函数值域与最值

1、求函数值域

（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ?B 。

函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。（2）确定函数值域的原则

①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合

(){}|f x x A ∈；

④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。（3）熟练掌握常见函数的值域

常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)a

x a x

>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。（4）求函数值域的常用方法；

一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。 2、求函数最值（1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)

()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

（2）常规方法：

求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。

3、值域与最值的关系

函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。

（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。

（3）如果函数值域是连续（即不间断）的开区间，那么这函数就没有最大值与最小值。

（4）如果函数存在最大值或最小值，那么这个最大值或最小值就是函数值域区间的上端点值或下端点值。

4、求函数值域与最值的方法介绍

由于值域与最值的特殊关系，因此求函数值域与求函数最值的方法比较一致，都有观察法，配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，构造法，导数法等，最值问题更具综合性和灵活性。无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。求解含参数的综合性问题时，常将函数式转化为方程来研究讨论。

配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题。

设函数y=f(x)，通过配方变换为y=f(x)=A[g(x)]2

+M ，则A ＞0时，y ≥M ；A ＜0时，y ≤M 。

如函数y=ax 2

+bx+c ，用配方法求最值。

b 4a

c b y ax bx c a x 2a 4a -?

?=++=++

?，当a ＞0时，2min

4ac b y 4a -=；当a ＜0时，2

max 4ac b y 4a

-=。

二次方程Δ法：运用方程思想，依据二次方程有实根，由判别式非负求出y 的最值,但必须检验这

个最值在定义域内是否存在相应的x 的值。求函数f （x ）=1

222c x b x a c x b x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域多用判别式法。

函数y=f(x)变换为x 为元的二次方程f(x)-y=0，由于存在x ∈R ，则有判别式Δ≥0，从而求函数y 的最值。

如函数2ax bx c y mx n

++=+，可化为 2

ax (b my)x c ny 0+-+-=，

由 ()()2

b my 4a

c ny 0?=---≥，求得y 的最值。注意检验，y 取最值时，x 2b my

-=-

是否有意义，否则最值不存在。 3o

分离常量、变量法：函数是分式解析式，用“抽整”的办法，分离出常量或变量的方法。

如，函数11x y x +=-，转化为211y x =+-，称之为分离常量法；函数224

2x x y x +-=+，转化为

y x x =-

+，称之为分离变量法。 4o

图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可得其最值，显得直观、简洁。图象法就是利用函数图象直观地发现函数最值的方法。方法的关键是熟悉基本、常见函数的图象，或熟练地利用画图象的方法画出函数图象。

如图观察，可得()

max 0y f x M ==。

单调法：利用函数的单调性求最值。

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为f(a) ; 若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为f(b)。

换元法：通过变量代换，促进简化或转化，化难为易，化未知为已知。换元法有代数换元和三角换元，换元后须注意新变量的取值范围。求无理函数的值域，多用换元法。

在函数中，常把某个式子看成新的未知数或元，实行变量替换的方法，达到化繁为简，化难为易，促使未知向已知转化的目的。在换元的过程中，要注意新元的变化范围。

例如，求函数()2

y asin x bsinx c a 0=++≠的最值。

令t sin x =，[]

t 1,1∈-，则2y at bt c =++，[]

t 1,1∈-，把求函数()

2y asin x bsinx c a 0=++≠的最值转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[-1，1]上的最值。

基本不等式法：利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”，一个都不能少。基本不等式模型

一般地，如果a ＞0，b ＞0，则 2b a ab +≤

，或

ab b

a ≥+2

，当且仅当a=b 时等号成立。我们常把

a +叫做正数a 、

b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两个正数相等时等号成立。

拓展：

若a 、b ∈R ，则2

a b a b

ab 22++??≤≤ ???

，当且仅当a=b 时等号成立。应用：“和定值，积最大；积定值，和最小。” 程序：“设元—定值—等号”，一个都不能少。即设元a 、b ，使其和或积是定值，当且仅当a=b 时取最值。

例如，求函数2

y =

=≥=

，即x 0=时，函数y 取得最小值

三角法：即代数三角变换法，把代数问题转化为三角问题解决。

例如，求函数y x =

令x cos =θ，[]

0,θ∈π，则y cos sin 4π?

?=θ+θ=θ+ ??

