高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是很常见的概念。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数和它的无穷小表达式之间的关系。
在本文中，我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。
一、等价无穷小的定义在函数f(x)中，当x趋于a时，如果存在一个函数g(x)，满足当x 趋于a时，f(x)与g(x)的差趋于0，那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。
使用符号记作f(x)≈g(x)。
二、常用的等价无穷小公式1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x- ln(1+x)≈x- e^x-1≈x2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- e^x-1≈x- ln(1+x)≈x- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x三、等价无穷小的应用等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用，特别是在极限计算中。
通过将函数替换为与其等价的无穷小形式，可以简化复杂的计算过程。
举个例子来说明，我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。
由于sin(x)在x趋于0时与x是等价无穷小，因此可以将sin(x)替换为x。
这样，我们的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x)，结果为1。
四、高等数学等价无穷小的注意事项在使用等价无穷小公式时，需要注意以下几个问题：1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。
2. 当使用等价无穷小公式进行计算时，需要满足等价无穷小的定义，即两个函数的差趋于0。
3. 在实际应用中，需要结合具体问题进行思考，是否适用等价无穷小公式。
综上所述，等价无穷小是高等数学中的重要概念，可以简化复杂的计算过程。
通过掌握常用的等价无穷小公式，我们可以更加高效地进行极限计算，并且在实际问题中能够灵活运用。
希望本文对您理解和应用等价无穷小有所帮助。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求极限等问题中有着广泛的应用。
等价无穷小的本质是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。
当$x ＼to 0$时，有以下几个常见的等价无穷小：1、＄＼sin x ＼sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时，＄＼sin x$和$x$的比值趋近于 1。
我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。
＄＼sin x$的泰勒展开式为$x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼cdots$，当$x$很小时，高次项可以忽略不计，所以$＼sin x$近似等于$x$。
2、＄＼tan x ＼sim x$同理，＄＼tan x$在$x ＼to 0$时，也与$x$等价。
因为$＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄，而$＼cos x ＼to 1$（当$x ＼to 0$），所以$＼tan x$与$＼sin x$在$x ＼to 0$时具有相似的性质。
3、＄＼ln(1 ＋ x) ＼sim x$对于对数函数$＼ln(1 ＋ x)＄，当$x ＼to 0$时，它与$x$等价。
我们可以通过对$＼ln(1 ＋ x)＄进行泰勒展开来证明这一点。
4、＄e^x 1 ＼sim x$指数函数$e^x$在$x ＼to 0$时，＄e^x 1$与$x$等价。
因为$e^x$的泰勒展开式为$1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼cdots$，所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。
5、＄1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2$当$x ＼to 0$时，＄1 ＼cos x$与$＼frac{1}｛2}x^2$等价。
同样可以通过$＼cos x$的泰勒展开式来理解。
这些等价无穷小公式在求极限时非常有用，能够大大简化计算。
例如，计算$＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄，由于$＼sin x ＼sim x$（当$x ＼to 0$），所以该极限的值为 1。
高等数学等价交换分式
高等数学等价交换分式
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。
等价无穷小也是同阶无穷小。
从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
常用等价无穷小公式是什么
常用等价无穷小公式=1-cosx。
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
1-cosx~(x^2)/2；
