内切球和外接球例题之欧阳光明创编

高考数学中的内切球和外接球

问题

欧阳光明（2021.03.07）

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27π.

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为

______________..

2、求长方体的外接球的有关问题

例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14π.

例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.C.

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9

8，底面周长为３，则这个球的体积为 .

解设正六棱柱的底面边长为x，高为h

，则有2

63,1

,

2

9

6,

8

x

x

x h

h

=

⎧⎧

=

⎪⎪

∴

⎨⎨

=⨯

⎪⎪=

⎩

⎩∴正六棱柱的底面圆的半径1

2

r=

，球心到底面的距离

d=

.∴外接球的半径

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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22

1R r d =+=.

43V π∴=

球.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条

侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9π

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂

直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正

方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有

()

()()()

2

2

2

2

23339

R =

++=.∴29

4R =

.故其外接球

的表面积2

49S R ππ==.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个

三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有222

2R a b c =

++.出现“墙角”结构

利用补形知识，联系长方体。

【例题】：在四面体

中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为

，若该四面体

的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的

体对角线长所以：四面体外接球的直径为

的长即：

所以

球的表面积为

例 6.2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.3π

B.4π

C.33π

D.6π

解析：一般解法，需设出球心，作出高线，

构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长

相等的四面体，四面体A BDE

-

满足条件，即

AB=AD=AE=BD=DE BE

==

棱长为1

A.

例7．在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，

DAB=60

∠，E为AB的中点，将ADE

∆与BEC

∆分布沿ED、EC向上折起，使A B

、重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.

A.

B.

C.

D.

解析：因为AE=EB=DC=1，

DAB=CBE=DEA=60

∠∠∠，所以

AE=EB=BC=DC=DE=CE=1

AD=，即三棱锥P-DCE为正

四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.

例8 .已知球O的面上四点A、B、C、D，

DA ABC

⊥平面，AB BC

⊥

，O

的体积等于 .

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球

心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找

到球的直径，由于DA ABC

⊥平面，AB BC

⊥，联想

长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为

CD长

即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故

球O的体积等于

9

2

π

.

2、构造长方体

例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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B BCD A ⊥平面，B

C DC ⊥

，若6,AB =，

则球的体积是.

解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出

BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以

C=60

BO ∠，故

B 、

C 两点间的球面距离是4

3π

.

三.多面体几何性质法

例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半

径为R ，则有2

416x =，解得2x =.

∴

2R R ==∴= .∴这个球的表面积是

2

424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四

棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例11.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长

，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可

得1OO ABCD ⊥平面.

又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.

∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，

由2SA SC AC ===，得222

SA SC AC +=.∴

C

D

A

B S

O 1图3