?，

由于[]

0,θ∈π，所以1y -≤≤

min max y 1,y =-=

反解法：利用已知函数的有界性构造函数y 的不等式求之。

如，函数21120211x x x y y y

-+=?=>+-，解不等式101y

y +>-，得()1,1y ∈-。

10o

导数法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求值域或最值。

Ⅰ、函数最值的存在性：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值。

Ⅱ、利用导数求函数最值的步骤:

一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，求得函数)(x f 在[]b a ,上的最值。

Ⅲ、具体操作程序：

设函数y=f(x)定义在[]b a ,上。 ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值： 1o 定义域为[]b a ,，()(

)()()1

23f x k x x x x x x '=---（不妨设k ＞0,123a x x x b <<<<）

；

令()123f x 0,x x ,x x ,x x '=?===或或；

函数)(x f 在(,)a b 内的极大值是()

2f x ，极小值是()1f x 、()

3f x 。 ⑵求得函数)(x f 在[]b a ,上的最值：

()()(){}max 2y max f x ,f a ,f b =，()()()(){}min 13y min f x ,f x ,f a ,f b =。

5、求解函数值域或最值时注意： ⑴定义域的制约作用；

⑵含字母系数函数的分类研究；

⑶函数定义域含参数区间的分类研究。 6、案例分析

案例1：求下列函数的值域：

（1）y =

（2）y x =+

（3）y x =+ （4）1sin 2cos x

y x

-。

分析：（1）用复合函数方法；（2）三角换元法；（3）代数换元法；（4）三角法，化为()Asin x ω?+形式解决，或用图象法。

答案：（1）[0,2]；（2）[1-；（3）(,5]-∞；（4）4

[0,]3

。解：（1）求复合函数的值域：

设2

65x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =

又∵2

65(3)44x x x μ=---=-++≤，

∴04μ≤≤，又y =

[0,2]，

∴y =的值域为[0,2]

（2）三角换元法：

21011x x -≥?-≤≤，设cos ,[0,]x ααπ=∈，

则cos sin )4

y π

ααα=+=

∵[0,]απ∈，∴5[,]444π

ππα+∈，∴sin()[42

πα+∈-，

)[4

α+

∈-，∴原函数的值域为[1-。

（3）代数换元法：设0t =，则21x t =-， ∴原函数可化为2214(2)5,(0)y t t t t =-+=--+≥， ∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞。

拓展总结y ax b =+2y ax b =+y ax b =+ （4）方法一，将原函数可化为 sin cos 12x y x y -=-，

)12x y ?-=-，（其中

cos ??=

，

∴

sin()[1,1]x ?-=

-，

∴|12|y -≤2340y y -≤，∴4

y ≤≤

， ∴原函数的值域为4[0,]3

方法二，数形结合。利用斜率公式，把函数1sin 2cos x

y x

-看成

两点P ()2,1、Q ()cos ,sin x x 的斜率，而点Q ()cos ,sin x x 在圆

221x y +=上，其极端位置斜率就是函数值域的端点值。

案例2：求下列函数的值域

（1）22221x x y x x -+=++；（2） 66

522-++-=x x x x y ；

（3）2211()212

x x y x x -+=

>-；（4）y =x 2+x 1 (x ≤－21

)。分析：（1）判别式法；（2）分离系数法；（3）分离变量、基本不等式法；（4）单调法或导数法或图象

法。

答案：（1）[1,5]；（2）{ y| y ≠1且 y ≠51-

}；（3）1,)2

+∞；（4）［－47

,+∞)。

解：（1）判别式法：∵2

10x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ,

由22221

x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①

①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈ ②当20y -≠即2y ≠时，

∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y ?=+-?-≥，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[)(]

1,22,5 （2）3

133)3)(2()3)(2(--

=+-=+---=

x x x x x x x y ≠1 又x ≠2 故 5

≠y ∴函数6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}。

（3）221(21)1

2121

x x x x y x x -+-+==--

111

(21)2212x x =-+≥-（∵ 12x > ∴102

x ->）

当且仅当11(21)221x x -=-时，即12

x =

∴原函数的值域为1

,)2

+∞。评注：拓展总结：求f （x ）=1

1212222c x b x a c x b x a ++++（a 12

+a 22

≠0）的值域时用判别式法，求解时，要注意二

次项系数为字母时要讨论。

（4）方法①-单调法：函数2

1y x =在1,2??