(1+bx)^a-1~abx。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第 1 章 函数与极限一. 函数的概念1. 两个无穷小的比较设lim f (x ) = 0, lim g (x ) = 0 且lim f (x ) = l g (x )（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g (x ) ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2. 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccos x ~ x ，1− cos x ~ x ^2 / 2 ， e x −1 ~ x ， ln(1+ x ) ~ x ， (1+ x ) -1~ x二．求极限的方法1. 两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若lim g (x ) = A , lim h (x ) = A ，则lim f (x ) = A2. 两个重要公式公式 1 lim sin x = 1x →0 x公式 2 lim(1+ x )1/ x = e x →03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x → 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次2 3 n 3 5 2 4 e x = 1+ x + x + 2! x +... + 3! x + o (x n ) n ! sin x = x - x +3!x +... + (-1)n 5!x 2n +1 (2n +1)! + o (x 2n +1 ) cos x = 1- x + 2! x +... + (-1) 4!n x 2n 2n ! + o (x 2n )ln(1+ x ) = x - x 2 + x 3 3... + (-1) n +1 x n n + o (x n ) (1+ x ) = 1+x +(-1) x 2 +... + (-1)...(- (n -1)) x n + o (x n ) arctan x = x - x 3 + x 5 5 2! -... + (-1) n +1x 2n +1 2n +1 n ! + o (x 2n +1 ) 5. 洛必达法则定理 1 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = 0 ， lim F (x ) = 0 ；x → x 0 x → x 0（2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则lim f (x ) = lim f '(x ) x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 这个定理说明：当limf '(x ) 存在时， lim f (x ) 也存在且等于lim f '(x ) ； x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 当lim f '(x ) 为无穷大时， lim f (x ) 也是无穷大．x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x )这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ L 'H ospital ）法则.∞ 型未定式∞定理 2 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = ∞ ， lim F (x ) = ∞ ；x → x 0 x → x 0 （2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则 lim f (x ) = lim f '(x )x → x 0 F '(x )x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 注：上述关于 x → x 0 ∞ 型同样适用．∞时未定式∞型的洛必达法则，对于 x → ∞ 时未定式 ∞ 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1） 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须 0 ∞2 30 先化简变形成“ 0 ”或“ ∞”型才能运用该法则； 0 ∞（2） 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3） 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6. 利用导数定义求极限基本公式lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = ∆xf ' (x ) (如果存在） 7. 利用定积分定义求极限1 n k 1基本格式lim n ∑ f ( n ) = ⎰ f (x )dx （如果存在） n →∞ k =1 03. 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） 第一类间断点设 x 0 是函数 y = f (x )的间断点。
等价无穷小在考研数学中的应用
等价无穷小在考研数学中的应用极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。
在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。
通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。
本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、常见的等价无穷小当x→0时，有灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 (2016)已知函数f(x)满足则解：因为所以利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就而言，直接做就会出错。
一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。
若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。
下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、泰勒公式及高阶等价无穷小(一) 泰勒公式在各种试题中常用到以下泰勒公式。
(二) 高阶等价无穷小通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。
