解答：解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．22．（12分）（2015•河西区三模）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k≤e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg （x）恒成立．③若k＞e2时，F（x）=2e2（x+2）（e x﹣e2），而F（﹣2）=2k2+2=2e2（k﹣e2）＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．。