-∞- ???

上是减函数，函数21

y x =在1,2??

-∞- ???上也是减函数，

所以函数2

121y y y x x =+=+

在1,2??-∞- ???

上是减函数，于是函数2

1y x x =+的值域是［－47,+∞)。

方法②-导数法： 32212120x y x x x -'=-=< (x ≤－21)，函数2

1y x x =+在1,2??-∞- ??

?上是减函数，

所以于是函数2

1y x x =+

的值域是［－4

,+∞)。方法③-图象法：用叠加变换法画函数2

121y y y x x =+=+在1,2??

-∞- ???

上的图象，可得函数2

1y x x =+

的值域是［－4

,+∞)。评注：求函数值域的方法丰富多彩，注意方法的选择，判断法、图象法多

用于解选择题或填空题，对于简答题只能是辅助性的方法。

案例3：设函数2()lg(1)f x ax ax =++分别满足下列条件，求实数a 的取值范围 (1) ()f x 的定义域是R ； (2)()f x 的值域是R ；

（3）()f x 的定义域为（-2，1）；

分析: 函数()f x 是复合函数，所以f (x )分解为y=lgu 和u=ax 2

+ax+1，并结合函数2

1u ax ax =++的图象与性质看u(x)取值的变化。

（1）()f x 的定义域是R ，即对x R ?∈，恒有 2

10u ax ax =++>。

（2）()f x 的值域是R ，即x R ?∈，使得2

10u ax ax =++>。注意u 的值是从0开始的正数，才能保证()f x 的值域是R 。

（3）()f x 的定义域为（-2，1），只须2

10u ax ax =++>在（-2，1）上恒成立。答案：(1)0a 4≤<；(2)a 4≥；(3) 1

[,4)2

-。

解：（1）设21u ax ax =++，则函数()f x 的定义域是R ，即对x R ?∈，恒有0u >。

∵2

10u ax ax =++>?2

000440a a a a a >?=?≤

或。所以所求实数a 的取值范围是 0a 4≤<。（2）()f x 的值域是R ，则x R ?∈，使得0u >，

∴x R ?∈，2

10u ax ax =++>?040a a >??≥??≥?

。

所以所求实数a 的取值范围是 a 4≥。

（3）函数()f x 的定义域为（-2，1），也就是2

10u ax ax =++>在（-2，1）上恒成立。 ①当a=0时，10u =>在()2,1-上恒成立。

②当a ＞0时，∵2

21()1124a u x ax ax a x ?

?=++=++- ??

?，其图象过点（0，1），且对称轴为12x =-，

∴2

10u ax ax =++>在（-2，1）上恒成立，当且仅当240,

040.

a a a a ??=-?。

③当a ＜0时，只须()0,

10(2)1210,

2a a u u a

-==+≥??。综上所述，a 的取值范围是1

[,4)2

-。

案例4：若函数f （x ）=

c x ax ++21

的值域为［－1，5］，求实数a 、c 。分析：函数f （x ）=c

x ax ++21

是有理分函数，可以用二次方程的判别式法求值域。

答案：??

??=±=.

,5c a 解：由y =f （x ）=

x ax ++2

1，得x 2

y －ax +cy －1=0。当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.

当y ≠0时，∵x R ?∈，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0，即4cy 2－4y －a 2

≤0。

∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2

=0的两根。

∴???????-=-=.

54,41

a c

∴?????=±=.41,5c a 评注：题目逆向给出，是由值域即不等式的解求系数，重在用好判别式法（两次）。

案例5：已知函数f (x )=x

x x ++22，x ∈［1,+∞)

(1)当a =2

时，求函数f (x )的最小值；

(2)若对任意x ∈［1,+∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。

分析：(1)用单调法求最值；(2)运用转化思想，把f (x )＞0转化为关于x 的二次不等式或转化为求函数f (x )的最值。

答案：(1)

；(2) a ＞－3。解：(1)当a =2

时，()122f x x x =++， ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，

∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=

27。 (2)解法1：在区间［1，+∞)上，f (x )=x

a x x ++22 ＞0恒成立?x 2

+2x +a ＞0在区间［1，+∞)上恒

成立。

设y =x 2

+2x +a ，x ∈［1,+∞)

∵y =x 2+2x +a =(x +1)2

+a －1在区间［1，+∞)上递增，

∴当x =1时，y min =3+a ，当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3.