如下：当x→0时，有下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sin x，g(x)=c=kx3。
若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：(法一)因为则由得所以有(法二)由已知可得：由可得所以代入a，b，得通过上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、总结等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。
本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。
那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
无穷小的等价公式
无穷小的等价公式无穷小的等价公式是高等数学中常见的概念。
在极限运算中，无穷小是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们刻画函数的行为。
在本篇文章中，我会介绍无穷小的等价公式及其应用。
一、无穷小的定义在数学中，无穷小是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于零的量。
简单来说，就是当自变量趋近于某一点时，函数趋近于0，且在该点附近的变化非常小。
具体来说，设 $f(x)$ 是定义在某一段区间 $(a,b)$ 上的函数，$x_0$ 是$(a,b)$ 的一个内点。
如果对于任意的 $\\varepsilon > 0$，都存在正数$\\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \\delta$ 时，$|f(x)| < \\varepsilon$，那么我们就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是一个无穷小。
二、无穷小的等价公式在不同的情况下，不同的无穷小之间具有一定的关系，这就是无穷小的等价。
无穷小的等价公式是无穷小理论中的一个重要内容。
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是 $x \\to x_0$ 时的无穷小量，即：$\\lim_{x \\to x_0}f(x) = 0$$\\lim_{x \\to x_0}g(x) = 0$若存在正数 $A$ 和 $B$，使得当 $x \\to x_0$ 时，$f(x) = A g(x) +o(g(x))$，那么我们就说 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处是等价的，记作：$f(x) \\sim g(x) \\ (x \\to x_0)$其中，$\\sim$ 表示“等价”。
等价公式有以下常见形式：1. 当 $x \\to 0$ 时，$e^x - 1 \\sim x$。
这个公式的实际含义是当 $x$ 趋近于0时，$e^x$ 与 $1 +x$ 的差越来越小，这也是 Euler 数 $e$ 定义的一种方式。
2. 当 $x \\to 0$ 时，$\\sin x \\sim x$。
等价无穷小在极限中的应用与推广
等价无穷小在极限中的应用与推广1 引言计算函数的极限是高等数学基本运算之一.对于函数极限的计算方法,我们熟悉的就有很多,有常见的函数极限四则运算法则、夹逼定理、洛必达法则,以及利用初等函数的连续性,还有就是利用等价无穷小代换.文本主要论述应用等价无穷小代换来求极限的定理和推论,并进行严格的证明,列举了典型的例题.从文中可以看出,运用这些定理和方法,使一些复杂的求函数极限的题目变得简单明了.2 等价无穷小的定义[1](P61)设)(x f 、)(x g 都是0x x →时的无穷小量,如果当0x x →时,1)()(→x g x f 则称)(x f 、)(x g 在当0x x → 是两个等价无穷小,记为 )(x f ～)(x g （0x x →）我们从等价无穷小的定义可以知道,两个量要满足等价无穷小，必须满足两个条件： ① 极限0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x g x x ； ②当0x x →时,1)()(→x g x f . 3 等价无穷小代换定理在计算两个无穷小量的比的函数极限时,利用等价无穷小代换法则,常常可以简化极限的计算.定理1 设)(1x f 、)(2x f 、)(1x g 、)(2x g 在)(0x U ο内有定义,有)(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →）（i ）若A =→)()(lim 110x g x f x x , 则A ===→→→)()(lim )()(lim )()(lim 2112220x g x f x g x f x g x f x x x x x x(ii)若B =→)()(lim110x g x f x x , 则B ===→→→)()(lim )()(lim )()(lim 211222000x g x f x g x f x g x f x x x x x x（)(1x g 0≠ )(2x g 0≠）证明 （i ）因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →） 所以 1)()(lim 120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x则有A ==⋅⋅⋅=→→→)()(lim )()()()()()(lim)()(lim 111121122200x g x f x f x f x f x g x g x g x g x f x x x x x x同理可证得其他等式.（ii ）同样因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →） 所以 1)()(lim 120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x则有B ===→→→)()(lim )()()()()()(lim )()(lim1121111222000x g x f x g x g x g x f x f x f x g x f x x x x x x 同理可证得其他等式.这是最重要的也是我们计算中常常用到的等价无穷小的代换定理,它在等价无穷小代换求极限中的应用最广泛.以下列举的题目也应用了这个定理. 4 9种常见等价无穷小的证明与应用 1. x sin ～x （0→x ）证明 我们在这里直接用文献[1]重的重要极限的证明结果,即1sin lim0=→xxx由等价无穷小的定义,可得x sin ～x （0→x ）例1 求极限 xxx 2sin lim0→解 由于0→x 时,x 2sin ～x 2, 所以原式=22lim 0=→xxx ,这个等价无穷小推而广之有以下 例2 求极限axbxx sin sin lim0→解 由于0→x 时,bx sin ～bx ,ax sin ～ax ,所以原式=ab ax bx x =→0lim2. x tan ～x （0→x ）证明 由于原式=xx x x cos 1sin lim 0⋅→ ，又 1cos 1lim0=→xx 所以 原式=1sin lim0=→xxx 由等价无穷小的定义得x tan ～ x （0→x ）例3 求极限 )sin(tan )tan(sin lim0x x x →解 由于0→x 时,两次运用x sin ～x ,x tan ～x ,所以原式=1lim sin tan lim00==→→xxx x x x2 这个等价无穷小关系可以推广，有以下例题4 例4 求极限 bxaxx tan sin lim0→解 由于0→x 时,ax sin ～ax ,bx tan ～bx ,原式=ba bx ax x =→0lim3.x cos 1-～221x （0→x ） 证明 由于1)2(21)2(2sin 2lim 212sin 2lim21cos 1lim2222022020=⋅⋅==-→→→x x x xx x x xx x x因为1)2()2(sin lim220=→xx x 所以原式=1,由等价无穷小的定义得x cos 1-～221x （0→x ）例5 试求极限xx x cos 1cos 1lim 20--→解 由于0→x 时 由4.3知x cos 1-～221x , 原式=2 例6 求极限 40)cos 1cos(1limx x x --→解 0→x 时,两次运用x cos 1-～221x ,原式=81)21(21lim 4220=→x x x4. x arctan ～x （0→x ）证明 令x t arctan =,则t x tan =,且当0→x 时,0→t , 有 1tan lim arctan lim 00==→→t t xx t x由等价无穷小的定义得x arctan ～x （0→x ）例7 求极限xx x x x cos 1arctanlim-∞→ 解 由于∞→x 时,x 1arctan～x1,原式=0)cos (11arctanlim=-∞→x x xxx 这个等价无穷小关系可以推广,有以下例题8 例8 求极限 axaxx arctan lim0→解 由于0→x 时,0→ax ,有ax arctan ～ax ,原式=1lim 0=→axaxx5． x arcsin ～x （0→x ）证明 令x t arcsin =, 则t x sin =,且当0→x 时,相当于0→t , 于是,有式子1sin lim arcsin lim00==→→ttx x x x由等价无穷小的定义,得x arcsin ～x （0→x ）例9 试求极限)1ln(1arcsinlim20x x xx --→解 由于0→x 时,012→-xx,则21arcsinxx -～21xx -,)1ln(x -～)(x -（式子的证明在后面给出）所以原式=11lim20-=--→xx xx 这个等价无穷小关系可以推广,如有以下例题10 例10 求极限 xxx 63arcsin 2lim0→解 设t x =3,由于0→x 时,0→t ,原式=12arcsin 2lim 0=→ttt 6． 1-xe ～x （0→x ）证明 令1-=xe u ,则)1ln(u x +=,并且当0→x 时,0→u ,由于)1ln(x +～x （式子的证明在后面给出），所以 原式=1lim )1ln(lim 1lim000==+=-→→→u uu u xe u u x x , 由等价无穷小的定义,得1-x e ～x （0→x ）例11 求极限 1cos 1lim20--→x e x x解 由于0→x 时,12-x e ～2x ,1cos -x ～)21(2x -,原式=221lim220-=-→x x x 例12 试求极限xxe x x cos 12arcsin )1(lim 20--→解 由于0→x 时,12-xe～x 2,x cos 1-～221x ,原式=82122lim 20=⋅→x x x x7． )1ln(x +～x （0→x ）证明 由于 1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ， 由等价无穷小的定义,得)1ln(x +～x （0→x ）例13 求极限 xx e e x x x cos 1)21ln()(lim 50-+-→解 由于原式=xx e e x x x cos 1)21ln()1(lim 40-+-→,由于0→x 时,14-xe ～x 4,)21ln(x +～x 2,x cos 1-～221x 所以原式=162124lim20=⋅→x xx e x x 例14 求极限 )1ln()cos 1cos(1lim40x x x +--→ 解 由于0→x 时,两次运用x cos 1-～221x ,)1ln(4x +～4x ， 所以原式=2421lim 440=⋅⋅→xx x8． 1)1(-+kx ～kx （0→x ）（+Z ∈k ）1)1(1-+kx ～x k1（0→x ）（+Z ∈k ） 证明 由于 k xx C x C kx lm x x k k k k x k x =-++++=-+→→111)1(lim2200Λ k x x x x x x k k k x kx 1)1()1(11)1(lim 1)1(lim11010=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+++-+=-+-→→Λ 由此可得kx )1(+～（kx （0→x ）（+Z ∈k ）(k x 1)1+～（x k1（0→x ）（+Z ∈k ） 例15 求极限 xx x cos 11)1(lim 220--+→解 由于0→x 时,1)1(22-+x ～22x ,x cos 1-～221x ， 原式=4212lim220=→x x x 例16 求极限 xx x sin 11lim 0-++→解 由于0→x 时,11-+x ～x 21,sin x ～x ，所以原式=2121lim 0=+→xxx 例17 已知11sin )(1lim 20--++→x x e x x ϕ=2,求)(lim 0x x ϕ→ 解 由于0→x 时,11-+x ～x 21,0sin )(→x x ϕ,12-x e ～x 2,x sin ～x 1sin )(1-+x x ϕ～x x sin )(21ϕ原式=2)(41lim 2sin )(21lim 00==++→→x xxx x x ϕϕ,所以)(lim 0x x ϕ→=29． 