解法2：f (x )=x +

+2，x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；

当a ＜0时，函数f (x ) 在区间［1，+∞)上递增，故当x =1时，f (x )min =3+a , 当且仅当f (x )min =3+a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3.

评注：不等式恒成立的问题常常转化为求函数最值的问题解决，根据不等式构造函数是解题的关键。总评：

⑴函数的值域与最值密切相关，其方法原则上一致，在函数、方程、不等式的综合应用中常常发挥着重要的作用，特别在解决不等式恒成立的问题中起着关键的作用；

⑵熟练把握求函数值域或最值的常用方法，注意各自方法的特点及局限性，扬长避短，选择最佳方法； ⑶函数方程思想，数形结合思想，化归转化思想，逻辑划分思想是研究与解决涉及函数值域与最值综合问题的重要思想方法，注意融汇与把握。

函数的值域和最值教案

函数的值域和最值教案【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域．【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及注意点．【教学过程】第一课时〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值．错解：令3log [0,2]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===．错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件．正解：由2 1919 x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行； 2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用．〖例2〗求下列函数的值域： ⑴ 121 21 x x y ++=+；法一：（直接法）1212(21)11 2212121 x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1 0121 x < <+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)

函数的最值与值域

函数的最值与值域求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习) [)(][] 0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(. )(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x x 值与值域小求下列函数的最大例1

二.拓展问题 (一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1 122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y 4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+ x a x a x 5. 的最小值求44422+++ +x a x 6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2 212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ?= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629 S ≤<

(二)基于二次函数 1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）. (1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间； (2) 求函数)(x g 的值域； (3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数. 2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=

函数之复合函数之求最值值域

- 3 - 函数之复合函数之求最值、值域 1．函数y =(log x )2 －log x 2 ＋5 在 2≤x ≤4时的值域为． 2.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为，值域为 . 3.求函数y ＝5 2x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 4.函数的值域为 A. B. C. D. 5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2 3 1 -x ; (2)y ＝4x +2x+1 +1. 6.已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1 -9x 的最大值和最小值 7.设，求函数的最大值和最小值． 8.已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围． 9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（ 41）x-1-4·（2 1）x +2的最大值和最小值 10.函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 11.若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222 ?-=+的最大值和最小值。 12.已知[]3,2x ∈-，求11 ()142 x x f x = -+的最小值与最大值。 13.若函数3234+?-=x x y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 答案 1. 2.( 22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］ 3.解析：设t ＝x 5 1 ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3． 4 14 1()() 2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞??()1,+∞)1,+∞??84 25 ≤≤y

函数的值域与最值

函数的值域与最值一、基础知识回顾 1. 已知{}{} 12|,log |2+====x y y B x y x A ，则() ∞+= ?，1B A 2.下列函数的值域为()+∞,0的有 4 个（1）1212+-=x x y （2）21 -=x y （3）x y ?? ? ??=21（4）x y 2log 2=（5）x x y sin 1sin +=（6）x y tan = 3.求函数212++-=x x y ）（值域为?? ? ???230， 11222++-+=x x x x y ）（的值域为?? ? ???135-， 4.已知：)0)(3sin()(>+ =w wx x f π 在]2,0[上恰有一个最大值1和最小值-1，则w 的取值范围是?? ? ???12 13127π π， 5.已知：x,y 为实数，022 2 =-+x y x ，则2 2 2x y s +=的值域为 [0,4] 6.关于x 的方程02 7 2cos 21cos 4=-+- m x x 有实数解，则m 的取值范围是 [0,8] 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m 与f(x),g(x)的图象分别交于 M ，N 两点，则MN 长度的最大值为2 8.函数x y 2 1log =的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a 的最小值是 4 3 9.若函数()10,4log ≠>?? ? ??-+ =a a x a x y a 且的值域为R ，则a 的范围是()(]4110，，Y 10.在△ABC 中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC 的值域为?? ? ??121，二．例题精讲例1.求下列函数的值域 2sin 11+= x y ）（ 2sin 1sin )2(+-=x x y )80sin()20sin()3(ο ο+++=x x y ?? ????131， [-2,0] [] 33-， )32lg()4(2--=x x y x y sin lg 2)5(= 3sin 2sin )6(2--=x x y R (0,1] {0} )1)(cos 1(sin )7(++=x x y [)()3,11,01 2 2)8(2?∈-+-= x x x x y 且 ?? ????+22230， (][)+∞-∞-,22,Y