1-xα～αln x （0→x ） 证明 利用ααln x xe= ,于是可由1-xe ～x推出 αααln 1lim 1lim ln 00=-=-→→xe xx x x x 由此可得1-x α～αln x （0→x ）例18 试求极限 xx x 1limsin 0-→α解 令x t sin =,当0→x 时0→t ,1-tα～αln t ,t arcsin ～t 原式=1lim arcsin 1lim00==-→→ttt t t x α例19 )1(lim -+∞→n n a n （a >0）解 由于将+∞→n 改为连续变量+∞→x ,令xt 1=, 有 a ta t t e xea x t a t t a xx xx ln ln lim 1lim 11lim)1(lim 0ln 0ln 1==-=-=-→→+∞→+∞→ 又由函数极限与数列极限关系定理, 可得a a n n n ln )1(lim =-+∞→5 9种等价无穷小的推广定理及应用以上介绍了9种常用的等价无穷小,现在我们来看一下它的推广.有以下定理 定理2[2]设0)(lim 0=→x f x x ,当0x x →时,有以下等价关系成立)(sin x f ～)(x f )(tan x f ～)(x f )(cos 1x f -～2)(21x f )(arctan x f ～)(x f )(arcsin x f ～)(x f 1)(-x f e ～)(x f )](1ln[x f +～)(x f 1)](1[-+kx f ～)(x kf 1)](1[1-+kx f ～)(1x f k（+Z ∈k ） 1)(-x f α～αln )(x f定理2的证明与以上的9种等价无穷小的证明方法相似,我们不再一一进行证明了.其实我们以上列举的例题也间接或直接的应用了这个定理.下面我们就以上的定理来探讨一下定理在题目中的应用.例20 求极限)sin1(sin lim x x x -++∞→解 原式变形得)sin 1(sin x x -+=21cos 21sin2xx x x ++-+由于)1(21sin21sinx x x x ++=-+～)1(21x x ++（+∞→x ） )1(21cosO =++xx （+∞→x ）所以得0)sin 1(sin lim =-++∞→x x x例21 求极限1sin 1)cos 1cos(1lim22-+--→x x x x解 当0→x 时,1sin 122-+x x ～2sin 22x x ～,24x 两次运用x cos 1-～221x ,分子经过两次运用等价无穷小代换,得1sin 1)cos 1cos(1lim 220-+--→x x x x =41)2(lim 22)cos 1(lim 4220420==-→→x x x x x x 以上我们推广了9种等价无穷小,上面提到的定理和推论,可以说的确使得计算一部分题目变得简单快捷了.但在使用过程中我们也发现了一些问题.下面我们来看一个题目,究竟出现什么问题.例22 利用等价无穷小代换,求极限 30sin sin tan lim xxx x -→ 法1 解 原式变形得 )(sin cos )cos 1(sin lim30x x x x x -→,由于0→x 时x sin ～x x cos 1-～221x 3sin x ～3x所以,原式=2121lim cos 1lim 3200=⋅⋅→→xx x x x x法2 解 由于0→x 时,x sin ～x ,x tan ～x , 于是得出30sin sin tan limx x x x -→0lim 30=-=→xxx x 分析了以上的两种解法,我们判断出法2的解法是不正确的,.我们在利用等价无穷小代换求极限中相乘或相除的因式才能应用代换,而极限中分子或分母中是相加或相减则不能随意进行替代了.主要原因是：在同一极限过程中的α～'α、β～'β成立,但不一定有βα±～''βα±成立.有了这个问题的存在,我们就得分析研究了,经过分析,商极限中分子或分母是加减关系时,在满足一定条件时,也可以使用等价无穷小代换了.推论1[3]设)(1x f 、)(2x f 、)(1x g 、)(2x g 是同一过程的无穷小量,且有)(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g ,有)()(lim22x g x f 存在 (i)若)()(lim22x g x f 1≠,则有)()(11x g x f -～)()(22x g x f - (ii)若)()(lim22x g x f 1-≠,则有)()(11x g x f +～)()(22x g x f + 证明 （i ）因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g 所以 1)()(lim120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x)()(lim22x g x f 存在,则由等价无穷小代换定理知)()(lim 11x g x f =)()(lim 22x g x f , 又 11)()(1)()(lim )()()()(lim22112211=--=--x g x f x g x f x g x f x g x f , 所以 )()(11x g x f -～)()(22x g x f - （ii ）因为 )(1x f ～)(2x f )(1x g ～)(2x g 所以 1)()(lim120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x由等价无穷小代换定理有)()(lim11x g x f =)()(lim 22x g x f ,又 11)()(1)()(lim )()()()(lim 22112211=++=++x g x f x g x f x g x f x g x f 所以有 )()(11x g x f +～)()(22x g x f +该推论表明,在同时满足等价无穷小代换的条件和推论中的条件)()(lim22x g x f 1μ≠,就会有)()(11x g x f ±～22)()(x g x f ±成立.下面我们应用推论研究几个题目例23 求极限xx e e xx x sin 2sin lim 30--→解 由于0→x 时, 1-xe ～x ,13-xe ～x 3,x sin ～x ,x 2sin ～x 2,且133lim0≠=→x x x ,122lim 0≠=→xx x ,由推论得,原式=223lim sin 2sin )1()1(lim030=--=----→→xx xx x x e e x x x x 例24 求极限)cos 1(sin tan 211lim 3440x x x x x x --++→解 由于0→x 时,114-+x ～421x ,12134--x ～)2(314x -,x tan ～x ,x cos 1-～221x ,又因为1313221lim440-≠-=-→x xx ,由推论可得 原式=31213221lim 3440-=⋅-→x x x x x 例25 求极限 12)2ln()1sin(lim 21+--+-→x x x x x 解 由于1→x 时,)1sin(-x ～)1(-x ,)]1(1ln[--x ～)1(-x ，有1)1(1lim 1-=---→x x x ,由推论这个题目不能用无穷小代换.题目可以用洛必达法则计算,在这不再计算.有例25,我们就得注意要是11)()(x g x f ±～22)()(x g x f ±成立,一定要使得极限中分子分母中相加或相减的式子满足22)()(limx g x f 1μ≠.6等价无穷小在幂指函数中的推广应用定理2[4]设)(x f 、)(1x f 、)(x g 、)(1x g 是同一过程的无穷小量,)(x f ～)(1x f 、)(x g ～)(1x g 且有0)(≠x g ,0)(1≠x f ，则有(i)=+→)(110)](1[lim x g x x x f =+→)(11)](1[lim 0x g x x x f =+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(1110)](1[lim x g x x x f +→(ii)如)(x f >0 )(1x f >0=→)()(lim 0x g x x x f =→)(1)(lim 0x g x x x f =→)(10)(lim x g x x x f )(110)(lim x g x x x f →证明 （i ）由于=+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(10)](1ln[lim x g x x x f e +→=)(10)](1ln[)()(lim x f x x x f x g x f e+→=e ex g x f x x =→)()(lim因为)()(limx g x f x x e→=)()(lim110x g x f x x e →=)(111110)](1ln[)()(limx f x x x f x g x f e+→=)(1)(1)(111)](1ln[lim x g x f x f x x x f e ⋅→+=)(111)](1ln[lim x g x x x f e +→=)(1110)](1[lim x g x x x f +→所以有=+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(1110)](1[lim x g x x x f +→同理可证得其他等式 （ii ）因为=→)()(lim 0x g x x x f =⋅⋅→)()()(ln)(lim 110x f x f x f x g x x e =+⋅→)](ln )()([ln)(lim 110x f x f x f x g x x e=⋅→)(ln )(lim 10x f x g x x e)(ln 11)(lim 10x f x g x x e⋅→又由于 )(ln 11)(lim 110x f x g x x e ⋅→==⋅→)(ln )(lim 110x f x g x x e=→)(110)]([ln lim x g x x x f e)(110)(lim x g x x x f →所以有=→)()(lim 0x g x x x f )(110)(lim x g x x x f →同理可证得其他等式以上定理给学生在计算幂指函数极限时带来了很大的方便.现在来看定理的应用.例26 求极限 xx x sin 10)31(lim +→解 当0→x 时,x sin ～x 所以原式=xx x 10)31(lim +→=3310])31[(lim x x x +→=3e例27 试求极限 xx xx cos 110)sin (lim -→解 当0→x 时,x cos 1-～221x ,1sin lim 0=→x x x 可以得 原式=220)sin (lim x x x x →, 由定理2，220)sin (lim x x xx →=e 2)1sin (2lim x x xx e -→=30)(sin 2limx x x x e-→=203)1(cos 2limx x x e-→==223)2(2limx x x e-→=31-e所以得x x xx cos 110)sin (lim -→=31-e 综上论述,可以看出,利用等价无穷小求极限,使计算过程简便快捷.以上论述,我们可以为初学极限运算者提供一种简便计算极限的方法,并系统地按照从简到繁、从易到难论述了这种求极限的计算方法.。
高数中的等价无穷小替换公式
高数中的等价无穷小替换公式在我们学习高等数学的时候，有一个特别重要的知识点，那就是等价无穷小替换公式。
这玩意儿可太有用啦，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
记得我当年上大学的时候，有一次参加数学竞赛的集训。
那时候，大家都在为了比赛拼命地刷题。
有一道题，是求一个复杂函数的极限。
当时好多同学都被难住了，抓耳挠腮的。
我一开始也有点懵，但是突然想到了等价无穷小替换公式。
那道题大概是这样的：求当 x 趋近于 0 时，(sin x - x)/x³的极限。
一般看到这种式子，可能会觉得很头疼，但是我发现，当x 趋近于0 时，sin x 等价于 x - (1/6)x³。
于是我就把 sin x 替换成了 x - (1/6)x³，式子就变成了 [(x - (1/6)x³) - x]/x³，经过一番化简，答案就轻松出来啦。