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ．（4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。（2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43．（3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出．考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域函数的值域函数的最大值函数的最小值

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}）四、判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊）当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可

人教版数学高一-学案2 函数值域和最值(一)

学案2 函数值域和最值（一）一、课前准备：【自主梳理】 1、在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的值，叫做，函数值的集合叫做 2、确定函数的值域的原则：（1）当函数用y =f (x )表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。 (2）当函数y =f (x )用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y 的值. （3）当函数y =f (x )用解析式给出时，函数的值域是由函数的和确定. （4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的确定. 3、基本初等函数的值域。（1） b kx y += )0(≠k 的值域为（2） y =a 2 x +bx +c ()0≠a 的值域为（3） (0)k y k x =≠的值域为（4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为（5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为（6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为 4、求值域的方法：配方法换元法分离常数法单调性数形结合法判别式法（不等式法求导法后续讲） 5、函数的最值：设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≥)( (2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的值. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的值. 【自我检测】 1、函数x y 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2、函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________. 3、已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))9 1((f f _________.

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥，当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值

高中数学总复习-三角函数第5课三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移

分析：化为Asin( x )形式.得到?

列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ).

高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)

授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解一、指数函数的概念一般地，函数x y a =()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意：为何规定0a >，且1a ≠? 你知道么？

图象性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x =0时y =1 ④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1; 当x ＞0时,y ＞1 ④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1; 当x ＞0时,0＜y ＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2；（2）23 0.6 - 和34 0.6 - . 【分析与解答】（1）因为指数2x y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3 1.72 2>. （2）因为指数函数0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334 ->-，所以23 3 40.60.6-->. 求下列函数的定义域与值域。（1）1 4 2 x y -= （2）23x y -?? = ? ?? （3）1 42 1x x y +=++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。【解】（1）由404x x -≠?≠ 所以定义域为}{ ,4x x R x ∈≠且 1 41 0214 x x -≠∴≠-Q 所以值域为{} 0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。 2331322x x x y --≥?????? ∴==≥= ? ? ??? ?? ?? Q 故值域为{} 1y y ≥

第15讲-函数的最值与值域

主题函数的最值与值域教学内容 1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法。 2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值）。求 223y x x =++ 在x R ∈ 上的值域？在[2,1]x ∈- 上的值域？例1. 求下列二次函数2 231,[1,0]y x x x =-+∈-的最大值或最小值. 试一试：求下列二次函数223,[0,3]y x x x =-++∈的最大值或最小值.

1. 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 2. 已知函数2()23f x x x =-+在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 3. 设函数32)(2++-=x x x f ，若)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值。 4. 已知函数2557(),(,][,)322 x f x x x -= ∈-∞+∞-，求函数的值域。 5. 求函数22()4422f x x ax a a =-+-+在[0, 2]上的最值１ｍ

本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。【巩固练习】 1. 设函数()()2203f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．求m n 、的值（用a 表示）； 2. 求函数2(),[2,1)[0,)1 x f x x x -=∈--+∞+的值域；【预习思考】问题：已知二次函数62 --=x x y ①求0=y 时x 的值.

函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值知识网络】考点梳理】考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，存在x0 D ，使得f(x) f(x0)成立，则称f(x0)是函数f (x) 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，都有f(x) M ，则称M 是函数f(x)的最大值． 2. 最小值的定义同学们自己给出．考点二、函数最值的常用求法 1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2. 判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0(要注意二次项系数为0 的情况)求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3. 换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4. 不等式法：利用均值不等式求最值． 5. 利用函数的性质求函数的最值 6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7. 利用导数求函数的最值。要点诠释： (1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2) 一些能转化为最值问题的问题: f (x) A在区间D上恒成立函数f(x)min A(x D)

f (x) B 在区间D上恒成立函数f(x)max B(x D) 在区间D上存在实数x使f(x) B 函数f (x)min B(x D) 在区间D上存在实数x使f(x) A 函数f (x)max A(x D) 典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值例 1. 求函数 f (x) e2x me x e2x me x的最值．【解析】 f (x) e2x e2x m(e x e x) x x 2 x x (e e ) m(e e ) 2 令t e x e x(注意t 的范围)，这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现x2 x 2和x x 1时，都可以化为二次式．举一反三：【变式】求函数y 1 x x 3 的值域．解：平方再开方，得y 4 2 (1 x)(3 x),x [ 3,1] y [2,2 2] 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值例 2. 求下列函数值域： 2x-1 (1) y ；1)x ∈[5 ，10] ；2)x ∈(-3 ，-2) ∪(-2 ，1)；x2 2 (2)y=x 2-2x+3 ；1)x ∈[-1 ，1]；2)x ∈[-2 ，2]. 【解析】(1) Q y2(x 2)-5 -5 +2可看作是由y-5左移 2 个单位，x 2 x 2 x 再上移 2 个单位得到，如图 9 19 1)f(x) 在［5 ，10］上单增，y ［ f (5), f (10)］即［ , ］； 7 12 2) y (- , f (1)) ( f (-3), )即(- ，3) (7，)； (2) 画出草图

最全函数值域的12种求法(附例题,习题)[1]

高中函数值域的12种求法一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x 中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值

函数的值域与最值

（三）函数的值域与最值要点梳理 ● 理解函数值域、最值的定义及函数值域与最值的关系； ● 掌握求函数的值域、最值的基本方法. 典型例题【例1】求下列函数的值域：（1）x x y +-=11；（2）32-2 ++=x x y （3）x x x y 1 2++=；（4）x x y ++=12 ；（5）2-4x x y += （6） 21-++=x x y 【例2】已知函数()()221x x a f x x x ++= ≥. （1）当1 2 a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若()()01f x x >≥恒成立，求实数a 的取值范围.

【例3】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[] x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []3.54-=-， [] 2.12=，已知函数()1 12 x x e f x e =-+，则函数()y f x ??=??的值域是（） A. {} 0,1 B. {}1 C. {}1,0,1- D. {} 1,0- 【例4】已知∈x [ ]91,271，函数=)(x f )3)(log 27 (log 33x x ，求函数)(x f 最大值和最小值. 变式1：已知函数()()()24log 4f x ax x a a R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A. [] 0,2 B. ()2,+∞ C. (] 0,2 D. ()2,2- 变式2：已知函数[])()()(),91(log 2)(22 3x f x f x g x x x f +=≤≤+=，求)(x g 的最大值和最小值. 【例5】已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =，若对 (),t ?∈-∞+∞,[]1,7s ?∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是（） A. (]0,2 B. (]2,3 C. []3,6 D. [ ) 4,+∞

与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题

与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题基本初等函数的值域。（1） b kx y += )0(≠k 的值域为（2） y =a 2 x +bx +c ()0≠a 的值域为（3） (0)k y k x =≠的值域为（4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为（5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为（6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为例题：1函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间]1,1[-上有最大值14，则a 的值是。例题：2已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 1、函数)176(log 22 1+-=x x y 的值域是（） A.R B.),8[+∞ C.)3,(--∞ D.),3[+∞ 2、若指数函数x a y =在]1,1[-上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（） A. 215+ B.215- C.215± D.2 5 1± 3、函数| |2 )(x x f -=的值域是（） A.]1,0( B.)1,0( C.),0(+∞ D.R 4、定义运算?? ?>≤=?) () (b a b b a a b a ，则函数x x x f -?=22)(的值域为。 5、已知3 ) 4 1(2-≤x x ，求函数x y )2 1(=的值域。 6、函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是。

三角函数的最值与值域的教学设计

三角函数的最值与值域的教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

三角函数的最值与值域的教学设计安亭中学彭朴一、内容分析三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。二、教学目标制定 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。三、教学重点分析本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，老师通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。四、教学难点分析求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法，迅速解决问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“实践---方法———在实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点。五、教学过程设计 1提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？