咱先来说说等价无穷小替换公式到底是啥。
简单来说，就是在求极限的时候，如果两个函数在某个变化过程中比值的极限是 1 ，那么在一定条件下，就可以把其中一个函数替换成另一个函数来进行计算。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小，tan x 和 x也是等价无穷小，还有 1 - cos x 和 (1/2)x²也是等价无穷小等等。
那为啥要用等价无穷小替换公式呢？这就好比你走在路上，有一条近道能让你更快到达目的地，谁不想走呢？等价无穷小替换能大大简化计算过程，让那些原本复杂得让人头疼的极限问题变得简单明了。
比如说，要求lim(x→0) (tan x - sin x)/x³，如果不用等价无穷小替换，那得用各种复杂的方法，比如洛必达法则，反复求导，算起来可麻烦了。
但如果我们知道当 x 趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，sin x 等价于 x ，那式子就可以变成lim(x→0) (x - x)/x³= 0 ，是不是一下子就简单多啦？不过，使用等价无穷小替换公式也有一些要注意的地方。
高等数学 第二章 极限与连续 2.7 利用等价无穷小量代换求极限
高等数学—第二章
极限与连续
基础课教学部 数学教研室
第七节 利用等价无穷小量代换求极限
0,
是 的高阶无穷小
lim ,
是 的低阶无穷小
C(0), 是 的同阶无穷小
1,
是 的等价无穷小
lim kC0,
是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小： 当x0时 ,
故 31 xsinx 1 1xsinx (x 0)
3
a r c t a n x 2 x 2 (x 0)
所以，原式
1 xsin x
lim 3
x x0
2
1 sinx lim
x0 3 x
1. 3
例4 求 litm ax nsixn . x 0 si32 n x
错解： 当 x 0 时 ,tx a ~ x ,s n x ~ i x . n 原式 lx i0m (x2 x)x3 0.
2
1
例2 求 lim(1x2)31. x0 coxs1
解：当 x 0时 ,
(1x2)1 31~1
1
原 式 lim3
x
2
2
x 0
1 2
x2
3
例3 求
3 1xsinx1 lim
x0 arctanx2
解：因当
x0时， 3 1x 1～
1 3
x
arctanx～x,
例如， lia m rx c s1 i s l n iix n s m 1 i 0 n
x 0
xx 0 x
例1 求 lim ta2n 2x.
x 01coxs
解：当 x 0 时 ,1 cx ~ o 1 x 2 , s t2 a x ~ 2 x n .
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ） 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在极限计算中起着至关重要的作用。
在实际运用中，我们常常会用到一些关于等价无穷小的常用公式，下面就来介绍几个常用的等价无穷小公式。
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$这是一个非常经典的等价无穷小公式，它在计算极限时非常常见。
这个公式表明，当$x$趋向于$0$时，$\sin x$与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{\sin x}{x} \to 1$。
这个公式在计算一些涉及正弦函数的极限时非常有用。
2. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$这个公式也是关于三角函数的一个常用的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$\cos x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$0$，即$\frac{1 - \cos x}{x} \to 0$。
这个公式在计算一些涉及余弦函数的极限时经常被使用。
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$这个公式是关于指数函数的一个重要的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$e^x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$。
这个公式在计算指数函数的极限时非常有用。
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$这是关于自然对数函数的一个常用的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$\ln(1+x)$与$x$的比值趋向于$1$，即$\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$。
这个公式在计算自然对数函数的极限时经常被使用。
5. $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$这个公式是关于一般指数函数的一个重要的等价无穷小公式。
当$x$趋向于$0$时，$a^x$与$1$的差值与$x$的比值趋向于$\ln a$，即$\frac{a^x - 1}{x} \to \ln a$。
高等数学中的等价替换公式
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
lax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
高等数学中的等价替换公式sinxxtanxxarcsinxxarctanxxcosx12x2secx1ax1xlnaax1xlnaex1xln1xx1bxa1abxloga1xxlna1xa1axa0值得注意的是等价无穷小一般只能在乘除中替换在加减中替换有时会出错加减时可以整体代换不能单独代换或分别代换本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注我们将会做得更好精选范本供参考