[函数的值域与最值1] 函数的值域和最值

[函数的值域与最值1] 函数的值域和最值专题：函数的值域和最值(★)教学目标掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，如一元二次函数、分式形式及分段函数的函数值域的求解方法。知识梳理常用的求解值域的方法有：（1）直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围；（2）配方法：适用于与二次函数有关的函数；（3）换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解;（4）分离常数法5 min.c ad -cb ad -cb (ax +b ) +cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域；=+ax +b ax +b a ax +b（5）判别式法；（6）图象法.典例精讲1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围。30min .(-1≤x ≤1) 例1、求下列函数的值域y =3x +2 -3≤3x ≤3，分析：∵-1≤x ≤1，∴-1≤3x +2≤5，即--1≤y ≤5 ∴，∴函数的值域是[-15]【直接法就是利用常见函数的值域来求函数的值域. 】巩固练习1、求f (x ) =2+4-x 的值域分析：[0,+∞) ∴f (x ) ∈[2,+∞∴函数的值域是[2,+∞).2、配方法：适用于与二次函数有关的函数。例2（★）已知函数y =x 2-4x +1，分别求它在下列区间上的值域。（1）x ∈R ；（2）[3,4] （3）[0,1] （4）[0,5] 分析：（1）∵x ∈R ，∴y ≥-3，∴函数的值域是[-3, +∞) .（2）∵x ∈[3,4]时，图象在对称轴右边，图象递增.∴x =3时，y min =-2；x =4时，y max =1；∴在[3,4]上，函数的值域为[-2,1].（3）∵x ∈[0,1]时，图象在对称轴左边，图象递减.∴x =0时，y max =1；x =1时，y min =-2, ∴在x ∈[0,1]上，函数的值域为[-2,1].（4）∵x ∈[0,5]时，图象含抛物线顶点，∴y min =-3而当x =0时，y =1；x =5时，y =6, ∴y max =6 ∴在x ∈[0,5]上，函数的值域为[-3,6].【配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的x 取值范围，结合函数的图象求得函数的值域. . 】巩固练习1、求函数y =-x 2+4x +2（x ∈[-1,1]）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系) 分析：有二次函数的图像得该函数的值域为[-2,5]3、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。例3（★）求函数y =2x +4-x 的值域2分析：设t =则t ≥0 x =1-t代入得y =f (t ) =2?(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 ∴函数的值域为[-∞, 4]【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域. . 】巩固练习1、（★）求函数y =2x1-t 2分析：(求值域先求定义域)令t =t ≥0）（引入新元要标注范围），则x =，25（t ≥0）4135∵当t =，即x =时，y max =，无最小值。2845∴函数y =2x (-∞, ]。42、（★）求y =2x －322∴y =-t +t +1=-(t -) +12分析：(求值域先求定义域)令t =t ≥0（引入新元要标注范围），且2x ＝(13－t 2) ，y ＝－t 2＋t ＋＝t －(t －1)＋4≤（4t ≥0），（这里最好利用数形结合法）2y ∈（－∞，4] .4、分离常数法c ad -cb ad -cb(ax +b ) +cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域. =+ax +b ax +b a ax +b5x +4例4、（★）求函数y =的值域。x -15x +45(x -1) +99==5+分析：y =，x -1x -1x -19≠0 ∴y ≠5 ∵x ≠1 ∴x -1∴函数值域为(-∞,5)【形如y =．巩固练习1、（★）求函数y =(5,+∞) ．cx +d c(c ≠0, bc ≠ad ) 的值域为{y |y ≠. 】ax +b a1-x的值域。2x +5177-(2x +5) +1-x =-1+，分析：（此处要先求定义域）∵y ==2x +52x +522x +5711-x 1∵≠0，∴y ≠-，∴函数y =的值域为{y |y ≠-.22x +522x +55、判别式法：x 2-x +1例5、（★）求函数y=2值域x +x +1分析：∵x +x +1=(x +) +212233≥ 0，44∴函数的定义域为R ，原式可化为y (x 2+x +1) =x 2-x +1, 整理得(y -1) x 2+(y +1) x +y -1=0，若y =1, 即2x =1, 则x =1；若y ≠1, ∵x ∈R ，即有?≥0，∴(y +1) 2-4(y -1) 2≥0, 解得1≤y ≤3且y ≠1. 3综上：函数是值域是[,3].【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R ，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式. . 】巩固练习13x 2-x +31、（★）求函数y =2的值域。x -x +1分析：定义域为：∵x ∈Rx 2-x +3由y =2变形得(y -1) x 2-(y -1) x +y -3=0，x -x +1当y =1时，此方程无解；（特殊情况优先）当y ≠1时，∵x ∈R 说明方程至少有解，∴?=(y -1) 2-4(y -1)(y -3) ≥0，解得1≤y ≤1111，又y ≠1，∴111x